• Author / Uploaded
• William Garcia

Citation preview

TECSUP - PFR

Medidas Eléctricas

Unidad I

CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

1.

MAGNITUDES ELÉCTRICAS 1.1

TENSIÓN ELÉCTRICA La tensión eléctrica no es más que la diferencia de nivel eléctrico existente entre dos puntos de un circuito. Se representa generalmente por la letra U. También recibe el nombre de diferencia de potencial. En realidad, la misión de un generador es la de mantener la diferencia de potencial entre los extremos de un conductor, para que pueda existir corriente eléctrica. R S

V

Figura 1.1 Conexión de voltímetro

La unidad de la tensión eléctrica es el voltio (V) y como submúltiplos y múltiplos, más empleados tenemos: el milivoltio (mV) y el kilovoltio (kV). Para medir la tensión eléctrica se emplea el voltímetro, aparato cuyos dos bornes se conectan en paralelo en un circuito eléctrico (Figuras 1.1 y 1.2).

punta de prueba roja (+) 0

V

cuadrante bornes VDC

ADC

Batería

VAC

conmutador selector

Ω COM

punta de prueba negra (-)

Figura 1.2 Conexión de un voltímetro a una batería

1

Medidas Eléctricas

TECSUP - PFR

Los tipos de tensión que más se utilizan en las actividades domésticas, técnicas, industriales, etc. son: la tensión continua (DC) y la tensión alterna (AC). a) Tensión continua (DC): La tensión continua es aquella en la que su valor o magnitud permanece constante con el tiempo y, además, la polaridad entre sus bornes no varía. Por ejemplo:

UDC(V)

t (s) 0 Figura 1.3 Tensión continua.

b) Tensión alterna (AC): La tensión alterna es aquella en la que su polaridad varía con el tiempo y sus valores o magnitudes no permanecen constantes. Por ejemplo:

UAC(V)

t (s)

Figura 1.4 Tensión alterna.

2

TECSUP - PFR

1.2

Medidas Eléctricas

INTENSIDAD DE CORRIENTE La corriente eléctrica es el desplazamiento continuo y ordenando de las cargas eléctricas (electrones o iones) a lo largo de un conductor. Por tanto, se puede definir también como la electricidad en movimiento. En los metales son los electrones los que se desplazan, mientras que en los electrolitos la corriente es de iones (Figura 1.5).

electrones

Fuente de tensión DC

Carga (lámpara)

Figura 1.5 Corriente en un conductor

La intensidad de la corriente se representa mediante la letra I. La unidad de la intensidad eléctrica es el amperio (A) y un submúltiplo muy empleado, es el miliamperio (mA). Para medir la intensidad de corriente se emplea al amperímetro, aparato cuyos dos bornes se conectan en serie en un circuito eléctrico. (Figura 1.6 y 1.7).

R

A

S Figura 1.6 Conexión de amperímetro

3

Medidas Eléctricas

TECSUP - PFR

lámpara

0

Batería

A

A

Figura 1.7 Conexión del amperímetro en serie con una lámpara

Ya que existe una relación de causa y efecto entre la tensión y la corriente, el tipo de tensión determina, también, el tipo de corriente. Por esta razón, los tipos de corriente son: corriente continua (DC) y alterna (AC): a) Corriente continua (DC): La corriente continua es aquella en la que su valor o magnitud permanece constante con el tiempo y, además, su sentido no varía, por ejemplo:

I DC (A)

t (s)

0 Figura 1.8 Corriente continua

b) Corriente alterna (AC): La corriente alterna es aquella en la que su sentido de movimiento varía con el tiempo y sus valores o magnitudes no permanecen constantes. Por ejemplo:

4

TECSUP - PFR

Medidas Eléctricas

I AC (A)

t (s)

Figura 1.9 Corriente alterna

1.3

RESISTIVIDAD La resistividad o resistencia específica de un cuerpo, es la resistencia que tiene un cilindro de ése elemento, de un metro de longitud l y un milímetro cuadrado de sección S, tomada a la temperatura de 20 ºC. La resistividad se representa por la letra griega ρ (léase rho). En la tabla 1.1 vemos los valores de la resistividad y el coeficiente de temperatura de algunos de los elementos más empleados en electricidad. Material Aluminio (Al) Cobre (Cu) Alambre acero (Fe) Plata (Ag) Oro (Au) Mercurio (Hg) Plomo (Pb) Magnesio (Mg) Constantán Niquelina Manganina Nicrom (Ni-Cr, 80-20) Tungsteno (Wolframio) Latón (Alambre)

Resistividad ( Ω mm2/m) 0,002 8 0,017 2 0,142 0,001 6 0,023 0,958 0,21 0,043 0,5 0,43 0,43 1,09 0,054 0,07

Coeficiente de temperatura (1/ºK) 0,003 7 0,003 9 0,004 0,003 7 0,003 8 0,000 99 0,004 0,004 1 0,000 035 0,000 11 0,000 01 0,000 04 0,003 9 0,001 4

Tabla 1.1 Resistividad y coeficiente de temperatura

5

Medidas Eléctricas

1.4

TECSUP - PFR

RESISTENCIA ELÉCTRICA La resistencia eléctrica es la oposición que ofrecen los materiales al paso de la corriente eléctrica, se representan por la letra R. La unidad de resistencia eléctrica es el ohmio ( Ω ), que se representa por la letra griega omega y el múltiplo más empleado es el K Ω . En realidad la resistencia eléctrica es la dificultad que encuentran los electrones en su desplazamiento, para atravesar los núcleos de los átomos que forma el conductor. El instrumento que se utiliza para medir resistencia eléctrica es el ohmímetro, el cual se conecta de la siguiente manera:

Ω

R

Ω

M 3

Figura 1.10 Medición de resistencia

La resistencia de un conductor en función de sus características físicas, como son: longitud ( l ), sección (S) y resistividad ( ρ ) del material, vale:

R =ρ

Donde:

2.

S = mm2

l

S

; ohmios

L=m

ρ = Ω mm2/m R = Ω

LEYES BÁSICAS 2.1

CIRCUITO ELÉCTRICO El circuito eléctrico es el sistema básico de la electricidad mediante el cual aprendemos una serie de conceptos y sus correspondientes aplicaciones. Se define como un conjunto de elementos conductores que forman un camino cerrado (malla) por el cual circula una corriente eléctrica. El sentido de la corriente que utilizaremos será: el sentido técnico (por convención).

6

TECSUP - PFR

Medidas Eléctricas

R

U

R

U

a) Sentido técnico

b) Sentido real

Figura 1.11 Sentidos de la corriente

Las partes que constituyen un circuito eléctrico son: a) b) c) d)

La fuente de tensión. El interruptor. Los conductores. El receptor o carga.

Interruptor Conductor

Fuente de tensión

+

Carga o receptor

_

Conductor

Figura 1.12 Circuito eléctrico

La fuente de tensión se encarga de entregar energía al circuito. El interruptor tiene la función de abrir o cerrar el circuito. El receptor transforma la energía eléctrica en la forma de energía deseada (calorífica, mecánica, etc.) por lo tanto, el receptor es un convertidor de energía. Los conductores permiten el transporte de la energía desde la fuente hasta el receptor.

7

Medidas Eléctricas

TECSUP - PFR

Las magnitudes que intervienen en un circuito eléctrico son: • La Fuerza Electromotriz (f.e.m.) es la causa impulsora del desplazamiento de los electrones. Se mide con el voltímetro y su unidad es el voltio (V) la f.e.m. es comparable a la presión que ejerce una bomba hidráulica. • La diferencia de potencial o tensión (Uab) que existe en los bornes del receptor, es la de la misma naturaleza que la f.e.m., su unidad es el voltio. • La corriente eléctrica (I) sigue el camino cerrado y es de igual valor en cualquier punto del mismo. Es el efecto que se obtiene en el circuito debido a la causa que la produce, es decir, la tensión. Se mide con el amperímetro y su unidad es le amperio (A): La Corriente eléctrica es similar al caudal de agua que circula por un circuito hidráulico (litros/segundos). • La resistencia eléctrica (R) es la oposición que ejerce un material al paso de los electrones, la unidad de la resistencia eléctrica es el ohmio (Ω). 2.2

LEY DE OHM

George Simon Ohm (1787 – 1854) fue un físico alemán que estudió la relación existente entre la intensidad, tensión y resistencia en un circuito eléctrico, formulando su famosa ley que dice así: “La intensidad de corriente que recorre un conductor es directamente proporcional a la tensión aplicada entre sus extremos e inversamente proporcional a la resistencia del circuito”. I

U

R

I=U/R

Figura 1.14 Ley de Ohm

2.3

ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS

En un circuito eléctrico, las resistencias que lo componen pueden estar agrupadas en serie o en paralelo, o bien una combinación mixta de las dos.

8

TECSUP - PFR

Medidas Eléctricas

a) Resistencia en serie La resistencia total de todas las resistencias acopladas en serie es igual a la suma de los valores de dicha resistencias (Figura 1.15). RT = R1 + R2 + R3 + ... U

A

R1

R2

R3

B

I

Figura 1.15 Resistencias en serie

La tensión total se reparte entre cada una de ellas de forma proporcional a sus resistencias: U = R1 .I + R2 .I + R3 .I + ... Y aplicando la Ley de Ohm, la intensidad que circulará por todas ellas será igual a lo siguiente: U

I =

R1 + R2 + R3 + ...

b) Resistencias en paralelo El valor de todas las resistencias conectadas en paralelo es igual al inverso de la suma de los valores inversos de todas las resistencias acopladas (Figura Nº 16). 1 1 1 1 + + + ... R1 R2 R3

RT =

U R1 I1 R2 I2 R3 I3

Figura 1.16 Resistencias en paralelo

9

Medidas Eléctricas

TECSUP - PFR

Un caso particular lo representa la conexión de dos resistencias en paralelo, en este caso la resistencia total del conjunto es igual al producto de las dos dividido por su suma: RT =

R1 * R2 R1 + R2

La intensidad total absorbida es igual a la suma de las corrientes que circulan por cada rama: IT = I1 + I2 + I3 + ... Siendo el valor de las intensidades parciales que circulan por cada rama igual a: I1 = U / R1

2.4

I2 = U / R2

I3 = U / R3

LEYES DE KIRCHHOFF

Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887), físico y profesor de la Universidad de Heidelberg, estudió la distribución de corriente y de tensión en las diversas ramas de un circuito eléctrico; también fijó las bases fundamentales de la electroscopía y estudio de espectro solar. Formuló las dos leyes que llevan su nombre. Estas dos leyes son las más importantes de las que rigen los circuitos eléctricos. Para analizarlas debemos tener en cuenta que nudo es el punto donde se unen dos o más conductores y malla es cada circuito cerrado que se pueda formar en una red. Primera ley: la suma algebraica de las intensidades que concurren en un nudo es igual a cero.

ΣI=O Segunda ley: la suma algebraica de los productos parciales de intensidad por resistencia de cada malla, es igual, a la suma algebraica de las fuerzas electromotrices en ella existentes, cuando la intensidad de corriente es constante.

Σ RI = Σ U

10

TECSUP - PFR

Medidas Eléctricas

Ejemplos:

R1

I1

R2

I2 I4

U

R3

I

R3

R1

I3

U1 + -

+ R2

I5

I9

- +

U2 I8

I6

I7

Figura 1.17 Leyes de Kirchhoff

Primer circuito: 2ª Ley U = I (R1 + R2 + R3) Segundo circuito: 1ª Ley I3 = I1 + I2 + I4 2ª Ley Despreciando las resistencias internas de los generadores (o fuentes): U1 – U2 = R1 . I3 + R2 . I6 + R3 . I4

2.5

POTENCIA Y ENERGÍA ELÉCTRICA

La física define la potencia como la cantidad de trabajo realizado en la unidad de tiempo (P = W/t). Eléctricamente se define la potencia como el producto de la tensión por la intensidad, teniendo en cuenta que el circuito sea homogéneo. P = U.I Otras definiciones de la potencia eléctrica son: P = R.I2 = U2/R La potencia o trabajo realizado en la unidad de tiempo se mide en vatios (W). 1 vatio = 1 voltio x 1 amperio = julio/segundo Como múltiplos de la potencia eléctrica se emplean mucho: El kilovatio (kW) = 1 000 vatios 11

Medidas Eléctricas

TECSUP - PFR

El caballo de fuerza (HP) = 746 vatios El instrumento que se utiliza para medir potencia eléctrica es el vatímetro, el cual se simboliza de la siguiente manera:

w

Figura 1.18 Símbolo del vatímetro

0

w

w I*

L*1

I

L2

Figura 1.19 Vista de un vatímetro de laboratorio

Para medir la potencia de una carga, por ejemplo, se realiza la siguiente conexión: (con el vatímetro de laboratorio):

0

W

W I*

I

L 1* L 2

Fuente

carga

Figura 1.20 Conexión del vatímetro

Donde: I*, I son los bornes del circuito de corriente. L1*, L2, son los bornes del circuito de tensión.

12

TECSUP - PFR

Medidas Eléctricas

El esquema eléctrico será:

*

*

Fuente

W

carga

Figura 1.21 Esquema eléctrico (conexión del vatímetro)

Para determinar el trabajo o energía consumida en un circuito eléctrico, es necesario multiplicar la potencia por el tiempo de consumo. Energía = E = P . t La unidad de la energía es el vatio-hora (Wh), siendo más empleado su múltiplo el kilovatio-hora (kWh), que vale 1 000 vatios-hora. El instrumento que mide la energía eléctrica es el contador de energía o medidor de energía. Se le simboliza así:

kWh

Figura 1.22 Símbolo del contador de energía

Circuito de tensión Circuito de corriente

kWh Barra metálica

Puente

1

1

2

4

3

3

4

5

6

6

Figura 1.23 Esquema eléctrico de un contador de energía

13

Medidas Eléctricas

TECSUP - PFR

kWh

1

3

4

6

Fuente

Carga

Figura 1.24 Conexión de un contador de energía

3.

CORRIENTE ALTERNA 3.1

DEFINICIÓN DE CORRIENTE ALTERNA SINUSOIDAL

Corriente alterna es la que con el tiempo cambia de sentido. Aunque pueden tener diversas formas (cuadradas, triangulares, diente de sierra, etc.), el tipo de corriente alterna más empleada industrialmente es la que tiene forma sinusoidal. Una función sinusoidal es la que vemos en la figura 1.25 y su ecuación es del tipo: a = Am . sen ωt Cuando la sinusoide no pasa por el origen, su ecuación será: a = Am . sen (ωt + φ) Siendo ϕ el ángulo de desfase con respecto al origen y Am la amplitud máxima. Como en corriente alterna, tanto la corriente I, como la tensión o f.e.m. V, varían con el tiempo, representamos con letras minúsculas los valores instantáneos y con letras mayúsculas los valores máximos. Tal como vemos en el dibujo anterior las corrientes alternas pueden representar con dos tipos de diagramas distintos, uno vectorial y otro cartesiano. El diagrama vectorial, aunque menos gráfico, es mejor cuando se trata de representar varias magnitudes senoidales, que se encuentran desfasadas entre sí.

14

TECSUP - PFR

Medidas Eléctricas

Figura 1.25 Representación vectorial y cartesiana de corrientes alternas

Otra forma de representación, sobre todo cuando se quiere hacer cálculos con ellas, es por medio de números complejos (m + nj), siendo el módulo la amplitud máxima de la senoide (figura 1.26). y

m

B

A n

φ

x

0

Figura 1.26 Representación compleja de corrientes alternas

OA = Amplitud máxima (módulo) OB = Amplitud en el instante t ϕ = Ángulo de desface (argumento) Ejemplo: Sea la intensidad de un momento dado, i = (3 + 4j)

Valor máximo, I = 32 + 42 = 5 Desfase = tg.ϕ = 4/3 Valor instantáneo, i = I sen ⋅ (ωt + ϕ ) = 5 sen (ωt + ϕ )

15

Medidas Eléctricas

3.2

TECSUP - PFR

PERÍODO, ALTERNANCIA Y FRECUENCIA DE LAS C.A.

El tiempo que tarda una corriente alterna en recorrer todos los valores instantáneos de una senoide se denomina período o ciclo. La alternancia es justamente la mitad de un período, también se denomina semiciclo (figura 1.25). El período se expresa en segundos y el número de períodos contenidos en la unidad de tiempo, o sea en un segundo, se denomina frecuencia. La unidad con que se expresa la frecuencia es el “hertz” y se representa por las letras Hz. La figura 1.25 nos ayudará a comprender la relación entre estas dos magnitudes, de tal forma que llamado a la pulsación “omega” (ω = 2πf ) , la relación entre ellas es una la inversa de la otra, y expresando el ángulo de giro en radiantes, tendremos:

Período = T = 3.3

2π

ω

=

2π 1 = 2πf f

Frecuencia = f =

ω 2πf 1 = = 2π 2 f T

GENERACIÓN DE CORRIENTES ALTERNAS SINUSOIDALES

La mejor forma de ver porqué se generan las corrientes alternas de forma senoidal es fijarse en la figura 1.27, en la cual se ve una espira que gira dentro de un campo magnético, en sus diferentes posiciones, y según sea la cantidad de líneas de campo magnético que corte de una posición a otra y la dirección en que las va cortando, la corriente en ella inducida da lugar a este tipo de onda sinusoidal.

Figura 1.27 Generación de corrientes alternas

16

TECSUP - PFR

3.4

Medidas Eléctricas

VELOCIDAD ELÉCTRICA

Si nos atenemos a la figura 1.27 vemos que a cada vuelta completa de la espira (360º geométricos) le corresponderán tantos ciclos eléctricos como pares de polos tenga el generador. Si el generador tiene un par de polos N-S, le corresponderá a cada vuelta de la espira un ciclo eléctrico o período, y por ello decimos que en un generador bipolar la velocidad eléctrica de variación de la f.e.m. es igual a la velocidad mecánica de giro de las bobinas. Como la mayoría de los generadores de corriente alterna (alternadores) tienen más de dos pares de polos, por cada par de polos se inducirá en el conductor una f.e.m. de un ciclo completo. Por tanto, a una vuelta completa del conductor le corresponderán tantos ciclos o períodos eléctricos como pares de polos tenga el generador (p/2= pares de polos y p = número total de polos de la máquina).

1 vuelta = “ P 2 ” ciclos eléctricos Con lo cual si una vuelta completa por minuto le corresponden “p” ciclos eléctricos, a “n” vueltas por segundo le corresponderá una frecuencia de:

Frecuencia = f =

P

n

2 60

= p

n 120

= Hz

De la fórmula anterior, despejando el número de revoluciones por minuto (n), obtenemos la velocidad a la que girará un motor de corriente alterna, en función de la frecuencia de la corriente aplicada (f) y del número de pares de polos (p) que tenga el motor.

Velocidad = n = 3.5

f ⋅ 120 = r. p.m. p

VALORES MEDIO Y EFICAZ DE UNA CORRIENTE ALTERNA

Valor medio. Si recordamos que en una onda de corriente o de f.e.m., de tipo senoidal, los valores instantáneos vistos en el gráfico son:

i = Im sen .ωt e = Em sen .ωt Vemos que el valor medio de una corriente o de una tensión alterna es nulo durante un ciclo completo, dado que aparecen valores positivos y negativos iguales. La denominación del valor medio de una corriente alterna se aplica entonces, en la parte positiva de la onda, al valor medio aritmético de

17

Medidas Eléctricas

TECSUP - PFR

todos los valores instantáneos de un semiciclo, tal como se ve en la figura 1.28, y se define como tal al área comprendida entre la mitad positiva de la curva y el eje de abcisas, dividida por la longitud del segmento, que abarca la semionda sobre dicho eje. Su valor resultante una vez integrada el área de la semionda es:

Valor medo de una corriente = Im ed =

2 Im

π

= 0,637 Im

Valor eficaz. Se dice que una corriente alterna tiene un valor eficaz de I amperios, si cuando pasa a través de una resistencia de R ohmios, origina en la misma una cantidad de calor, por unidad de tiempo, igual al que produciría una corriente continua de la misma intensidad. En realidad, y tal como vemos en la figura 28 el valor eficaz es igual al valor medio cuadrático de los valores instantáneos de una semionda. Su valor una vez integrada el área de una semionda es:

Valor eficaz de una corriente = I =

Im2 Im = = 0,707 Im ed 2 2

Figura 1.28 Valores medio y eficaz

En electricidad, siempre que se hable del valor de una corriente o de una tensión, nos referimos al valor eficaz, mientras no se diga explícitamente otra cosa y estos valores son precisamente los que nos marcan los voltímetros y amperímetros. De este modo, cuando un amperímetro de corriente alterna marca 10 A, sabemos que desprende la misma cantidad de calor que otra corriente continua también de 10 A, cuando circula por la misma resistencia, durante el mismo tiempo. Por el contrario dicha corriente alterna tendrá un valor máximo de 10 2 A, o sea 14,1 A y un valor medio de (2 X 14,1)/π, o sea 9 A.

18

TECSUP - PFR

4.

Medidas Eléctricas

CARGAS O RECEPTORES EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

En los circuitos de corriente alterna, los receptores están constituidos por: resistencia, inductancia y capacidad. Si se conectan los circuitos de la figura 1.29 y se varía la frecuencia, se obtienen los resultados de la tabla 1.

Resistencia

Inductancia

Condensador

Figura 1.29 Ensayo de circuitos de c.a.

Frecuencia

0 Hz

50 Hz 1 000 Hz

Resistencia

Inductancia

Condensador

I = 100 A I = 100 A I = 100 A

I = 100 A I=1A I = 0,05 A

I=0A I = 0,1 A I=2A

Tabla 1.1 Intensidades circulantes

Si calculamos la resistencia de cada circuito, por la ley de Ohm: R= U/I, obtenemos los valores tan dispares que vemos en la tabla 1.2: Frecuencia

0 Hz

50 Hz 1 000 Hz

Resistencia

Inductancia

Condensador

1Ω 1Ω 1Ω

1Ω 100 Ω 2 000 Ω

Infinito 1 000 Ω 50 Ω

Tabla 1.2 Resistencias de los circuitos

A la vista de los resultados de las tablas anteriores, obtenemos las conclusiones siguientes: • La resistencia óhmica no varía con la frecuencia. • La inductancia crece al aumentar la frecuencia. Esto es debido a que la auto-inducción de la bobina se comporta como una resistencia, que aumenta con la frecuencia. • El condensador presenta resistencia infinita, frente a la corriente continua; mientras que para la corriente alterna, la clase de resistencia que ofrece es inversamente proporcional a la frecuencia.

19

Medidas Eléctricas

TECSUP - PFR

Como conclusión vemos que en el caso de corriente alterna se manifiestan tres clases de resistencia, que denominamos: • Resistencia óhmica • Reactancia inductiva (XL) o inductancia (L) • Reactancia capacitiva (Xc) o capacitancia (C) 4.1

CIRCUITOS DE C.A. CON RESISTENCIA ÓHMICA SOLAMENTE

En un circuito con resistencia óhmica solamente, circulará por él una corriente instantánea i:

i = Im . sen ωt y como sigue siendo válida la expresión de la ley de Ohm, las ecuaciones del circuito serán:

i=

v Vm ⋅ sen ϖt = R R

La representación gráfica de este tipo de circuitos es la de la figura 1.30 en la cual vemos que la intensidad I, la tensión V, e incluso la fuerza electromotriz E están en fase, tanto en sus valores máximos como eficaces. 4.2

CIRCUITOS DE C.A. CON INDUCTANCIA SOLAMENTE

Cuando el circuito solamente tiene inductancia (como por ejemplo una bobina sin núcleo de hierro y despreciando la resistencia óhmica del hilo), la f.e.m. senoidal, también establece en el circuito una corriente instantánea i:

i = Im . sen ωt

V =L

En este caso se cumple que:

di dt

Figura 1.30 Circuito con resistencia pura

20

TECSUP - PFR

Medidas Eléctricas

Entonces:

v=L

d (sen ωt ) di π  = L ⋅ Im = Im(ωL ) ⋅ cos ωt = Im (ωL ) ⋅ sen  ωt +  dt dt 2 

Si tomamos valore eficaces tendremos:

V = I (ω L ); ω L =

V I

Donde vemos que ωL se comporta como una resistencia, a la cual hemos llamado reactancia inductiva (XL) y que será tanto mayor cuanto mayor sea la frecuencia de la tensión aplicada.

Re actancia inductiva = X L = ω L = 2π ⋅ f ⋅ L En la figura 1.31 vemos la representación gráfica de este tipo de circuitos:

Figura 1.31 Circuito con inductancia pura

4.3

CIRCUITOS DE C.A. CON CAPACIDAD SOLAMENTE

Si a un circuito con capacidad solamente se le aplica una corriente alterna senoidal,

v =Vm sen ωt Se cumple que i = c

i =C

dv ; entonces dt

π dv d (Vm ⋅ sen ωt ) ) Vm  =C = ω C ⋅Vm ⋅ cos ωt = sen  ω t +  1 2 dt dt  ωC

21

Medidas Eléctricas

TECSUP - PFR

si ahora dividimos ambos miembros por valores eficaces:

2 obtendremos la expresión en

I = V ω C = 2πf ⋅V ⋅ C ;

1

ωC

=

V I

Por último, vemos que la expresión 1/ωC tiene la dimensión de una resistencia, y por tal motivo se le denomina reactancia capacitiva.

Re actancia capactiva = X L =

1 1 = ω C 2πf C

En la figura 1.32 vemos la representación gráfica de este tipo de circuitos.

Figura 1.32 Circuito con capacidad pura

4.4

CIRCUITOS DE C.A. EN SERIE

Si a un circuito que posea resistencia óhmica (R), reactancia inductiva (XL) y reactancia capacitiva (Xc) conectadas en serie, se le aplica una tensión alterna senoidal (V), la corriente que se establece en el circuito dará lugar a una caída de tensión activa en r, otra caída inductiva en L y otra caída capacitiva en C. Si aplicamos a la conexión en serie la segunda ley de Kirchhoff tendremos:

∑ E = ∑ IR V = V R + V L + V C = IR + IωL −

I ωC

pero con la condición de que todas las sumas han de hacerse geométricamente, debido a los desfases existentes entre las tensiones parciales.

22

TECSUP - PFR

Medidas Eléctricas

Si R es la resistencia óhmica, la reactancia total del circuito X, que puede ser positiva o negativa, será:

X =ω L −

1 = X L − X C = ohmios ωC

Si empleamos la representación vectorial, que es la forma más fácil de representar ese tipo de circuitos (aunque para el cálculo sería mejor emplear el método simbólico, con números complejos), obtendríamos el gráfico de la figura 1.33, en el cual vemos que el vector que representa la resistencia óhmica está en fase con la intensidad, el que representa la reactancia capacitiva está retrasado 90º con respecto a la intensidad y el que representa la reactancia inductiva está adelantado 90º con respecto a la intensidad. La resultante de los tres tipos de resistencias, que se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras al gráfico de la figura 1.33, es lo que denominamos impedancia, se representa siempre por una Z y su magnitud también es el ohmio. 2

 1   = R 2 + X 2 = Ω Z = R +  ω L − ωC   2

Figura 1.33 Conexión en serie impedancia

Podemos representar las tensiones o las f.e.m. de forma similar a la representación de las resistencias y reactancias; en el cual que la f.e.m. o tensión aplicada es siempre la suma geométrica de los valores parciales o caídas de tensión habidas en R y X y que podrá estar en adelanto o en retraso con respecto a la intensidad I según predomine en el circuito la reactancia inductiva o capacitiva.

2

 1   = R 2 + X 2 = IZ f .e.m. ) = V = I R +  ω L − ωC   2

23

Medidas Eléctricas

TECSUP - PFR

Si queremos saber el ángulo de desfase ϕ resultante, entre la intensidad y la f.e.m. o tensión aplicada, lo mejor es calculando la tangente de dicho ángulo, por medio del gráfico de la figura 1.33:

1   ω L −  ωC  X  tag ϕ = = R R Por otra parte, ateniéndonos al triángulo rectángulo de la figura 1.33 y de acuerdo con las leyes trigonométricas, podemos obtener las relaciones entre la resistencia R y la reactancia X, con la impedancia Z y el ángulo de desfase ϕ: Resistencia = R = Z cos ϕ Resistencia = X = Z sen ϕ 4.5

CIRCUITOS DE C.A. EN PARALELO

Mientras que en los circuitos en serie la intensidad era la magnitud común a todos los receptores, en la conexión en paralelo la tensión es la única común entre todos ellos. En estos casos y según vemos en el esquema gráfico de la figura 1.34, una vez obtenida la intensidad de cada rama, cuyos componentes están en serie, podemos trasladar las intensidades de cada rama I1, I2, I3, etc. A un diagrama vectorial, en el cual tomamos como vector de referencia para los ángulos de desfase el vector tensión V, y de esta forma llegamos a obtener la intensidad total del circuito I, que será la suma geométrica de las intensidades parciales de cada rama, así como el ángulo de desfase ϕ entre la tensión aplicada al circuito y la intensidad total. Ésta podrá estar en adelanto o retraso, con respecto a la tensión, según predomine en el circuito la reactancia capacitiva o inductiva.

I = I1+ I 2 + I 3 +... En este caso, en la ecuación de cada rama, para cálculos numéricos lo mejor es emplear el cálculo simbólico, de tal forma que en el ejemplo de la figura 1.34 tendríamos:

V = I1 (ω L1) j = I1 ⋅ Xlj = I1.Z1

 1    V = I 2  R2 +  −  j  = I 2 (R 2 + X 2 j ) = I 2.72  ωC 2     1    V = I 3  R3 +  − ωL3  j = I 3 (R3 + X 3 j ) = I 3.73 ωC 3    

24

TECSUP - PFR

Medidas Eléctricas

y así hasta completar todas las ramas en paralelo existentes en el circuito.

Figura 1.34 Circuitos de c.a. en paralelo

Para hallar la intensidad total del circuito I, primeramente calcularemos, despejándolas en las expresiones anteriores, las intensidades parciales de cada rama, I1, I2, I3, In...

I1 =

V 1 =V Z1 X1 j

I2 =

V 1 R2 − X 2 j =V =V = (R 2 + X 2 ) (R 2 + X 2 ) Z2 R2 + X 2 j

  R2 X2 j  = V = V  2 − 2 2 2 R2 + X 2   R2 + X 2

 R2 X 2   2 − 2 j  Z2 Z2 

De igual forma hallaríamos la intensidad en la rama 3, que posee los tres tipos de resistencias:

I3 =

  X3  R3 X3 V V  R3 = = V  2 − j j  =V  2 − 2 2 2 Z 32  R3 + X 3  Z 3 (R3 + X 3 j )  Z3  R3 + X 3

Por último el valor de la intensidad total que circula por todo el circuito será:

R2 X2  R1   X1  + ... + ...  −  2 + I = I1 + I 2 + I 3 + ... = V  2 + 2 2 Z2 Z2  Z1   Z1  En realidad, y tal como vemos en la figura 1.35, la intensidad total I se puede descomponer en dos vectores, uno en fase con la tensión y que llamamos corriente activa (Ia) y otra formando un ángulo de 90°, en adelante o en retraso con respecto a la tensión, que llamamos corriente

25

Medidas Eléctricas

TECSUP - PFR

reactiva (Ir). Ambos se suman geométricamente para dar lugar a la intensidad total I.

Corriente activa = Ia = I cos ϕ

Corriente reactiva ) = Ir = I sen ϕ

V

I φ

Ia Ir

Figura 1.35 Corriente activa y reactiva

4.6

POTENCIA DE LA CORRIENTE ALTERNA

Si se monta una resistencia eficaz, por ejemplo un calentador, en un circuito de corriente alterna, la tensión y la corriente están en fase (Figura 1.36 a). Multiplicando los valores instantáneos correspondientes de la tensión y de la corriente se obtiene un valor instantáneo de la potencia de la corriente alterna. La curva de potencia es siempre positiva, ya que la potencia y la corriente en una resistencia eficaz son siempre simultáneamente positivas o negativas. Potencia positiva significa que la potencia es transferida del generador al consumidor. La potencia tiene una frecuencia doble que la tensión. A causa de la frecuencia doble, la potencia no puede ser representada en el mismo gráfico de vectores que la corriente y la tensión. -

-

La potencia de la corriente alterna tiene el valor máximo u . i y puede ser transformada en una potencia de corriente continua del mismo valor, llamada potencia activa P, mediante una transformación de superficies.

26

TECSUP - PFR

Medidas Eléctricas

Con una resistencia eficaz, la potencia activa es la mitad del valor máximo de la potencia.

P =

1 1 . u . l = . 2 . Uef . 2 . I ef = Uef . I ef 2 2

En caso de una resistencia activa, la potencia activa es igual al producto de la tensión por la corriente. Para la determinación de la potencia de la corriente alterna se opera siempre con los valores eficaces. Al multiplicar los valores de las medidas de la corriente y la tensión con diferencia de fase, se obtiene una potencia aparente. Esta potencia aparente S se mide en voltamperes.

S=U.I S potencia aparente en VA U tensión en V I corriente en A Al existir una diferencia de fase, la potencia activa P indicada por el medidor de potencia es siempre menor que la potencia aparente calculada S.

Los medidores de potencia indican la potencia activa. • Si en un circuito alterno se dispone, por ejemplo, una bobina, que puede ser considerada como el montaje en serie de una inductancia pura y una resistencia eficaz, deben ser distinguidas tres clases de potencias. Además de la potencia aparente S (o potencia total), en la resistencia eficaz aparece la potencia activa P y en la reactancia inductiva XL la potencia reactiva Q. Para la potencia reactiva se introduce la unidad VAR (voltampere reactivo) y el kVAR. • Si entre la potencia y la corriente existe una diferencia de fase de 90º (Figura 1.36 b), las porciones de superficie positivas son iguales que las negativas. Entonces la potencia activa es nula. Potencia negativa significa suministro de la potencia. Durante un período es devuelta energía dos veces de la bobina al generador. Entonces toda la energía oscila entre el generador y el consumidor. • Si existe una diferencia de fase entre 0º y 90º (Figura 1.36 c), la multiplicación de los valores instantáneos u e i proporciona una curva de potencia con mayor superficie en la parte superior del eje de tiempos.

27

Medidas Eléctricas

TECSUP - PFR

Figura 1.36 Potencia en la corriente alterna

28

TECSUP - PFR

Medidas Eléctricas

Triángulo de potencias

c ia te n Po

n ar e ap

te

S

φ

Potencia reactiva Q

Las potencias también pueden ser representadas en un triángulo rectángulo (Figura 1.37). En un circuito en serie de resistencia eficaz y reactancia inductiva, el triángulo de potencias es semejante al triángulo de tensiones, ya que en las ecuaciones de la potencia S = U . I y P = UW . I y Q = UbL . I, aparece siempre la misma corriente I

Potencia activ a P

Figura 1.37 Triángulo de potencias

S=U.I

S =

P 2 + Q2

P =

S 2 + Q2

Q =

S2 + P2

S potencia aparente en VA P potencia activa en W Q potencia reactiva en VAR Los ángulos de un triángulo rectángulo pueden ser calculados con ayuda de las funciones trigonométricas seno y coseno. En un triángulo rectángulo el lado mayor se llama hipotenusa, el lado situado frente al ángulo ϕ es el llamado cateto opuesto y el otro lado es el cateto adyacente.

Seno ϕ =

cateto opuesto hipotenusa

Coseno ϕ =

cateto adyacente hipotenusa

En el triángulo de potencias la hipotenusa representa la potencia aparente, el cateto adyacente la potencia activa y el otro cateto la potencia reactiva. Coseno ϕ =

potencia activa en W potencia aparente en VA

29

Medidas Eléctricas

TECSUP - PFR

Cos ϕ =

P S

P = S . cos ϕ

P = U . I . cos ϕ

La potencia activa es el producto de la tensión por la corriente y por el coseno de ϕ. Tomando la función seno, se obtiene: Seno ϕ =

potencia inductiva en var potencia aparente en VA

Sen ϕ =

Q S

Q = S . sen ϕ

Q = U . I .sen ϕ

La potencia reactiva es el producto de la tensión por la corriente y por el seno de ϕ.

Factor de potencia La relación entre la potencia eficaz (o activa) y la potencia aparente se denomina factor de potencia. Factor de potencia =

potencia eficaz potencia aparente

En la corriente senoidal el factor de potencia coincide con el cos ϕ. El factor de potencia es una medida que permite calcular la potencia aparente que es transformada en potencia activa o eficaz.

Potencia aparente =

potencia eficaz factor de potencia

Con potencia activa constante, la potencia y con ella la corriente es tanto mayor cuanto menor es el cos ϕ.

30