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DEDUCCION DE LA ECUACION DE EULER – LAGRANGE UTILIZANDO CALCULO ELEMENTAL

En este trabajo nos hemos basado en “Deribing Lagrane’s Equation Using Elementary Calculus” por Josef Hanc, Edwin F. Taylor y Slavomir Tuleja. Nos enfocaremos en el trabajo de Euler. Su programa consiste en:  Dividir a la curva a-z en intervalos finitos,(Figura 2). Esta curva representa, por hipótesis, un trayecto extremo. o Ejemplo: Puede ser la forma que debe de tener la poa de una submarino para tener la resistencia mínima al agua.  Reemplazar por una suma a la integral a ser minimizada.  Evaluar la suma en M y N (Figura 2) donde se produce una variación en la ordenada (de N-n hacia N-v).}

VARIACION N

 Primero dividimos la curva a-z (Figura 2) en intervalos finitos Δx y escogemos dos puntos cualesquiera, Xk , Xk+1 . Por la razón de que han sido escogidos arbitrariamente, el Segundo Principio nos asegura que sea donde quiera que estemos sobre la curva a-z, siempre estaremos un segmento extremo.

 Segundo reemplazamos la integral a sir minimizada por una suma:

 Tercero evaluamos la suma en Xk y Xk+1 justo donde está la variación v, para formar los elementos Lk y Lk+1 siendo,

 Estas son las funciones cuya estructura trataremos de dilucidar cuando se alejan respecto a la ordenada ‘y’ en una cantidad infinitesimal de segundo orden.

Con tal fin, derivamos Lk = F(yk, y’k,,xk) Δxk con respecto a yk ,

Arreglamos términos,

O, lo que es lo mismo,

Por la razón de que,

 Operandi de la misma maneara con Lk+1 y teniendo en cuenta que la pendiente Δy/Δx=-y’ del segmento v - o es negativa, obtenemos,

 Como buscamos el comportamiento de todo el segmento m – o, sumamos y, para encontrar la

diferencia mínima, igualamos a 0:

 Arrelando nuevamente términos y teniendo en cuenta que y’k+1 – y’k=dy’ obtenemos:

 Recordando que estamos tratando con cantidades cercanas como queramos, finalmente escribimos la última expresión como

Que es la famos Ecuaci+on de Euler-Lagrange.