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ESTIMACION DE LA INCERTIDUMBRE DE LAS CALIBRACIONES QUE REALIZA EL LPC Fecha revisión: 2004-03-10 Fecha de aprobación: 2004-04-20

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ESTIMACION DE LA INCERTIDUMBRE DE LAS CALIBRACIONES QUE REALIZA EL LPC

Elaborado por: Fis. René Chanchay Revisado por: Fis. Manuel Salazar Aprobado por: Ing. Arturo Arévalo LPC FA 00 - 0

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INDICE 1. OBJETIVO 2. ALCANCE 3. REFERENCIAS 3.1. Documentos utilizados en la elaboración de este documento 4. GENERALES 4.1. Antecedentes 4.2. Introducción 5. DESCRIPCIÓN 5.1 Modelo Matemático de la medición 5.2 Símbolos 5.3 Incertidumbre combinada 5.3.1 Incertidumbre tipo A 5.3.2 Incertidumbre tipo B 5.4 Factor de cobertura k 5.4.1 Número de grados de libertad de la medición 5.5 Factor de cobertura k=2

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1. OBJETIVO: Este documento da las expresiones para la estimación de la incertidumbre de calibración de las calibraciones mas frecuentes en el LPC. 2. ALCANCE:

Este documento es aplicable a todos los procedimientos de calibración que realiza el LPC.

3. REFERENCIAS: 3.1. Documentos utilizados en la elaboración de este documento:


LPC PA 01, Procedimiento para la elaboración, actualización y aprobación de documentos.




ISO, Guide to the expression of uncertainty in measurement, 1995.




Barry N. Taylor and Chris E. Kuyatt, Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Result, 1993.

4. GENERALES: 4.1 Antecedentes El Laboratorio Nacional de Metrología del INEN, con el objeto de brindar servicios de calibración adecuados a las exigencias del consumidor de metrología en el país y mantener el prestigio y credibilidad de sus mediciones en el ámbito internacional, pone a su consideración los diferentes modelos de medición y estimación de incertidumbres que utiliza para la calibración de los instrumentos y equipos que mas frecuentemente se ensayan. 4.2 Introducción Cuando se reporta el resultado de la medición de una cantidad física, es obligación dar alguna indicación cuantitativa de la calidad del resultado de manera que el uso de este resultado sea confiable. Sin tal indicación, el resultado no puede compararse con valores de referencia dados en una especificación o norma o con otros resultados de la misma cantidad física. Por esta razón fue necesario implementar un procedimiento que caracterice la calidad del resultado de una medición, que es la evaluación y expresión de la incertidumbre. Cuando se quiere realizar una medición, se debe tener una idea bien clara de lo que se quiere medir (mensurando), exactitud con el que se quiere medir, el patrón o patrones que deben ser utilizados, el método más adecuado para realizar la medición del mensurando con el patrón y otros factores de influencia en la medición. De acuerdo al grado de exactitud requerido se determinan todos los factores de influencia posibles y luego con estos se elaborar un modelo matemático que permita materializar en forma numérica el resultado de la medición. Por lo Elaborado por: Fis. René Chanchay Revisado por: Fis. Manuel Salazar Aprobado por: Ing. Arturo Arévalo LPC FA 00 - 0

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mencionado en párrafos anteriores, este resultado debe estar acompañado de una incertidumbre de la medición. Luego de que se tiene el resultado de la medición, es obligación estimar una incertidumbre el cual nos indicará en forma cuantitativa la calidad y confiabilidad del resultado. La forma de estimar la incertidumbre en las calibraciones mas frecuentes que realiza el Laboratorio Nacional de Metrología del INEN es el que recomienda la ISO y otros organismos internacionales en su publicación “Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement” de 1995. 5. DESCRIPCION: 5.1 Modelo matemático de la medición. El modelo matemático no existe salvo para mediciones con cierto grado de exactitud, condiciones ambientales, patrones de grado de exactitud específicos, equipos de transferencia, métodos, etc. Por esta razón el Laboratorio Nacional de Metrología del INEN ha elaborado modelos matemáticos para la calibración de equipos o instrumentos más comunes del mercado. Estos modelos se adaptan a las exigencias de exactitud, patrones que posee y métodos normalizados que utiliza en las diferentes calibraciones. 5.2 Símbolos Los símbolos a utilizarse en este procedimiento se darán según se vayan definiendo. 5.3 Incertidumbre combinada El modelo matemático considera todos los factores que influyen en la exactitud de la medición. Entre los factores de influencia mas comunes se tiene: • patrón • resolución (pueden ser del patrón, instrumento calibrado, equipos de transferencia, etc.) • histéresis • excentricidad • factores de influencia aleatorios Elaborado por: Fis. René Chanchay Revisado por: Fis. Manuel Salazar Aprobado por: Ing. Arturo Arévalo LPC FA 00 - 0

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• condiciones ambientales, etc. Estos factores de influencia deben ser también medidos y por lo tanto tiene una incertidumbre de medición que contribuyen en la incertidumbre del objeto que está siendo calibrado. La forma en la que se combina estas incertidumbres es según la publicación de la OIML mencionada anteriormente y es la siguiente: 2

∂ f  uc2 ( y ) = ∑   u 2 ( xi ) i =1  ∂ x  i N

donde:

y = Mensurando

uc ( y ) = Incertidumbre combinada de y (mensurando) y = f ( x1 , x2 ,.... xN ) Modelo matemático de la medición xi = Factores de influencia N = Número de factores de influencia u( xi ) = Incertidumbre de medición del factor de influencia xi Esta expresión es válida cuando los factores de influencia no están correlacionados entre sí. Las incertidumbres de los factores de influencia pueden ser del tipo A o del tipo B los cuales seguidamente se analizan. 5.3.1 INCERTIDUMBRE TIPO A Es aquella que se la estima por métodos estadísticos, es decir cuando existen varios resultados de medir varias veces el mismo mensurando. Generalmente son incertidumbres del tipo A las incertidumbres por corrección sistemática.

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La incertidumbre tipo A se la estima mediante la desviación standard de la media de los resultados que se obtuvieron al medir repetidas veces el mismo mensurando. Por ejemplo: Se tiene n resultados de medir una misma magnitud física Y

Y1 , Y2 , Y3 ,........ Yn La medición promedio es:

1n y = ∑ yi n i =1 La desviación standard de los n resultados es:

1 n 2 σy = ∑ ( yi − y ) ( n − 1) i =1 La desviación standard de la media de los n resultados es:

σy =

σy n

Por definición, la incertidumbre tipo A de una serie de resultados de medir repetidas veces el mismo mensurando es

σ y.

5.3.2 INCERTIDUMBRE TIPO B. Son todas aquellas incertidumbres que no son del tipo A. Generalmente son las incertidumbres que vienen en los certificados y aquellos en los que uno tiene que asumir determinado tipo de distribución (rectangular, triangular, normal, etc.). Elaborado por: Fis. René Chanchay Revisado por: Fis. Manuel Salazar Aprobado por: Ing. Arturo Arévalo LPC FA 00 - 0

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Para entender un poco más acerca de la incertidumbre de tipo B analicemos algunos ejemplos de ellos: 5.3.2.1 Incertidumbre de certificados. Los patrones y equipo que influyen en la medición (reflejados explícitamente en el modelo matemático) deben estar calibrados y poseer un certificado de calibración. En estos certificados debe constar la incertidumbre total de calibración de ellos

U ( xi ) y el

k

de dicha incertidumbre total. Para nuestro caso utilizaremos el factor de cobertura cociente entre la incertidumbre total y su factor de cobertura.

u( xi ) =

U ( xi ) k

5.3.2.2 Incertidumbre al asumir distribuciones Las incertidumbres debidos a resoluciones, histéresis, excentricidades y otros, se estiman asumiendo distribuciones que se asocian a ellos. Las distribuciones que comúnmente se utilizan son las distribuciones rectangular, triangular y normal. 5.3.2.2.1 Incertidumbre asumiendo distribución rectangular. Al estimar incertidumbres asumiendo distribución rectangular se utilizará la siguiente expresión.

a2 u( xi ) = 12 donde a puede ser: • Resolución, • Histéresis máxima, • Excentricidad máxima, etc. 5.3.2.2.2 Incertidumbre asumiendo distribución triangular Elaborado por: Fis. René Chanchay Revisado por: Fis. Manuel Salazar Aprobado por: Ing. Arturo Arévalo LPC FA 00 - 0

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Al estimar incertidumbres asumiendo distribución triangular se utilizará la siguiente expresión:

a2 u( xi ) = 24 donde a puede ser • Resolución, • Histéresis, máxima, • Excentricidad máxima, etc.

5.3.2.2.3 Incertidumbre asumiendo distribución normal Al estimar incertidumbres asumiendo distribución normal se debe utilizar la siguiente expresión:

u ( xi ) = donde

a 3

a puede ser:

• Resolución • Histéresis máxima • Excentricidad máxima, etc. No hay regla que establezca que distribución utilizar y tampoco son estos los 3 únicos. Es criterio de la personal y la experiencia quienes ayudan a elegir que distribución utilizar.

5.4 factor cobertura k El factor cobertura k es un factor que multiplica a la incertidumbre combinada y esta íntimamente ligado al número de grados de libertad de la medición y al nivel de confianza con el que se desea reportar el resultado. Elaborado por: Fis. René Chanchay Revisado por: Fis. Manuel Salazar Aprobado por: Ing. Arturo Arévalo LPC FA 00 - 0

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Para determinar este factor de cobertura k debemos determinar el número de grados de libertad de la medición y a criterio personal se debe elegir el nivel de confianza con el que se quiere reportar la incertidumbre de la medición, luego de esto nos ayudaremos de la tabla t de Student y determinaremos este factor k. 5.4.1 Número de grados de libertad de la medición (número efectivo de grados de libertad) Luego de estimar la incertidumbre combinada procedemos a calcular los grados de libertad según la siguiente expresión:

ν eff =

uc4 ( y ) 4

1  ∂f  4 ∑   u ( xi ) i =1 ν  ∂ x  i i N

donde:

ν eff = Número de grados de libertad de la medición uc ( y ) = Incertidumbre combinada de la medición u( xi ) = Incertidumbre de la medición del factor influyente f = f ( xi ) = Modelo matemático

ν i = Número de grados de libertad en la estimación de la incertidumbre del factor influyente Cuando se tiene certificados de calibración (incertidumbre del tipo B) que por lo general son de patrones y equipos que se utilizan en la medición, el número de grados de libertad se determinara con el factor de cobertura k y el nivel de confianza con el que reporta el resultado. Con estos datos se acude a la tabla t de Student y se encuentra este número de grados de libertad.

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Cuando la incertidumbre de algunos de los factores influyentes es del tipo B y ha sido estimada asumiendo una distribución (por ejemplo la incertidumbre por resolución, histéresis, excentricidad, etc.), se asume que el número de grados de libertad infinito. Cuando la incertidumbre se la estima mediante técnicas estadísticas (del tipo A) el número de grados de libertad es igual a (n-1) donde n es el número de veces que se ha repetido la medición. NOTA: Cuando se utiliza técnicas estadísticas hay casos en los cuales el número de grados de libertad no es igual (n-1). 5.5 factor de cobertura k=2 Es casi regla general reportar el resultado de una medición y su incertidumbre con un nivel de confianza del 95%. En la mayoría de los casos, luego de determinar el número efectivo de grados de libertad y asumir un nivel de confianza al 95%, se observa que el factor de cobertura k oscila alrededor del número 2. Por esta razón en la mayoría de las mediciones que realiza el Laboratorio Nacional de Metrología del INEN, para reportar la incertidumbre de medición utilizará un factor de cobertura k=2. En casos en que este factor de cobertura k=2 sea dudoso, se procederá a determinar el factor como se indica en el numeral 5.5.

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