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• Marcos Sanabria

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Dinámica-Vibraciones mecánicas Vibraciones libres. Ejercicio 1 Se observa que el periodo de vibración del sistema mostrado es de 0.8s, Si se retira el bloque A, el periodo resulta ser de 0.7s. Determine la masa del bloque C, b) el periodo de vibración cuando se retiran los bloques A y B.

DESARROLLO Sistema 1

𝑇𝑛 = 0.8 = 𝑚1 = 6 + 𝑚𝑐 𝑘

2𝜋

2𝜋

√𝑚 = 0.8 ➔ 6+𝑚𝑐 = (0.8)2 …(a) 1

𝜔𝑛

=

De (1) y (2)

…(2)

𝑘

2𝜋

2𝜋 𝑘

√𝑚

1

…(1)

Sistema 2

𝑇𝑛 = 0.7 =

2𝜋 𝜔𝑛

=

2𝜋 𝑘 √𝑚 2

(3);

𝑚2 = 3 + 𝑚𝑐(4)

De (3) y (4) 𝑘

2𝜋

𝑘

2𝜋

√𝑚 = 0.7➔3+𝑚𝑐 = (0.7)2 …(b) 2

De (a) y (b)

K=K 61,68 ∗ (6 + 𝑚𝑐) = 80,56 ∗ (3 + 𝑚𝑐) 𝑁

𝑚𝑐 = 6.8 𝑘𝑔 En (b) ➔ 𝑘 = 789.6 ( ) 𝑚

Sistema 3

𝑡𝑛3 =

2𝜋 𝜔𝑛

=

2𝜋 𝑘 √𝑚 3

…(5) ;𝑚3 = 𝑚𝑐 …(6)

De (5) y(6) 𝑡𝑛3 = 0.58𝑠

Ejercicios 2 Si h=700 mm, d= 500 mm y cada resorte tiene una constante k=600 N/m, determine la masa m para la cual el periodo de pequeñas oscilaciones es a) de 0.5s, b) infinito. No tome en cuenta la masa de la barra y suponga que cada resorte puede actuar a tensión o a compresión.

DESARROLLO Para pequeñas oscilaciones supone un leve desplazamiento del sistema. a) DCL de la barra AB y la masa m.

Del gráfico:

𝑥 𝑥𝑠

=

ℎ 𝑑

➔ 𝑥𝑠 =

𝑑∗𝑥 ℎ

; 𝐹 = 𝑘𝑥𝑠

𝛴𝑀𝐴 = 𝛴(𝑀𝐴 )𝑒𝑓𝑓 +⤸ 𝑀𝑔𝑥 − 2𝑓𝑑 = 𝑚ẍℎ 𝑀𝑔𝑥 − 2𝑘𝑥𝑠𝑑 = 𝑚ẍℎ 2𝑘𝑑2 (𝑚𝑔 − ) ∗ 𝑥 = 𝑚ẍℎ ℎ 𝑔 2𝑘𝑑 2 ẍ + (− + )∗𝑥 =0 ℎ 𝑚ℎ2 Y sabiendo que: 𝑡𝑛 = 0.5 =

2𝜋 𝜔𝑛

➔𝜔𝑛 =

2𝜋 0.5

2𝜋 2 𝑔 2𝑘𝑑2 ( ) =− + 0.5 ℎ 𝑚ℎ2 𝑚 = 3.58 𝑘𝑔 b) 𝑡𝑛 = 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜➔ 𝜔𝑛 = 0 𝑔

2𝑘𝑑2

ℎ

𝑚ℎ2

− +

= 0➔ 𝑚 = 43.73 𝑘𝑔

Ejercicio 3

Una banda se coloca alrededor del aro de un volante de 500 lb y se una en la forma mostrada a dos resortes, cada uno de constante k = 85 lb/pul. Si el extremo C de la banda se jala 1.5 pul hacia abajo y se suelta, puede observarse que el periodo de vibración del volante es de 0.5 s. Si la tensión inicial en la banda es suficiente para

evitar el deslizamiento, determine a) la velocidad angular máxima del volante, b) el radio de giro centroidal de volante.

DESARROLLO a) 𝑟=

18 12

𝜔𝑛 =

𝑓𝑡 ; 𝑠 =

1.5 12

𝑓𝑡 ; 𝑘 = 85 ∗ 12

𝑙𝑏 𝑓𝑡

; 𝑤 = 500 𝑙𝑏

2𝜋 2𝜋

= =4 𝜋

𝑡𝑛 0.5

;

DCL volante

𝛴

𝑀𝑜 = 𝛴(𝑀𝑜 )𝑒𝑓𝑓 2𝑓𝑟 = 𝐼𝛼 2𝑘𝑠𝑟 = 𝑚ρ2 𝛼

𝑓 = 𝑘 ∗ 𝑠 ; 𝑠 = −𝜃 ∗ 𝑟

−2𝑘𝑟 2 𝜃 = 𝑚ρ2 Ӫ Ӫ+

2𝑘𝑟 2 𝑚ρ2

∗𝜃 =0

➔

2𝑘𝑟 2 𝑚ρ2

= (4 𝜋)2

ρ = 1.37 ft 𝑠

1.5

𝑟

18

Ȯ𝑚𝑎𝑥 = Ȯ𝑚 ∗ 𝜔𝑛 ; Ȯ𝑚 = =

Ȯ𝑚𝑎𝑥 = 1.05 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Ejercicio 4 La barra uniforme AB de 8 kg se articula en C y está unida en A a un resorte de constante K= 500 N/m. Si el extremo A tiene un pequeño desplazamiento y se suelta, determine a) la frecuencia de las oscilaciones pequeñas y b) el valor mínimo de la constante del resorte para la cual ocurrirán las oscilaciones.

DESARROLLO

DCL barra AB

Del grafico: 𝑥𝑟 = 0.165 ∗ 𝜃 ; 𝑥 = 0.04 ∗ 𝜃 𝑓𝑠 = 𝑘 ∗ 𝑥𝑟 ; 𝑎𝑡 = 0.04 ∗ 𝛼 𝛴𝑀𝐶 = 𝛴(𝑀𝐶 )𝑒𝑓𝑓 ⤹ + 𝑀𝑔𝑥 − 𝑓 ∗ 0.165 = 𝐼 ∗ 𝛼 + 𝑚𝑎𝑡 ∗ 0.04 𝑚𝑔 ∗ 0.04 ∗ 𝜃 - 𝑘 ∗ 𝑥𝑟 ∗ 0.165 =

1 12

𝑚𝐿2 ∗ 𝛼 + 𝑚0.042 ∗ 𝛼

1

𝑚𝑔 ∗ 0.04 ∗ 𝜃 − 𝑘 ∗ 0.1652 ∗ 𝜃= 𝑚 ∗ 0.252 ∗ Ӫ + 𝑚 ∗ 0.042 ∗ Ӫ 12

𝑘∗0.1652 −𝑚𝑔∗0.04

Ӫ+𝜃∗(

𝑚∗0.252 12

+𝑚∗0.042

)=0

𝑘 ∗ 0.1652 − 𝑚𝑔 ∗ 0.04

𝜔𝑛 = √ 𝑚 ∗ 0.252 12

= 13.87 𝑟𝑎𝑑/𝑠

+ 𝑚 ∗ 0.042

𝑓𝑛 = 2𝜋 ∗ 𝜔𝑛 =2.2 Hz b)cuando ya no hay oscilaciones 𝑡𝑛 = 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜➔𝜔𝑛 = 0 𝑘 ∗ 0.1652 − 𝑚𝑔 ∗ 0.04 = 0➔k = 115.18 N/m Aux. Martin Castillo