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En una fábrica se asegura que el 30% de las áreas reducen el consumo de agua de enfriamiento en las calderas, al realizar cambios en el sistema de la tubería. Halle la probabilidad de que 2 de 5 áreas reduzcan el consumo de agua en las áreas. Solución: Sea X el número de áreas que reducen el consumo de agua. El experimento cumple con los requerimientos de una distribución Binomial, ya que, los ensayo son independientes (la fábrica está dividida por áreas); la probabilidad permanece constante p= 0,3; existen dos alternativas (se reduce o no se reduce el consumo de agua). De la definición 6.2 x = 0, 1, 2, 3, 4,5 n= 5 p= 0.3 q= 1- p = 1- 0.3 = 0.7 5

P (0; 5; 0, 3) = 0(0.3)0(0.7)5-0 = 0.17 5 1

P (1; 5; 0, 3) = (0.3)1(0.7)5-1 = 0.36 5 2

P (2; 5; 0, 3) = (0.3)2(0.7)5-2 = 0.31 5

P (3; 5; 0, 3) = 3(0.3)3(0.7)5-3 = 0.13 5 4

P (4; 5; 0, 3) = (0.3)4(0.7)5-4 = 0.028 5 5

P (5; 5; 0, 3) = (0.3)5(0.7)5-5 = 0.002 En particular P (2; 5; 0,3) =0,31 significa que la probabilidad de que 2 de 5 áreas reduzcan su consumo de agua es de 0,31. Igual interpretación se puede realizar para los otros valores. La distribución de probabilidad está dada por: 0 0.17

1 0.36

2 0.31

4 0.13

5 0.028

P (x; 5; 0, 3) 0.4 Probabilidad

x P (x; 5; 0, 3)

0.3 0.2 0.1 0 0

1

2

3

Numero de Areas

4

5

6 0.002

Un fabricante de neveras afirma que solamente el 10% de las neveras requiere reparación dentro del período de garantía. a.- ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 6 de 20 neveras fallen antes de finalizar la garantía? b.- ¿Cuál es la probabilidad de que fallen entre 3 y 6 (inclusive el 3 y el 6) de 20 neveras, antes de finalizar la garantía? c.- ¿Cuál es la probabilidad de que más de 6 neveras fallen antes de finalizar la garantía? d. ¿Cuál es la probabilidad de que 6 neveras fallen antes de finalizar la garantía? Solución: Sea X el número de neveras que fallen antes de finalizar la garantía. Utilizando la tabla 1 se tiene que. a. P (x≤6)= B (6; 20; 0.1)=∑6𝑘 𝑏(6; 20; 0.1)= 0.9976 b. P (3≤x≤6) = P (x≤6) - P (x≤2) P (x) ≤ 2= B (6; 20; 0.1) = 0.6769 P (3≤x≤6)= 0.99976 -0.6769 = 0. 3207 c. P (x >6) = 1 - P (x ≤ 6) = 1- B (6; 20; 0.1) = 1 – 0.9976 = 0.0024 d. P (x = 6) = b (6; 20; 0.1) = B (6; 20; 0.1) - B (5; 20; 0.1) = 0.9976 – 0.9887 =0.0089

La probabilidad de que cierto aditivo presente una reacción negativa al administrarse en motores de prueba de marcas diferentes es de 0.15. Si se les ha administrado dicho aditivo a 10 motores de autos, calcúlense las probabilidades de que haya fallas en el funcionamiento: a. En dos autos b. En ningún auto c. En menos de 4 autos d. En más de 3 autos Suceso A” A un auto se le presenta reacción negativa “ X: “numero de autos que presenten esta reacción” P(A)=0.15 n=10 X -> B (10; 0.15) a) P(x=2)=0.02759 b) P(x=0)=0.1969 c) P(x3) = 1- (0.1969 + 0.3474 + 0.2759 + 0. 1289) P(x>3)= 0.05 La distribución de probabilidad está dada por: x

0 0.1969

p(x; 10; 0, 15)

2 0.02759

3 0.05

4 0.95

P(x;10;0,15) 1.2

4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

PROBABILIDAD

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1

2

3

4

NUMERO DE MOTORES Series3

Series1

5

Una fábrica vende láminas de acero A36 a cinco talleres de la misma localidad de buen prestigio. Según las tablas actuales, la probabilidad de que un taller en estas condiciones funcione normalmente 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, funcione: Datos: N=5 P=2/3 B (5, 2/3) a) Los cinco talleres funcionen 5

2

P(x=5)= 2 * 3 P(x=5)= 0.132 b) Al menos tres funcionen. P (x≥3)= P (x=3) + P (x=4)+ P (x=3) P (x≥3)=

5 3

(

2 3

) ^3(

1 3

) ^2 +

5 4

P (x≥3)=0.791

c) Exactamente dos talleres P (x=2)=

5 2

(

2 3

) ^2(

P (x=2)=0.164

1 3

) ^3

(

2 3

1

) ^4 ( 3 )+

5 3

(

2 3

) ^5

En el l aboratori o Space Car “l aboratori o especi al i sta con tratado po r W ol sv ag en Ca r s en Al eman i a ” a fi rm a qu e u n adi ti vo d e ci e rt a ma r ca cau sa e f ec t os s e cu n da ri os en u n a p ro po r ci ón d e 3 d e c ada 10 0 mot o r e s d e s u m ar ca . P a ra con t ra s tar e sta afi r ma ci ó n , o tr o l abo rat o ri o el i ge al az a r a 5 m ot o r e s a l o s q u e apl i ca e st e adi ti vo . ¿Cu ál es l a p r o babi l i dad d e l os si gu i en t e s su c e s os ? a) Ni n gu n o d e l o s m ot o r e s t en ga ef e ct o s s e cu n d ari os b) Al m en os d o s t en ga n ef e ct o s s e cu n d a ri o s. Dat o s: N= 100 p = 0 .0 3 q = 0 .9 7 Ni n gu n o d e l o s m ot o r e s t en ga ef e ct o s s e cu n d ari os

p(x=0) = (5/0)*(0.97) ^5 p(x=0)= 0.8587 Al m en o s d os t en gan e f e ct o s s e cu n da ri o s.

P (x≥2) = 1- p(x