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“AÑO DEL DIALOGO Y LA RECONCILIACION NACIONAL” UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS CIVIL – AMBIENTAL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS

TEMA: DISTRIBUCION BINOMIAL Dr. GAVE CHAGUA Jose Luis HUAYTA CHAVEZ David Samuel ESPINOZA VITOR Edson Lincol CUSI DE LA CRUZ Cledy luz JANAMPA GALA Max Anibal

III LIRCAY – HUANCAVELICA 2018

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PARA LA FUERZA CANDENTE EN MI CORAZÓN, LLAMA QUE ILUMINA MI OSCURIDAD, BRÚJULA QUE ORIENTA MI VIDA:

MIS PADRES.

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INTRODUCCION

En esta monografía vamos a presentar las características básicas de la distribución binomial y sus posibles aplicaciones prácticas con la finalidad de ser mas simple el entendimiento y para determinar un modelo de probabilidad para describir el comportamiento de una variable real.

La estructura de este objeto de aprendizaje es como sigue: en primer lugar, se presentan los objetivos que se desean conseguir; a continuación, se trabaja la definición y características de la distribución binomial, haciendo especial relevancia en como identificarla y diferenciarla de otras distribuciones discretas y se resuelven algunos ejemplos prácticos para ayudar a su comprensión. Finalmente, en el Cierre, se destacan los conceptos básicos de aprendizaje con respecto a la distribución binomial y sus aplicaciones prácticas.

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INDICE

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OBJETIVOS



Utilizar la distribución binomial para obtener las probabilidades de aquellas situaciones empresariales cuyos posibles resultados, sean únicamente dos resultados.



Identificar las propiedades de una distribución binomial, así como sus parámetros característicos, esperanza y varianza.



Determinar los valores de p y fracasos q para establecer las bases para el cómputo de las probabilidades en la distribución binomial.

DATO HISTÓRICO

El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705). Bernoulli definió el proceso conocido por su nombre el cual establece las bases para el desarrollo y utilización de la distribución binomial. UTILIDAD según experimentos de Bernoulli La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados. Por ejemplo: Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra. En el deporte un equipo puede ganar o perder. En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas. También se utiliza cuando el resultado se puede reducir a dos opciones. Por ejemplo: Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo. La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr. En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta o incorrecta.

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DEFINICIÓN Y CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución binomial fue desarrollada por Jakob Bernoulli (Suiza,1654‐1705) y es la principal distribución de probabilidad discreta para variables dicotómicas, es decir, que sólo pueden tomar dos posibles resultados. Bernoulli definió el proceso conocido por su nombre. Dicho proceso, consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que ocurra (éxito) y q=1‐p de que no ocurra (fracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos posibles valores, el 1 si ocurre y el 0 sino sucede. La distribución binomial es una generalización de la distribución de Bernouilli, cuando en lugar de realizar el experimento aleatorio una sola vez, se realiza n, siendo cada ensayo independiente del anterior. Una forma corriente de descripción de los experimentos aleatorios equiprobables con variable discreta es la distribución binomial. En este tipo de distribución se estudia la probabilidad de que se produzca un cierto resultado, que se describe por medio de dos parámetros: el número de repeticiones realizadas del experimento y la probabilidad individual del suceso aleatorio que se persigue como resultado. VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL Expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento. Es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4,…, n, suponiendo que se han realizado “n” pruebas.

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La distribución binomial viene definida como sigue: 

Sea una población de tamaño infinito.



Sea una muestra de tamaño n (número de repeticiones del experimento).



Los n experimentos realizados son independientes.



Cada ensayo produce uno de los dos únicos posibles resultados, a los que por comodidad de

nomenclatura, les llamaremos acierto (A) y su complementario

Fallo (F o A ) 

Sea A un suceso que tiene una probabilidad p de suceder y, en consecuencia, su complementario tendrá una probabilidad 1‐p de suceder.



X: número de individuos de la muestra que cumplen A.



El conjunto de posibles valores de A es, E = {0,1,2,3,4....}

Algunos ejemplos típicos de la distribución binomial son:  Al nacer puede ser varón o hembra.  Un equipo de baloncesto puede ganar o perder.  En un test psicotécnico hay peguntas de verdadero o falso, es decir sólo hay dos alternativas.  Un tratamiento médico, como por ejemplo la vacuna de la gripe A, puede ser efectivo o inefectivo.  El objetivo de ventas al año de coches en un concesionario se puede o no lograr. CARACTERÍSTICAS Se dice que X sigue una distribución Binomial de parámetros n y p, que se representa con la siguiente notación: X ~ B (n, p)

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Su función de probabilidad viene definida por:

𝑛 𝐹(𝑋 = 𝑥) = ( ) × 𝑝 𝑥 × (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 𝑥

𝑛 ( )= 𝑥

;

𝑛! 𝑥!(𝑛−𝑥)!

Ecuación 1. Función de Probabilidad de la distribución Binomial.

n = número de pruebas x = número de éxitos p = probabilidad de éxito 1 – p = probabilidad de fracaso

Donde, n, debe ser un entero positivo y p debe pertenecer al intervalo 0 ≤ p ≤ 1, por ser una proporción. Veamos algunos ejemplos para entender mejor el concepto de distribución binomial:

Ejemplo. Supongamos que se tira una moneda al aire 5 veces. Calcular la probabilidad de que salga cara 4 veces. El fenómeno aleatorio sigue la distribución binomial ya que solo puede ser cara o cruz y la probabilidad de que salga cara no está afectado por los resultados anteriores. p = q = 0,5 (la probabilidad de que salga cara es la misma de que salga cruz = 0,5

𝑛 𝐹(𝑋 = 𝑥) = ( ) × 𝑝 𝑥 × (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 𝑥

𝑛 ( )= 𝑥

;

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𝑛! 𝑥!(𝑛−𝑥)!

P(X=3) = [5! / (3! ·2!)] · 0,53 · 0,52 = 10 · 0,125 · 0,25 = 0,3125 La probabilidad sería por lo tanto un 31,25% Ejemplo. supongamos que se tiran 3 dados. Calcular la probabilidad de que salga el valor 6 en los tres.

El fenómeno aleatorio sigue la distribución binomial ya que solo puede ser éxito (salir 3) o fracaso (no salir 3) La probabilidad de éxito (p) = 1/6 y la de fracaso (q) es igual a 1-p = 1-1/6 = 5/6

𝑛 𝐹(𝑋 = 𝑥) = ( ) × 𝑝 𝑥 × (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 𝑥

;

𝑛 ( )= 𝑥

𝑛! 𝑥!(𝑛−𝑥)!

¡P(X=3) = [3! / (3! ·0!)] · (1/6)3 · (1/6)0 = (1/6)3 = 0,0046 La probabilidad sería por lo tanto un 0,46%

GRAFICA La distribución binomial se puede expresar de forma gráfica, y que en realidad consiste en un diagrama de barras, similar a los obtenidos en la función de probabilidad pero que van a ir variando su forma en función de los valores de n y de p al modificarse las probabilidades de los distintos posibles valores de P(X=x).

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En la siguiente figura, puede apreciarse como al incrementar n, se ve que las curvas de frecuencias se aproximan a una forma en forma de campana, con la típica forma de campana de Gauss, pudiendo a deducirse, que conforme aumenta n, las variables discretas que siguen una distribución binomial tiende a aproximarse a la distribución normal.

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La figura es la gráfica de una distribución binomial (n, 0.5) para n = 20, 40, 60, 80, 100. Puede ver la aproximación a la distribución normal

Ejemplo. Con el propósito de verificar si se aceptan los lotes de piezas de que se reciben en una determinada fábrica, se lleva a cabo un plan de control consistente en seleccionar 10 artículos al azar de cada lote y determinar el número de piezas defectuosas. Un lote se rechaza si se encuentran dos o más piezas defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar lotes con un 5 % de piezas defectuosas? Sea el suceso A: ser pieza defectuosa.

La probabilidad de A, será p= 0,05 al ser la proporción de defectuosos de lote del 5%. Sea la variable X ~ número piezas defectuosas en el lote ~ B (n=10, p=0,05). Sea el coeficiente de de aceptación, a (o c), a = 2. P(aceptar) =P(x < 2) = P(x = 0) + (x =1 ) 10 10 )x(0.05)0 x (1-0.05)10 + ( )x(0.05)1 x (1-0.05)9 0 1

P(aceptar) = (

P(aceptar) = 0.599 + 0.315 = 0.914

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN PARA LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Media. vendrán dadas por las siguientes expresiones:

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𝐸(𝑋) = 𝑛 × 𝑝 Ecuación 2. Esperanza de la distribución Binomial. Ejemplo: Diez individuos, cada uno de ellos propenso a la tuberculosis, entran en contacto con un portador de la enfermedad. La probabilidad de que la enfermedad se contagie del portador a un sujeto cualquiera es de 0.1. ¿Cuántos se espera que contraigan la enfermedad? Solución: X → B EX (10; 0.1) E(X) = n x p E(x)= 10× 0.1 = 1 Varianza. 𝜎 2 = 𝑛 × 𝑝 × (1 − 𝑝) Ecuación 3. Varianza de la distribución Binomial. Desviación típica.

𝜎 = √𝑛 × 𝑝 × (1 − 𝑝) Ecuación 4. Desviación estándar de la distribución Binomial. Ejemplo:

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la probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es 0.02. se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el numero esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica. Halando el promedio: µ =10.00 x 0.02 = 200 hallando la varianza. σ2 = 10.000 x 0.02 x 0.98 = 196 Hallando la desviación típica. σ = √196 CONDICIONES PARA UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Una distribución se denomina binomial cuando se cumplen las condiciones siguientes: El experimento aleatorio de base se repite n veces, y todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes. En cada prueba se tiene una misma probabilidad de éxito (suceso A), expresada por p. Asimismo, existe en cada prueba una misma probabilidad de fracaso (suceso

), que es

igual a q = 1 - p. El objetivo de la distribución binomial es conocer la probabilidad de que se produzca un cierto número de éxitos. La variable aleatoria X, que indica el número de veces que aparece el suceso A (éxito), es discreta, y su recorrido es el conjunto {0, 1, 2, 3, ..., n}. La distribución binomial se expresa como B (n, p), siendo n el número de veces que se repite el experimento y p la probabilidad de que se produzca un éxito.

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Ejemplo de experimento aleatorio descrito por una distribución binomial: al tirar un dado cuatro veces, ¿cuántas veces saldrá el número 6? Este suceso es el «éxito» del experimento. TABLAS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL La distribución binomial se encuentra tabulada por lo que es fácil calcular probabilidades sin necesidad de hacer demasiadas cuentas. Para usar las tablas de la distribución binomial es necesario conocer:  El número de veces que se realiza el experimento (n).  La probabilidad de éxito (p).  El número de éxitos (k). La probabilidad p se busca en la primera fila (valores desde 0.01 hasta 0.5). El número de veces que se realiza el experimento, en la primera columna (valores desde 2 a 10) y el número de éxitos a su lado.

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En la tabla de la distribución binomial, sólo se admiten valores hasta n=10 (10 repeticiones del experimento). Para valores de n > 10, se emplea la formula. El caso en que p > 0.5, no se encuentra tabulado. La razón es que si p > 0.5, entonces q < 0.5 y basta intercambiar los papeles de éxito y fracaso para que podamos utilizar la tabla. CÓMO UTILIZAR LA TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

-Supongamos que lanzamos al aire una moneda trucada. Con esta moneda la probabilidad de obtener cara es del 30%. La probabilidad que salga cruz será, pues, del 70%. Lanzamos la moneda 10 veces de manera consecutiva. Si queremos calcular la probabilidad de que observemos 6 caras o menos nos fijamos en la tabla: localizamos n=10, x=6, p=0.3 y buscamos la intersección: 0.9894 P(x≥6) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6) = 0.9894

-Si nos pidieran la probabilidad de que salieran 7 caras o más. 16

Entonces utilizaríamos el hecho de que el suceso descrito es el complementario del anterior para afirmar que la probabilidad buscada es 1-0.9894=0.0106

-Si nos pidieran la probabilidad de que salieran exactamente 6 caras.

Tendríamos que calcular la probabilidad de obtener 6 caras o menos (0.9894) y la de obtener 5 caras o menos (0.9527), las restamos y obtenemos 0.0367. No obstante, mejor 10 es calcular = ( ) 0.36x 0.74 0.036756909 6 Ejemplo La probabilidad de que un alumno de 2º de Bachillerato apruebe las Matemáticas es de 0.7. Si consideramos un grupo de 8 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que cinco de ellos aprueben las Matemáticas? Método I ▪ Éxito = aprobar

▪ Fracaso = suspender

n = 8; p = 0.7; 1 – p = 0.3

B (8, 0.7) → p (X=5) → no se puede calcular mediante

tabla porque p>0.5 ▪ Éxito = suspender n=8; p=0.3;1-p =0.7

▪ Fracaso = aprobar B (8, 0.3) → p (X=3) → Tabla → p (X=3) = 0.2541

Método II

n=8; p=0.7; 1-p=0.3

8 B (8, 0.7) → p (X=5) = ( ) ×0.75 × 0.33 → p (X=5) = 0.2541 5

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CONCLUCION La Determinación de la probabilidad binomial se da mediante el uso de la función binomial. La distribución binomial se forma de una serie de experimentos de Bernoulli; la Distribución binomial es una Distribución discreta que se aplica cuando se realizan más de una vez y de forma independiente el experimento de Bernoulli con dos posibles resultados (éxito (p) o fracaso(q)). Experimento independiente Cuando el resultado de un experimento no tiene influencia en el resultado de otro experimento La desviación estándar (σ ) en la distribución binomial se obtiene del producto de n x p x q. El valor de q es el complemento de p y se obtiene con 1 – p.

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BIBLIOGRAFÍA

LIBROS: 1. Martín Pliego, F.J. (2004). Introducción a la Estadística Económica y Empresarial. (Ed.) Thomson. Madrid. 2. Montiel, A.M.; Rius, F.; Barón F.J. (1997). Elementos básicos de Estadística Económica y Empresarial. (2ª Ed.) Prentice Hall, Madrid. 3. Peña, D. (2001). Fundamentos de Estadística. (Ed.) Alianza Editorial, S.A. Madrid. ISBN: 84‐206‐8696‐4. 4. Romero, R y Zúnica, L.R. (2000). Introducción a la Estadística. (Ed.) SPUPV 4071. REFERENCIAS DE FUENTES ELECTRÓNICAS: 1. http://www.vitutor.com/pro/3/b_g.html (Consultado 29/09/2008). 2. http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Partes/ejercicios.html

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29/09/2008) 6. www1.uprh.edu/.../La%20distribucion%20binomial/Modulo%20Sobre%20La% 20Distribucion%20Binomial 7. https://polimedia.upv.es/visor/?id=75e9321a‐de3c‐8f48‐b0a9‐247c54db0376

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