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• Luigi Garcia Cueva

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Diferencia finita De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.

Contenido [ocultar] • 1 Diferencias anterior, posterior y central • 2 Relación con las derivadas •

3 Cálculo de diferencias finitas

•

4 Derivadas de órdenes mayores

•

5 Métodos de diferencias finitas

•

6 Véase también

•

7 Referencias

•

8 Bibliografía complementaria

Diferencias anterior, posterior y central [editar] Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central. Una diferencia adelantada o posterior es una expresión de la forma

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el limite h → 0. Una diferencia atrasada o anterior se obtiene de la anterior reemplazando h por −h:

Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por

Relación con las derivadas [editar] La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite

Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha es

Por lo tanto, la diferencia anterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es

La misma fórmula es válida en la diferencia posterior:

Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).

Cálculo de diferencias finitas [editar] La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder f con su derivada f'. Formalmente, invirtiendo la exponencial

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más aproximadas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:

El error de la aproximación es del orden de h2. Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son

Derivadas de órdenes mayores [editar] De forma análoga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. Por ejemplo usando la fórmula de la diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado de h / 2 para f'(x + h / 2) y f'(x − h / 2) y aplicando la fórmula de diferencia central a la derivada de f' en x, obtenemos la aproximación de la diferencia central de la segunda derivada de f:

Métodos de diferencias finitas [editar] Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico, especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias, ecuaciones en diferencias y ecuación en derivadas parciales. Los métodos resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas. Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de fluidos.

Véase también [editar] • •

cociente diferencial Serie de Newton

•

Teorema de Taylor

•

Transformación binomial

•

Fórmula de Faulhaber

•

Derivación Numérica

Referencias [editar] • •

William F. Ames, Numerical Method for Partial Differential Equations, Section 1.6. Academic Press, New York, 1977. ISBN 0-12-056760-1. Francis B. Hildebrand, Finite-Difference Equations and Simulations, Section 2.2. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1968.

Bibliografía complementaria [editar] •

Boole, George, A Treatise On The Calculus of Finite Differences, 2ª Ed., Macmillan and Company, 1872. [También: Edición Dover de 1960].

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