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• Danna Encalada

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La columna con las celdas sombreadas nos indican que acciones están ejecutando los amigos que afectan el estado del sistema, es decir, que producen cambios en la variable de interés y generan un nuevo estado. A una acción que genera un nuevo estado lo llamamos "operador". Cada una de las celdas identifica el operador que está actuando y que da lugar al nuevo estado descrito en las columnas de la derecha. En este caso en particular tenemos los operadores compra de cromos, intercambio de cromos, regalo de cromos y venta de cromos. Noten que la fila 2 y la fila 5 tienen el mismo operador, pero actúa sobre diferente persona. Eso significa que cada operador debe ser descrito especificando todas las condiciones que determinan los cambios que genera. Otro ejemplo de sistema puede ser el ascensor de un edificio público. El estado inicial es el piso de partida y el estado final es el piso de llegada. Los estados intermedios son los pisos intermedios donde se detiene. En este caso hay dos operadores, uno, subir pasajeros y, otro, bajar pasajeros. Sin embargo, con toda seguridad existe una capacidad máxima para el ascensor, por ejemplo, carga máxima 800 Kg o 10 pasajeros. Esto es una limitación en la acción del operador. Este tipo de limitación es llamada una "restricción". Cada situación tiene un sistema que contiene o define los elementos propios de la situación, tiene una o varias variables que permiten establecer el estado del sistema, y tiene uno o más operadores, con sus respectivas restricciones, que generan cambios, y que determinan la evolución en el tiempo del sistema. Por esta razón estas definiciones son aplicables a problemas dinámicos.

Presentación del proceso Veamos un ejercicio para ilustrar este tipo de situación.

(

Ejercicio 1. Roberto y sus dos hijos, Mario y Víctor, están en una margen de un rio que desean cruzar. Es necesario hacerlo usando el bote que disponen, cuya capacidad máxima es de 100 Kg. Si Roberto pesa 90 Kg y Mario y Víctor 40 Kg cada uno, ¿Cómo pueden hacer para cruzar el rio?

Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante, Por lo tanto, estamos ante un problema. Inmediatamente podemos identificar los elementos que se indican en el enunciado: Sistema: rio con tres personas (Roberto con Mario y Víctor) y un bote. Estado inicial: Roberto, Mario y Víctor en una ribera del rio con el bote. Esta final: Roberto, Mario y Víctor en la ribera opuesta del rio con el bote. Operadores: Cruzado del rio con el bote. Restricciones: capacidad máxima del bote de 100 Kg. ¿Cómo podemos describir el estado? Utilicemos la siguiente notación: (P, N, N, b:: ) Esto significa que los cuatro puntos simbolizan el rio. En la ribera izquierda están Roberto (P), Mario (N), Víctor (N) y el bote (b). Hemos representados los don niños con la misma letra N porque para efectos del problema son iguales. En la ribera derecha no hay ningún elemento. Otro ejemplo con la notación (N, b :: P, N) significa que uno de los hijos (Mario o Víctor) y el bote están en la ribera izquierda, y Roberto y el otro hijo están en la ribera derecha.

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Ahora debemos revisar el operador. ¿Qué posibilidades existe para cruzar el rio? Bueno, las posibilidades son: A 1. Bote con 1 hijo (cualquiera de los dos); peso en el bote: 40 Kg A 2.

Bote con 2 hijos; peso en el bote: 80Kg

A 3.

Bote con padre; peso en el bote: 90 Kg

A 4.

Bote con padre y un hijo; peso en el bote: 130 Kg

A 5.

Bote con padre y dos hijos; peso en el bote: 170 Kg

El peso dentro del bote en las posibilidades 4 (130 Kg) y 5 (170 Kg) exceden los 100 Kg de capacidad máxima del bote. Tomando en cuenta la restricción del problema solo tenemos tres posibilidades para el operador del problema. La evolución en el tiempo resulta de la ejecución de acciones. Para la primera acción apliquemos el operador al estado inicial. Recordemos el estado inicial: padre y dos hijos con el bote en la ribera izquierda del rio. La posibilidad 1 significa que un hijo toma el bote y cruza el rio. La posibilidad 2 significa que los dos hijos toman el bote y cruzan el rio. Y la posibilidad 3 significa que el padre toma el bote y cruza el rio. Con cada aplicación del operador surge un nuevo estado. Esto podemos representarlo como sigue: (P, N, N, b :: ) A (P, N :: N, b)

A2 (P :: N, N, b)

(N, N :: P, b)

Este diagrama significa que a partir del estado inicial se generan tres estados intermedios como resultado de la aplicación de las tres posibilidades del operador del problema. El estado inicial deja de existir, y en su lugar tenemos tres posibles nuevos estados, como se visualiza en el diagrama. El resultado de la ejecución de una segunda acción lo obtenemos repitiendo la acción de aplicación del operador a cada uno de los tres posibles estados resultantes de la primera acción. Para el estado (P, N :: N, b), resultante de aplicar la posibilidad 1, tenemos que solo es posible que el hijo tome el bote y cruce el rio, con lo cual regresa al estado inicial. Para el estado (N, N :: P, b) ocurre lo mismo; solo existe la posibilidad 3, que significa que el padre toma el bote, cruza el rio y regresa al estado inicial. Para el estado (P :: N, N, b) la situación es diferente. Existe dos alternativas del operador, la posibilidad 2 y la posibilidad 1; es decir, que los dos hijos tomen el bote, crucen el rio y regresen al estado inicial, o que uno de los dos hijos tome el bote, cruce el rio y genere el nuevo estado (P, N, b :: N), diferente de todos los estados existentes hasta ahora. El diagrama se amplía y queda como sigue: (P, N, N, b :: ) A2

A3 f A2

(P, N :: N, b)

(P :: N, N, b) A1 (P, N, b :: N)

En este segundo diagrama se muestran todas las alternativas posibles estados alcanzados después de ejecutar dos acciones. Podemos destacar los siguientes cambios, primero, las flechas de retorno que aparecen en las tres fechas iniciales que teníamos; y segundo, la

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aparición de una nueva flecha para representar la ejecución del operador que genera un nuevo estado. Para seguir la evolución en el tiempo invocamos la ejecución de una tercera acción. En la tercera acción la única situación novedosa resulta de aplicar el operador al nuevo estado posible que surgió de la segunda ejecución del operador. Para este estado (P, N, b :: N) hay dos alternativas de aplicación del operador, la posibilidad 1 (hijo toma el bote y cruza), con la cual se regresa al estado anterior, o la posibilidad 3 (padre toma el bote y cruza), con la cual se genera un nuevo estado. El nuevo diagrama resultante de todas las alternativas posibles después de ejecutar tres acciones es: (P, N, N, b:: ) A2

t I

A2

(P, N :: N, b)

(P :: N, IN, b) A1

A1

(P, N, b : : N ) A3 I (N :: P, N, b) En este tercer diagrama hemos incluido los dos cambios producto de la ejecución de la tercera acción: el retorno al estado anterior y el nuevo estado resultante de la aplicación de la posibilidad 3 del operador. Ya hemos visto como actúa el operador con la ejecución de cada acción. Para la cuarta ejecución si el padre toma el bota y cruza, regresamos al estado anterior, pero si el hijo toma el bote y cruza, generamos el nuevo estado (N, N, b :: P). Y repitiendo el procedimiento descrito anteriormente, seguimos a la quinta ejecución. En este caso un nuevo estado resulta cuando ambos hijos toman el bote y cruzan el rio. El diagrama resultante con la ejecución de las acciones cuarta y quinta es: (P.N.N.b:: )

(P, N :: N, b)

A 2

M I I H I » 'I

iUII

En este problema la información que tenemos es que vamos a usar los 9 números que hay del 0 al 8 para llenar los recuadros de la figura, con la condición de que todas las filas, columnas y diagonales sumen 12. Si queremos construir esa figura, con esa condición no podemos colocar cualesquiera tres números entre el 0 y el 8 en una fila o columna. Tiene que sumar 12. Entonces un primer paso debería ser buscar todas las ternas de números del 0 al 8 que suman 12. Vamos a ver como construimos de manera sistemática y organizada esas ternas.

1

2

1*

12 12

s

>=12

V II

V n

V

Iniciamos con 0 y 1, pero entre el 0 y el 8 no hay un tercer número que nos de la suma 12. Tomando en cuenta que el mayor número es 8, entonces el número del medio es 4.

0 48

Ahora, dejando fijo el 0, podemos aumentar en 1 el 4 y disminuir en 1 el 8. Nos queda otra terna.

057

113

Si tratamos de hacer lo mismo otra vez, nos quedaría el 0 6 6, y no podemos repetir números. Esas son todas las ternas que tiene el 0. Para seguir, la única opción es pasar al número 1 en el inicio. Colocando 2 de segundo tampoco hay un tercero que nos sirva. Así que repetimos lo que hicimos en el primer paso, primero 1, tercero el 8 y vemos cual es el menor número que puede completar la terna. Es el 3.

138

4

Repetimos el paso 2, pero dejando fijo el 1. Podemos aumentar en 1 el 3 y disminuir en 1 el 8. Nos queda otra terna.

1 47

5

Repetimos el paso anterior. Podemos aumentar en 1 el 4 y disminuir en 1 el 7. Nos queda otra terna.

1 56

6

Si tratamos de hacer lo mismo otra vez, nos quedaría el 1 6 5. En este caso es la misma terna del caso anterior. Cuando las construimos, siempre llevamos los números en orden creciente para no repetir ternas. Esas, entonces, son todas las ternas que tienen el 1 al comienzo. Para seguir, la única opción es pasar al número 2 en el inicio. Colocando 3 de segundo, el 7 es el tercero para que la terna sume 12. Así obtenemos una nueva terna.

237

7

Repetimos el paso 2, pero dejando fijo el 2. Podemos aumentar en 1 el 3 y disminuir en 1 el 7. Nos queda otra terna.

246

8

Si tratamos de hacer lo mismo otra vez, nos quedaría el 2 5 5, y no podemos repetir números. Esas son todas las ternas que tiene el 2. Para seguir, la única opción es pasar al número 3 en el inicio. Colocando 4 de segundo, el 5 es el tercero para que la terna sume 12. Así obtenemos una nueva terna.

345

3

9

Ahora no podemos aumentar el segundo y disminuir el tercero porque rompemos el orden creciente de los números de la terna. Tampoco podemos ir al próximo número porque el tercero sería menor que el segundo. Entonces, podemos afirmar que hemos encontrado todas las ternas posibles de números diferentes del 0 al 8 que suman 12.

A la derecha tenemos la lista de las 8 ternas posibles para llenar filas del la figura. Lo primero que debemos notar es que el número de ternas es igual al número combinado de filas, columnas y diagonales, es decir, 3 filas, 3 columnas y 2 diagonales. De tal forma que lo único que nos queda es distribuir estas ternas en la figura. Si pensamos en llenar por filas, necesitamos tres ternas que no repitan números ya que debemos usar los nueve números. Por inspección encontramos que hay dos grupos de 3 ternas que no repiten números, estas son las siguientes: 0 4 8

0 5 7

1 5 6

1 3 8

2 3 7

2 4 6

Para decidir dónde y cómo colocamos las ternas que hemos seleccionado de la lista de 8 ternas, observemos que el 0, el 2, el 6 y el 8 solo figuran en dos temas; y en la figura los recuadros encerrados en el círculo amarillo solo participan en dos sumas que dan 12. También podemos observar que el 4 es el único número que participan en 4 ternas y que el cuadro del centro está en cuatro sumas a 12. Entonces parece natural que ubiquemos el 4 en el centro y los otros cuatro números en los cuatro recuadros señalados con círculos. En el grupo de la izquierda, la fila del medio debe ser con la terna 0 4 8; y con el grupo de la derecha, la fila del medio debe ser 2 4 6.

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0 4 8 0 5 7 1 3 8 1 4 7 1 5 6 2 3 7 2 4 6 3 4

5

Sigamos con las dos soluciones en paralelo para ver las diferencias que tienen entre ellas. Luego en las otras dos filas debemos poner en el centro los números 2 y 6 para el grupo de la izquierda, y 0 y 8 para el grupo de la derecha, como sigue:

= 12

2 0

4

8

6 II ro

¡i ro

= 12

2

*