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• Percy Apolitano Torres

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PROBLEMA N° 1 El tanque esférico para gas se fabrica empernándolos corazas semiesféricas delgadas con grosor de 30mm. Si el gas contenido en el depósito está bajo una presión manométrica de 2MPa, determine el esfuerzo normal desarrollado en la pared del tanque y en cada uno de los pernos. El tanque tiene un diámetro interior de 8m y está sellado con 900 pernos de 25mm de diámetro cada uno.

SOLUCIÓN: Datos: 𝑡 = 30 𝑚𝑚 ρ𝑚𝑎𝑛 = 2𝑀𝑝𝑎 D𝑖 = 8 𝑚 𝐷𝑏 = 25mm → 𝐴𝑃𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝐴𝑏 Me piden. A) B)

𝜎2 =? 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑛𝑜 =?

Ya que la relación entre el radio y el espesor

𝑟 𝑡

4

= 0.03 = 113𝑀𝑃2 > 10 el análisis de la pared delgada

es válido para la pared del tanque esférico. 𝜎2 =

𝑝𝑚𝑎𝑛 ∗ 𝑟 2∗4 = = 𝟏𝟑𝟑 𝑴𝑷𝒂 2𝑡 2 ∗ 0.03

DCL: 𝑃 = 𝑝𝑚𝑎𝑛 ∗ 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑚 = 2 ∗ 106 ∗ ( 𝑷 = 𝟑𝟐𝝅 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑵

+↑ ∑ 𝐹𝑥 = 0; 32𝜋 ∗ 106 − 450 𝑃𝑏 = 0 𝑃𝑏 = 35.56𝜋 ∗ 103 𝑁

𝜋 ∗ 82 ) 4

El esfuerzo normal en cada uno de los pernos es: 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑛𝑜 =

𝑃𝑏 𝐴𝑏

𝜎𝑝𝑒𝑟𝑛𝑜 =

35.56𝜋 ∗ 103 = 𝟐𝟐𝟖 𝑴𝑷𝒂 𝜋 ∗ (0.025)2 4

EJERCICIO N° 2 el tanque para almacenamiento de gas se fabrica empernando dos corazas semicilíndricas de pared delgada y dos corazas hemisféricas como se muestra en la figura. Si el tanque está diseñado para soportar una presión de 3Mpa. Determine el grosor mínimo requerido de las corazas semicilíndricas y hemisféricas, y el número mínimo requerido de pernos para cada tapa semiesférica. El tanque y los pernos de 25mm de diámetro están hechos de un material que tiene un esfuerzo normal permisible de 150 y 250MPa. respectivamente. el tanque tiene un diámetro interior de 4m. (RUSSELL C. HIBBELER 8.9)

SOLUCIÓN: Esfuerzo normal: para la porción cilíndrica del tanque, la tensión circunferencial es dos veces más grande que la tensión longitudinal. Datos: 𝑝 = 3𝑀𝑃𝑎 𝑑𝑝𝑒𝑟𝑛𝑜 = 25 𝑚𝑚 𝑑𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 = 4 𝑚 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚.𝑐 = 150 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚.𝑏 = 250 𝑀𝑃𝑎 𝑡𝑚𝑖𝑛 =? 𝑛° 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 =? Aplicando la siguiente ecuación: 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚 =

𝑝∗𝑟 … … (1) 𝑡

Reemplazamos los datos en la ec. 1

150 ∗ 106 =

3 ∗ 106 ∗ 2 𝑡𝑐

𝒕𝒄 = 𝟎. 𝟎𝟒 𝒎 = 𝟒𝟎 𝒎𝒎 Para el casquete hemisferico: 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚 =

𝑝∗𝑟 𝑡

Reemplazamos los datos en la ec. 1 150 ∗ 106 =

3 ∗ 106 ∗ 2 2 ∗ 𝑡𝑠

𝒕𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟐 𝒎 = 𝟐𝟎 𝒎𝒎 Ya que

𝑟 𝑡

< 10, El análisis de pared delgada es válido.

El esfuerzo permisible de cada perno es: 𝜋 (𝑝𝑏 )𝑝𝑒𝑟𝑚 = 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚 ∗ 𝐴𝑏 = 250 ∗ 106 [ (0.025)2 ] = 122.72 ∗ 103 𝑁 4 De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre de la tapa hemisférica que se muestra en la figura, donde: 𝜋 𝑃 = 𝑝 ∗ 𝐴 = 3 ∗ 106 [ ∗ 42 ] = 12𝜋 ∗ 106 𝑁 4 𝜋 (𝑝𝑏 )𝑝𝑒𝑟𝑚 = 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚 ∗ 𝐴𝑏 = 250 ∗ 106 [ (0.025)2 ] 4 = 122.72 ∗ 103 𝑁 +→ ∑ 𝐹𝑥 = 0; 12𝜋 ∗ 106 𝑁 − 𝑛𝑠 = Sustituyendo (𝑝𝑏 )𝑝𝑒𝑟𝑚 en la ec. 2: 𝒏𝒔 = 𝟑𝟎𝟕. 𝟐 = 𝟑𝟎𝟖 𝒑𝒆𝒓𝒏𝒐𝒔

12𝜋 ∗ 106 … … (2) (𝑝𝑏 )𝑝𝑒𝑟𝑚

𝑛𝑠 ∗ (𝑝𝑏 )𝑝𝑒𝑟𝑚 = 0 2