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• Ángeles Guido

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4.2 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

4.2.2 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Si la distribución binomial se aplica al muestreo, el muestreo debe realizarse con reemplazo. Esta distribución tiene las siguientes propiedades: 1. El experimento consiste en n intentos repetidos. 2. Los resultados de cada uno de los intentos pueden clasificarse como éxito o como fracaso. La probabilidad de éxito se denota por p y la del fracaso por q. Además estas probabilidades son complementarias; o sea: p + q =1. 3. Las probabilidades de éxito representadas por p, permanecen constantes para todos los intentos. 4. Los intentos repetidos son independientes. 5. La v.a. X representa el # de éxitos en los n ensayos. Definición

Una v.a. X tiene una distribución Binomial, si y solo si, su distribución de probabilidad está dada por: f (x, n, p) =  n   x

p (1 p) x

1 X

, para X = 0,1,2 ,... ,n.

Teorema.

La media y la varianza de la distribución binomial están dadas por:

 = n p,

2 = n p (1-p)

Ejemplo 1 Un examen consta de cuatro preguntas de selección múltiple con tres alternativas donde solo una es la correcta, si X es el número de respuestas correctas, cuando el estudiante esta adivinando. Encontrar la función de probabilidades asociada a la variable. Solución

El estudiante en cada pregunta tiene dos posibilidades: responder correctamente o incorrectamente. Como tiene que responder cuatro de manera independiente es un problema binomial. P(responda correctamente) = 1/3 = p P(responda incorrectamente) = 2/3 = q Utilizando la distribución binomial: n = 4, los valores que puede tomar la variable son: x = {0, 1, 2, 3, 4} Las probabilidades con que la variable toma sus distintos valores serán: P (x = 0, n = 4, p =1/3) = 4C0 ( 1/3 )0 ( 2/3 )4 = 16/81 P (x = 1, n = 4, p =1/3) = 4C1 ( 1/3 )1 ( 2/3 )3 = 32/81 P (x = 2, n = 4, p =1/3) = 4C2 (1/3 ) 2 ( 2/3 )2 = 24/81 p (x = 3, n = 4, p =1/3) = 4C3 ( 1/3 )3 ( 2/3 )1 = 8/81 P (x = 4, n = 4, p = 1/3) = 4C4 ( 1/3 )4 ( 2/3 )0 = 1/81 La función de probabilidad se puede expresar en la siguiente tabla: X f(x)

0 16/81

1

2

32/81

3

24/81

8/81

4 1/81

Cálculo de probabilidades binomiales con el uso de tabla. Las probabilidades de problemas de distribución Binomial, en muchos casos, se pueden responder haciendo uso de la tabla de probabilidades de dicha distribución. Para esto se deben utilizar las propiedades estudiadas en el capitulo anterior de la distribución acumulada, que recordaremos para que las tenga presente: 1) 2) 3) 4) 5)

P(X = n) = F( n ) - F( n - 1) ; n  N P (x  a ) = F (a) P ( a  X  b) = F (b) - F (a) P (X  b ) = 1 - P (x  b ) = 1 - F (b) (complemento) P (X ≥ b ) = 1 - P (x  b ) (otra presentación del complemento

A través del siguiente ejemplo le mostraremos como hacer uso de la tabla. Supongamos que deseamos calcular: P(x = 5, n = 9, p = 0.15) Veamos: La tabla binomial posee la siguiente estructura: p n

x

0.01

0.05

0.10

0.15

0.20…….

0.90

9

0 1 2 3 4 5

0.9944 0.9994

F (4) F (5)

Usando las propiedades, tendríamos: P(x = 5, n = 9, p = 0.15) = F (5) – F (4) Los valores F (5) y F (4) se buscan en la tabla. Para buscar F (5) se procede así: Lo primero que se hace es ubicar en la columna de n el valor correspondiente, n = 9. Luego en columna de X, en los valores paralelos al valor de n, se ubica el valor correspondiente a x = 5. Por ultimo en la horizontal se ubica la probabilidad del éxito p = 0.15 y posteriormente se interceptan la fila y la Columna correspondiente al valor de x y la probabilidad p, obteniendo para este caso: F (5) = 0.9994. (Observar la tabla anterior) De igual forma se procedería para obtener el valor de: F (4). Lo primero que se hace es ubicar en la columna de n el valor correspondiente, n = 9. Luego en columna de X, en los valores paralelos al valor de n, se ubica el valor correspondiente a x = 4. Por ultimo en la horizontal se ubica la probabilidad del éxito p = 0.15 y posteriormente se interceptan la fila y la Columna correspondiente al valor de x y la probabilidad p, obteniendo para este caso: F (4) = 0.9944. (Observar la tabla anterior) Luego: P(x = 5, n = 9, p = 0.15) = F (5) – F (4) = 0.9994 – 0.9944 = 0.0050. Notas: - En algunos casos, las probabilidades de éxito no están en la tabla, entonces se procede a realizar equivalencias con la probabilidad del fracaso para obtener dichas probabilidades. - Las probabilidades de éxito tiene su equivalencia en las probabilidades del fracaso. - En el próximo ejemplo veremos cómo hacer estas equivalencias. Ejemplo 2 Un distribuidor de buses de transporte colectivo ha determinado a partir de la experiencia que el 5% de un lote grande de estos tienen defectos de fabricación en el acabado superficial de la carrocería. Si dicho distribuidor vende los buses en lotes

de 20 y garantiza que el 90% no tiene defectos en la carrocería, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) b) c) d) e)

Exactamente 15 buses no tengan defectos en la carrocería? A lo sumo 4 buses tengan defectos? Más de 7 pero menos de 17 buses no tengan defectos? Un lote no cumpla la garantía? No tengan defectos entre 2 y 17 buses inclusive?

Solución: P(un bus no tenga defecto ) = 0.95 = p P(un bus tenga defecto) = 0.05 = q a) Aquí se pregunta: ¿Cuál es la probabilidad que 15 de 20 buses no tengan defectos? Es lo mismo decir: ¿Cuál es la probabilidad que 5 de 20 buses tengan defectos? Porque: Si 15 de 20 no tienen defecto, 5 tienen. (Por complemento) Entonces como la probabilidad p = 0.95, no esta en la tabla se usa equivalencia: P ( x = 15, n = 20, p = 0.95, )  P ( x = 5 , n = 20, p = 0.05 ) = F ( 5 ) - F ( 4 ) (hacienda uso de propiedad) = 0.9997 - 0.9974 = 0.0023. b) Para esta pregunta se toma q como la probabilidad de éxito, entonces: P ( x  4, n = 20, q = 0.05) = F ( 4 ) (hacienda uso de propiedad) = 0.9974 c) Aquí tendremos que hacer uso de equivalencia para poder dar respuesta a la pregunta. P ( 7 < x < 17, n = 20, p = 0.95 )  P ( 3 < x < 13, n = 20, q = 0.05) = F ( 12 ) - F ( 3 ) [hacienda uso de propiedad: P ( a  X  b) = F (b) - F (a)] = 1 - 0.9841 = 0.0159. Observemos la lógica: En el intervalo de: 7 < x < 17, se afirma que 8 de 20 buses no tienen defecto, en el intervalo equivalente: 3 < x < 13, deberá aparecer que: 12 de 20 buses tienen defecto. Lo cual es correcto. También:

En el intervalo: 7 < x < 17, se afirma que 16 de 20 buses no tienen defecto, en el intervalo equivalente: 3 < x < 13, deberá aparecer que: 4 de 20 buses tienen defecto. Lo cual también es correcto. De igual forma ocurre con todos los valores que toma la variable X en la probabilidad del éxito con la equivalencia en el fracaso. d) Garantía: 90% buses no tienen defecto 20 ( 0.9 ) = 18 10% buses tienen defecto 20 ( 0.1 ) = 2 No se cumpliría la garantía si: más de 2 buses no tienen defecto; es lo mismo decir: que menos de 18 buses tienen defecto. Por lo tanto, podemos resolver con la probabilidad de buses que tienen defecto: P ( x > 2, n = 20, q = 0.05 ) = 1 - P ( x  2 ) = 1 - F (2) = 1 - 0.9245 = 0.0755 e) P ( 2  x  17, 20, 0.95 )  P ( 3  x  18, 20, 0.05 ) = F ( 18 ) - F ( 2 ) = 1 - 0.9245 = 0.0755