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• Diego Vinueza A

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SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD Existen sistemas dinámicos que tienen más de una masa y una coordenada única no es suficiente para describir el movimiento. En lugar de una condición de resonancia se encuentran varias.

VIBRACIÓN LIBRE EN UN SISTEMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD Analizando el siguiente sistema de dos masas, obtendremos un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.

MATRIZ DE MASA

MATRIZ DE RIGIDES

SI SE SUPONE QUE EL MOVIMIENTO SE REALIZA EN UN MODO PRINCIPAL, AMBAS COORDENADAS GENERALIZADAS TENDRAN AUN MOVIMIENTO ARMONICO DE LA MISMA FRECUENCIA Combinación lineal de dos movimientos armónicos, cada uno de ellos con una frecuencia natural

Sustituyendo estas expresiones armónicas en las ecuaciones de movimiento, tendremos dos ecuaciones algebraicas con X1, X2, y 2 como incógnitas. Para encontrar el comportamiento de la fracción modal se dividen ambas ecuaciones

En cada ecuación la fracción modal X2 / X1, que determina la forma del movimiento y puede ser expresada de la siguiente forma: FRACCION MODAL

Multiplicando en cruz, obtendremos una cuadrática en 2 denominada la ecuación de frecuencias: ECUACION DE FRECUENCIA O CARACTERÍSTICA PORQUE SU SOLUCIÓN PRODUCE LAS FRECUENCIAS O VALORES CARACTERISTICOS DEL SISTEMA

Para ejemplificar mejor, vamos a suponer que las masas y resortes son iguales, de tal forma que obtenemos:

Resolviendo se obtienen las dos frecuencias naturales

Sustituyendo estas frecuencias en las ecuaciones de los modos obtenemos la fracción modal para el primer modo y la fracción modal para el segundo modo PRIMER MODO

SEGUNDO MODO

1 significa que X2 y X1 son iguales es decir ambas masas vibrarían en una sola dirección, mientras que el segundo modo –1, significa que los desplazamientos son iguales, pero se encuentran fuera de fase, es decir vibran en sentidos opuestos.

REPRESENTACION ESQUEMATICA DEL COMPORTAMIENTO DE LA VIBRACION SEGÚN LOS MODOS

las amplitudes de las dos masas no cambian. Esto implica que la longitud de resorte medio permanezca constante. Por lo tanto, los movimientos de m1 y m2 están en fase. Es decir, el muelle central no se deforma, y las masas se mueven como si estuvieran solidarias una a la otra. Puede comprobarse que la frecuencia ,ω1, del movimiento es la misma que se obtendría con un sistema con masa igual a la suma de las dos (2m) y rigidez igual a la de los muelles primero y tercero del sistema (2k). los desplazamientos de las dos masas tienen la misma magnitud con signos opuestos. Por lo tanto, los movimientos de m1 y m2 están desfasados 180° Es decir, el movimiento es simétrico al centro del sistema, actuando el centro del muelle central como un punto fijo. En ese caso, el movimiento de cada masa es igual al que se produciría si el punto medio fuera un punto de fijación del muelle central. Puede comprobarse que la frecuencia, ω2, del movimiento es la misma que se obtendría con un sistema con masa igual m y rigidez igual 3k. El punto medio del resorte medio permanece estacionario todo el tiempo t. Tal punto se denomina nodo.

Es importante determinar la naturaleza de la vibración, así que vamos a considerar que la masa m1 es desplazada 10 mm y se libera en un tiempo t = 0. La segunda masa m2, también se libera, pero no se desplaza. Los modos normales expresados en forma matricial

Los desplazamientos x1(t) y x2(t) observan ambos modos normales en el movimiento de las coordenadas geométricas x1 y x2, como era de esperarse.

Desplazamientos

Velocidades

Reemplazando las condiciones iniciales obtenemos

y la gráfica del movimiento es

Concluimos que el movimiento presenta las dos frecuencias naturales.

VIBRACIÓN ARMONICA FORZADA NO AMORTIGUADA EN UN SISTEMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD En un sistema con dos grados de libertad se tendrá dos condiciones peligrosas de resonancia y las ecuaciones de movimiento serán:

Si la función forzante es armónica F1 (t) = F1 sin ( t), la respuesta será un desplazamiento armónico de la misma frecuencia que la frecuencia forzante.

Sustituyendo en la ecuación diferencial, y expresando estas dos ecuaciones simultaneas en forma matricial

El valor del determinante es la ecuación de frecuencia para el sistema, que se resolvió anteriormente

Para determinar desplazamientos en función de la frecuencia, para este caso vamos a suponer masas y resortes iguales y por lo tanto:

Las respuestas X1 y X2 se muestran en la figura en función de los parámetros sin unidades. Se ve que las amplitudes X1 y X2 se hacen infinitas cuando Por lo tanto, hay dos condiciones de resonancia para el sistema: una en y otra en para los demás valores de las amplitudes de vibración son finitas.

se observa que hay un valor particular de la frecuencia al cual la vibración de la primera masa m1, al que se aplicó la fuerza f1(t), se reduce a cero

Vemos claramente que existe una similitud con el sistema de un grado de libertad excepto por el comportamiento de una banda de frecuencias donde se observa un comportamiento interesante. Existe una frecuencia de funcionamiento en la cual el valor es cero y esta es la base de los absorbentes dinámicos de vibración. Es decir si hacemos 1 =  /  2, la masa m1 no vibrara. Para X2 tenemos:

El comportamiento grafico de la función sería:

Esta característica forma la base del absorbente dinámico de vibración

ABSORBENTES DINAMICOS DE VIBRACIÓN El absorbente dinámico de vibración es un dispositivo que se usa para disminuir o eliminar la vibración mecánica indeseada, se utiliza en motores reciprocantes de combustión interna grandes, en maquinaria reciprocarte sincrónica y en los sistemas de líneas de transmisión de alto voltaje se puede apreciar unos dispositivos en forma de péndulo horizontal que son absorbentes dinámicos para mitigar el efecto de la vibración inducida por el viento.

Las ecuaciones de movimiento para la masa principal y para el absorbente son: En forma matricial: Las amplitudes X1 y X2 son

• 112 = k1 / m1, la frecuencia natural de sólo el sistema principal • 222 = k2 / m2, la frecuencia natural de solo el sistema absorbente •  = m2 / m1, la relación de masas •  = 22 / 11, la relación de frecuencias • k2 / k1 = 2 

Simplificando

Usando las siguientes sustituciones simplificamos la relación:

SUPOSICION Para graficar los desplazamientos relativos, supondremos la relación de masas  es 1/10, puesto que un absorbente que se parezca al sistema original no es una buena solución. Y 11 = 22.

ABSORBENTE

Para terminar haremos un experimento en el programa WM2D En el primer grafico tiene un sistema masa resorte al cual esta sometido a una fuerza armónica de frecuencia igual a la frecuencia natural del sistema, en el lado derecho el mismo grafico añadido un absorbente dinámico de frecuencia natural igual a la frecuencia forzante pero de ¼ de la masa. Al activar el software vemos que efectivamente, mientras la primera masa entra en resonancia la otra apenas vibra

SIATEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD VIBRACION LIBRE AMORTIGUADA Dividiendo por m

Matriz de amortiguación

Para hacer el análisis modal de forma directa se expresa la matriz C como una combinación lineal de la matriz de masa y rigidez Donde Son constantes, dando lugar a la forma de amortiguamiento “proporcional”

SISTEMA VIBRATORIO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD FORZADO AMORTIGUADO