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• Leila Pérez Trujillo

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Derivadas aplicadas en la medicina La aplicación de las matemáticas, como las derivadas, en la medicina son muy frecuentes, las siguientes son algunas áreas en las que se aplican:  Cálculo específicamente el algoritmo se aplica a la epidemiología y el logaritmo a la inmunología.  Estadística, en la bioestadística.  Cálculo de variaciones, al cálculo de desviaciones respecto a la media en mensuraciones de la clínica.  Proceso estocástico se aplica ecocardiografía y la electroencefalografía, así como a otros métodos biomédicos.  Lógica proposicional a la informática médica.  Oncología  Inmunología, como en el método de Kaerber y el método de Reed y Muench  Virología  Fisiología humana, como en el análisis del control metabólico y la gasometría arterial  Instrumental diagnóstico, como la electroencefalografía y la ecocardiografía  Informática médica, como en Cytoscape y STING  Epidemiología, como en el modelaje matemático de epidemias y la bioestadística  Genética, como en la predicción de genes, la frecuencia genotípica y la frecuencia génica

Ejercicios donde se aplican las derivadas: 1. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función v(t)=40 +15t-9t2+13,donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde que comienza en estudio (t=0)indicar los instantes de máximo y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece. Solución del ejercicio: Para que la función tenga un máximo o mínimo la derivada debe ser cero. V(t)=15-18t+3t2 igualando a 0,

3t2-18t+15=0

Simplificando t2-6t+5=0 cuyas soluciones son 5 y 1. Ahora se va a ver quién es el máximo y quien es el mínimo de la función, en el intervalo [0 ,6] que tiene que estar entre dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de weirtrars). Se ordena la función v por comodidad, v (t)= t3-9t2+15t+40 V (0)=40 V(5)=125-225+75+40=15 V(1)=1-9+15+40=47 V(6)=216-324+90+40=22 Se puede determinar que la máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas. Para observar los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V(t)=3t2-18t+15

O V’

1

5

6

+0

-0

+

Después v crece desde 0 a 1 desde 5 a 6, (crece en (0,1) unión (5,6) y decrece en el intervalo (1,5) Observando la gráfica de la función se puede ver lo que se ha deducido.

Máximo y mínimo de derivada Para determinar si existe un máximo o un mínimo de derivada basta graficar

alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración. Un punto más que hay que considerar es tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signo para la derivada por ejemplo para el caso de de la función: La función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x=0, pese a eso si existe un mínimo local. Valores máximos y mínimos de una funciones Aplicado a una derivada de una función, determinamos los intervalos en que la es creciente o decreciente a viceversa. Si f es una función cuyo valor es c, se tiene que: A) F( C) se llama valor máximo de f si existe un intervalo (a, b) que contiene a c tal que f(x) f (c ) para todo x en dicho intervalo ,es decir ,si f (c ) es menor que uno cualquiera de los valores de f( x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado. Ejemplo: sea f la función definida por f(x)=x2-4+5 Entonces f(x)=2x-4. Como f (2)=0, f puede tener un extremo relativo en 2. Puesto que f (2)=1 y 12, concluimos que f tiene un valor mínimo relativo en 2. En la grafica se puede observar que la función tiene un valor máximo MA (=y=2) cuando x=1 y un valor mínimo NB (=y=1) cuando x =2 Máximos de una Función. En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativo, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'( xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (Se anula y cambia de signo). Máx. En (a, f) (a)

Mínimos de una Función. En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene

un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín. en (b, f (b). Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo). EJEMPLO: Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.

De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración. Un punto mas a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:

la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

Criterios de la primera derivada La base de l criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos: 1) Cuando la derivada es positiva la función crece. 2) cuando la derivada es negativa la función decrece. 3) cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo. Sea f(x) una función y c un numero en su dominio .supongamos que existe a y b con a