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• Josafat Plascencia

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Andrés Miniguano Trujillo

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Deber 11: INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Y LA VARIANZA VARIAS MUESTRAS 1. En un estudio comparativo en dos ciudades 𝑴 y 𝑷, de la concentración de calcio en el agua potable (como parte de la valoración de la calidad del agua), se obtuvieron los siguientes datos, en partes por millón: 𝑴 ∶ 9.5 9.6 9.3 9.5 8.7 9.3 9.4 8.5 9.1 9.7 9.8 𝑷 : 9.1 8.4 9.6 8.9 9.2 9.6 9.7 9.8 9.9 9.6 8.1 9.2 8.9 𝑛1 = 11 𝑛

5

𝑖=1

𝑖=1 5

1 1 512 ̅̅̅ 𝑋1 = ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 = ≈ 9.3091 𝑛 11 55 𝑛

1 1 512 2 224 2 2 2 2 ̅ ) 𝑠1 = (∑ 𝑥𝑖 − 𝑛(𝑋 ) = (∑ 𝑥𝑖 − 11 ( ) )= ≈ 0.1629 𝑛−1 10 55 1375 𝑖=1

𝑛2 = 13

𝑖=1

120 ̅̅̅ 𝑋2 = ≈ 9.2308 13 469 𝑠22 = ≈ 0.300641 1560

¿Qué se puede asegurar respecto a las varianzas y a las medias de la concentración de calcio en el agua potable de las dos ciudades? 𝛼 Nivel de significancia: 2% ⇒ 𝛼 = 0.02, ⇒ = 0.01 2 a) Varianza 𝜎12 𝐻𝑜 : 2 = 1 𝜎2 𝜎12 𝐻𝑎 : 2 ≠ 1 𝜎2 224 224 1375 1375 2 2 ⁄469 ⁄469 𝑠1 𝑠 ⁄ 2 1⁄ 2 2 𝜎12 𝜎12 𝑠2 𝑠2 1560 , 1560 ≡ 𝜎1 ∈ [0.1261, 2.55] ∈ , ≡ ∈ 1 𝐹𝛼 𝐹1−𝛼 𝐹0.01(10,12) 𝜎22 𝜎22 𝜎22 2 2 𝐹0.01(12,10) [ ] [ ] Como el valor propuesto pertenece al intervalo, no se rechaza 𝐻𝑜 . Es posible que las varianzas sean iguales. b) Media Supongamos que las varianzas cumplen: 𝜎12 = 𝜎22 = 𝜎 2 , estimando: 224 469 (𝑛1 − 1)𝑠12 + (𝑛2 − 1)𝑠22 10 1375 + 12 1560 37443 2 𝑠𝑝 = = = ≈ 0.23804 (𝑛1 − 1) + (𝑛2 − 1) 22 157300 𝐻𝑜 : 𝜇1 − 𝜇2 = 0 𝐻𝑎 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0

Andrés Miniguano Trujillo

𝑎12 𝜎12 𝑎22 𝜎22 ̅̅̅ ̅̅̅ √ (𝑎 ) 𝜇1 − 𝜇2 ∈ 1 𝑋1 − 𝑎2 𝑋2 ± 𝑧𝛼 + 𝑛1 𝑛2 1 1 ̅̅̅1 − ̅̅̅ 𝜇1 − 𝜇2 ∈ (𝑋 𝑋2 ) ± 𝑡𝛼 𝑠𝑝 √ + 𝑛1 𝑛2 2 512 120 37443 1 1 √ + − ± 𝑡0.01 (22)√ 55 13 157300 11 13 ≡ 𝜇1 − 𝜇2 ∈ [−0.42303, 0.57967] No se rechaza 𝐻𝑜 ; es decir, se puede suponer que las dos ciudades tienen la misma media de concentración de calcio en el agua. ≡ 𝜇1 − 𝜇2 ∈

2. El director de presupuesto de una empresa desea determinar si hay alguna diferencia en las cuentas de gastos de representación de los ejecutivos de dos departamentos de la empresa. Selecciona una muestra aleatoria de 15 cuentas de gastos del Departamento 1 y 18 cuentas de gastos del Departamento 2 con los siguientes resultados: Departamento 1 Departamento 2 ̅̅̅ ̅̅̅ 𝑋1 = 27,500 𝑋2 = 23,250 𝑠1 = 6,000 𝑠1 = 7,500 2.1. ¿Es la varianza en las cuentas de gastos en el Departamento 2 mayor que en el Departamento 1? 𝜎12 𝐻𝑜 : 2 = 1 𝜎2 𝜎12 𝐻𝑎 : 2 < 1 𝜎2 𝑠22 60002 16 𝐸𝑑𝑃: 𝐹𝑜 = 2 = = = 0.64 𝑠1 75002 25 𝑅𝑑𝑅: 𝐹𝑜 > 𝐹𝛼, 𝑛2 −1, 𝑛1 −1 𝐹0.01,17,14 = 3.5857 ⇒ 𝐹𝑜 < 𝐹𝛼 No, existe evidencia estadística para afirmar que la varianza del segundo departamento no es mayor que la del primero mas que son iguales. 2.2. ¿Es más alto el gasto de representación promedio en el Departamento 1? 𝐻𝑜 : 𝜇1 − 𝜇2 = 0 𝐻𝑎 : 𝜇1 − 𝜇2 > 0 14(6000)2 + 17(7500)2 𝑠𝑝2 = ≈ 6863.29652 31 ̅̅̅1 − ̅̅̅ (𝑋 𝑋2 ) − 0 27500 − 23250 𝐸𝑑𝑃: 𝑡𝑜 = = = 1.7713 1 1 2 2 𝜎 𝜎 6863.2965√ + 18 √ 1 + 2 15 𝑛1 𝑛2 𝑅𝑑𝑅: 𝑡𝑜 > 𝑡𝛼, 𝑛2 −1+𝑛1 −1 𝑡0.01 (31) = 2.4528 ⇒ 𝑡𝑜 > 𝑡𝛼 Se rechaza 𝐻𝑜 y se acepta 𝐻𝑎 ; es decir, existe evidencia estadística para afirmar que es más alto el gasto de representación promedio en el departamento 1.

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3. Un investigador médico está estudiando el peso de los niños al nacer. Selecciona una muestra aleatoria de 5 varones y 6 mujeres, entre los nacidos en el hospital el año anterior. El peso al nacer (en libras) fue el siguiente: 5.3 2.8 6.4 6.8 7.4 Varones Mujeres 8.0 4.7 7.3 6.2 3.4 5.5 5.74 5.85 𝑋̅𝑖 2 2.859 3.288 𝑠𝑖 5 6 𝑛 3.1. ¿Hay diferencia en las varianzas de los pesos al nacer, entre los varones y las mujeres? 𝜎12 𝐻𝑜 : 2 = 1 𝜎2 𝜎12 𝐻𝑎 : 2 ≠ 1 𝜎2 𝑠12 𝑠12 ⁄2 ⁄2 3.288⁄ 3.288⁄ 2 𝜎12 𝜎12 𝑠2 𝑠2 2.859 , 2.859 ] ≡ 𝜎1 ∈ [0.101, 17.85] ∈ , ≡ ∈ [ 1 𝐹𝛼 𝐹1−𝛼 𝐹0.01(4,5) 𝜎22 𝜎22 𝜎22 2 2 𝐹0.01(5,4) [ ] Como el valor propuesto pertenece al intervalo, no se rechaza 𝐻𝑜 . Es posible que las varianzas sean iguales. Entonces es posible que no haya diferencia entre las varianzas de los pesos al nacer entre las dos poblaciones. 3.2. ¿Hay diferencia en el peso al nacer, entre los varones y las mujeres? Supongamos que las varianzas cumplen: 𝜎12 = 𝜎22 = 𝜎 2 , estimando: 4(3.288) + 5(2.859) 9149 𝑠𝑝2 = = ≈ 3.05[𝑙𝑏] 9 3000 𝐻𝑜 : 𝜇1 − 𝜇2 = 0 𝐻𝑎 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0 1 1 ̅̅̅1 − ̅̅̅ 𝜇1 − 𝜇2 ∈ (𝑋 𝑋2 ) ± 𝑡𝛼 𝑠𝑝 √ + 𝑛1 𝑛2 2 9149 1 1 √ + ≡ 𝜇1 − 𝜇2 ∈ 5.74 − 5.85 ± 𝑡0.01 (9)√ 3000 5 6 ≡ 𝜇1 − 𝜇2 ∈ [−3.0935, 2.8735] No se rechaza 𝐻𝑜 ; es decir, se puede suponer que no hay diferencia en el peso al nacer entre varones y mujeres. 4. Se administraron dos nuevos medicamentos a pacientes con un padecimiento cardíaco. El primer medicamento bajó la presión sanguínea de 16 pacientes en un promedio de 11 puntos, con una desviación estándar de 6 puntos. El segundo medicamento bajó la presión sanguínea de otros 20 pacientes en un promedio de 12 puntos, con una desviación estándar de 8 puntos. Determinar un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en la reducción media de la presión sanguínea, al suponer que las mediciones tienen distribuciones normales con la varianza iguales. Medicamento 1 Medicamento 2 𝑛 = 16 𝑛 = 20 ̅̅̅ ̅̅̅ 𝑋1 = 11 𝑋2 = 12 𝑠1 = 6 𝑠2 = 8

Andrés Miniguano Trujillo

1 − 𝛼 = 0.95 ⇒ 𝛼 = 0.05 ⇒ 𝑠𝑝2 =

𝛼 = 0.025 2

15(36) + 19(64) 878 = ≈ 7.1872 [𝑝𝑡𝑠 2 ] 34 17 𝐻𝑜 : 𝜇1 − 𝜇2 = 0 𝐻𝑎 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0

1 1 ̅̅̅1 − ̅̅̅ 𝜇1 − 𝜇2 ∈ (𝑋 𝑋2 ) ± 𝑧𝛼 𝑠𝑝 √ + 𝑛1 𝑛2 2 1 1 𝜇1 − 𝜇2 ∈ 11 − 12 ± 𝑧0.025 7.187√ + 16 12 𝜇1 − 𝜇2 ∈ [−6.379, 4.379] Se estima que las medias son de igual valor para las poblaciones. 5. Se registraron las áreas (en hectáreas) que ocupan los caimanes, según las estaciones, en un lago de las cercanías de Gainesille, Florida, por biólogos de la Comisión para la Caza y la Pesca de Florida. Cinco caimanes registrados en la primavera mostraron áreas de 8.0, 12.1, 8.1, 18.2 y 31.7. Cuatro caimanes registrados en la primavera mostraron áreas de 102.0, 81.7, 54.7 y 50.7. Estimar la diferencia en el promedio de las áreas en la primavera y el verano, por medio de un intervalo de confianza de 95%. ¿Qué supuestos deben establecerse? Muestra 1 Muestra 2 𝑛=5 𝑛=4 ̅̅̅ 𝑋1 = 15.62 ̅̅̅ 𝑋2 = 72.275 2 𝑠1 = 98.057 𝑠22 = 698707⁄1200 𝛼 1 − 𝛼 = 0.95 ⇒ 𝛼 = 0.05 ⇒ = 0.025 2 Primero se supone que las varianzas entre poblaciones son de igual valor. En tal caso su estimado es: 4(98.057) + 3(698707⁄1200) 𝑠𝑝2 = ≈ 17.4812 [ℎ𝑒𝑐𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎2 ] 7 1 1 ̅̅̅1 − ̅̅̅ 𝜇1 − 𝜇2 ∈ (𝑋 𝑋2 ) ± 𝑡𝛼 𝑠𝑝 √ + 𝑛1 𝑛2 2 1 1 𝜇1 − 𝜇2 ∈ 15.62 − 72.275 ± 𝑡0.025 (9)17.481√ + 5 4 𝜇1 − 𝜇2 ∈ [−83.182, −30.128]

Andrés Miniguano Trujillo

6. En un estudio sobre la relación entre la participación en deportes y la destreza manual se tomó una muestra de 37 alumnos que participaron en deportes y se obtuvo en destreza manual una media de 32.19 y desviación estándar de 4.34. De una muestra independiente de 37 alumnos que no participaron en deportes se obtuvo en destreza manual una media de 31.68 y desviación estándar de 4.56. Muestra 1 Muestra 2 𝑛 = 37 𝑛 = 37 ̅̅̅ 𝑋1 = 32.19 ̅̅̅ 𝑋2 = 31.68 2 2 𝑠1 = 4.34 𝑠22 = 4.562 6.1. Halle los intervalos de confianza para la diferencia de medias con un nivel del 90%. Se supone que las varianzas entre poblaciones son de igual valor. En tal caso su estimado es: 36(4.342 ) + 36(4.562 ) 𝑠𝑝2 = = 19.8146 72 1 − 𝛼 = 0.90 ⇒ 𝛼 = 0.10 ⇒

𝛼 = 0.05 2

1 1 ̅̅̅1 − ̅̅̅ 𝜇1 − 𝜇2 ∈ (𝑋 𝑋2 ) ± 𝑧𝛼 𝑠𝑝 √ + 𝑛1 𝑛2 2 2 𝜇1 − 𝜇2 ∈ 32.19 − 31.68 ± 𝑧0.05 √19.8146√ 37 𝜇1 − 𝜇2 ∈ [−1.192, 2.212] 6.2. ¿Podría asegurarse que la calificación promedio de destreza manual difiere siempre, entre los que participan y los que no participan en deportes? 𝐻𝑜 : 𝜇1 − 𝜇2 = 0 𝐻𝑎 : 𝜇1 − 𝜇2 > 0 𝐸𝑑𝑃: 𝑧𝑜 =

̅̅̅1 − ̅̅̅ (𝑋 𝑋2 ) − 0 𝜎2 √ 1 𝑛1

+

𝜎22 𝑛2

=

32.19 − 31.68 2 √19.8146√37

= 0.4928

𝑅𝑑𝑅: 𝑧𝑜 > 𝑧𝛼 𝑧0.10 = 1.2816 ⇒ 𝑧𝑜 < 𝑧𝛼 No se rechaza la hipótesis nula; es decir, que estadísticamente no se puede eliminar la opción de una media común, por lo que probablemente el promedio de destreza manual no difiere siempre. 6.3. ¿Podría asegurarse que la varianza en destreza manual de los que no participaron en deportes es mayor que la varianza de los que si participaron? 𝜎12 𝐻𝑜 : 2 = 1 𝜎2 𝜎12 𝐻𝑎 : 2 < 1 𝜎2 𝑠22 4.562 𝐸𝑑𝑃: 𝐹𝑜 = 2 = ≈ 1.10395 𝑠1 4.342 𝑅𝑑𝑅: 𝐹𝑜 > 𝐹𝛼, 𝑛2 −1, 𝑛1 −1

Andrés Miniguano Trujillo

𝐹0.1,36,36 = 1.54004 ⇒ 𝐹𝑜 < 𝐹𝛼 No se rechaza la hipótesis nula, existe evidencia estadística para afirmar que la varianza en destreza manual de los no participantes es igual a la varianza de los que participaron. 7. De dos poblaciones se han obtenido la siguientes muestras: 106, 107, 108, 106, 105, 103, 106, 108, 105, 109 104, 102, 109, 108, 105, 108, 107, 106, 103, 102 Muestra 1 Muestra 2 𝑛 = 10 𝑛 = 10 ̅̅̅ 𝑋1 = 106.3 ̅̅̅ 𝑋2 = 105.4 281 302 𝑠12 = 𝑠22 = 90 45 7.1. ¿Se puede aceptar que las varianzas son iguales? 𝜎12 𝐻𝑜 : 2 = 1 𝜎2 𝜎12 𝐻𝑎 : 2 ≠ 1 𝜎2 281 𝑠12 𝐸𝑑𝑃: 𝐹𝑜 = 2 = 90 ≈ 0.4652 302 𝑠2 45 𝑅𝑑𝑅: 𝐹𝑜 > 𝐹𝛼, 𝑛 −1, 𝑛 −1 2

1

2

𝐹0.01,9,9 = 5.3511 ⇒ 𝐹𝑜 < 𝐹𝛼 2

No se rechaza la hipótesis nula; es decir, existe evidencia estadística para afirmar que es posible que las varianzas sean iguales. 7.2. Supuesto que la varianzas son iguales, ¿Se puede asegurar que las medias son iguales? 281 302 9 90 + 9 45 = 59 2 𝑠𝑝 = 18 12 𝐻𝑜 : 𝜇1 − 𝜇2 = 0 𝐻𝑎 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0 𝐸𝑑𝑃: 𝑧𝑜 =

̅̅̅1 − ̅̅̅ (𝑋 𝑋2 ) − 0 𝜎2 √ 1 𝑛1

+

𝜎22 𝑛2

=

106.3 − 105.4 √59 √ 2 12 20

= 1.2835

𝑅𝑑𝑅: |𝑧𝑜 | > 𝑧𝛼 2

𝑧0.01 = 2.3263 ⇒ |𝑧𝑜 | < 𝑧𝛼 2

No se rechaza la hipótesis nula, existe evidencia estadística para decir que es posible que las medias sean iguales.

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8. En un experimento, en el cual se debe medir el tiempo empleado, los grupos A y B han obtenido los siguientes valores, en segundos. Grupo A: 26, 22, 25, 34, 29, 32 Grupo B: 30, 33, 28, 24, 34, 25 Grupo A Grupo B 𝑛=6 𝑛=6 ̅̅̅ 𝑋𝐴 = 28 ̅̅̅̅ 𝑋𝐵 = 29 2 𝑠𝐴 = 20.4 𝑠𝐵2 = 16.8 8.1. ¿Cuál es el valor que más representa el tiempo que demora el experimento, para cada grupo? La media es el valor que mejor representa a una muestra basada en datos cuantitativos. Por lo que: ̅̅̅ 𝑋𝐴 = 28 [𝑠], ̅̅̅̅ 𝑋𝐵 = 29[𝑠]. 8.2. ¿Cuál de las dos muestras escogería, como representante de los resultados del experimento? Escogería a la segunda muestra pues la variabilidad es menor en relación a la de la primera, esto influye directamente en la desviación estándar, la distancia entre los puntos y la media se minimiza, entonces el más viable arriesgar la media a despreciar una variabilidad baja. 8.3. ¿Hay diferencia entre las varianzas? 𝜎12 =1 𝜎22 𝜎12 𝐻𝑎 : 2 ≠ 1 𝜎2 𝐻𝑜 :

𝑠𝐴2 20.4 17 = = ≈ 1.2143 𝑠𝐵2 16.8 14 𝑅𝑑𝑅: 𝐹𝑜 > 𝐹𝛼, 𝑛 −1, 𝑛 −1 𝐸𝑑𝑃: 𝐹𝑜 =

2

1

2

𝐹0.01,5,5 = 10.967 ⇒ 𝐹𝑜 < 𝐹𝛼 2

No se rechaza la hipótesis nula; es decir, existe evidencia estadística para afirmar que es posible que las varianzas sean iguales. 8.4. ¿Hay diferencia entre las medias? 𝑠𝑝2 =

20.4 + 16.8 = 18.6 2

𝐻𝑜 : 𝜇1 − 𝜇2 = 0 𝐻𝑎 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0 𝐸𝑑𝑃: 𝑡𝑜 =

̅̅̅1 − ̅̅̅ (𝑋 𝑋2 ) − 0 𝜎2 √ 1 𝑛1

𝜎2 + 𝑛2 2

=

28 − 29 2 √18.6√6

= −0.4016

𝑅𝑑𝑅: |𝑡𝑜 | > 𝑡𝛼 2

𝑡0.01 (10) = 2.764 ⇒ |𝑧𝑜 | < 𝑧𝛼 2

No se rechaza la hipótesis nula, existe evidencia estadística para decir que es posible que las medias sean iguales.