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• Ivan Carhuamaca Gamboa

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RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA NORMAL EN UN PUNTO Sea f : R → R en una funci´on derivable en x = a. Considerando la interpretaci´on geom´etrica de f 0 (a), se tiene las siguientes definiciones: Definici´ on 5. (Recta tangente) Se llama recta tangente a la grafica de f en el punto P (a; f (a)) a la recta cuya ecuaci´ on es. Definici´ on 6. (Recta normal) La recta que pasa por el punto P (a; f (a)) y que es perpendicular a la recta tangente de la grafica de f en P se llama recta normal la grafica de f en el punto P 1 Si f 0 (a) 6= 0. la ecuaci´ on de la recta normal es PN : y − f (a) = − 1N − f (a) Si f (a) = 0.laecuaciondelasrectasmnormalesLN : x − a = 0 Ejemplo 12. Dada f (x) = x2 − 2x + 3 halle las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la grafica de f en el punto P (2, 3) Soluci´ on la pendiente de la recta tangente es f (2 + h) − f (2) = l´ım (h + 2) = 2 h→0 h→0 h

PN = f 0 (2) = l´ım

luego, las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gr´afica de f en el punto P (2, 3) Lt : y − 3 = 2(x − 2) ⇔ Lt : 2x − y − 1 = 0 1 Ln : y − 3 = − (x − 2) ⇔ Ln : x + 2y − 8 = 0 2 Ejemplo 13. Sea f (x) = 2 − x − x2 Determine la ecuaci´on de la recta tangente y la gr´afica de la f que es paralela a la recta L : x − y − 4 = 0 Soluci´ on f 0 (2) = l´ım

h→0

f (x + h) − f (x) = l´ım (−1 − 2x − h) = −1 − 2x h→0 h

Con la recta L dependiente mL = 1 es paralela a la recta tangente. entonces mt = f (x) = −1 − 2x = mL = 1 de donde se obtiene que x = −1 en el punto de tangencia es P (−1; f (1)) = P (−1; 2) Por consiguiente a la acci´on de la recta tangente es Lt : x − y + 3 = 0.

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Ejemplo 14. Dada f (x) = 2x3 + 3x2 − 36x + 1, determine las ecuaciones de tangentes horizontales a la gr´ afica de f . Soluci´ on La tangente es horizontal si f (x) = 0. Si el lado es f´ acil verificar que f 0 (x) = 6x2 + 6x − 36 = 6(x − 2)(x + 3) f 0 (x) = 0 =⇒ (x − 2)(x + 3) = 0 =⇒ x = 2

W

x = −3

Tanto e los puntos P (2, −43) y Q(−3, 82) las tangentes de f son semejantes y sus ecuaciones son respectivamente: Lt : y = −43 ∧ Lt : y = 82 Ejemplo 15. La resta L es normal a la gr´afica de la f (x) = x2 − 4 en Q(a : f (a)) por el punto P (33, 0). determine Q a la ecuaci´on de L. Soluci´ on f (x) = 2x. La pendiente de Mr de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto Q(a, f (a)) es mr = f 0 (a) = 2a. En otro lado la pendiente de la recta L que pasa por los puntos P (33, 0) y f (a) es ml =

f (a) − 0 a2 − 4 = a − 33 a − 33

Dado en cuenta que l es perpendicular a la Reta Tangente. entonces 1 ⇒ 2a3 − 7a − 33 = 0 ⇒ (a − 3)(2a2 + 6a + 11) = 0 f (a) En consecuencia. a = 3 es la u ´nica ra´ız real de la ecuaci´on. ml =

Q(3, 5) y L : x + 6y − 33 = 0

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´ REGLA DE DERIVACION Teorema 1. Sea f y g dos funciones derivables en xy sea k una constante entonces, las funciones kf, f + g, f − g, f g.

1 f y son derivables en x, y se tiene: g g

D1 : (kf )0 (x) = k[f 0 (x)] D2 : (f ± g)0 (x) = f 0 (x) ± g 0 (x) D3 : (f.g)0 (x) = f 0 (x).g(x) + f (x).g 0 (x)  0 1 g 0 (x) D4 : (x) = − . si g(x) 6= 0 g [g(x)]2  0 1 g(x).f 0 (x) − f (x).g 0 (x) D5 : . si g(x) 6= 0 (x) = g [g(x)]2 Demostraci´ on (Se demostrara que el teorema es valido para x = a.) D1 : (kf )0 (a) = l´ım

x→a

(kf )(x) − (kf )(a) kf (x) − kf (a) = l´ım x→a x−a x−a

f (x) − f (a) = k[f 0 (a)] x→a x−a

= l´ım

D2 Ejercicio. D3 como f y g son derivables en a, entonces son continuas en a. En particular l´ımx→a g(x) = g(a) y f, g(x) − f, g(a) f (x).g(x) − f (a).g(a) = l´ım x→a x−a x−a g(x) − g(a) f (x) − f (a) = l´ım g(x) + f (a) x→a x−a x−a

(f, g)0 (a) = l´ım

x→a

f (a).g(a) + f (a).(a) como y es derivable en a y g(a) = 0. entonces por el teorema de conservaci´on del

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signo existe B(a.r) tal que para todo x ∈ B(a, r) .g(x) se tiene el mismo signo que luego para x ∈ B(a, r) se tiene 1 1 1 1 − ( )(x) − ( )(a) 1 g(x) g(a) g g ( )(a) = l´ım = l´ım x→a x→a g x−a x−a g(x) − g(a) 1 g(a) = l´ım −[ ][ ]=− x→a x−a g(a)g(x) [g(a)]2 f 1 1 f como = f. y f y g son derivables en a entonces y son derivables en a. luego. g g g g

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