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• Max Gerson Cortez

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INTRODUCCION

El análisis de los cuerpos rodantes trata de las relaciones existentes entre las fuerzas que sobre ellos ejercen agentes exteriores y los correspondientes movimientos de traslación y rotación de dichos cuerpos .la descripción del movimiento de los cuerpos es útil por dos importantes razones; primero frecuentemente es necesario generar, transmitir o gobernar ciertos movimientos y transmisiones de diversos tipos. En estos casos la descripción del movimiento es necesaria para determinar la geometría del diseño del mecanismo y lo que es más, a consecuencia del movimiento generado suelen aparecer fuerzas que deben tenerse en cuenta en el trayecto .segundo, a menudo es necesario determinar el movimiento de un cuerpo que resulta de aplicar fuerzas a este. se emplean para describir la clase de soporte de eje en el que la carga principal se transmite a través de elementos que están en contacto rodante y no deslizante, es decir, su utilización se debe a la característica de transferir las cargas entre los elementos rotatorios y los estacionarios, permitiendo la rotación relativamente libre con un mínimo de fricción. Un rodamiento o cojinete de rodadura es un tipo de cojinete, que es un elemento mecánico que reduce la fricción entre un eje y las piezas conectadas a éste por medio de rodadura, que le sirve de apoyo y facilita su desplazamiento. Dependiendo de su función y de las cargas aplicadas, los elementos de rodadura pueden ser: bolas, rodillos cilíndricos, rodillos cónicos, o rodillos cilíndrico-esféricos. Este trabajo se centra en los tipos de servicios que pueden entregarnos los rodamientos, ya que son piezas mecánicas las cuales nos hacen una vida más fácil. Se recopila información de libros especializados en este tipo de pieza mecánica para poder entregar la mejor información sobre estas piezas, que le simplifican la vida al hombre. Los rodamientos se dividen en dos grupos que son los de bola y los de rodillo, a su vez estos también se dividen en sub-grupos que nos vamos a referir más adelante.

OBJETIVOS 

Analizar el comportamiento de diferentes cuerpos rígidos al rodar, sin deslizar, por un plano inclinado, y relacionar ese comportamiento a la masa y al momento de inercia de dichos cuerpos.



Investigar la traslación y el movimiento de traslación respecto a un eje fijo de un cuerpo rígido.



Conocer sus partes y su forma de funcionamiento.



Entender la importancia del momento de inercia en la rotación de los cuerpos.



Entender el concepto de momento de una fuerza (torca) y sus aplicaciones.

MARCO TEORICO

CUERPOS RODANTES. Consideramos el movimiento de cuerpos que, debido a su geometría, Tienen la capacidad de rodar: esfera, aro, disco, superficie esférica, cilindro apoyado sobre su generatriz, Estos cuerpos pueden deslizar, rodar o ambas cosas simultáneamente. Consideremos una esfera de radio R que desliza sobre una superficie, por tanto se está trasladando sin dar vueltas, y por tanto todos los puntos de la esfera tienen la misma velocidad v de traslación.

ƒ

Ahora consideramos que la esfera no está apoyada sobre ninguna superficie, y que gira con velocidad angular ω; los puntos superior e inferior de la superficie se mueven con velocidad v = Rω respecto al centro de la esfera (que se encuentra en reposo). En la figura se muestra una esfera que tiene un movimiento de rotación. El punto más alto de la esfera se mueve hacia la derecha con velocidad v = Rω respecto al centro (que está en reposo) y el punto más bajo se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad v = Rω respecto al centro, pero dirigida hacia la izquierda Consideremos que la esfera rueda sobre una superficie. Cuando la esfera ha girado un ángulo ϕ , el punto de contacto (A) entre la bola y el plano se mueve una distancia s = Rϕ

Como el centro de la esfera se encuentra sobre el punto de contacto, el centro de gravedad G

También se ha movido la misma distancia s.

Examinamos ahora el movimiento de un cuerpo (un aro, un cilindro o una esfera) que rueda a lo largo de un plano inclinado. Para que ruede tiene que haber una fuerza de rozamiento en el punto de contacto entre el cuerpo que rueda y el plano inclinado. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son: 

el peso



la fuerza normal



la fuerza de rozamiento.

Descomponemos el peso en una fuerza a lo largo del plano y otra perpendicular al plano inclinado. Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:



Movimiento de traslación del c.m. mgsenq -Fr=mac



Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. FrR=Ica



Relación entre el movimiento de traslación y rotación (rueda sin deslizar) ac=a R

Si deseamos calcular la velocidad del cuerpo después de haber recorrido una longitud x a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo. De las ecuaciones de la del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Si conocemos el ángulo de inclinación q y el momento de inercia Ic del cuerpo que rueda, podemos determinar ac. Dado x, calculamos vc. Cuerpo

Momento de inercia

Esfera

mR2

Aro Cilindro

Balance de energía 

Energía cinética en el movimiento de rodar

La energía cinética de un cuerpo que rueda es la suma de la energía cinética de traslación del c.m. y la energía cinética de rotación alrededor del c.m.



Trabajo de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo

El trabajo total de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que rueda es la suma del trabajo en el movimiento de traslación más el trabajo en el movimiento de rotación W = W t+ W r El trabajo en traslación es

el

movimiento

de

Wt = ( mgsenq -Fr) x = mgh - Frx El trabajo en rotación es

el

Wr = Mf = FrRf = Frx El trabajo total es W = mgh

movimiento

de

Como vemos la fuerza de rozamiento en el movimiento de rodar produce dos trabajos de la misma magnitud pero de signos opuestos. Esta es la razón por la que no tenemos que incluir el trabajo de la fuerza de rozamiento en el balance de energía. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo modifica su energía cinética.

Un anillo y un disco de igual masa se dejan libres en la parte superior de un plano inclinado examinamos ahora el movimiento de un cuerpo (un aro, un cilindro o una esfera) que rueda a lo largo de un plano inclinado. Para que ruede tiene que haber una fuerza de rozamiento en el punto de contacto entre el cuerpo que rueda y el plano inclinado.

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son: El peso la fuerza normal la fuerza de rozamiento. Descomponemos el peso en una fuerza a lo largo del plano y otra perpendicular al plano inclinado. Las ecuaciones del movimiento son las siguientes: Movimiento de traslación del c.m. mgsenq – Fr = mac Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. Fr R = Ic a Relación entre el movimiento de traslación y rotación (rueda sin deslizar) ac=a R Si deseamos calcular la velocidad del cuerpo después de haber recorrido una longitud x a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo. De las ecuaciones de la del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Si conocemos el ángulo de inclinación q y el momento de inercia Ic del cuerpo que rueda, podemos determinar ac. Dado x, calculamos vc.

BALANCE DE ENERGÍA Energía cinética en el movimiento de rodar La energía cinética de un cuerpo que rueda es la suma de la energía cinética de traslación del c.m. y la energía cinética de rotación alrededor del c.m. Trabajo de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo El trabajo total de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que rueda es la suma del trabajo en el movimiento de traslación más el trabajo en el movimiento de rotación W= Wt + Wr El trabajo en el movimiento de traslación es Wt = ( mgsenq - Fr) x = mgh – Fr x El trabajo en el movimiento de rotación es Wr = M f = Fr Rf = Fr x El trabajo total es W = mgh Como vemos la fuerza de rozamiento en el movimiento de rodar produce dos trabajos de la misma magnitud pero de signos opuestos. Esta es la razón por la que no tenemos que incluir el trabajo de la fuerza de rozamiento en el balance de energía. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo modifica su energía cinética. 

Un anillo y un disco de igual masa se dejan en libertad desde un mismo punto sobre un plano inclinado ¿Cual de ellos llegara al final del plano inclinado? La respuesta es que llegara primero el disco, debido a que la aclaración del centro de masa es mayor para el disco I/mR 2 es de ½ para el disco y 1 para el anillo, por lo que la aceleración de este último es menor gsenx/2 , frente a 3gsenx/2 para el disco.



Se muestra como desciende sobre un plano inclinado 2 cilindros uno rodando sobre si mismo y otro sobre ruedas diminutas, ¿cual llegara primero? como el segundo desliza sobre ruedas diminutas no gasta energía en la rotación desciende con mayor energía cinética de traslación que el que rueda. El primero desciende con aceleración gsenx/2, mientras que el segundo lo hace con aceleración gsenx, el doble.

ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN Al igual que un cuerpo con una cierta velocidad v tiene una energía cinética igual a mv 2/2 , los cuerpos que rotan tienen una energía cinética asociada a esta rotación. Las partículas del sólido describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad proporcional al radio de la circunferencia que describen vi = ω ·Ri Energía cinética total es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas, que puede expresarse en función del momento de inercia y de la velocidad angular de rotación como: E = I * W2 / 2 Si se considera un cuerpo rígido de masa total m que tiene un movimiento de traslación, siendo cm v la velocidad del centro de masas, que además está girando con respecto a un eje que pasa por su centro de masas, la energía cinética total es igual a la de traslación del centro de masas más la de rotación, es decir:

E = m*V2 / 2 + I*W2 / 2 Analogías entre dinámica de traslación y de rotación. Para facilitar el estudio de la dinámica de la rotación se tienen en cuenta las siguientes analogías con la dinámica normal. TRASLACION X V

ROTACION θ W

A M P

Α I = ∑ miri2 L= r x p

F F=m *a F=dp / dt

M=r x F M=I * α M=dL / dt

P = m*v W=F*d Ec=1/2*mv2

L=I*W W=M*θ Ec=1/2 I W2

CUERPO RIGIDO Tiene forma definida que no cambia y las partículas que las componen permanecen en formas fijas. Un objeto rígido puede presentar dos movimientos distintos, estos movimientos son conocidos como movimiento de rotación y movimiento de traslación. MOVIMIENTO ROTACIONAL DE CUERPOS RIGIDOS Movimiento rotacional es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo rígido de forma que dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo. ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN PUNTO FIJO Cuando un cuerpo esta girando alrededor de un eje fijo, cualquier punto P ubicado en el cuerpo viaja por una trayectoria circular. Un punto no tiene dimensión, por lo que carece de movimiento angular. Solo líneas o cuerpos experimentan movimiento angular.

En el instante mostrando, la posición angular de r esta definida por el ángulo θ, medida entre una línea de referencia fija y r.

Una partícula sobre un objeto rígido en rotación se mueve de P a Q a lo largo del arco de un círculo.

La razón del cambio con respecto al tiempo de la posición angular se llama velocidad angular w. como dθ ocurre durante un instante dt, entonces.

La aceleración angular α mide la razón de cambio con respecto al tiempo de velocidad angular. La magnitud de este vector puede ser escrita como.

Al girar un cuerpo rígido de la figura mostrado en la figura:

El punto P viaja por una trayectoria circular de radio r y centro en el punto cero. POSICIÓN. La posición de P es definida por el vector de oposición r el cual se extiende desde cero hasta P. VELOCIDAD. La velocidad de P tiene una magnitud que puede contraerse a partir de sus componentes polares.

La aceleración de P puede ser expresada en términos de sus componentes normal y tangencial

EJERCICIOS Problema 1

Un disco de 0.6 m de radio y 100 kg de masa, gira inicialmente con una velocidad de 175 rad/s. Se aplican los frenos que ejercen un momento de M= -2·t Nm. Determinar 

la aceleración angular en función del tiempo



la velocidad angular en función del tiempo



el ángulo girado en función del tiempo.



El momento angular inicial y en el instante t=18 s.



Representar el momento M en función del tiempo. Comprobar que el impulso angular∫0tM⋅dt (área) es igual a la variación de momento angular.

SOLUCION: Momento de inercia I=12100⋅0.62=18 kgm2 Ecuación de la dinámica de rotación I·α=M, α=-t/9 rad/s2 la aceleración angular no es constante Calculamos la velocidad angular ω y el desplazamiento angular θ. ω−ω0=∫t0tα⋅dt  ω−175=∫0t(−t9)⋅dt  ω=175−t218 rad/sθ−θ0=∫t0tω⋅dt   θ=∫0t(175−t218)⋅dt  θ=175t−t354 rad

Momento angular, L=Iω t=0, ω=175, L=3150 kgm2/s t=18, ω=157, L=2826 kgm2/s Impulso angular L−L0=∫t0tM⋅dt  L−3150=∫0t(−2t)⋅dt L=3150−t2 kg⋅m2/s En el instante t=18 s, L=2826 kgm2/s

La representación del momento M en función del tiempo t es una recta. El ´rea del triángulo de la figura es −18⋅362=−324 que es el impulso angular, igual a la diferencia entre el momento angular final e inicial

Para t=18 s Aceleración tangencial, at=α·R=(-18/9)·0.6=-1.2 m/s2

Aceleración normal, an=ω2·R=1572·0.6=14789.6 m/s2 En la figura, se representa la velocidad, tangente a la trayectoria circular, la aceleración tangencial de signo contrario a la velocidad.

Problema 2

Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la masa de la polea es despreciable. 

¿Cuánto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno?



¿Cuánto vale la velocidad angular del tambor del torno?



¿Qué potencia tiene que desarrollar el motor? Calcular el trabajo realizado durante 10 s

SOLUCION: Velocidad

constante del bloque v=0.08 m/s Tensión de la cuerda, es el peso del bloque, F=2000·9.8=19600 kg Momento, M=F·r=19600·0.3=5880 N·m Velocidad angular, ω=v/r=0.08/0.3=4/15 rad/s

Potencia, P=M·ω=5880·4/15=1568 W

Trabajo, W=M·θ=P·t=1568·10=15680 J

Problema 3

El sistema de la figura está inicialmente en reposo. El bloque de 30 kg está a 2 m del suelo. La polea es un disco uniforme de 20 cm de diámetro y 5 kg de masa. Se supone que la cuerda no resbala sobre la polea. Encontrar: 

La velocidad del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo.



La velocidad angular de la polea en ese instante.



Las tensiones de la cuerda.



El tiempo que tarda el bloque de 30 kg en tocar el suelo.

(Resolver el problema por dinámica y aplicando el balance energético)

SOLUCION:

Escribimos las ecuaciones del movimiento 

Del movimiento cada uno de los bloques



Del movimiento de rotación del disco

30⋅9.8−T1=30⋅aT2−20⋅9.8=20⋅aT1⋅0.1−T2⋅0.1=(125⋅0.12)α

La relación entre la aceleración de los bloques a y la aceleración angular α del disco es a=α·0.1 Resolviendo el sistema de ecuaciones, a=1.87 m/s2 Si el bloque de 30 kg cae 2 m partiendo del reposo. 2=12at2v=a⋅t⎫⎭⎬v=2.73 m/s Balance energético

En la figura se compara la situación inicial y la final y aplicamos el principio de conservación de la energía 30⋅9.8⋅2=20⋅9.8⋅2+1220v2+1230v2+12(125⋅0.12)ω2 Relacionamos la velocidad v de los bloques y la velocidad angular ω del disco, v=ω·0.1 El resultado es v=2.73 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica

Problema 4

El sistema de la figura consta de una polea formada por dos discos coaxiales soldados de masas 550 y 300 g y radios 8 y 6 cm, respectivamente. Dos masas de 600 y 500 g cuelgan del borde de cada disco. Calcular: ¿En qué sentido gira? La tensión de cada cuerda La aceleración de cada masa La velocidad de cada cuerpo cuando uno de ellos (¿cuál?) haya descendido 3 m partiendo del reposo (emplea dos procedimientos de cálculo).

Como 0.5·9.8·0.06>0.6·9.8·0.06, gira en el sentido de las agujas del reloj. Momento de inercia de los discos soldados I=120.55⋅0.082+120.3⋅0.062=0.0023 kg⋅m2 Ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos 0.5⋅9.8−T2=0.5⋅a2T2⋅0.08−T1⋅0.06=IαT1−0.6⋅9.8=0.6⋅a1 Relación entre las aceleraciones de los bloques y la aceleración angular de los discos .

a1=α·0.06 a2= α·0.08 Resolvemos el sistema de ecuaciones, α=5.12 rad/s2, a1=0.307 m/s2, a2=0.409 m/s2

Balance energético

Si el cuerpo de 0.5 kg desciende 3 m partiendo del reposo 3=12a2t2v2=a2t⎫⎭⎬v2=1.567 m/s

Cuando el cuerpo de 0.5 kg desciende h2=3 m el cuerpo de 0.6 kg asciende h1 θ=h10.06=h20.08  h1=2.25 m Conservación de la energía 0.5⋅9.8⋅3=120.5⋅v22+12Iω2+120.6⋅v21 Relación entre las velocidades de los bloques y la velocidad angular de los discos v1=ω·0.06 v2= ω·0.08 El resultado es v2=1.567 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica

CONCLUSION

En general podemos afirmar que La física de los cuerpos que ruedan por un plano inclinado no es intuitiva Para un objeto esfera, cilindro o disco, anillo– que se encuentra a una Altura h sobre el nivel del suelo y situado sobre un plano inclinado su Angulo θl=h/senθ Donde l es la longitud del plano inclinado, se pueden determinar Tanto la velocidad del centro de masas con la que va a llegar al final del plano Inclinado como la aceleración a que se ve sometido. Por el Principio de Conservación de la Energía. En un rodamiento existen partículas duras de cierto tamaño solicitadas por el paso de los cuerpos rodantes, aparecen impresiones en las superficies de contacto que a su vez originan una fatiga prematura del material. En particular Las cargas estáticas no son solo las que se aplican cuando el rodamiento está parado o con velocidades de giro muy bajas; deben tenerse en cuenta las cargas de choque pesadas (cargas de duración muy breve). Unas cargas estáticas excesivas pueden comprometer la integridad de un rodamiento provocando deformaciones plásticas en las superficies de contacto. La capacidad

de carga estática Co se usa en los cálculos cuando los rodamientos giran a velocidad muy bajas, cuando están sometidos a movimientos lentos de oscilación o cuando están estacionarios bajo carga durante ciertos periodos. También debe tomarse en cuenta cuando sobre un rodamiento giratorio (sometido a esfuerzo dinámico) actúan elevadas cargas de choque de corta duración.

BIBLIOGRAFIA

   

Beer, F. y Jonhson, R. (1997). Mecánica vectorial para ingenieros. Dinámica a (6ª ed.). México: McGraw-Hill Hibbeler, R. (2004). Mecánica vectorial para ingenieros. Dinámica (10ª ed.). México: Prentice Hall. Marcelo Alonso, Edward J. Finn “Física”, vol. I: “Mecánica” http://www.monografias.com/trabajos78/cuerpo-rigido/cuerporigido.shtml#ixzz2mq7Nl4f0