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• Wellinton Javier Moreta

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7. La distribución de probabilidad para la variable aleatoria x se presenta enseguida.

a) ¿Es válida esta distribución de probabilidad? Explique por qué. La distribución de probabilidad es válida puesto que los resultados de los eventos son valores ≥ 0 y la sumatoria de todas ellas es igual a 1. b) ¿Cuál es la probabilidad de que x=30? La probabilidad de que x=30 es 0,25 puesto que f(30)= 0,25 según la distribución de probabilidad. c) ¿Qué probabilidad existe de que x sea menor o igual que 25? f (25)+f(20) 0,20+0,15= 0,35 –35% La probabilidad de que x sea menor o igual que 25 es del 35% d) ¿Cuál es la probabilidad de que x sea mayor que 30? f (35) = 0,40 –40% La probabilidad de que x sea mayor que 30 es del 40%.

10. A continuación se presentan las distribuciones de frecuencias porcentuales de la satisfacción laboral para una muestra de altos directivos y gerentes de rango medio en el área de sistemas de información (SI). Las puntaciones varían de baja, 1 (muy insatisfecho), a alta, 5 (muy satisfecho).

a) Elabore una distribución de probabilidad para la puntuación de satisfacción laboral de un alto directivo. X 1 2 3 4 5

f(x) 0,05 0,09 0,03 0,42 0,41

b) Prepare una distribución de probabilidad para la puntuación de satisfacción laboral de un gerente de rango medio. x 1 2 3 4 5

f(x) 0,04 0,10 0,12 0,46 0,28

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alto directivo reporte una puntuación de satisfacción laboral de 4 o 5? f(4) + f(5) 0,42+0,41=0,83 – 83% La probabilidad de que un alto directivo reporte una puntuación de satisfacción laboral de 4 o 5 es del 83%. d) ¿Cuál es la probabilidad de que un gerente de rango medio esté muy satisfecho? f (5) =0,28 – 28% La probabilidad de que un gerente de rango medio este muy satisfecho es del 28%. e) Compare la satisfacción laboral general de los altos directivos con la de los gerentes de rango medio

La satisfacción laboral de los altos directivos es más alta (0,41) que la de los gerentes de rango medio (0,28).

18. El estudio American Housing Survey reportó los datos siguientes sobre el número de recámaras ocupadas en casas propias y rentadas en las ciudades centrales (sitio web de la Oficina del Censo de Estados Unidos, 31 de marzo de 2003).

a) Defina una variable aleatoria x = número de recámaras en las casas rentadas y elabore una distribución de probabilidad para la variable aleatoria (x = 4 representa 4 o más recámaras.) Recamaras (X) 0 1 2 3 4 Total

Rentadas 547 5012 6100 2644 557 14860

fX) 0,03681023 0,33728129 0,41049798 0,17792732 0,03748318 1

b) Calcule el valor esperado y la varianza del número de recámaras en las casas rentadas. X

fX)

xf(x)

x-µ

(𝐱 − µ)𝟐

(𝐱 − µ)𝟐 𝒇(𝒙)

0

0,03681023

0,00

-1,84199192

3,39293425

0,12489469

1

0,33728129

0,33728129

-0,84199192

0,7089504

0,23911571

2

0,41049798

0,82099596

0,15800808

0,02496655

0,01024872

3

0,17792732

0,53378197

1,15800808

1,3409827

0,23859746

4

0,03748318

0,14993271

2,15800808

4,65699885

0,17455911

Total

1

1,84199192

0,78741568

Valor esperado= 1,84 Varianza= 0,79 c) Defina una variable aleatoria y = número de recámaras en las casas propias, y elabore una distribución de probabilidad para la variable aleatoria (y = 4 representa 4 o más recámaras.) Recamaras f(x) 0 1 2 3 4 Total

Propias f(X) 23 0,00171399 541 0,04031597 382 0,0284671 8690 0,64758924 3783 0,2819137 13419 1

d) Calcule el valor esperado y la varianza para el número de recámaras en las casas propias. X 0 1 2 3 4 Total

fX) 0,00136345 0,03207066 0,22716225 0,51514613 0,22425751 1

xf(x) 0 0,03207066 0,4543245 1,54543838 0,89703006 2,9288636

x-µ -2,9288636 -1,9288636 -0,9288636 0,0711364 1,0711364

(𝐱 − µ)𝟐 8,57824196 3,72051477 0,86278758 0,00506039 1,1473332

(𝐱 − µ)𝟐 𝒇(𝒙) 0,01169598 0,11931937 0,19599277 0,00260684 0,25729809 0,58691305

Valor esperado= 2,93 Varianza= 0,58 e) ¿Qué observaciones puede hacer de la comparación del número de recámaras en casas rentadas en comparación con las casas propias? Se puede observar que las recamaras ocupadas en las casas propias es mayor que las rentadas puesto que su valor en más alto (2,93) en comparación con el otro (1,84). En cuanto a la variabilidad las recamaras de las casas rentadas es más alta que de las casas propias.

21 Las siguientes distribuciones de probabilidad de las puntuaciones de satisfacción laboral para una muestra de altos directivos y gerentes de rango medio del área de sistemas de información (SI) varía de un valor bajo de 1 (muy insatisfecho) a un valor alto de 5 (muy satisfecho).

a) ¿Cuál es el valor esperado de la puntuación de satisfacción laboral para los altos directivos? Puntuación (x) 1 2 3 4 5 Total

Altos directivos de SI F(x) 0,05 0,09 0,03 0,42 0,41 1

xf(x) 0,05 0,18 0,09 1,68 2,05 4,05

Valor esperado = 4,05 b) ¿Cuál es el valor esperado de dicha puntuación para los gerentes de rango medio? Puntuación (x) 1 2 3 4 5 Total

Gerentes rango medio de SI F(X) 0,04 0,1 0,12 0,46 0,28 1

xf(x) 0,04 0,2 0,36 1,84 1,4 3,84

Valor esperado =3,84

c) Calcule la varianza de las puntuaciones de satisfacción laboral para los directivos y los gerentes de rango medio. Puntuacion Altos directivos de SI (x) f(x) 1 0,05 2 0,09

xf(x) 0,05 0,18

x-µ -3,05 -2,05

(𝐱 − µ)𝟐 9,3025 4,2025

(𝐱 − µ)𝟐 𝒇(𝒙) 0,465125 0,378225

3 4 5

0,03 0,42 0,41 1

Total

0,09 1,68 2,05 4,05

-1,05 -0,05 0,95

1,1025 0,0025 0,9025

0,033075 0,00105 0,370025 1,2475

Varianza de las puntuaciones de satisfaccion laboral para los altos directivos de SI es de 1,24

Puntuacion (x) 1 2 3 4 5 Total

Gerente rango medio SI f(x)

0,04 0,1 0,12 0,46 0,28 1

xf(x) 0,04 0,2 0,36 1,84 1,4 3,84

x-µ -2,84 -1,84 -0,84 0,16 1,16

(𝐱 − µ)𝟐 8,0656 3,3856 0,7056 0,0256 1,3456

(𝐱 − µ)𝟐 𝒇(𝒙) 0,322624 0,33856 0,084672 0,011776 0,376768 1,1344

Varianza de las puntuaciones de satisfaccion laboral para los gerentes es de 1,13 d) Estime la desviación estándar de las calificaciones de satisfacción laboral en las dos distribuciones de probabilidad. Desviación estándar de satisfacción laboral para los altos directivos de SI 𝜎 = √1,2475 = 𝟏, 𝟏𝟐 Desviación estándar de satisfacción laboral para los gerentes de medio rango de SI 𝜎 = √1,1344 = 𝟏, 𝟎𝟔 e) Compare la satisfacción laboral de los altos directivos con la de los gerentes de nivel medio. La satisfacción laboral de altos directivos es mayor puesto que el vaalor esperado es de 1,25 en cuento a la de los gerentes es menor ya que su valor esperado es de 1,13.

41. Durante el periodo en que una universidad local hace registros por teléfono, las llamadas entran a una razón de una cada 2 minutos. a) ¿Cuál es el número esperado de llamadas en una hora? Datos

1 llamada cada 2 minutos

2/60= 30 llamadas

1 hora –60 minutos b) ¿Cuál es la probabilidad de tres llamadas en 5 minutos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un periodo de 5 minutos?

42. Cada año más de 50 millones de huéspedes se hospedan en hoteles que ofrecen alojamiento y desayuno. El sitio web para Bed and Breakfast Inns de Norteamérica, que recibe un promedio de siete visitantes por minuto, permite a muchos hoteles de este tipo atraer clientes (Time, septiembre de 2001). a) Calcule la probabilidad de que nadie visite el sitio web en un periodo de un minuto. Datos: X=0 μ=7

𝜇 𝑥 ∗ 𝑒 −𝜇 𝑓(𝑥) = 𝑥! 70 ∗ 𝑒 −7 𝑓(0) = 0! 0,000911882 𝑓(0) = 1 𝑓(0) = 0, 000911882 * 100 = 0,091% La probabilidad de que nadie visite el sitio web en un periodo de un minuto es de 0,091% b) Estime la probabilidad de dos o más visitantes al sitio web en un periodo de un minuto. Datos: X≤2 μ=7

𝑓(𝑥 ) = 𝑓(1) =

𝜇 𝑥 ∗ 𝑒 −𝜇 𝑥! 71 ∗ 𝑒 −7 1!

𝑓(1) =

0,006383174 1

𝑓(1) = 0,006383174 f (2) = 1- (f (0) + f (1)) f(2)= 1- ( 0, 000911882 + 0,006383174)

f (2) = 1- 0,007295056 f (2) = 0,992704944 * 100 = 99,3% La probabilidad de dos o más visitantes al sitio web en un periodo de un minuto es de 99,3% c) Calcule la probabilidad de uno o más visitantes en un periodo de 30 segundos. Datos: X≤1 μ = 3,5 7 en 1 min 7/2 ya que se reduce a la mitad 30s el intervalo de tiempo. 𝜇=

7 = 3,5 2

𝜇 𝑥 ∗ 𝑒 −𝜇 𝑓(𝑥) = 𝑥! 3,50 ∗ 𝑒 −3,5 𝑓(0) = 0!

𝑓(0) =

0,03019738342 1

𝑓(0) = 0,03019738342 f(x)= 1- f (0) f (x) = 1- 0,03019738342 f (x) = 0,9698026166 * 100 f (x) = 96,98 % La probabilidad de uno o más visitantes en un periodo de 30 segundos es de 96,98 %

e) Determine la probabilidad de cinco o más visitantes en un periodo de un minuto.

Datos: X≤5 μ=7

72 ∗ 𝑒 −7 𝑓(2) = 2! 0,04468221631 𝑓(2) = 2 𝑓(2) = 0,02234110816 73 ∗ 𝑒 −7 𝑓(3) = 3! 0,3127755142 𝑓(3) = 6 𝑓(3) = 0,05212925236 74 ∗ 𝑒 −7 𝑓(4) = 4! 2,189428599 𝑓(4) = 24 𝑓(4) = 0,091226192 f (5) = 1- (f (0) + f (1) + f(2) + f(3) + f(4)) f (5) = 1- ( 0, 000911882 + 0,006383174 + 0,02234110816 + 0,05212925236 + 0,091226192) f (5) = 1- (0,172991609) f (5) = 0,827008391 *100 f (5) = 82,7% La probabilidad de cinco o más visitantes en un periodo de un minuto es de 82,7%.

43. Los pasajeros de una línea aérea llegan al azar y de manera independiente a la instalación de revisión de pasajeros en un aeropuerto internacional. La razón media de llegadas es de 10 personas por minuto. a) Calcule la probabilidad de que no haya llegadas en un periodo de un minuto. Datos X=0 μ = 10

100 ∗ 𝑒 −10 0! 0,000045400 𝑓(0) = 1 𝑓(0) =

𝑓(0) = 0,000045400 b) Determine la probabilidad de que tres pasajeros o menos lleguen en un periodo de un minuto. Datos X≥3 μ = 10

101 ∗ 𝑒 −10 𝑓(1) = 1! 0,000453999 𝑓(1) = 1 𝑓(1) = 0,000453999 102 ∗ 𝑒 −10 𝑓(2) = 2! 0,004539993 𝑓(2) = 2 𝑓(2) = 0,002269996 103 ∗ 𝑒 −10 𝑓(3) = 3! 0,045399930 𝑓(3) = 6

𝑓(3) = 0, 007567 f (x ≥ 3) = f (0) + f (1) + f (2) + f (3) f (x ≥ 3) = 0,000045400 + 0,000453999 + 0,002269996 + 0, 007567 f (x ≥ 3) = 0,010336 * 100 f (x ≥ 3) = 1,03% La probabilidad de que tres pasajeros o menos lleguen en un periodo de un minuto es de 1,03%. c) Calcule la probabilidad de que no haya llegadas en un periodo de 15 segundos. Datos X=0 μ=3 10------60s que equivale a un minuto (misma unidad de mediada) X ------- 15s X=

10∗15 60

= 2,5 o igual a 3 personas

30 ∗ 𝑒 −3 𝑓(0) = 0! 0,04978706837 𝑓(0) = 1 𝑓(0) = 0,04978706837*100 𝑓(0) = 4, 98 % La probabilidad de que no haya llegadas en un periodo de 15 segundos es de 4,98%. d) Estime la probabilidad de cuando menos una llegada en un periodo de 15 segundos. Datos X≥1 μ=3 f (x ≥ 1) = 1- f (0) f (x ≥ 1) = 1- 0,04978706837 f (x ≥ 1) = 0,9502129316 * 100 f (x ≥ 1) = 95%

La probabilidad de cuando menos una llegada en un periodo de 15 segundos es de 95 %.

13. Un estudio de la American Society of Investors descubrió que 30% de inversionistas particulares había utilizado un agente de descuentos. En una muestra aleatoria de nueve personas, ¿cuál es la probabilidad de que: a) exactamente dos personas hayan utilizado un agente de descuentos? Datos Éxito ---π = 30% Fracaso--- 1- π= 70% n=9 x= 2 P (x) = nCx 𝜋 𝑥 (1 − 𝜋)𝑛−𝑥 P (2) =

9!

2 9−2 ∗ 0,30 ∗ (0,70) 2!∗7!

P (2) = 0,266827932 * 100 P (2) = 26,7% La probabilidad de que dos personas hayan utilizado un agente de descuentos es de 26,7% b) exactamente cuatro personas hayan recurrido a él? Datos Éxito ---π = 30% Fracaso--- 1- π= 70% n=9 x= 4 P (x) = nCx 𝜋 𝑥 (1 − 𝜋)𝑛−𝑥 P (4) =

9!

4 9−4 ∗ 0,30 ∗ (0,70) 4!∗5!

P (4) = 0, 171532242 * 100 P (4) = 17,15 % La probabilidad de que exactamente cuatro personas hayan recurrido a él es de 17,15%

c) ninguna persona lo haya empleado? Datos Éxito ---π = 30% Fracaso--- 1- π= 70% n=9 x= 0 P (x) = nCx 𝜋 𝑥 (1 − 𝜋)𝑛−𝑥 P (0) =

9! 0!∗9!

∗ 0,300 ∗ (0,70)9−0

P (0) = 0,040353607 * 100 P (0) = 4,04% La probabilidad de que ninguna persona lo haya empleado es de 4,04%. 16. Un agente de telemarketing hace seis llamadas por hora y es capaz de hacer una venta con 30% de estos contactos. Para las siguientes dos horas, determine: a) la probabilidad de realizar exactamente cuatro ventas; Datos Éxito ---π = 30% Fracaso--- 1- π= 70% n=2 x= 4 P (x) = nCx 𝜋 𝑥 (1 − 𝜋)𝑛−𝑥 P (4) =

2!

4 2−4 ∗ 0,30 ∗ (0,70) 4!∗(2−4)!

P (4) =

b) la probabilidad de no realizar ninguna venta; c) la probabilidad de hacer exactamente dos ventas; d) la media de la cantidad de ventas durante un periodo de dos horas.

17. Una encuesta reciente de la American Accounting Association reveló que 23% de los estudiantes graduados en contabilidad elige la contaduría pública. Suponga que elige una muestra de 15 recién graduados. a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos hayan elegido contaduría pública? b) ¿Cuál es la probabilidad de que cinco hayan elegido contaduría pública? c) ¿Cuántos graduados esperaría que eligieran contaduría pública?