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• Luigi Cortellezzi

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• Geometria plana)
• Línea (geometría)
• Matemática Elemental
• Espacio

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Distancia de un punto a un plano L a dist anc ia d e un pu nt o , P, a un p l ano , π, es la m eno r d e la dis tanc ia d esd e el p unto a lo s infinitos p untos d el p lano. Es ta

dis tancia

pe r pe ndic ular

co rres p o nd e

tr az ada

a

la

de sde

el

p unt o al plano .

Eje mplo Hallar la d is tanc ia d el p unto P( 3, 1, −2) a lo s planos

y

.

Hallar la d is tanc ia d el p unto Q( 5, 5,

3)

al

p lano .

Distancia entre planos paralelos Para c alc ular la dist anc ia e ntr e d os

plan os

par ale los ,

se

halla

la

di s tancia d e un p unto cualq uiera d e u no d e ello s al o tro. Tam b ién s e pued e calc ular d e es ta o tra fo rm a:

Eje mplo C alc ular

la

d is tanc ia

pl ano s

ent re

lo s y

.

Lo s d os p lanos s o n p aralelos . Trans fo rm am o s

la

ec uac ió n

d el

s egund o p lano p ara q ue los do s plano s ten g an el mis m o vec to r no rm al.

Ángulo de dos planos El

ángul o

p l anos

es

ig ual

fo rm ad o al

por

ángulo

dos ag ud o

d ete rm inad o p o r lo s vec to r es no rm ales d e d ic ho s plano s.

D os plano s s o n pe rpe ndic ular e s si

ve ct or e s

or t ogonale s .

Eje mplo

dire c t ore s

so n

Hallar el ángul o q ue fo rm an los p l anos :

Vectores en el espacio

Componentes de un vector en el espacio

Módulo de un vector

Distancia entre dos puntos

Vec t o r u n i t a r i o

Suma de vectores

Producto de un número real por un vector

Vec t o r e s l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s

Vec t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s

Producto escalar

Expresión analítica del módulo de un vector

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Vec t o r e s o rt o go n a l e s

Proyección

Cosenos directores

Producto vectorial

Área del paralelogramo

Área de un triángulo

Producto mixto

Vol u m e n d e l p a r a l e l e p í p e d o

Vol u m e n d e u n t e t r a e d r o

Puntos

Coordenadas del punto medio de un segmento

Coordenadas del baricentro de un triángulo

Puntos alineados

Tres o más puntos esán alineados si están en una misma recta, y por tanto el rango de los vectores determinados por ellos es 1.

Puntos coplanarios

Dos

o

más

vectores

dependientes, y por tanto sus

son

coplanarios

componentes

son

si

son

linealmente

proporcionales

y su

rango es 2.

Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos también son coplanarios.

R e c t a s e n el e s p a c i o

Ecuación vectorial de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuaciones continuas de la recta

Ecuaciones implícitas de la recta

El plano

Ecuación vectorial del plano

Ecuaciones paramétricas del plano

Ecuación general o implícita del plano

Ecuación canónica o segmentaria del plano

Ángulos

Ángulo entre dos rectas

Dos

rectas

son

perpendiculares

ortogonales.

Ángulo entre dos planos

si

vectores

directores

son

Dos

planos

son

perpendiculares

si

vectores

directores

son

ortogonales.

Ángulo entre recta y plano

Si la recta r y el plano π son perpendiculares, el vector director de la r e c t a y e l v e c t o r n o r m a l d e l p l a n o t i e n e n l a m i s m a d i r e c c i ó n y, p o r t a n t o , sus componentes son proporcionales.

Distancias

Distancia entre un punto y una recta

Di stancia entre rectas paral elas

Distancia entre rectas que se cruzan

Sean

y

las determinaciones lineales de las rectas r y s.

Distancia de un punto a un plano

Distancia entre planos paralelos