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Departamento de Eléctrica y Electrónica Ingeniería Electrónica en Automatización y Control Antenas Tarea N° 6 Cardama y Balanis Autor

Danny Rodríguez Tutor

Ing. Manuel Darío Duque Cajas NRC

4227 Marzo 2019 - Agosto 2019

1 Cuestiones – Capitulo 6 6.1 Una apertura elemental cuadrada, de lado 1cm, recibe una señal de 150 MHz. Su área efectiva es: a) b) c) d)

1 𝑚𝑚2 1 𝑐𝑚2 1 𝑑𝑚2 𝟏 𝒎𝟐



Para aperturas grandes en términos de la longitud de onda, resultan unos anchos de haz del orden de 𝜆/𝑎 y 𝜆/𝑏 en cada plano principal. El área efectiva puede obtenerse a partir de:

c 3x108 λ= = =2m f 150x106 λ2 22 Aef = = = 1 m2 4 4

6.2 Una apertura rectangular iluminada por un campo 𝑬𝟎 y de dimensiones 𝒂 𝒙 𝒃 radia un campo en la dirección normal de valor 𝑬𝟏 = 𝑪𝟏 /𝒓. Al reducir las dimensiones de la apertura a 𝒂/𝟐 𝒙 𝒃/𝟐, manteniendo el mismo campo 𝑬𝟎 , el campo radiado en la dirección normal es de valor 𝑬𝟐 = 𝑪𝟐 /𝒓. La relación 𝑪𝟏 /𝑪𝟐 vale: a) b) c) d)

16 8 4 2

Dimensiones para:

E1 =

c1 => c1 = E0 ∗ a ∗ b ∗ r r

E2 =

c2 a b => c2 = E0 ∗ ∗ ∗ r r 2 2

c1 E0 ∗ a ∗ b ∗ r = =4 c2 E ∗ a ∗ b ∗ r 0 2 2 6.11 Se sitúa un dipolo de /2 paralelo a las paredes de un diedro de 90°, en la bisectriz del mismo. Si se suponen efectos mutuos despreciables y una separación del vértice de 𝒔 = 𝟎, 𝟓𝝀, tendremos que la directividad vale: a) 2,1 dB 

b) 14,2 dB

c) 10 dB

d) 6 dB

El análisis de imágenes es exacto si los planos se extienden hasta el infinito y se obtiene para separaciones d del dipolo a la arista en el margen 0,3𝜆 - 0,7𝜆, una directividad

próxima a 10 dB para reflector de 90° y de 13 dB para diedro de 60°, sobre el valor de un dipolo aislado. 6.12 Si un dipolo elemental, alimentado a un paraboloide de relación 𝒇/𝑫𝒂 = 0,4, radia 1 vatio, la amplitud del campo eléctrico en el borde del reflector en el plano H del dipolo, para una distancia focal f=1m, valdrá: a) 4,8 V/m 

b) 2,4 V/m

c) 1,2 V/m

d) 0,6 V/m

La magnitud de la energía en la componente eléctrica y en la magnética es exactamente la misma. La variación de una componente resulta en la formación de otra. Si ambas componentes tienen la misma energía, la determinación de una componente dará el valor de la otra. La intensidad de campo esperada en el espacio libre a una distancia d de una antena transmisora está dada por:

Da 2 ( ) = 4f(f − za′ ); 2 cot β =

f − za′ =

D2a 16f

za′ 2f 1 = = Da Da 4 tg(β/2) 2

Da β = 2f tg ( ) ; 2 2

f 1 = Da 4 tg(β/2)

E = 4.8 V/m 6.13 En un reflector parabólico de 𝒇 /𝑫𝒂 = 𝟎. 𝟐𝟓, alimentado por una apertura elemental, el decaimiento en bordes respecto al centro vale: a) -3 dB

b) -6 dB

c) -12 dB

𝜷 = 𝜽′ = 𝟗𝟎º

d) -18 dB

Se tiene una ley de iluminación de tipo 𝝉(𝜽′ ) = −𝟏𝟐𝒃𝑩

2 Problemas-Balanis – Capitulo 7 7.1. Una matriz de tres elementos se coloca a lo largo del eje z. Asumiendo el espacio entre los elementos son 𝒅 = 𝝀/𝟒 y la excitación de amplitud relativa es igual a 𝒂𝟏 = 𝟏, 𝒂𝟐 = 𝟐, 𝒂𝟑 = 𝟏, (a) Encuentre los ángulos donde el factor de matriz desaparece cuando 𝛽 = 0, 𝜋/2, 𝜋 𝑦 3𝜋 / 2 (b) traza el patrón relativo para cada factor de matriz Usa el método de Schelkunoff.

Usando el factor de arreglo 𝐴𝐹 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑧 + 𝑎3 𝑧 2 = 1 + 2𝑧 + 𝑧 2 = (1 + 𝑧)2 Que tiene dos raíces y ambas ocurren en z = -1

a) Los nulos del factor de matriz se pueden encontrar configurando z =-1, por lo tanto: 𝑧 = 𝑒 𝑗(𝑘𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃+𝛽) = −1 → 𝑘𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝛽 = ±(2𝑛 + 1)𝜋, 𝑛 = 0, 1, 2 … Para 𝑑 = 𝜆/4 𝑘𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝛽 =

2𝜋 𝜆 𝜋 ( ) cos 𝜃 + 𝛽 = cos 𝜃 + 𝛽 = ±(2𝑛 + 1)𝜋, 𝑛 = 0, 1, 2 … 𝜆 4 2

2 𝜃 = cos−1 [ (−𝛽 + (2𝑛 + 1)𝜋 )] , 𝑛 = 0, 1, 2 … 𝜋 Para 𝛽 = 0; 𝜃 = cos−1[±2(2𝑛 + 1)] = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠.

Para 𝛽 =

𝜋 2

𝜃 = cos−1[2(0.5 ± (2𝑛 + 1))] Para 𝑛 = 0 → 𝜃 = cos −1 [2(−0.5 ± 1)] Usando el signo + entre los dos términos 𝜃 = cos −1 (+1) = 0° Para 𝛽 = 𝜋 𝜃 = cos −1 [2(−1 ± (2𝑛 + 1))] Para 𝑛 = 0 → 𝜃 = cos −1 [2(−1 ± 1)] = cos −1 (0) = 90°

Para 𝛽 =

3𝜋 2

𝜃 = cos−1[2(−1.5 ± (2𝑛 + 1))] Para 𝑛 = 0 → 𝜃 = cos −1 [2(−1.5 ± 1)] = cos−1(−1) = 180°

b) Patrón relativo

7.2. Diseñe una matriz lineal de elementos isotrópicos colocados a lo largo del eje z de modo que los ceros del factor de matriz aparecen en 𝜽 = 𝟎°, 𝟔𝟎°, y 𝟏𝟐𝟎°. Supongamos que el los elementos están separados 𝝀/𝟒 y que el cambio de fase progresivo entre ellos es 𝟎°. (a) Encuentre el número requerido de elementos. (b) Determinar sus coeficientes de excitación. (c) Escribe el factor de matriz. (d) Grafique el patrón de factor de matriz para verificar la validez del diseño. Verificar mediante el programa informático de síntesis. a) Para 𝛽 = 0 y 𝑑 = 𝜆/4 Tenemos que: Ψ = 𝑘𝑑𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝛽 = Reduciéndose a:

2𝜋 𝜆 𝜋 ( ) cos 𝜃 = cos 𝜃 𝜆 4 2

𝜋 θ = 0°: Ψ = Ψ1 = → 𝑧1 = 𝑗 2 𝜋 1 𝜋 θ = 60°: Ψ = Ψ2 = ( ) = → 𝑧2 = (1 + 𝑗)/√2 2 2 4 θ = 120°: Ψ = Ψ3 =

𝜋 1 𝜋 (− ) = − → 𝑧3 = (1 − 𝑗)/√2 2 2 4

Por lo tanto, el factor de matriz de (7-5) se puede escribir como: 𝐴𝐹 = (𝑧 − 𝑧1 )(𝑧 − 𝑧2 )(𝑧 − 𝑧3 ) = (𝑧 − 𝑗)(𝑧 − (1 + 𝑗)/√2)(𝑧 − (1 − 𝑗)/√2) (= 𝑗 + (1 + 𝑗√2)𝑧 − (√2 + 𝑗)𝑧 2 + 𝑧 3 𝐴𝐹 = (1)𝑒 −

𝑗3𝜋 2

+ (1.732)𝑒 𝑗0.9553 𝑧 + (1.732)𝑒 𝑗3.757 𝑧 2 + (1)𝑧 3

Otra forma de expresar seria 𝑗𝜋

𝐴𝐹 = (1)𝑒 − 2 + (1.732)𝑒 𝑗0.9553 𝑧 + (1.732)𝑒 𝑗2.526 𝑧 2 + (1)𝑧 3 𝐴𝐹 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑧 + 𝑎3 𝑧 2 + 𝑎4 𝑧 3 ∴Requiere 4 elementos N=4 b) Los coeficientes de excitación son iguales a : ∴ 𝒂𝟏 = (1)𝑒 −

𝑗3𝜋 2

𝑗𝜋

= 𝑒 − 2 = 1 < 3𝜋/2 = 1 < −𝜋/2

∴ 𝒂𝟐 = (1.732)𝑒 𝑗0.9553 = 1.732 < 0.9553 ∴ 𝒂𝟑 = (1.732)𝑒 𝑗3.757 = (1.732)𝑒 −𝑗2.526 = 1.732 < 3.757 = 1.732 < −2.526 ∴ 𝒂𝟒 = 1 = 1 < 0 c) ∴ La matriz de factores viene dada por cualquiera de las dos formas anteriores. d) El factor de matriz se traza y se muestra a continuación

7.3. Para minimizar la interferencia entre el sistema operativo, cuya antena es una matriz lineal con elementos colocados a lo largo del eje z, y otros no deseados fuentes de radiación, se requiere que los nulos se coloquen en ángulos de elevación de 𝜽 = 𝟎°, 𝟔𝟎°, 𝟏𝟐𝟎°, 𝒚 𝟏𝟖𝟎°. Los elementos serán separados con un uniforme. Espaciamiento de 𝝀/𝟒. Elija un método de síntesis que le permita diseñar tales Una matriz que satisfaga los requisitos del patrón de amplitud de la matriz. factor. Para cumplir los requisitos: (a) Especifique el método de síntesis que utilizará. (b) Determine el número de elementos. (c) Encuentre los coeficientes de excitación. a) El método a usarse es de Schelkunoff. 𝐴𝐹 = 𝑧(𝑧 4 − 1) = −𝑧 + 𝑧 5 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑧 + 𝑎3 𝑧 2 + 𝑎4 𝑧 3 + 𝑎5 𝑧 4 + 𝑎6 𝑧 5 Por lo tanto 𝑎1 = 𝑎3 = 𝑎4 = 𝑎5 = 0 𝑎2 = −1 = 1 < 180° 𝑎3 = +1 = 1 < 0° ∴ Total de 6 elementos, cuatro de los cuales son elementos nulos. Por lo tanto solo 2 elementos activos. b) 𝑧1 = 0

𝑧4 = 3𝑑

𝑧2 = 𝑑

𝑧5 = 4𝑑

𝑧3 = 2𝑑 𝑧6 = 5𝑑 El espaciamiento de entre los elementos activos es también 𝑧6 − 𝑧2 = 4𝑑 c) Los coeficientes de excitación se los obtuvo en el ítem a 7.4. Se desea sintetizar una serie discreta de dipolos infinitesimales verticales colocados a lo largo del eje z con un espaciado de 𝒅 = 𝝀/𝟐 entre los elementos adyacentes. Se desea que el factor de matriz tenga nulos a lo largo de 𝜽 = 𝟔𝟎° , 𝟗𝟎°, 𝒚 𝟏𝟐𝟎°. Asumir No hay excitación de fase progresiva inicial entre los elementos. Conseguir esto, determinar: (a) Número de elementos. (b) excitación de los coeficientes. (c) ángulos (en grados) de todos los nulos de toda la matriz (incluidos los reales elementos). a) 𝐴𝐹 = 𝑧(𝑧 3 − 1) = −𝑧 + 𝑧 4 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑧 + 𝑎3 𝑧 2 + 𝑎4 𝑧 3 + 𝑎5 𝑧 4 Por lo tanto 𝑎1 = 𝑎3 = 𝑎4 = 0 𝑎2 = −1 = 1 < 180°

𝑎5 = +1 = 1 < 0° ∴ Total de 5 elementos, cuatro de los cuales son elementos nulos. Por lo tanto solo 2 elementos activos. b) 𝑧1 = 0

𝑧4 = 3𝑑

𝑧2 = 𝑑

𝑧5 = 4𝑑

𝑧3 = 2𝑑 El espaciamiento de entre los elementos activos es también 𝑧5 − 𝑧2 = 3𝑑 ∴Los coeficientes de excitación se los obtuvo en el ítem a c) 𝑧5 − 𝑧2 = 1.5𝜆, 𝑑 = 0.5𝜆 Los nulos del factor de la matriz encontrados y usados son los siguientes 𝐴𝐹 = 𝑧(𝑧 3 − 1) = 𝑒 𝑗𝜋cosθ (𝑒 𝑗3𝜋cosθ − 1) = 0. 3𝜋cosθ𝜃=𝜃𝑛 = 3𝜋 cos θn = ±𝑛𝜋, 𝒏 𝛉𝐧 = 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 (± ) → 𝛉𝐧 = 𝟗𝟎°, 𝟑

𝑛 = 0, 2.

𝟒𝟖. 𝟏𝟗°,

𝟏𝟑𝟏. 𝟖𝟏°

BIBLIOGRAFÍA [1] Balanis, C. (2005). ANTENNA THEORY Analysis and Design (Tercera ed.). New Jersey, Estados Unidos: JOHN WILEY & SONS, INC., PUBLICATION. [2] Cardama, Á. (2002). Antenas. Barcelona, España: UPC. [3] Wang, C. (2012). Antenna Models For Electromagnetic Compatibility Analyses. California, Estados Unidos: U.S. DEPARTMENT OF COMMERCE.

7.3: El factor de arreglo plano z de un arreglo de elementos isotópico coloca el eje z está dado por: 𝑨𝑭 = 𝒛(𝒛𝟒 − 𝟏) Determine el: a) Número de elementos de los arreglos. Si hay algunos elementos con coeficientes nulo excitación (elementos nulos), así lo indican b) la posición de cada elemento (incluyendo el de elemento nulo) a lo largo del eje z c) la magnitud y la fase (en grados) de excitación de cada elemento d) los ángulos donde el patrón anula cuando la longitud del arreglo total (incluyendo elementos nulos) es de 𝟐𝝀 𝐴𝐹 = 𝑍(𝑧 4 − 1) = −𝑍 + 𝑍 5 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑍 + 𝑎3 𝑍 2 + 𝑎4 𝑍 3 + 𝑎5 𝑍 4 + 𝑎6 𝑍 5 a) 𝑎1 = 𝑎3 = 𝑎4 = 𝑎5 = 0 𝐸𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 6, 𝑎2 = −1 = 1 < 180 } 4 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑦 2 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑎6 = 1 = 1 < 0 b) 𝑍1 = 0 𝑍2 = 𝑑 𝑍3 = 2𝑑 𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑍4 = 3𝑑 𝑒𝑠 𝑍6 − 𝑍2 = (5 − 1)𝑑 = 4𝑑 𝑍5 = 4𝑑 𝑍6 = 5𝑑} c) La excitación del coeficiente son los mismos del literal a). d) Para el espacio de 2𝜆 entre los elementos activos 𝑍6 − 𝑍2 = 4𝑑 = 1.6𝜆 𝑑 = 0.4𝜆 Se encuentran los nulos del factor matriz. 𝐴𝐹 = 𝑍(𝑧 4 − 1) = 𝑒 𝑗(𝑘𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃+𝛽) (𝑒 𝑗(4𝑘𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃+𝛽) − 1) = 𝑒 𝑗(0.8𝜋𝑐𝑜𝑠𝜃+𝛽) (𝑒 𝑗(3.2𝜋𝑐𝑜𝑠𝜃) − 1) = 0 3.2𝜋𝑐𝑜𝑠 𝜃|𝜃=𝜃𝑛 = 3.2𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑛 = ±𝑛𝜋, 𝑛 = 0,2 𝜃𝑛 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (±

𝑛 ), 3.2

𝜃𝑛 = 90𝑜 , 51,32𝑜 , 128.68𝑜

7.4: repetir el problema anterior cuando: 𝑨𝑭 = 𝒛(𝒛𝟑 − 𝟏) 𝐴𝐹 = 𝑍(𝑧 3 − 1) = −𝑍 + 𝑍 4 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑍 + 𝑎3 𝑍 2 + 𝑎4 𝑍 3 + 𝑎5 𝑍 4

a) 𝑎1 = 𝑎3 = 𝑎4 = 0 𝐸𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 5, 𝑎2 = −1 = 1 < 180} 3 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑦 2 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑎5 = 1 = 1 < 0 b) 𝑍1 = 0 𝑍2 = 𝑑 𝑍3 = 2𝑑 𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑍4 = 3𝑑 𝑍5 = 4𝑑} c) La excitación del coeficiente son los mismos del literal a). d) 𝑍5 − 𝑍2 = 1.5𝜆 𝑑 = 0.5𝜆 Se encuentran los nulos del factor matriz. 𝐴𝐹 = 𝑍(𝑧 3 − 1) = 𝑒 𝑗(𝑘𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃+𝛽) (𝑒 𝑗(𝑘𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃+𝛽) − 1) = 0 3𝜋𝑐𝑜𝑠 𝜃|𝜃=𝜃𝑛 = 3𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑛 = ±𝑛𝜋, 𝑛 = 0,2 𝑛 𝜃𝑛 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (± ) 3 𝜃𝑛 = 90𝑜 , 48.19𝑜 , 131,81𝑜