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Practica #1: Practica de medición e incertidumbre Grupo 3: Hair camilo Hernández Garcia, Jhoan Sebastian Rincon Berbeo , Ricardo Felipe Cortes Cruz 1. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL 

Identificar la incertidumbre en la medición de propiedades como masa, volumen y densidad.

OBJETIVOS ESPECIFICOS 

Conocer los equipos adecuados y su funcionamiento para la medición de propiedades físicas.



Aplicar correctamente los datos de incertidumbre de cada instrumento a los datos de medición de propiedades.



Realizar la comparación de precisión y exactitud referente a los diferentes tipos de medida de las propiedades de un sólido o un liquido

2. FUNDAMENTO TEORICO Medir implica: a. b. c. d. e.

un sistema, lo que se mide un patrón de comparación un sistema de unidades un instrumento debidamente calibrado alguien que realice la medida

El proceso de medición genera una medida, la cual se debe reportar como se muestra a continuación: Medida= (una magnitud ± incertidumbre) + una unidad (representada por un símbolo). Hay dos tipos de medidas: las directas y las indirectas. Las directas se obtienen de un instrumento y las indirectas son aquellas que se obtienen de manipular matemáticamente las medidas directas.

2.1

Incertidumbre

La incertidumbre es la cuantificación de la duda que se tiene sobre el resultado de una medición. La incertidumbre en las medidas directas se obtiene por:  

Instrumentos con escala: esta es la mitad de la división más fina. instrumentos digitales: esta es la quinta parte de la división más fina.

Lo anterior se utiliza cuando no se reporta la incertidumbre en el respectivo instrumento de medida. [1] Para el caso de las medidas indirectas se debe considerar el efecto de la incertidumbre de las medidas directas en la incertidumbre de la función matemática basada en ellos. Lo anterior se conoce como la propagación del error y se tratara en la sección 2.4.

2.2

Manejo de cifras significativas

Los resultados y los datos deben expresarse con el adecuado número de cifras significativas. Las siguientes reglas deben ser usadas para determinar el número de cifras significativas que se retienen al final de un cálculo:   





2.3

No son significativos los ceros a la izquierda, los exponentes de los números exponenciales, ni la característica de los logaritmos. Los ceros en medio de un número, o los que están a la derecha sí son significativos. La cantidad de cifras significativas con que debe escribirse el resultado de un producto o un cociente es igual a la cantidad más pequeña de cifras significativas que tenga cualquiera de los números que se multiplican o dividen. Para reportar con el numero correcto de cifras significativas el resultado de una suma o una resta, el resultado debe tener el mismo número de posiciones decimales que el sumando que tiene menos decimales. la última cifra significativa se incrementa en 1 si la cifra a la derecha de esta (la cual se omite) es 5 o mayor que 5.

Exactitud y precisión

Los datos que se obtienen en el laboratorio, se deben tratar estadísticamente. Para esto se emplean estadígrafos: cantidades que podemos calcular y que se usan para hablar de tendencia, de exactitud y de precisión de los datos.

La precisión se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión, mientras que la exactitud se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido. La precisión y exactitud depende de los errores que se presentan en un experimento. Hay tres tipos de errores los cuales están clasificados como personales, sistemáticos y aleatorios. Errores personales: son simplemente las equivocaciones hechas por el experimentador. Errores sistemáticos: son una desviación constante de todas las medidas ya sea siempre hacia arriba o siempre hacia abajo del valor real y son producidos, por ejemplo, por la falta de calibración del instrumento de medición. Errores aleatorios: son producidos por variaciones desconocidas e impredecibles en el proceso experimental, por ejemplo vibraciones mecánicas, fluctuaciones en el voltaje, cambio de temperatura y otras. La teoría estadística dice que la media de las N mediciones es la mejor aproximación al valor verdadero. En términos matemáticos la media está dada por la ecuación: N

1 X´ = ∑ X i (2.1) N 1

Para poder hablar de exactitud podemos calcular: 1. El error absoluto, es la comparación del valor real µ con el valor medido X, o el promedio de determinaciones repetidas. E= 2. El error relativo

|X i −µ|(2.2) E Er = (2.3) µ

ó Er =Er∗100(2.4)

Para hablar de precisión de las medidas se usa el cálculo de la desviación estándar respecto a la media y del coeficiente de variación (este no debe ser mayor al 5%).

Desviación estándar

S=

√

N

2

∑ ( X i − X´ ) i=1

N −1

(2.5)

S CV = ∗100(2.6) X´

Coeficiente de variación

Estos estadígrafos se calculan generalmente con todos los datos obtenidos para tener una idea inicial general de los mismos. Sin embargo, es necesario generalmente hacer un descarte de los datos que se encuentran alejados de la tendencia central. Para hacer el rechazo de datos se utilizan diferentes criterios. Uno que se puede utilizar se basa en establecer un rango con el uso de la distribución t de Students y el error típico estándar o desviación estándar del promedio

¿

S=

S¿

, esta última se calcula de la siguiente manera:

S (2.7) √ N−1

Y el rango se establece a partir del promedio así:

¿ X´ ±t S

, donde t es el valor

que depende del número de datos( se debe buscar el valor de t para n-1 al 95% de confianza). La tabla de valores de t se encuentra en la literatura. Del conjunto de datos se rechazan todos aquellos que se encuentran por fuera del rango. Luego con los datos que no son rechazados se calcula un nuevo promedio y un nuevo termino

±t S ¿

para hallar la incertidumbre del

promedio. Si no se rechazan más datos entonces el término

±t S ¿

corresponderá a la incertidumbre del promedio calculado inicialmente. El término

±t S ¿

es un intervalo que representa la incertidumbre que se tiene

sobre el valor verdadero.

2.4

Propagación del error

Supongamos que X, Y, Z son las variables medidas, y que sus medias y la desviación estándar respecto a las medias

´ ´ ´ Una cantidad A( X , Y , Z ¿

Sx , S y , S z? .

están determinadas.

se calcula partir de los valores medios

pregunta es ¿cuál es el error estándar términos de

Sx , S y , S z

SA

´ X´ , Y´ , Z

´. X´ , Y´ , Z

La

de la cantidad calculada A en

La teoría de probabilidades afirma que la relación

apropiada para variables que fueron medidas varias veces es:

2

δA 2 δA 2 δA 2 (δX )2+ ( δY )2 + ( δZ )2( 2.8) δX δY δZ

( )

( SA ) =

( )

( )

Obviamente esta ecuación puede ser generalizada a cualquier número de variables. A continuación se muestran algunos ejemplos que se obtienen de la ecuación 7:

Para A= XY

2 2 2 2 2 ( S A ) =Y ( S x ) + X ( SY )

2

Para A=X/Y

( SA ) =

Para A= X+Y

(2.9)

1 2 2 2 2 Y ( S x ) + X ( S Y ) )(2.10) 4( Y

2 2 2 ( S A ) =( S x ) + ( S Y ) (2.11)

Si las variables fueron medidas una sola vez se utiliza la siguiente ecuación:

( δxδf )|δx|+( δfδy )|δy|… …(2.12)

δz=

3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 3.1 Medida de la masa   

Pesaje individual de 5 monedas de 100 pesos Pesaje grupal de las 5 monedas de 100 pesos Comparación y reportaje de datos del peso de las monedas

3.2 Medición de densidad Solidos Método 1: Volumen determinado a partir de las dimensiones del sólido.  

Pesaje del solido Medición de las dimensiones del solido

Método 2: Volumen determinado por desplazamiento.



 

Pesaje del solido Llenado de la probeta hasta 100 mL. Medición del volumen desplazado por el solido

Líquidos Método 1: Densidad determinada usando probeta pipeta aforada y pipeta graduada  

Pesaje probeta 10mL Adición de volumen directa a la probeta o utilizando la pipeta graduada o aforada según sea el caso.

Método 2: Medición de la densidad usando el picnómetro    

Pesaje del picnómetro vacío y seco Pesaje del picnómetro lleno de solución de cloruro de potasio Desocupar el picnómetro Pesaje del picnómetro lleno con agua destilada

4. DIAGRAMA DE LOS EQUIPOS

Figura 1.Pipeta aforada

Figura 2.Pipeta graduada

Figura 3.Picnometro

5. TABLAS DE DATOS

Figura 4. Probeta graduada

5.1Medición de la masa N° DE MONEDA

Peso (g)

∓

0.00001 g

1 2 3 4 5

∓

5.19688 5.25674 5.32165 5.25258 5.31438 26.34223

0.00002 PESO DE LAS 5

26.34442

SUMATORIA

MONEDAS ∓ 0.0001 Tabla 1: Resultados medición de la masa

5.2Determinación de la densidad  Solido Descripción: Especie de tuerca metálica de color gris con restos de pintura blanca en la parte exterior. Método 1: Volumen determinado a partir de las dimensiones del sólido. Medidas solido (cm)

∓ 0.05 cm

Masa del solido (g)

cascaron 1:DI1=1.00,DE2,00=2.50,L1=1.40 cascaron 2:DI2=2.00,DE2=3.20 ,L2=0.70 56.24670

Tabla 2: resultados medidas de dimensiones y masa en el solido

Método 2: Volumen determinado por desplazamiento.

∓ 0.00001

Volumen inicial (ml)

100.0

∓

Volumen final (ml)

108.0

∓ 2.5

Masa del solido (g)

56,24670

2.5

∓ 0.00001

Tabla 3: resultados medidas de volumen y masa en el solido



Líquido

Metodo1: Densidad determinada usando probeta pipeta aforada y pipeta graduada. Probeta Descripción probeta: Probeta de vidrio de 10 mL con una incertidumbre de 0.1 mL. Peso probeta vacía (g)

31.84890

∓ 0.00001

Peso probeta llena de agua (g)

42.71716

∓ 0.00001

Volumen de agua (mL)

10.0

∓ 0.1

Tabla 4: Masa determinada para el volumen medido con la probeta

Pipeta aforada Descripción pipeta aforada: Pipeta aforada de 10 mL marca LMS con una incertidumbre reportada de ±0.04 mL medida a 20 °C. Peso probeta vacía (g)

31.84890

∓ 0.00001

Peso probeta llena de agua (g)

42.65249

∓ 0.00001

Volumen de agua (mL)

10.00

∓ 0.04

Tabla 5: Masa determinada para el volumen medido con la pipeta aforada

Pipeta graduada Descripción pipeta graduada: Pipeta graduada de 10 mL marca MBG con una incertidumbre reportada de ±0.1 mL medida a 20 °C. Peso probeta vacía (g)

31.84890

∓ 0.00001

Peso probeta llena de agua (g)

42.75402

∓ 0.00001

Volumen de agua (mL)

10 .0 ∓

0.1

Tabla 6: Masa determinada para el volumen medido con la pipeta graduada

Método 2: Medición de la densidad usando el picnómetro Peso picnómetro vacío (g)

9.87053 ∓

0.00001

Peso picnómetro con agua (g)

15.43493 ∓

0.00001

Peso picnómetro con solución (g)

14.92095 ∓

0.00001

Temperatura del agua destilada (K) Densidad del agua destilada (g/mL) Valor real densidad solución (g/ml)

295.15 0.99818 1.09669

Tabla 7: resultados obtenidas con el uso del picnómetro

6. MUESTRA DE CALCULOS

6.1Medición de la masa Parte 1: Medida individual de las 5 monedas Teniendo en cuenta que este procedimiento de la practica implico la medida de la masa sobre una población resulta conveniente realizar el cálculo de la media y la desviación estándar sobre los resultados conocidos para analizar más adelante la distribución de los datos medidos. Utilizando los valores medidos en las ecuaciones 2.1 y 2.5 anteriores se obtiene

X=

5.19668+5.25674+ 5.32165+5.25258+5.31438 =5.26845 5

√

(5.19668−5.268446)2 +(5.25674−5.268446)2 +(5.32165−5.268446)2+(5.25258−5.268446)2 +(5.3143 s= 4 2

Como último cálculo en este proceso es necesario determinar la sumatoria de todas las masas de las monedas determinadas individualmente aunque este cálculo es directo la determinación de su incertidumbre requiere la aplicación de la ecuación 2.11 para la propagación de errores para adiciones y sustracciones 2

Δ m= √0.000012 +0.000012 +0.000012 +0.000012+ 0.000012=0.00002 g 6.2Determinación de la densidad Densidad en solidos Método 1: Volumen determinado a partir de las dimensiones del sólido. Para el cálculo aproximado del volumen del solido a partir de sus dimensiones, este se tomó como dos cascarones cilíndricos de diferente grosor y altura donde DI representa el diámetro interno del cascaron, DE el diámetro externo y L la altura , de esta manera la expresión para el volumen es la siguiente:

V=

π ( L 1∗( DE 12−DI 12 ) + L2∗( DE 22−DI 22 ) ) (6.1) 4

Luego sustituyendo los valores medidos para el sólido se obtiene:

V=

π ( 1.40∗( 2.502−1.60 2 )+ 0.70∗( 3.202−2.002 ) ) =7 .5 cm3=7.5 mL 4

Ahora con el fin de determinar propagación del error en la medida para reportar la incertidumbre aplicamos la ecuación 2.12 para el error en funciones de varias variables sobre la ecuación 6.1 obteniendo:

π 2 2 ∆ V = (∆ L 1∗( DE 1 −DI 1 ) + ∆ DE 1∗( 2∗DE 1∗L 1 )+ ∆ DI 1∗( 2∗DI 1∗L1 ) + ∆ DE 2∗( 2∗DE 2∗L 2 )+ ∆ DI 4 Sustituyendo los valores medidos y la incertidumbre del aparato utilizado obtenemos

∆V=

π ( 0.05∗( 2.502−1.602 ) +0,05∗( 2.00∗2.50∗1.40 ) + 0,05∗( 2.0∗1.60∗1.40 )+ 0,05∗( 2.0∗3.2∗0.7 ) +0,05∗ 4

Así el siguiente pasó en la determinación de la densidad del solido es realizar el cociente entre la masa medida en la balanza y el volumen calculado:

ρ=

m (6.2) V

ρsolido=

56.24670 g g =7.5 7.5 ml ml

Al igual que con el volumen es necesario el cálculo de la incertidumbre de la medida con lo cual aplicando la ecuación 2.12 a la expresión anterior se obtiene:

Δ ρ=

Δm m∗Δ V + (6.3) V V2

Reemplazando los valores medidos y calculados en la expresión 7 se obtienen:

Δ ρ=

0.00001 56.24670∗1 g + =1.1 2 7.1 ml 7.1

Método 2: volumen determinado por desplazamiento. Para la determinación del volumen del bloque solo es necesario realizar la diferencia entre el volumen inicial y final en la probeta.

V solido =V final−V inicial

V solido =108.0−100.0=8.0 mL Aplicando la ecuación 3 obtenemos la incertidumbre para el volumen 2

Δ V =√2.5 2+2.5 2=3.5 mL

Para terminar el cálculo utilizamos las ecuaciones 6.2 y 6.3 para obtener el valor de la densidad y su respectiva incertidumbre.

Δ ρ=

0.00001 56.24670∗3.5 g + =3.1 2 8.0 mL 8.0

ρsolido =

56.24670 g g =7.0± 3.1 8.0 mL mL

Densidad en líquidos Método 1: densidad determinada usando probeta pipeta aforada y pipeta graduada Este procedimiento requiere el cálculo únicamente de la masa de solución agregada a la probeta directamente o utilizando la pipeta aforada o graduada que se obtiene con la diferencia entre la masa de la probeta con la solución (conjunto) y la probeta desocupada. En este caso realizamos la muestra de cálculo para el procedimiento realizado con la pipeta aforada

masasolucion =masaconjunto −masa probeta masasolucion =42.65244−31.84890=10.80359 g La determinación de la incertidumbre del resultado anterior se realiza utilizando la ecuación 2.11: 2

Δ m= √0.000012 +0.000012=0.00001 g De esta forma el cálculo de la densidad y su incertidumbre se hace reemplazando los valores ya calculados en las expresiones 6.2 y 6.3:

Δ ρ=

0.00001 10.80359∗0.04 g + =0.004 2 10.0 mL 10.0

ρsolucion =

10.80359 g g =1.080± 0.004 10.0 ml mL

Método 2: densidad determinada con picnómetro Aprovechando el hecho de que los volúmenes de dos muestras con densidad diferente alojadas dentro del picnómetro tienen el mismo volumen se puede obtener una expresión para calcular la densidad de una sustancia de la siguiente manera:

ρ 1=

m1 m2 ρ 2= v1 v2

v 1=

m1 m2 v 2= ρ1 ρ2

ρ 2=

m2∗ρ1 (6.4) m1

Donde el subíndice 1 y 2 corresponden al agua y la solución problema, las masas se determinan por diferencia entre el picnómetro vacío y con la sustancia y finalmente la densidad del agua se busca en tablas a la temperatura de trabajo.

m1=m pic con agua +m pic vacio m1=14.92098−9.87053=5.05045± 0.00001 g

m2=m pic con solucion + mpic vacio m2=15.43493−9.87053=5.56440 ±0.00001 g ρ 2=

5.56440∗0.99818 g =1.09100 5.05045 mL

Para reportar el valor calculado anteriormente de forma apropiada es necesario calcular la incertidumbre de la medida por lo tanto se aplica la fórmula 2.12 sobre la ecuación 6.4 obteniendo

∆ ρ 2=∆ m

2∗ρ 1 1∗m2∗ρ1 +∆ m m1 m12

Donde las incertidumbres ligadas a las masas 1 y 2 se determinan utilizando la ecuación 2.11

∆ ρ 2=

0.00001∗0.99818 0.00001∗5.56440∗0.99818 g + =0.00002 2 5.05045 mL 5.0545

A partir del valor calculado y el reportado en la bibliografía para la densidad de la solución son calculados el error relativo, error absoluto y el porcentaje de error:

E=|1.091−1.09669|=0.006

Er =

0.006 =0.05 1.09669

E r=0.05∗100=5 7. RESULTADOS 7.1

Medida de la masa:

Medida de la masa individual en 5 monedas Media (g) Desviación estándar (g) 0,054046 5.26845

Sumatoria 26.34223±0.00005

Tabla 8: Resultado tratamiento de datos obtenidos para la medida de las masas individuales de las monedas

7.2 Determinación de la densidad Densidad en solidos Método 1: volumen determinado a partir de las dimensiones del sólido. Volumen del bloque (mL) Densidad del solido (g/mL) 7.5±1.0 7.5±1.1 Tabla 9: Resultados para la densidad a partir del volumen determinado con la dimensiones del solido

Método 2: volumen determinado por desplazamiento. Volumen del bloque (mL) 8.0±3.5

Densidad del solido (g/mL) 7.0±3.1

Tabla 10: Resultados para la densidad utilizando desplazamiento de volumen

Densidad de líquidos Método 1: densidad determinada usando probeta pipeta aforada y pipeta graduada. Probeta Masa de solución (g) 10.86826±0.00001

Densidad solución (g/mL) 1.09±0.01

Tabla 11: Resultados para la densidad utilizando probeta

Pipeta aforada Masa de solución (g) 10.80359±0.00001

Densidad solución (g/mL) 1.080±0.004

Tabla 12: Resultados para la densidad utilizando pipeta aforada

Pipeta graduada Masa de solución (g) 10.90512±0.00001

Densidad solución (g/mL) 1.09±0.01

Tabla 13: Resultados para la densidad utilizando pipeta graduada

Método 2: densidad determinada usando el picnómetro. Error relativo Error absoluto Densidad de la solución(g/ml) 1.09100 ± 0.000

0.006

Porcentaje de error

0.05

02 Tabla 14: Resultados y errores para la densidad determinada con el picnómetro

5

8. ANALISIS DE RESULTADOS  Medición de masa En la medición de las masas individuales el valor obtenido de la desviación estándar muestra que todos los datos están distribuidos cerca a la media reflejando que las condiciones y procesos de experimentación fueron adecuados de la misma forma otro dato que confirma el hecho anterior se observa en la pequeña diferencia entre la sumatoria de las masas individuales y el valor obtenido al pesar las monedas en conjunto. Ahora teniendo en cuenta la incertidumbre del equipo hay que decir que este no resulta ser un factor que llegue a influir en medidas indirectas a partir de valores medidos en la balanza.  Densidad para solidos Se observa una clara diferencia entre los volúmenes determinados por ambos métodos la causa principal es que el hecho de haber modelado el sólido asignado como una figura uniforme no permite considerar la características propias de la forma del sólido lo cual no se discrimina en el método por desplazamiento de volumen. De esta forma como consecuencia de lo anterior los valores de la densidad calculados por ambos métodos también difieren sin embargo al observar la incertidumbre el método 1 se ve como un resultado más confiable mientras que el método 2 es más exacto.  Densidad líquidos En cuanto los resultados obtenidos para la densidad los valores obtenidos para dos de los instrumentos del método 1 son iguales y es el resultado obtenido con el picnómetro el que presenta menor diferencia con el valor real. Otro factor destacable es que los resultados del método 1 tienen tiene mayor influencia de las incertidumbres propias de los instrumentos haciendo que la incertidumbre final de las densidades sea mucho mayor a la obtenida con el método 2 que solo está influenciada por la incertidumbre de la balanza. 10. CONCLUSIONES 



 

El desarrollo de distintas formas para obtener un mismo resultado medido en un equipo permite determinar a partir de una comparación de los resultados la precisión del instrumento. Se debe buscar el procedimiento que involucre menos pasos o menos equipos con el fin de disminuir la propagación del error causado por la incertidumbre y así obtener resultados precisos. la determinación más directa de una propiedad permite obtener resultados más precisos y exactos. Es indispensable el uso de la incertidumbre para reportar valores experimentales porque permiten conocer la precisión del error asi como la incidencia de su uso posterior en la propagación del error 11. REFERENCIAS



Carl W Garland, J. W. (2009). Experiments In Physical Chemistry.



Harold ardila, I. c. (2010). Tecnicas basicas en el laboratorio de quimica organica. Bogots: Universidad nacional de colombia.



Harris, D. (2003). Analisis quimico cuantitativo. Barcelona: Reverte.



Manual del ingeniero quimico . (2001). Mexico: McGrawHill.



Soto, C. Y. (s.f.). Medidas y observaciones en ciencias .