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• Jorge Castillo Minaya

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CURSO: FÍSICA CRITERIO II: RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN

COLEGIO PARROQUIAL MIXTO SAN PEDRO CHANEL SOCIEDAD DE MARIA (PADRES MARISTAS) SULLANA PROFESOR: LIC. ROSA MELVA VERA R. TEMA: PORCENTAJE – SERIES - SUMATORIAS.

Regla del tanto por Cuanto El 4 por 11 < >

Cantidad final : 130% x 120% (100%) 30 120 = x x 100%  156% 100 100

4 11

Ejemplo 1: Calcular el 2 por 5 de 15. Solución: El 2 por 5   2 5

 Luego el aumento único será de:

de 15  x 15  6

TANTO POR CIENTO (%): En general:

156% - 100% = 56%

a% 

a 100

Observación:  En el caso de tener dos aumentos sucesivos del A1 % y del A 2 %, el aumento único equivalentes (Au) que reemplaza a estos dos aumentos es: A x A2  Au   A1  A 2  1 100 

NOTA Si pierdo o gasto 20% 35% 2,5% 2% x%

Queda 80% 65% 97,5% 98% (100 - x)%

Si gano o agrego 22% 45% 2,3% 0,5% x%

Resuelta 122% 145% 102,3% 100,5% (100 + x)%

 % 

Ejemplo 8. Tres descuentos sucesivos del 20%, 30% y 40% equivalen a un descuento único de ... Solución: Inicio: 100% Final: 80% . 70% . 60% . (100%) 80 70 60  . . .(100%)  33,6 % 100 100 100  Du  100%  33,6%  64,4% Por fórmula: Como son más de 2 descuentos sucesivos, se aplica la fórmula de 2 en 2.  20 % ; 30 %; 40 % 

DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS 20(30 )   Du   20  30  %  44 % 100  

Ejemplo: ¿A qué descuento único equivale 2 descuentos sucesivos del 20% y 30%? Solución: Cantidad Inicial: 100% Descuento 20% 30%

 20 % ;30 % ; 40 %  44 %

Queda 80% 70%

44 (40)   Du  44  40  %  66,4 % 100  

Cantidad final: 70 % x 80 % (100 %) 70 80 = x x 100%  56% 100 100  Luego el descuento único será de: 100% - 56% = 44%

APLICACIÓN COMERCIAL DEL PORCENTAJE Pv  Pc  G

Observación: Si tenemos que hacer dos descuentos sucesivos del D1 % y del D 2 % éstos pueden ser reemplazados por un solo descuento que equivale a los dos anteriores, éste es el descuento único equivalente (Du) y se calcula así: D x D2  Du   D1  D 2  1 100 

 % 

Ejemplo 7. ¿A qué aumento único equivalen 2 aumentos sucesivos del 20% y 30%? Solución: Cantidad Inicial: 100%

PL  Pv  Descuento G B  G N  Gastos Observación: 

La ganancia o pérdida generalmente, se expresa como un porcentaje del precio de costo, salvo que se diga otra cosa.



La rebaja o descuento se expresa como un porcentaje del precio de lista.

1. Si el precio de un producto se rebaja en un 80 %, ¿en qué porcentaje hay que aumentar el nuevo precio para volver al precio original?

1|5to

a) 160 % d) 500 %

b) 16 % e) 200 %

12. ¿Cuál es el aumento único equivalente a los aumentos sucesivos del 10%, 20%, 25% y 30%? a) 148% b) 164% c) 172% d) 149% e) 128%

c) 400 %

2. ¿Cuál es el número que multiplicado por si mismo, y disminuido en la unidad es igual al 12 % del 200 por 2 del

50%

a) 2

del inverso del mismo número?

b) 3

0, 2 %

3. El

13. El 7 por 10 del 5 por 13 del 2 por 5 de 260 es: a) 27 b) 29 c) 26 d) 28

c) 4

del

500000, es: a) 12 b) 11

d) 6

2000 % c) 8

del

3%

d) 16

14. Si un equipo de sonido fue vendido en S/. 2340 dejando una utilidad del 30%, entonces para ganar solamente el 20% sobre el costo debería venderse en: a) S/. 2 000 b) S/. 1 990 c) S/. 2 160 d) S/. 1 980 e) S/. 2 120

e) 10

del

20 % 3

de

15. El ancho del rectángulo aumenta en 20%, mientras que el largo disminuye en 20%. ¿En qué tanto por ciento varía su área? a) 4% b) 6% c) 8% d) 5% e) 3%

e) 40

4. El 30 % del 120 % del 40 % de un número es igual al 60 % del 80 % de 30. Hallar el 20 % del 40 % de dicho número. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

16. Si el radio de una piscina circular aumenta en 100%, entonces para que su volumen no varié, su altura debe disminuir en un: a) 55% b) 70% c) 50% d) 60% e) 75%

5. se vende un lapicero en S/. 680 perdiendo el 15 % del costo. ¿A cómo se debe vender para ganar el 9 %? a) S/. 872 d) S/. 724

b) S/. 836 e) S/. 936

c) S/. 827

6. Milagros vendió un libro Ganando el 20 % del precio de venta y el 10 % del precio de costo. Si lo vendió en S/. 748, ¿cuál fue su costo? a)S/. 468 b) S/. 500 c)S/. 525 d)S/. 544 e)S/. 642

7. Restar

1 1 del 5 % de 6 30

y restar de

1 35

el 10 % de

1 7

.

Al dividir el primer resultado entre el segundo se obtiene.

a)

2 7

b)

4 7

c)

7 4

7

d)

e)

4

8. los lados de un cuadrado se triplican, ¿en que porcentaje aumenta el área? a) 300 % d) 900 %

b) 800 % e) 200 %

c) 600 %

10. El a) 6

b) 24% e) 25%

c) 50%

 x 1 % de  x  36 es b) 7

c) 8

d) 9

2x . Hallar " x " 5

SERIE NUMÉRICA Es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica y al resultado se le llama valor de la serie. Sea la sucesión:

t1 ; t2 ; t3 ; .....; tn Entonces la serie numérica será:

S  t1  t2  t3  .....  tn SERIE ARITMÉTICA Es la adición indicada de los términos de una sucesión o Progresión Aritmética. En general: Para toda sucesión aritmética de “ n ” términos:

 r

t2

 t3  t4  .......  tn  r

 r

 r

 r

La suma de todos sus términos se obtiene:

t t  S  t1  t2  t3  .....  tn   1 n  .n  2  Donde: t1 = Primer término t n = Último término n=Número de términos

e) 4

11. Tres descuentos sucesivos del 10%, 20% y 25%, equivalen a un descuento único. a) 47.78% b) 47.62% c) 44% d) 48.62%

17. Para vender un producto se aumenta su precio en S/. 40, a fin de ganar el 20% del precio de costo. ¿Qué porcentaje del precio de venta se ganó? : a) 15% b) 14% c) 16,66% d) 17,2% e) 15,5%

t1 

9. Un Instituto tenía 1200 alumnos de los cuales el 40 % eran mujeres y el 60% hombres. El número de mujeres aumenta en 30% y el de los hombres en 20%, ¿en qué porcentaje aumentó el total de alumnos? a) 30% d) 40%

e) 25

e) 47.72%

SERIE GEOMÉTRICA Pueden ser: SERIE GEOMÉTRICA FINITA Para toda sucesión o progresión geométrica de “ n ” términos:

2|5to

S  t1 



t2

t3 

t4  .......  tn

    q q q q La suma de todos sus términos se obtiene:

S 

t1

q

n



 q

Suma de los primeros “ n ” números impares.

n

  2i  1  1  3  5  7  .......   2n  1  n i 1

 1



q 1

Suma de los primeros “ n ” cuadrados.

n

i

Donde: t1 = Primer término







q

q

q

q

2

 12  22  32  .....  n 2 

i 1

q= Razón (q  1; q  0) n=Número de términos SERIE GEOMÉTRICA INFINITA Para toda serie geométrica de infinitos términos su suma se calcula así. t1 S  t1  t2  t3  t4  .......  1 q



2



n  n  1 2n  1 6

Suma de los primeros “ n ” cubos.

 n  n  1  i  1  2  3  ....  n     2 i 1   n

3



3

3

3

2

3

Otras Formulas:

n

  2i 

3

 23  43  63  ...   2n   2n 2  n  1 3

2

i 1

SUMATORIAS Se denota por la letra

n

 letra griega sigma , leeremos suma

de sus elementos: n

t i 1

" n "sumandos

 13  33  53  ....   2n  1  n 2  2n 2  1 3

 i  i  1  1 2  2  3  3  4  .....  n   n  1  i 1

n

1

1

1

1

n  n  1 n  2  3

1

n

 i i  1  1 2  2  3  3 4  .....  n   n  1   n  1 n

1

1

1

1

1

n

  2i 1 2i  1  1 3  3  5  5  7  ...   2n 1 2n 1  2n 1 i 1

n

i k

3

i 1

PROPIEDADES DE SUMATORIAS Número de términos:

t

i 1 n

 t1  t2  t3  ......  tn

i

  2i  3

i

 tk  tk 1  tk  2  ....  tn

n

Número de Términos   n  k   1

A.

i1

B.

n

 c   n  k   1 .c n

n

C.

n

a  b  c    a  b   c i

i k

i

n

t i 1

II.

i

i



ik

i

k

t i 1

i

ik



i

ik

i

D.

n

t

(2i  1)2  12  3 2  5 2  ...  (2n  1)2  13 n(2n  1)(2n  1)

i  k 1

n

(2i)3  23  4 3  6 3  8 3  ...  (2n)3  2n 2 (n  1)2 i1 n

(2i  1)3  13  3 3  5 3  7 3  ...  (2n  1)3  n 2 (2n 2  1) i1

i

SUMAS NOTABLES 

n

i1

i k n

(2i)2  22  4 2  6 2  8 2  ...  (2n)2  32 n(n  1)(2n  1)

Suma de los primeros “ n ” números naturales:

n  n  1 i  1  2  3  ....  n   2 i 1 n

n

i

4

E.

 14  2 4  3 4  4 4  5 4  ...  n 4

i 1



n(n 1)(6 n 3  9 n 2  n 1) 30

n

F.  i(i  1)  1x 2  2x3  3x 4  4 x5  ....  n(n  1)

 1 n(n  1)(n  2)

i1

G.

n

3

 2ix(2i  2)  2x4  4 x6  6x8  8 x10  ...  2n(2n  2)  3 n(n  1)(n  2) 4

i 1

 n

Suma de los primeros “ n ” números pares.

 2i  2  4  6  .....  2n  n  n  1 i 1

n

H.  ix3 i  1x 3  2x 3 2  3 x 3 3  4 x 3 4  ...  nx 3 n  (2n 1)x 3 n 1  3 i1

4

3|5to

I. J.

 i(i11)  1x12  21x 3  3 x14  4 1x5  ...  n(n11)  (nn1)

9.

 (2i1)(1 2i1)  1x13  31x5  51x7  71x9  ...  (2n 1)(1 2n 1)  2nn1

a) s/. 5 316

n

i1 n i1 n

K.  i1

Qué precio pide por su caballo quien exige por el primer clavo de sus herraduras s/. 125; s/. 216; por el segundo; s/. 343 por el tercero; hasta s/. 1 331 por el penúltimo clavo

b) s/. 5 984

c) s/. 5697

d) s/. 5 270 e) s/. 6 084 10. Hallar el término 30 de una progresión aritmética, si la suma de los “ n ” primeros términos es: 6n  3n . a) 355 b) 360 c) 357 d) 350 e) 362

1 1  1  1  1  ...   n 2 ix(2 i 2) 2 x 4 4 x 6 6 x 8 2 n(2 n  2) 4 (n 1)

2

n



1

L. i 1 i(i  1)(1  2)



1 1 1    ... 1x 2 x 3 2x 3x 4 3 x 4 x5

a  (a  2)  (a  4)  ...  7a  na(ma  1) Hallar: m  n 11. Si:

n(n  3) 1   n(n  1)(n  2) 4 (n  1)(n  2)

1.

a) 6

K  1  2  3  4  ...  50 E  1  3  5  7  ...  69 Hallar el valor de: R  2( K  E) b)5

c) 10

d) 12

e) 14

c) 9

d) 7

e) 10

P  4  5  7  3  6  5  9  3  ...

Sabiendo que:

a) 4

b) 8

12. Calcular: 244 sumandos

a) 7 479 d) 8 400

b) 7 849 e) 8 479

c) 8 749

13. Hallar la siguiente suma: 2.

S  23  43  63  83  ...  (2n)3

Hallar “n” en:

(n  1)  (n  2)  (n  3)  ...  (n  a)  a 2

a)

3.

1 a

b)

a 1 2

c)

a 1 4

d)

a 1 2

2a  1 e) 2

n ( n  1)

b)

d)

2n 2 (n  1) 2

e)

En una progresión aritmética se conoce que:

t1  a  2 ; r  2  a ; sn  10  5a , hallar “ n ” a) 5 4.

a)

2

b) 4

c) 3

d) 6

e )7

En una progresión aritmética, el tercer término es igual a 4 veces el primero y el sexto término es 17. Hallar la suma de los 10 primeros términos. a) 95 b) 100 c) 105 d) 112 e) 15

26

14. Calcular:

Calcular “ M ”

M  1  2  3  2  3  4  3  4  5  ... 240 sumandos

a) 9 870 b) 9 960 c) 9 710 d) 9 250 6.

e) 10 000

f (n)  n(n  1) 2 , hallar el valor de: R  f (0)  f (1)  f (2)  ...  f (19)

Si:

c)

20

2n(n  1)2

15

M  7 6 5

a) 110

i  20

j 15

n 11

b) 100

c) 105

d) 92

e) 115

10

15. Calcular: S

  (3k 2  5k  7) k 1

a) 1050 5.

(n 2  1) 2 2 2n n 1

b) 1400 c) 1300 d) 1030 e) 1500

16. Calcular la suma de todos los números que conforman el siguiente arreglo: 1

4

9

16

4

9

16

25

9

16

25

25

361 361

361

16 25 361

a) 42 130 b) 41 230 7.

d) 41 620 e) 42 62

1 2 3    ... Calcular “ K ”: K    2 8 28 77

a) 1 8.

c) 44 100

b) 2

c) 2/5 d) 3/4 e) 1/2

a) 36 000 b) 36 100

c) 36 200 d) 36 400 e) 36 500

17. Hallar:

A  1x5  2x6  3x7  ...  36x40

Calcular el valor de “ E ”

E  1x2  3x4  6x6  8x10  ...  25x44 a) 2 640

b) 2 710 c) 3 410 d) 2 570 e) 3 650

a) 16 250

b) 17 520 c) 18 510

d) 17 740

e) 18870

4|5to