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• Bladimir Mejia

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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO

PERÍMETRO Es la medida de la longitud de la línea o líneas que conforman el contorno o borde de una región. Es la suma de los lados (contorno) de una figura. TRIANGULO CUADRADO

Perímetro = l + l + l + l = 4·l

Perímetro = a + b + c RECTÁNGULO

ROMBO

Perímetro = a + b + a + b = 2·a + 2·b = 2·(a+b) TRAPECIO

Perímetro = l + l + l + l = 4·l CIRCUNFERENCIA - CIRCULO

Perímetro = 2. 𝜋. 𝑟 = 𝜋. 𝐷 El perímetro del círculo es una circunferencia. Perímetro = a + b + c + d POLÍGONOS REGULARES

Perímetro = l.n ÁREA El área es la medida de la región o superficie encerrada por de una figura geométrica. TRIANGULO CUADRADO

Área =

𝑏.ℎ 2

N.B.M.T

Área = l.l = l2 ROMBO

RECTÁNGULO

Área =

Área = a.b TRAPECIO

Área =

𝐷.𝑑 2

CIRCUNFERENCIA - CIRCULO

𝑏1 +𝑏2 .ℎ 2

Área = 𝜋𝑟 2 POLÍGONOS REGULARES

Área =

(𝑃.𝑎) 2

1 2

; 𝑎 = √𝑟 2 − (2)

DESARROLLE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 1. La figura está formada solo por cuadros cuyo lado mide tres centímetros. Calcular el perímetro de la figura.

5. Calcular el área de la región sombreada (corona 4 circular) en donde 𝑟2 = √42 cm.

1 2. El triángulo A B C es equilátero dentro del cual 6. De una pizza se ha comido 64−2 como indica la hay cuatro triángulos equiláteros más pequeños figura: como se muestra en la figura. Calcular el perímetro del triángulo A B C.

3. En la figura se tiene un cuadrado de lado ℓ = 4 cm. En las esquinas se tiene 4 cuadrados de lado ℓ . Calcular el área de la región sombreada: 3

La pizza cabe exactamente en una caja cuadrada que tiene 160 cm de perímetro. Calcular el área y la longitud del arco de la parte comida. 7. Calcular el área de la región sombreada en donde 1 2

𝑑 = 100 cm y 𝑏 =

1

1 −2 (64)

cm.

4. Calcular el área de la región sombreada:

N.B.M.T

TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo (Tiene un ángulo recto, es decir, mide 90º. Los otros dos son agudos), el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a = hipotenusa. b = cateto opuesto. c = cateto adyacente. 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 De donde se puede despejar la hipotenusa y los catetos opuesto y adyacente: 𝑎 = √𝑏 2 + 𝑐 2 𝑏 = √𝑎2 − 𝑐 2 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏 2 DESARROLLE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 8. Encuentre el valor de la hipotenusa en los 12. Una escalera de 65 dm de longitud está apoyada siguientes triángulos, exprese dicho valor en sobre la pared. El pie de la escalera dista 25 dm metros: de la pared. ¿A qué altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared?

9. Encuentre el valor de los catetos en los siguientes triángulos, exprese dicho valor en metros:

¿A qué distancia de la pared habrá que colocar el pie de esta misma escalera para que la parte superior se 10. Calcula la altura de un triángulo equilátero de 14 apoye en la pared a una altura de 52 dm? cm de lado.

11. Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32 mm y 24 mm. 13. Calcula los centímetros de cuerda que se necesitan para formar la letra N:

CONVERSIÓN DE UNIDADES N.B.M.T

La conversión de unidades es la transformación del valor numérico de una magnitud física, expresado en una cierta unidad de medida, en otro valor numérico equivalente y expresado en otra unidad de medida de la misma naturaleza. UNIDADES DE MEDIDA DE MASA La unidad fundamental de masa es el kilogramo. kilogramo kg 1000 g hectogramo hg 100 g decagramo dag 10 g gramo g 1g decigramo dg 0.1 g centigramo cg 0.01 g miligramo mg 0.001 g UNIDAD DE MEDIDA DE CAPACIDAD La unidad principal para medir capacidades es el litro. kilolitro kl 1000 l hectolitro hl 100 l decalitro dal 10 l litro l 1l decilitro dl 0.1 l centilitro cl 0.01 l mililitro ml 0.001 l UNIDAD DE MEDIDA DE SUPERFICIE La unidad fundamental para medir superficies es el metro cuadrado. kilómetro cuadrado km2 1 000 000 m2 hectómetro cuadrado hm2 10 000 m2 decámetro cuadrado dam2 100 m2 metro cuadrado m2 1 m2 decímetro cuadrado dm2 0.01 m2 centímetro cuadrado cm2 0.0001 m2 milímetro cuadrado mm2 0.000001 m2 UNIDAD DE MEDIDA DE VOLUMEN La unidad fundamental para medir volúmenes es el metro cúbico. kilómetro cúbico km3 1 000 000 000 m3 hectómetro cúbico hm3 1 000 000m3 decámetro cúbico dam3 1 000 m3 metro cúbico m3 1 m3 decímetro cúbico dm3 0.001 m3 centímetro cúbico cm3 0.000001 m3 milímetro cúbico mm3 0.000000001 m3 UNIDADES DE LONGUITUD Kilómetro (km) Hectómetro (hm) Decámetro (dam) Metro (m)

N.B.M.T

Decímetro (dm) Centímetro (cm) Milímetro (mm)

UNIDADES MENORES: UNIDADES MAYORES: 1 metro = 10 decímetros 1 kilómetro = 1.000 metros 1 metro = 100 centímetros 1 hectómetro = 100 metros 1 metro = 1.000 milímetros 1 decámetro = 10 metros 1 decímetro = 10 centímetros 1 kilómetro = 10 hectómetros 1 decímetro = 100 milímetros 1 kilómetro = 100 decámetros 1 centímetro = 10 milímetros 1 hectómetro = 10 decámetros UNIDADES DE TIEMPO Segundo (s) Minuto (min) Hora (h) Día Semana Mes Año Lustro Década Siglo Milenio EQUIVALENCIAS ENTRE UNIDADES DE TIEMPO 1 minuto = 60 segundos 1 hora= 60 minutos = 3.600 segundos 1 día = 24 horas 1 semana = 7 días 1 mes = 30 días (hay de 28 y de 31, pero para los problemas se consideran de 30 días) 1 año = 365 días = 52 semanas 1 lustro = 5 años 1 década = 10 años 1 siglo = 100 años 1 milenio = 1.000 años PROBLEMAS: ¿Cuántos decímetros son 3 kilómetros? SOLUCIÓN: DATOS: Si va de mayor a menor multiplico por diez. 3 km 3(10000) dm = 30000 dm; 3.104 dm; ¿Cuántos centímetros son 7 kilómetros? DATOS: SOLUCIÓN: 7 km 7(100000) cm = 700000 cm; 7.105 cm; Transforma 38.520 segundos a horas, minutos y segundos. SOLUCIÓN: Si va de menor a mayor dividimos; DATOS: (38500/60) min = 642 min con 3 segundos; 38520 s (642/60) h = 10 h con 42 min; 10 h con 42 min y 3 s; Transforma 3 horas, 25 minutos y 13 segundos a segundos DATOS: SOLUCIÓN: N.B.M.T

3 h con 25 min y 13 s

Si va de mayor a menor multiplicamos; 3(60)(60) s = 10800 s; 25(60) s = 1500 s; 13 s; (10800 + 1500 + 13)s = 12313 s; 3 horas 45 minutos y 36 segundo más 2 horas 39 minutos y 50 segundos SOLUCIÓN: (3 + 2)h, (45 + 39)min, (36 + 50)s; 5 h con 84 min y 86 s; Como hemos obtenido 86 segundos en la suma, a esta cantidad le quitamos 60 segundos que equivalen DATOS: al minuto que después sumamos a los 84 minutos 3 h con 45 min y 36 s obtenidos anteriormente. 2 h con 39 min y 50 s 5 h con 85 min y 26 s; Como en 85 minutos hay más de una hora, le restamos 60 minutos que equivalen a la hora que sumamos a las 5 horas obtenidas anteriormente. 6 h con 25 min y 26 s; 4 horas 25 minutos y 12 segundo menos 3 horas 42 minutos y 25 segundos SOLUCIÓN: (4 – 3)h, (25 – 42)min, (12 – 25)s; 1 h con (25 – 42)min y (12 – 25)s; Al comprobar que a 25 minutos no podemos quitarle 42 minutos le restaremos 1 hora al resultado y la pasaremos a minutos en el minuendo (25 + 60 = DATOS: 85). 4 h con 25 min y 12 s (1 – 1)h con (85 – 42)min y (12 – 25)s; 3 h con 42 min y 25 s 0 h con 43 min y (12 – 25)s; No podemos quitar 25 segundos a 12 segundos. A los minutos resultantes de la resta les quitaremos uno que pasaremos a 60 segundos que sumaremos al minuendo (12 + 60 = 72). 0 h con (43 – 1)min y (72 – 25)s; 0 h con 42 min y 47 s; DESARROLLE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 14. ¿Cuántos decámetros son 9 kilómetros? 15. ¿Cuántos metros son 12 decámetros? 16. ¿Cuántos decímetros son 5.000 milímetros? 17. ¿Cuántos decámetros son 120 decímetros? 18. Un velero sale a las 07:45 y regresa a las 20:16, ¿Cuánto tiempo estuvo en el mar? PROPORCIONES (REGLA DE TRES) Una proporción es la igualdad entre dos o más razones. 𝑎 𝑐 = ; se lee “a es a b como c es a d” 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 𝑎+𝑐 = = =𝑘 𝑏 𝑑 𝑏+𝑑 La regla de tres es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto término de una proporción, cuando se conocen tres. La Regla de Tres puede ser simple o compuesta. Es simple cuando solamente intervienen en ella dos variables o magnitudes y es compuesta cuando intervienen en ella más de dos magnitudes. En una regla de tres el supuesto está constituido por los datos de la parte del problema que ya se conoce y la pregunta por los datos de la parte del problema que contiene la incógnita. N.B.M.T

Directa REGLA DE TRES

(+)(+) (-)(-)

Simple

Compuesta

Inversa

(+)(-) (-)(+)

REGLA DE TRES SIMPLE Simple directa: Simple inversa: Se comparan 2 magnitudes directamente Intervienen 2 magnitudes inversamente proporcionales. proporcionales. Multiplicación en cruz (x). Multiplicación paralela (=). REGLA DE TRES COMPUESTA Intervienen más de 2 magnitudes. La regla de 3 compuesta es el procedimiento de cálculo que permite hallar un valor, cuando se conocen un conjunto de valores correspondientes a varias magnitudes. Dos ordenadores cuestan 1700 dólares, ¿Cuánto costaran cinco ordenadores del mismo modelo? DATOS: SOLUCIÓN: 2 ordenadores por 1700 2x = 5(1700); 5 ordenadores x = 5(1700)/2; x = 4250 Si ocho trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿Cuánto tardaran cinco trabajadores en levantar el mismo muro? DATOS: SOLUCIÓN: 8 trabajadores tardan 15 horas 5x = 8(15); 5 trabajadores x = 8(15)/5; x = 24; Tres perros comen tres kilogramos de carne, en tres días, ¿Cuántos quilos de carne comerán cuatro perros en cuatro días? DATOS: SOLUCIÓN: 3 perros comen 3 kg en tres días x(3)(3) = 4(3)(4); 4 perros en 4 días x = 4(3)(4)/3(3); x = 16/3; x = 5,333333; DESARROLLE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 19. En un curso, la razón entre la cantidad de hombres y de mujeres es 3 ÷ 2. Si hay 24 hombres, ¿Cuántos estudiantes hay en total en el curso? 20. El perímetro de una cancha de fútbol mide 432 metros. Si la razón entre el ancho y el largo es 5 ÷ 75, ¿cuánto mide cada lado de la cancha? 21. Repartir 40 chuches a 3 alumnos proporcionalmente a las calificaciones obtenidas 4, 7 y 9. 8, 14,18 22. Si 3 entradas de cine cuestan 21 dólares, ¿Cuánto costaran 5 entradas iguales? 23. Si 8 hombres cortan 11 troncos en 6 horas, ¿Cuánto tiempo les llevara a 5 hombres cortar 3 troncos, trabajando a la misma velocidad? 24. Se compran 15 libras de una mercancía por $450. ¿A cómo sale el kilogramo? 25. Dos números están en relación de 5 a 3. Si el mayor es 655 ¿Cuál es el menor? 26. Si dos litros de gasolina cuestan 18,20 dólares, ¿Cuántos litros se pueden comprar con 50 dólares? 27. Una taza de agua eleva su temperatura en 5 °C al estar 45 minutos al sol, ¿Cuántos gados se elevara después de 2 horas? PORCENTAJE Número o cantidad que representa la proporcionalidad de una parte respecto a un total que se considera dividido en cien unidades. Un porcentaje es otra manera de identificar las partes de un número entero. De hecho, un porcentaje es un número fraccionario cuyo denominador es 100. Los porcentajes se representan utilizando el signo % (por ciento), como en 25%(veinticinco por ciento), es igual a 25/100 o al decimal 0.25. CASO 1: Queremos conocer un tanto por ciento de una cantidad N.B.M.T

Cantidad = 5000 personas x 0.16 personas = 800 personas; Calcula el 16 % de 5000 personas. 5000 – 100% x – 16% x = 5000(16)/100 = 800; 40 x 3 = 120; 40 – 100% Calcula el 300% de 40. x – 300% x = 40(300)/100 = 120; CASO 2: Obtención del tanto por ciento correspondiente a una proporción 800/5000 = x/100; x = 100(800/5000) = 16%; En una población de 5000 personas, 800 han leído 5000 – 100% El Quijote. ¿Qué porcentaje del total representan? 800 – x x = 800(100)/5000 = 16%; 3634/15800 = x/100; X= 100(3634/15800) = 23%; ¿Qué tanto por ciento representa 3634 m respecto a 15800 – 100% 15800 m? 3634 – x x = 3634(100)/15800 = 23%; CASO 3: ¿Cómo se calculan aumentos porcentuales? Un reloj de 50 aumenta su precio un 16 %. ¿Cuánto Aumento: 50(0.16) = 8; vale ahora? Precio: 50 + 8 = 58; Unas acciones que valían a principios de año 13.70, Aumento: 13.70(0.35) = 4.80; han subido un 35 %. ¿Cuánto valen ahora? Precio: 13.70 + 4.80 = 18.50; CASO 4: ¿Cómo se calculan disminuciones porcentuales? Una nevera valía 620. Se rebaja un 40 %. ¿Cuánto Disminución: 620(0.40) = 248; vale ahora? Precio: 620 – 248 = 372; En una comunidad autónoma había 69580 parados. Disminución: 69580(0.15) = 10437; Han disminuido un 15 %. ¿Cuántos parados hay Precio: 69580 – 10437 = 59143; ahora? CASO 5: ¿Cómo se calcula la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final? Precio inicial x aumento porcentual = precio final; Tras aumentar su precio un 35 %, un ordenador PI = PF/A; A = porcentaje total + porcentaje cuesta 783. ¿Cuánto valía antes de la salida? aumentado; PI = 783/(1.35) = 580; Precio inicial x disminución porcentual = precio final; PI = PF/D; D = porcentaje total – porcentaje En unos grandes almacenes, todos los artículos han disminuido; bajado un 35 %. Hemos comprado un cuadro por Cuadro: 195, una bicicleta por 78 y un libro por 14.30. PI = 195/(0.65) = 300; ¿Cuánto valía cada producto antes de las rebajas? Bicicleta: PI = 78/(0.65) = 120; Libro: PI = 14.30/(0.65) = 22; CASO 6: Encadenamientos de variaciones porcentuales Unas acciones que valían 1000 suben el 60 %. 1000(1.60)(1.25) = 2000; Después, vuelven a subir el 25 %. ¿Cuál es el 1000(1.60) = 1600; porcentaje total de la subida? 1600(1.25) = 2000; 800(1.50)(0.50) = 600; Una guitarra de 800 sube el 50 %. Después, baja el 800(1.50) = 1200; 50 %. ¿Queda como estaba? 1200(0.50) = 600; No queda como estaba, disminuye.

N.B.M.T

DESARROLLE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 28. La edad de patricio es el 40% de la de Orlando y hace 7 años la diferencia de sus edades era 30 años. ¿Cuál será la edad de patricio dentro de 15 años? 29. Un artículo se vende con una ganancia del 25% del precio de costo más 25% del precio de venta. Si al final se gana S/. 200. ¿Cuánto es el precio de venta? 30. En una fiesta el 30% del número de hombres es mayor que el 20% del número de mujeres en 120, siendo el número de mujeres el 30% del número de hombres. ¿Qué cantidad de hombres no bailan?, si sabe que el 50% de las mujeres que no bailan son tantas como las mujeres que están bailando. 31. El precio de un artículo se rebaja en 20% para volverlo al precio original el nuevo precio se debe aumentar en que porcentaje. 32. En un colegio, el 40% de los alumnos son mujeres. El número de mujeres aumento en 30% y el de los hombres disminuyo en 10% ¿En qué tanto por ciento ha variado el total de alumnos?

N.B.M.T