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Distancia de un punto a una recta En Geometría euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese punto y un punto de una línea o recta.

Sean A un punto y D una recta. Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima entre A y un punto M de D.

 Para recta definida por su ecuación reducida

Obsérvese que

Ejemplos Determine la distancia del punto

Solución

de coordenadas

a la recta

de ecuación asociada

Luego:

Finalmente:

1. Halle la distancia entre las rectas paralelas:

Solución Por definición, esta distancia corresponde a la longitud del segmento perpendicular de un punto cualquiera de ellas a la otra recta. De esta forma, hallemos las coordenadas de un punto Para

de en

y posteriormente calculemos la distancia de se obtiene

En consecuencia:

, luego:

a

.

Distancia dirigida Una distancia dirigida es una distancia que puede ser positiva o negativa. Por la convención, la distancia se toma generalmente para ser una cantidad positiva. En geometría analítica, una distancia dirigida puede ser utilizada. Esto es útil para medir la distancia de un punto del origen. Por la convención, una distancia dirigida positiva está al derecho, en vértice, o hacía del espectador. Una distancia negativa está a la izquierda, abajo, o lejos del espectador. Un ejemplo de la distancia dirigida es una recta numérica con números negativos. Ejemplos: 1.- la distancia dirigida de la recta 2x+5y-10=0 al punto P es -3. Si la abscisa de P es 2, hallar su ordenada. SOLUCION: La distancia D [no dirigida] de un punto P(xo, yo) a una recta ax + by + c = 0 viene dado por la fórmula D = | axo + byo + c | / √(a² + b²) Conocemos todos los datos, a excepción de "yo": D = | -3 | = 3 a=2 xo = 2 b=5 c = -10 Reemplazamos en la fórmula estos valores: 3 = | 2(2) + 5yo - 10 | / √(2² + 5²) 3 = | 4 + 5yo - 10 | / √(4 + 25) 3 = | 5yo - 6 | / √29 3√29 = | 5yo - 6 | Podemos expresar el valor absoluto como la raíz cuadrada del número al cuadrado: 3√29 = √[ (5yo - 6)² ] elevando todo al cuadrado: 9(29) = (5yo - 6)²

261 = 25yo² - 60yo + 36 0 = 25yo² - 60yo - 225 dividimos todo por 25: 0 = yo² - (12/5)yo - 9 al resolver esta cuadrática por cualquier método resulta que yo = (6 + 3√29) / 5 o que yo = (6 - 3√29) / 5 Entonces, el punto P será (2, (6 + 3√29) / 5) o (2, (6 - 3√29) / 5) 2.-Hallar la distancia entre r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0.

Otra manera de expresar la distancia entre dos rectas es: