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Probabilidad y estadística Ingeniería industrial Alumna: Arayri Sánchez López Profesor: Herman Cancino Moreno. “Distribuciones multinomial e hipergeometrica multivariada”

Aula: E-04 10 de Abril del 2019

DISTRIBUCION

DISCRETA

UNIFORME

1. En un concurso familiar de televisión, un concursante lanza un dado grande y el anfitrión le paga tantos billetes de 100 pesos como puntos. Señale la cara que sale arriba excepto cuando sale 5 o 6, en cuyo caso es el concursante el que debe pagar al anfitrión tantos billetes de 100 pesos, como puntos, muestre la cara superior del dado. ¿Quién de los dos tiene ventaja en el juego, el concursante o el anfitrión? Solucion: F (X,6)

1 6

X = 1, 2, 3, 4, 5, 6

0, en otro caso 1

2

3

4

F ( 6 ) + f( 6 ) + f( 6 ) + f ( 6 ) El concursante esta en desventaja ya que su valor esperado de ganancia es de $16.70. El concursante.

2. En una clase de ciencias naturales de 12 alumnos, se elegirá a un representante de grupo, para lo cual se usara el numero de lista de cada alumno. Se anotan 12 papeles con números del 1 al 12, respectivamente se doblan y se meten a un frasco, luego se extrae al azar un papel para designar al representante. Determine la probabilidad que el numero que salga sea: a) Menor que 5. P (X < 5). b) Mayor que 3, pero menor que 7. 7 ¿ P ( 3 < X < 7 ). Solucion: 1

1

a) P ( X < 5 )= 1 – P(X > 5) = 1 – 12 = 1 12 1

5

7

= 1 - 12 (5) = 1 - 12 = 12 = 0.58 b) P ( 3 < X < 7 ) Evaluar de 7 y 3 1

1

7

3

10

= 12 (7) + 12 (3) = 12 + 12 = 12 = 0.83

3. El juego de la ruleta consiste en hacer girar un disco dividido en 25 secciones circulares de idéntica área, y cada uno tiene un numero dibujado del 1 al 25. Al detenerse la ruleta, hay una marca que indica cual numero resulto ganador. Determine la probabilidad que determine ganador un numero de un solo digito. Solucion: Forma de aplicación: F (X, K) =

1 k

X= 1, 2… k 0, en otro caso

F (X,25) =

9 25

X= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

9= números en la combinación de 1 solo digito 9 25

25= Total de dígitos

4. Trate de pensar en un ejemplo simple de una variable aleatoria discreta que tenga una distribución discreta uniforme y al mismo tiempo distribución binomial. Solucion: Por ejemplo si X es el numero de águilas que salen cuando se lanza una moneda legal una vez, entonces la distribución de X esta dada por Xi Pi

0

1

1 2

1 2

La cual tiene distribución discreta uniforme y a la vez 1

distribución binomial b (X, 1, 2 ) el 1 es la mediana, porque a la izquierda de el esta el 50% de los valores de probabilidad y el 0 es mediana porque a la derecha de el se encuentra el 50% de los valores de probabilidad. Distribución Multinomial 1. Según el reporte de contraloría federal de MX (17 de enero de 2001) los sueldos de los miles de funcionarios públicos y burocratos de alto rango de gobierno de MX (desde diputados y senadores hasta gobernadores de los estados,

subsecretarios y secretarios de estado) incluyendo bonos y otras entradas, se clasifican como siguiente: 40% perciben 290,000 a 350,000 dolares anuales, 50% perciben de 350,000 y hasta 700,000 dolares anuales (sin tomar en cuenta ingresos extraoficiales). De un grupo de 13 burocratas mexicanos de alto rango, que abordaron un avión para ir a una reunión de trabajo en Acapulco, cinco perciben 190,000 y 350,000 dolares y el restante percibe mas de 700,000 dolares anuales de ingresos oficiales únicamente. n1

n2

nk

DATOS: (n, n2, n3… nk) •P1 P2 … Pk Donde

n = 12

K

n1

n1 = 5 P1 = 0.4 P1 = (o .4 )5

∑ n1 = n

n2 = 7 P2 = 0.5 P2 n2 = (0.5)7

1=1

n3 = 1 P3 = 0.1 P3 n3 = (0.1)1

2. El 30 de marzo del 2001. La secretaria de hacienda de MX anuncio la iniciativa de un nuevo impuesto adicional de 15% de alimentos básicos. Medicinas libros y colegiaturas, con el objetivo de poner en orden “las finanzas del país”. La iniciativa fue sometida a votación en el congreso, con el siguiente resultado 42% de los diputados estuvieron a favor, 43% en contra y 15% se obstuvieron de votar. Si después de la votación hallamos a siete diputados en la cafetería de la votación, del palacio legislativo de “San Lazaro”. Calcula la probabilidad de que tres de ellos hayan votado a favor de la iniciativa, tres en contra y uno se hubiese abstenido de votar. DATOS: N = 100 N1 = 3 n=7

N2 = 3

SOLUCION: f(X1, X2, Xm, a1, a2, am, Nn)

( ax 11 )( a2x 2 )( am Xm ) (

N3 = 1

N ) n

3 3 1 ( 3 )( 3 )( 3 ) P (X1 = 3, X2 = 3, X3 = 3) = = 100 7

0.3 = 0.02100 14.28

3. De acuerdo con la teoría de Mendel, un cierto cruce de conejillos de indias resultara en una descencia café, negra y blanca con una relación 8 : 4 : 4. Encuentre la probabilidad de que un total de ocho descendientes, cinco sean cafes, dos negros y uno blanco. Exprese la respuesta como fracción. DATOS: P (cafes) = 8/16 = ½ P (negro) = 4/16 = ¼ P (blancos) = 4/16 = ¼ SOLUCION: n=8 x c (café) = 5 x n (negro) = 2 x b (blanco) = 1

8! 1 5 1 2 1 f = (5, 2, 1, ½, ¼, ¼, 8) = 5! 2 ! 1 ! ( ) ( ) ( 4 ) 2 4

= f = 0.0820 4. Los artículos que se inspeccionan en una fabrica están sujetos a dos clases de defectos. Se supone que 70% de los artículos de un lote grande no tienen defectos, en tanto que el 20% tienen un defecto tipo A y 10% tienen un solo defecto tipo B (ninguno tiene ambas clases de defectos). Si se extraen al azar seis de tales artículos del lote, calcule la probabilidad de que tres no tengan defecto, tipo A y dos tengan defecto tipo B. SOLUCION: a) N= 100 c = 70 n= 6

x = 3

P(X-3) =

( 703 )( 1006 − 703 ) = P (X-3)= (

(54,740)(4,060) = .186 1' 192,052,400

100 ) 6

(

b) N = 100

c = 20

P (X-1) =

20 100 20 )( − ) 1 6 1 = P (X-1)= 100 ( ) 6

(20)(24,049,016) = .403 1' 192,052,400

n=6

x=1

5. En la inspección de aeronaves comerciales, se informa que no existen grietas detectables en las alas o que no existen grietas, sean decisivas. Los antecedentes de una flota determinada muestra el 70% de las aeronaves, que se inspeccionan no tienen gritas en las alas, 25% tienen grietas detectables, 5% tienen grietas decisivas. Calcule la probabilidad de que en los siguientes cinco aviones que se inspeccionen: a) Uno tenga una grieta decisiva, dos tengan grietas detectables y dos no tengan grietas. b) Se observe por lo menos una grieta decisiva. SOLUCION: 70 100 70 ( − ) 2 5 1 100 ( ) 5

( ) a) P = (X-2) =

( 305 ) =

35

P = (X-2) =

20

c N c − ( x )( n x ) P= ( Nn )

13.125 b) N= 100 n=5

70 100 70 − ) ( 1 )( 5 1 P(X-1) = ( 1005 )

P(X-1) =

( 70 )

( 3040 ) = 2.625

20

c = 70 x=1

Distribución Hipergeometrica 1. Como parte de una encuesta de contaminación al aire, un inspector decide examinar las emisiones de seis de los 24

camiones de una compañía. Si cuatro de los camiones emiten cantidades excesivas de contaminantes. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas sea parte de la muestra del inspector? SOLUCION: La variable x es igual a 0 4 20 ( 0 )( 6 ) F(x) = P(X-X)= h (0, 2 4, 6, 4) f(x) = h(0, 24, 6,4) 24 (6) 1∗( 38750 ) = 0.28 ( 134,596 )

2. Entre los 120 solicitantes para un trabajo, solo 80 son realmente aptos. Si cinco de los solicitantes al azar para una entrevista mas extensa, encuentre la probabilidad de que solo dos de los cinco sean aptos para el trabajo, para ello use: a) La fórmula para la distribución hipergeometrica. b) La fórmula para la distribución binomial con P = 80/120 como aproximación. SOLUCION: N= 120

80 40 ( 2 )( 3 ) (3,160)(9,880) 80 120 80 P(X-2) = ( 2 ) ( 5 − 2 )= = (190,578,024) = 120 (5)

31,220,800 = 0.1638 190,578,024

K= 80 n= 5 x= 2

3. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra tomada al azar de 2 calculadoras manuales, de cada lote que llega de 18 y acepta el lote si ambas están en buenas condiciones de trabajo, de otra manera se inspecciona todo el lote y el costo se carga al vendedor. Determine la probabilidad de que un lote se acepte sin inspección adicional si contiene: a) Cuatro calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo. b) Ocho calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo. c) Doce calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo. SOLUCION: a) n1 = 4

k N k − ( x )( n x ) 4 14 P(X-K) = P (0)( 0 )( 2 )= 0.5948 ( Nn )

n2 = 14 n=2

b) n1 = 8 n2 = -10 n=2

8 10 ( 0 )( 2 ) P(0) = 0.2941 18 (2)

c) n1 = 12

12 6 ( 0 )( 2 ) P(0) = = 0.0980 18 (2)

n2 = 6 n=2

4. un embarque de 80 alarmas contra robo contiene cuatro que son defectuosas. Si del embarque se seleccionan al azar tres y se envían a un cliente, encuentre la probabilidad de que el cliente reciba exactamente una unidad mala. SOLUCION: X= 1, N = 80 n = 3

r=4

4 76 ( 1 )( 2 ) P(X=1) = = P(X=1) = ( 4 C 1 ) (76 C 2) = 0.138 ¿¿ 80 (3)

5. De los 16 solicitantes para un trabajo, 10 tienen titulo universitario. Si se escogen 3 de los solicitantes al azar para entrevistar. Calcule las probabilidades de que: a) b) c) d)

Ninguno tenga un titulo universitario. Uno tenga un titulo universitario. Dos tengan un titulo universitario. Tres tengan un titulo universitario.

SOLUCION: X= indica postulante con grado universitario. X (0, 1, 2, 3…) N = 16

n=3

K = 10

N-K = 6

10 6 ( )( x 3−x ) X+1(8,3,10) f(X) = ( 163 ) 10 6 ( 0 )( 3 ) 1 a) P(X=0) = = 28 = 0.0357 ( 163 ) 10 6 ( 1 )( 2 ) 15 b) P(X-1) = = 56 = 0.2679 16 (3) 10 6 ( 2 )( 1 ) 27 c) P(X-2) = = 56 = 0.4821 16 (3) 10 6 ( 3 )( 0 ) 3 d) P(X-3) = = 14 = 0.2143 ( 163 )

Distribución Geométrica 1. Un futbolista sudamericano convierte en gol 40% de los tiros de castigo con barrera que ejecuta. Determina la probabilidad de que el decimo tiro libre con barrera que ejecute en un torneo sea el tercero que convierte en gol. DATOS: Probabilidad de casos favorables de éxito: 40% = P = 0.4 Probabilidad de casos no favorables: 60% = q= 0.60 + especificamente: 1-P=1-0.4=0.6 Numero de probabilidad = x= 10 Probabilidad de obtener éxito: K = 3 P = (X- 1) (K,-1) x! Pk x qx-k

2. suponga que cierto estudiante tiene una probabilidad de 0.75 de aprobar el examen de ingles en cualquier intento que haga. a) ¿Cuál es la probabilidad de que logre aprobar en el cuarto intento? b) En que intento tiene la mas alta mas probabilidad de pasarlo? SOLUCION: n = 4 veces

sea A= aprueba el examen P(A) = 0.75

p = 0.75 = 0.25

sea A= no apruebe el examen P(A) =1’0.75

a) Este evento ocurre cuando A1, A2, A3, A4 P(A1, A2, A3, A4) = P (0.25, 0.25, 0.25, 0.75) = 0.01171875 3. Según la entrevista Epoca (num, 135, enero de 2001). 40% de los periodistas de Mexico han pedido la credibilidad en lo que afirman los políticos y las autoridades de la ciudad de Mexico. El 17 de febrero de 2001, el jefe de gobierno sostuvo ocho entrevistas consecutivas en su despacho con representantes de los medios de comunicación, y en cada caso afirmo tangentemente, al periodista en turno, que los índices delitivos de la cd. Habían disminuido de manera significativa desde que tomo posesión del cargo. Calcule la probabilidad de que: a) el octavo periodista que escucho esa afirmación haya sido el 5to que la creyo. b) El tercer periodista que escucho ese comentario haya sido el primero en creerlo. c) Determine el numero mas probable de periodistas entre las ocho, que creyeran la afirmación del jefe de gobierno, asi como la probabilidad del numero de periodistas que la creyeron. d) Determine cual de las ocho periodistas tuvo la mas alta probabilidad de ser el primero en creer la afirmación del jefe de gobierno y el cual es el valor de dicha probabilidad. ¿Cuál de los ocho periodistas tuvo la mas alta probabilidad de ser el segundo en creer la afirmación? ¿el tercero?

SOLUCION: a) (8-1)(5-1 (0.4)5 (0.6)8-5 = 0.0774 b) (0.6)3-1 (0.4)1= 0.144 E(x) =np = (8)(0.4) =3.2 = 3 c) P(x-3) 8(3 (0.4)3 (0.6)8-3 = 0.27864 d) 8-1 C0 8-1 C1-1 (0.4)1 (0.6)8-1 = 0.01119 8-1 C2-1 (0.4)2 (0.6)8-2 = 0.05225 8-1 C3-1 (0.4)3 (0.6)8-3 = 0.10450 8-1 C4-1 (0.4)4 (0.6)8-4 = 0.11612

8-1 C5-1 (0.4)5 (0.6)8-5 = 0.07741 8-1 C6-1 (0.4)6 (0.6)8-6 = 0.03046 8-1 C7-1 (0.4)7 (0.6)8-7 = 0.00688 8-1 C8-1 (0.4)8 (0.6)8-8 = 0.00039 e) (0.6)2-1 (0.4) = 0.24

M= numero de burocratos perciben 290,000 – 350,000 N2= numero de burocratos perciben 350,000 – 700,000 N3= numero de burocratos perciben + 700,000 P1= porcentaje de burocratos que perciben 290,000 – 350,000 P2= porcentaje de burocratos que perciben 350,000 – 700,000 P3= porcentaje de burocratos que perciben 700,000 13 ( 5,7,1 )* (.4) (.5) 5

7

(.1)1 = 0.082368

4. Una experta tiradora de rifle falla en dar en el blanco 5% de las veces. Encuentre la probabilidad de que falle en dar en el blanco, por segunda vez, en el decimoquinto tiro. SOLUCION: 5% = 0.05 2 15 – 1 C2-1= (0.05) (0.95)15-2 14 C1 = (0.05)2 (0.95)13 = 0.017966 K= segunda vez n= decimoquinto tiro Problema 5. El 30 de Marzo del 2001. La secretaria de hacienda anuncio la iniciativa de un impuesto adicional de 15% de los alimentos básicos medicinas libros colegiaturas con el objetivo de poner en orden “ las finanzas del país” la iniciativa fue sometida a votación en el congreso con el siguiente resultado 12% de los diputados estuvieron a favor 13% en contra y el 15% se obstruyeron de votar. Si después de la votación del palacio legislativo de “ san Lorenzo” la probabilidad de que tres de ellos hayan votado a favor de la iniciativa tres en contra y uno se obstruyera de vota.

N= 100

n1= 3

N= 7

n2= 3 N3= 1

P(x1=3, x2=3 x3= 3)=

( 33 )( 33 )( 15 ) / 100 = 0.3 = 0.0210 ( 7 ) 11.28 ❑