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• Alondra Chavez

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CUADRO COMPARATIVO DE LOS MÉTODOS

CONCEPTOS

MÉTODO DE BISECCION Es el método más elemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. Está basado directamente en el teorema de Bolzano. Consiste en partir de un intervalo [x0,x1]tal que f(x0)f(x1) < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raíz real. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decidido emplear. El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro asegurar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:

En la n ésima iteración. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo.

MÉTODO APROXIMACIONES SUCESIVAS El método de las aproximaciones sucesivas es uno de los procedimientos más importantes y más sencillos de codificar. Supongamos la ecuación

MÉTODO DE INTERPOLACIÓN

Uno de los métodos de interpolación más sencillos es el lineal. En general, en la interpolación lineal se utilizan dos puntos, (xa,ya) y (xb,yb), para obtener un tercer punto interpolado (x,y) a partir de la donde f(x) es una función continua que se siguiente fórmula: desea determinar sus raíces reales. Se {\displaystyle y=y_{a}+(x-x_{a}){\frac sustituye f(x) por la ecuación equivalente {(y_{b}-y_{a})}{(x_{b}-x_{a})}}} La interpolación lineal es rápida y sencilla, Se estima el valor aproximado de la raíz x0, y se sustituye en el segundo pero en ciertos casos no muy precisa. miembro de la ecuación para obtener x1. Poniendo x1 como argumento de j(x), obtendremos un nuevo número x2, y así sucesivamente. Este proceso se puede sintetizar en la fórmula.

(1) Si esta secuencia es convergente es decir, La línea azul representa la interpolación tiende hacia un límite, la solución x es lineal entre los puntos rojos.

Teorema de Bolzano.

TEOREMAS

Sea una función f(x) continua definida en un intervalo. Entonces si se cumple que f(a) . f(b) < 0 es decir, f(a) 0, o f(a) >0 y f(b) 1. [scale=0.9]eps/as-2

EJEMPLOS

Para demostrarlo basta tomar en el Teorema 1:

La función f(x) = x 3 + 4 x 2 − 10 tiene una raíz en [1, 2] ya que f(1) = −5 y f(2) = 14. Es fácil ver que hay una sola raíz en [1, 2]. El algoritmo de bisección da los valores de la tabla. Después de 13 iteraciones, podemos ver que p13 = 1.365112305 aproxima a la raíz p con un error de |p − p13| < |b14 − a14| = |1.365234375 − 1.365112305| = 0.000122070 y como |a14| < |p|,

la aproximación es correcta al menos con cuatro cifras significativas.

donde: π(x) = (x − x0)(x − x1). . .(x − xn). Entonces:

Por ejemplo, la ecuación X2 + 7X eX = 0 no puede logarse un ”despeje”sencillo, algebraícamente hablando. Desde un punto de vista iterativo, la ecuación puede expresarse como:

En efecto, algebraícamente hablando, el despeje anterior no aporta mejora en la solución de la ecuación. Sin embargo, si se define en forma iterativa:

La interpolación de Hermite puede hacerse en general, no sólo para la primera derivada, sino para derivadas de cualquier orden.

OBSERVACIONES

El valor correcto de p, con nueve cifras decimales, es p = 1.365230013. Es interesante notar que p9 está más cerca de p que la aproximación final p13, pero no hay manera de determinar esto a menos que se conozca la respuesta correcta Tabla

donde Xi es un valor inicial y Xi+1 es un valor corregido que, en un escenario favorable, tendrá una cantidad de error menor con respecto a la raíz de la ecuación. El proceso iterativo se detendrá cuan- do entre dos aproximaciones sucesivas (de aqui el nombre del método) se satisfaga la tolerancia preestablecida. No obstante la aparente facilidad que se muestra, como se verá posteriormente, el método no es ciento por ciento eficaz en todas las ecuaciones.

Si f es una función continua sobre el intervalo [a,b] y si f(a)f(b)