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• Jose Newiker Rincon Contreras

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22. Resuelva los siguientes problemas de optimización relacionados con áreas La mejor cerca Una parcela rectangular en una granja tendrá límites, por un lado, por un río, y por los otros tres mediante una cerca electrificada con un solo alambre. Si se cuenta sólo con 800 m de alambre, ¿cuál es la mayor área que puede ocupar la parcela y cuáles son sus dimensiones?

La cerca más corta Un sembradío rectangular de chícharos mide 216 metros cuadrados; se quiere encerrar con una cerca, y dividirlo en dos partes iguales mediante otra cerca paralela a uno de los lados. ¿Qué dimensiones del rectángulo exterior requieren la menor longitud total de la cerca? ¿Cuánta cerca se requerirá?

23. Resuelva los siguientes problemas de optimización relacionado con volumen

Diseño de un tanque La fundidora en donde usted trabaja ha sido contratada para diseñar y construir un tanque rectangular de acero, de base cuadrada, abierto por arriba y con una capacidad de 500 pies cúbicos. El tanque se tiene que hacer soldando placas delgadas de acero a lo largo de sus bordes. Como ingeniero de producción, su trabajo consiste en determinar las dimensiones de la base y la altura que harán que el tanque pese lo menos posible.

a. ¿Qué dimensiones le dirá al taller que use? b. Describa brevemente cómo tomó en cuenta el peso en su cálculo. (a) Las dimensiones óptimas del depósito son 10 pies cúbicos en los lados de la base y 5 pies cúbicos de profundidad. (b) Minimizando el área de la superficie del depósito se minimiza su peso para un grosor de la pared dada. El grosor de las paredes

de acero están determinadas por otras consideraciones tales como requerimientos con que se va a construir su estructura. Diseño de una caja con tapa Una pieza de cartulina mide 10 por 15 pulgadas. Como se muestra en la figura, se han quitado dos cuadrados en las esquinas del lado que mide 10 pulgadas. Además, se han quitado dos rectángulos de las otras dos esquinas, de manera que las cejas puedan doblarse para formar una cada rectangular con tapa.

a. Escriba una fórmula para el volumen V(x) de la caja. b. Encuentre el dominio de V para la situación del problema, y grafique V en su dominio.

24. Resuelva el siguiente problema de optimización relacionado con costo.

Recolección de agua de lluvia Se quiere construir un tanque rectangular abierto por arriba de 1 125pies cúbicos con base cuadrada de x pies de lado y y pies de profundidad, con su parte superior al nivel del piso, para recoger agua de lluvia. El costo asociado con el tanque involucra no sólo el material que se usará para construirlo, sino también el costo de excavación proporcional al producto xy.

a. ¿qué valores de x y y lo minimizarán? b. Dé un escenario posible para la función de costo del inciso (a).

Diseño de un cartel Se está diseñando un cartel rectangular cuya área de impresión es 50 pulgadas cuadradas, con márgenes superior e inferior de 4 pulgadas y márgenes laterales de 2 pulgadas cada uno. ¿Qué dimensiones debe tener el cartel para minimizar la cantidad de papel usada? 18x9

25. Resuelva el siguiente problema de optimización relacionado con superficies cilíndricas Encuentre las dimensiones de un cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio 10 cm. ¿Cuál es el volumen máximo? base es 2r altura, h Teorema de Pitágoras: h^2 + (2r)^2 = 20^2 => r^2 = 100 - (h^2)/4 volumen del cilindro, área de la base por la altura: V = h· 𝜋 ·r^2 = h·𝜋·(100 - (h^2)/4) = 100𝜋·h - (𝜋/4)·h^3 = V(h)

Derivamos la función que tenemos respecto del parámetro h, e igualamos a 0: V'(h) = 100 𝜋- (3 𝜋 /4)·h^2 = 0 => h^2 = 400/3 => h = 20√3/3 ó h = - 20√3/3. Buscamos si es máximo o un mínimo: V''(h) = -(3 𝜋/2)·h => V''(20√3/3) < 0 => máximo. El volumen máximo se alcanza con h = 20√3/3 cm. V= (20√3/3) = 100 𝜋·20√3/3 - (𝜋/4)·(20√3/3)^3 = 2000 𝜋·√3/3 - (8000· 𝜋/4)·(√3/9) (sacamos factor común) = 2000 𝜋√3/3·(1 - 1/3) = 4000 𝜋√3/9 = 2418.40𝑚3