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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA SUPERFICIES CUÁDRICAS

CLASIFICACIÓN DE LAS CUÁDRICAS 1.- TIPO M X 2 + N Y 2+ P Z 2 = R ( Cuádricas con centro )

SIGNO M N P LUGAR GEOMÉTRICO ECUACIÓN

INTERSECCIÓN CON TRAZAS SOBRE EJES COORDENADOS PLANOS COORD. Con eje x : y = z = 0

R>0 Elipsoide

M , N ,P : son todos positivos

x2 y2 z 2 + + =1 a2 b2 c2 ¿Cómo llegamos?

x2 =1 a2

P(±a,0,0)

Con eje y : x = z = 0

y2 =1 b2

P(0,±b,0)

Con eje z : x = y = 0 Superficie esférica

z2 =1 c2

P(0,0,±c)

x2 y2 z 2 + + =1 a2 a2 a2

Plano xy : z = 0

x2 y2 + =1 a 2 b2 elipse o circunferencia

Plano xz : y = 0

x2 z 2 + =1 a2 c2 elipse o circunferencia

Plano yz : x = 0 2

2

y z + 2 =1 2 b c elipse o circunferencia

SECCIÓN CON PLANOS // A LOS PLANOS COORD

GRAFICA

Plano // xy : z = k ⏐ k ⏐ > c no existe lugar geométrico -c < k < c elipse o circunferencia k = c P(0,0,±c) Plano // xz : y = k ⏐ k ⏐ > b no existe lugar geométrico -b < k < b elipse o circunferencia k = b P(0,±b,0) Plano // yz : x = k ⏐ k ⏐ > a no existe lugar geométrico -a < k < a elipse o circunferencia k = a

P(±a,0,0)

Cómo llegamos?

Si R > 0 M , N , P son todos negativos

No

existe

lugar

geométrico

x2 y2 z 2 - 2 - 2 - 2 =1 a b c

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Profesores: Lic. Walter Bertoa - Lic. Norma del Puerto – Lic. María de los Ángeles Ferré

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA SUPERFICIES CUÁDRICAS

1.- TIPO

M X 2 + N Y 2+ P Z 2 = R ( Cuádricas con centro )

SIGNO M, N, P,R

LUGAR GEOMÉTRICO ECUACIÓN

R>0 M , N , P: dos positivos y uno negativo

Hiperboloide de una hoja

INTERSECCIÓN CON TRAZAS SOBRE EJES COORDENADOS PLANOS COORD. con eje x : y = z = 0

Ej.: : M > 0 N > 0 P < 0

x2 y2 z 2 + =1 a 2 b2 c2

2

x =1 a2 con

2

y =1 P(0,±b,0) b2

x y2 k2 + = 1+ 2 > 0 a 2 b2 c

elipse o circunferencia

elipse o circunferencia

-

pl ano xz : y = 0 2

2

x z =1 a2 c2

eje z : x = y = 0

z2 = 1 no existe c2

intersección

2

plano // xz : y = k

hipérbola con

GRAFICA

plano // xy : z = k

x y + 2 =1 2 a b

eje y : x = z = 0

2

¿Cómo llegamos?

pl ano xy : z = 0 2

P(±a,0,0)

SECCIÓN CON PLANOS // A LOS PLANOS COORD

plano yz : x = 0

x2 z 2 k2 = 1a2 c2 b2

⏐ k⏐ ≠ b hipérbola ⏐ k⏐ = b

x2 z 2 =0 a2 c2

y2 z2 =1 b2 c2

par de rectas que se cortan

hipérbola

y2 z2 k2 = 1- 2 b2 c2 a

plano // yz : x = k

⏐ k⏐ ≠ a hipérbola ⏐ k⏐ = a

y2 z2 =0 b2 c2

par de rectas que se cortan

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA SUPERFICIES CUÁDRICAS

1.- TIPO

M X 2 + N Y 2+ P Z 2 = R ( Cuádricas con centro )

SIGNO M N P LUGAR R GEOMÉTRICO ECUACIÓN

INTERSECCIÓN CON TRAZAS SOBRE SECCIÓN CON PLANOS EJES COORDENADOS PLANOS // A LOS PLANOS COORD. COORD

Si R > 0 M , N, P : uno positivo y dos negativos

Con eje x : y = z = 0 Plano xy :

Ej.: M > 0 N < 0 P < 0

Hiperboloide de dos hojas

2

x =1 a2

2

con eje y : x = z = 0

¿Cómo llegamos?

Plano // xy : z = k

x y =1 a 2 b2

x2 y2 k2 = 1+ 2 > 0 a 2 b2 c

hipérbola

hipérbola

Plano xz : y = 0

Plano // xz : y = k

P(±a,0,0)

x2 y2 z 2 =1 a 2 b2 c2

z = 0

2

x z =1 a2 c2

x2 z 2 k2 = 1+ a2 c2 b2

intersección

hipérbola

hipérbola

con eje z : x = y = 0

Plano yz : x = 0

Plano // yz : x = k

-

2

2

y = 1 no existe b2

2

-

z =1 c2

2

no existe

intersección

-

2

2

y z =1 b2 c2

no existe lugar geométrico

GRAFICA

y2 z2 k2 = 1b2 c2 a2 y2 z2 ⏐ k⏐ = a ; - 2 - 2 = 0 b c -

P=(±a,0,0)

⏐ k⏐ > a ; δ 0

y2 z2 =δ , b2 c2

no existe lugar geométrico

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA SUPERFICIES CUÁDRICAS

1.- TIPO

M X 2 + N Y 2+ P Z 2 = R ( Cuádricas con centro )

SIGNO M N P LUGAR R GEOMÉTRICO ECUACIÓN

INTERSECCIÓN CON TRAZAS SOBRE EJES COORDENADOS PLANOS COORD. Con eje x : y = z = 0

R>0 M , N y P : uno nulo y dos positivos

Superficie Cilíndrica elíptica o circular

x2 =1 a2

P(±a,0,0)

Plano xy :

z = 0

x2 y2 + =1 a2 b2 elipse o circunferencia

Con eje y : x = z = 0 Ej : M > 0 N > 0 P = 0

x2 y2 + =1 a2 b2 ( de eje z ) ¿Cómo llegamos?

2

y =1 P(0,±b,0) b2

GRAFICA

Plano // xy : z = k

x2 y2 + =1 a2 b2 elipse o circunferencia Plano // xz : y = k

Plano xz : y = 0 2

x =1 a2 dos rectas //

Con eje z : x = y = 0 Plano yz : x = 0 no hay intersección

SECCIÓN CON PLANOS // A LOS PLANOS COORD

y2 =1 b2 dos rectas //

x2 k2 = 1 a2 b2

⏐ k ⏐ > b no existe lugar geométrico ⏐k⏐=b dos rectas coincidentes ⏐k⏐a no existe lugar geométrico ⏐k⏐=a dos rectas coincidentes ⏐k⏐0 M,N y P :uno nulo y dos negativos R>0 M, N y P : uno nulo , uno negativo y uno positivo Ej.: M < 0 N>0 P=0

INTERSECCIÓN CON TRAZAS SOBRE EJES COORDENADOS PLANOS COORD.

SECCIÓN CON PLANOS // A LOS PLANOS COORD

GRAFICA

No existe

x2 y2 - 2 - 2 =1 a b Superficie cilíndrica hiperbólica

Con eje x : y = z = 0

x2 y2 - 2 + 2 =1 a b

no hay intersección

-

2

x =1 a2

Con eje y : x = z = 0

-

x y + 2 =1 2 a b

x2 =1 a2 existe lugar -

no

geométrico Con eje z : x = y = 0 no hay intersección

-

x2 y2 + =1 a2 b2 hipérbola

Plano xz : y = 0 Plano // xz : y = k

y =1 P(0,±b,0) b2

¿Cómo llegamos?

2

hipérbola

2

( eje z )

z = 0 Plano // xy :z=k

Plano xy :

2

Plano yz

y2 b2 dos rectas

x2 k2 = 1 a2 b2 x2 ⏐ k ⏐ > b ; - 2 = - ⏐δ⏐ a -

dos rectas paralelas ⏐ k ⏐ = b dos rectas : x = 0 coincidentes ⏐k⏐ 0 M,N y P : dos nulos y uno positivo

Dos planos paralelos no coincidentes

Ej : M = 0 N = 0 P > 0

z2 = 1 c2

INTERSECCIÓN CON TRAZAS SOBRE EJES COORDENADOS PLANOS COORD.

SECCIÓN CON PLANOS // A LOS PLANOS COORD

GRAFICA

Con eje x : y = z = 0 Plano xy : z = 0 Plano // xy : z = k No existe lugar geométrico No existe lugar k2 =1 geométrico 2 c Con eje y : x = z = 0 No existe lugar geométrico Plano xz : y = 0 si ⏐k⏐≠⏐c⏐ No existe lugar geométrico z2 =1 Con eje z : x = y = 0 2

c

dos rectas paralelas Plano // xz : y = k

z2 = 1 P(0,0,±c) Plano yz : x = 0 c2 z2 =1 c2

z2 = 1 c2 dos rectas paralelas

dos rectas paralelas Plano // yz : x = k

z2 = 1 c2 dos rectas paralelas

Si R > 0 M,N y P :dos nulos ,uno negativo Ej : M = 0 N = 0 P < 0

No existe lugar geométrico

-

z2 = 1 c2

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA SUPERFICIES CUÁDRICAS

1.- TIPO

M X 2 + N Y 2+ P Z 2 = R ( Cuádricas con centro )

SIGNO M N P R

LUGAR GEOMÉTRICO ECUACIÓN

INTERSECCIÓN CON TRAZAS SOBRE EJES COORDENADOS PLANOS COORD.

SECCIÓN CON PLANOS // A LOS PLANOS COORD

GRAFICA

Si R=0 M,N y P .todos positivos M > 0 N > 0 P > 0

R= 0 M,N y P : dos positivos y uno negativo Ej : M > 0 N > 0 P < 0

Un punto : el origen (0 , 0 , 0)

x2 y2 z 2 + + =0 a2 b2 c2

Con eje x : y = z = 0 Plano xy : Superficie cónica

x2 y2 z 2 + =0 a 2 b2 c2 (de eje z ) ¿Cómo llegamos?

2

x =0 P(0,0,0) a2

2

z = 0 Plano // xy : z = k 2

x y + 2 =0 2 a b P(0,0,0)

x2 y2 k 2 + = a 2 b2 c2 k ≠0 elipse o circunferencia

Con eje y : x = z = 0

Plano xz : y = 0

y2 =0 P(0,0,0) b2

x2 z 2 =0 a2 c2

Plano // xz : y = k

x2 z 2 k2 = dos rectas incidentes a2 c2 b2 k = 0 dos retas Con eje z : x = y = 0 Plano yz : x = 0 incidentes z2 y2 z2 k ≠ 0 hipérbola = 0 P ( 0 , 0 , 0 ) - 2 =0 2 2 Plano // yz : x = k c b c dos rectas incidentes y2 z2 k2 = b2 c2 a2 k = 0 dos retas incidentes k ≠ 0 hipérbola

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA SUPERFICIES CUÁDRICAS

1.- TIPO

M X 2 + N Y 2+ P Z 2 = R ( Cuádricas con centro )

SIGNO M N P LUGAR R GEOMÉTRICO ECUACIÓN R=0

INTERSECCIÓN CON TRAZAS SOBRE EJES COORDENADOS PLANOS COORD.

Con eje x : y = z = Plano xy : z = 0 0 2 x x2 y2 = 0 P ( 0 , 0 , 0 ) + =0 a2 a 2 b2 P(0,0,0) x2 y2 Con eje y : x = z = Plano xz : y = + =0 a 2 b2 0 0 2 y x2 =0 P(0,0,0) =0 ( ecuación del eje z ) b2 a2 dos rectas coincidentes

Eje de coordenadas

M,N y P : uno nulo ,dos del mismo signo Ej : M > 0 N > 0 P = 0

Con eje z : x = y = 0 z ∈ R ∴ eje z

R=0 M,N y P :uno nulo y dos de signo distinto Ej : M > 0 N < 0 P = 0

Plano yz : x = 0 y2 =0 b2 dos rectas coincidentes Con eje x : y = z = Plano xy : z = 0 0 Dos planos que se 2 cortan x x2 y2 =0 P(0,0,0) =0 a2 a 2 b2 dos rectas x2 y2 incidentes =0 Con eje y : x = z = Plano xz : y = a2 b2 0 0 2 y x2 =0 - 2 =0 P(0,0,0) b a2 dos rectas coincidentes Con eje z : x = y = 0 Plano yz : x = 0 z ∈ R ∴ eje z y2 =0 b2 dos rectas coincidentes

SECCIÓN CON PLANOS // A LOS PLANOS COORD.

GRAFICA

Plano // xy : z = k x2 y2 + =0 P(0,0,k a2 b2 ) Plano // xz : y = k x2 k2 = a2 b2 k ≠ 0 : no existe lugar geométrico Plano // yz : x = k y2 k2 = b2 a2 k ≠ 0 : no existe lugar geométrico

Plano // xy : z = k x2 y2 =0 a 2 b2 dos rectas incidentes Plano // xz : y = k x2 k2 = a2 b2 dos rectas // al eje z Plano // yz : x = k y2 k2 - 2 =- 2 b a dos rectas // al eje z

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA SUPERFICIES CUÁDRICAS

1.- TIPO

M X 2 + N Y 2+ P Z 2 = R ( Cuádricas con centro )

SIGNO M N P

LUGAR GEOMÉTRICO ECUACIÓN

INTERSECCIÓN CON TRAZAS SOBRE EJES COORDENADOS PLANOS COORD. Con eje x : y = z = 0 Plano xy :

R=0

2

M, N y P : dos nulos uno no nulo Ej : M ≠ 0 N = 0 P = 0

Dos

planos

coincidentes

( un plano coordenado ) 2

±

x = 0 a2

±

x =0 P(0,0,0) a2

±

x =0 a2

Plano xz :

±

x2 =0 a2

recta // al eje y y = 0 Plano // xz : y = k

2

±

GRAFICA

z = 0 Plano // xy : z = k

2

eje y Con eje y : x = z = 0 0 = 0 ; y ∈ R ∴ eje y

SECCIÓN CON PLANOS // A LOS PLANOS COORD

x =0 a2 eje z

±

x2 = 0 a2

recta // al eje z

( plano yz ) Con eje z : x = y = 0 Plano yz : x = 0 0=0 0 = 0 ; z ∈ R ∴ eje z plano yz

Plano // yz : x = k ±

k2 = 0 a2

k = 0 : plano yz k ≠ 0 : no existe lugar geométrico

NOTA : SI R < 0 ; SE MULTIPLICAN AMBOS MIEMBROS DE LA ECUACIÓN POR ( - 1 ) Y SE ANALIZAN LOS LUGARES GEOMÉTRICOS CORRESPONDIENTES

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA SUPERFICIES CUÁDRICAS

I1.- TIPO

M X 2 + N Y 2 = S Z (Cuádricas sin centro)

SIGNO M N S LUGAR GEOMÉTRICO ECUACIÓN

INTERSECCIÓN CON TRAZAS SOBRE EJES COORDENADOS PLANOS COORD. Con eje x : y = z = 0 Plano xy :

M, N : del mismo signo que S (S ≠ 0)

Paraboloide elíptico o circular

2

2

x =0 P(0,0,0) a2

z = 0 2

x y + 2 =0 2 a b P(0,0,0)

Con eje y : x = z = 0

x2 y2 + = z a2 b2 ( eje z )

¿Cómo llegamos?

2

y =0 P(0,0,0) b2

Plano xz :

y = 0

2

x = z ⇒ x2= a2z 2 a parábolas de eje z

Con eje z : x = y = 0 Plano yz : x = 0 0 = z P(0,0,0) y2 = z ⇒ y2 = b2z 2

b

parábolas de eje z

SECCIÓN CON PLANOS // A LOS PLANOS COORD

GRAFICA

Plano // xy : z = k

x2 y2 + =k a 2 b2 k > 0 elipse o circunferencia k < 0 no existe lugar geométrico Plano // xz : y = k

x2 k2 = z a2 b2

⇒

x2 = 2 p ( z - γ ) parábolas Plano // yz : x = k

y2 k2 z = b2 a2

⇒

y2 = 2 p ( z - γ ) parábolas

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA SUPERFICIES CUÁDRICAS

I1.- TIPO

M X 2 + N Y 2 = S Z (Cuádricas sin centro)

S>0 M y N : uno positivo y uno negativo

Ej : M > 0 N < 0

Con eje x : y = z = 0 Paraboloide hiperbólico

2

x =0 P(0,0,0) a2

z = 0 2

x y =0 a 2 b2

Plano // xy : z = k

x2 y2 = k hipérbola a 2 b2

dos rectas incidentes

x2 y2 = z a 2 b2 Con eje y : x = z = 0 2

( de eje z )

Plano xy :

2

y =0 P(0,0,0) b2

¿Cómo llegamos?

Con eje z : x = y = 0 0 = z P(0,0,0)

Plano xz :

y = 0

Plano // xz : y = k

2

x = z ⇒ x2= a2z 2 a

x2 k2 = z + a2 b2

parábolas de eje z+

parábolas (hacia z+)

Plano yz : x = 0

Plano // yz : x = k

2

-

y = z b2

parábolas de eje z-

-

y2 k2 = z + b2 a2 parábolas (hacia z- )

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA SUPERFICIES CUÁDRICAS

I1.- TIPO

M X 2 + N Y 2 = S Z ( Cuádricas sin centro )

SIGNO M N

LUGAR GEOMÉTRICO ECUACIÓN

M y N : uno nulo Superficie S≠ 0 cilíndrica Ej : M = 0 parabólica N > 0

y2 = z b2 ( eje x ) ¿Cómo llegamos?

S=0 M yN del mismo Eje coordenado z signo x2 y2 + = 0 a 2 b2 Ej.: M > 0 N > 0 (S=0)

INTERSECCIÓN CON TRAZAS SOBRE EJES COORDENADOS PLANOS COORD.

SECCIÓN CON PLANOS // A LOS PLANOS COORD

C on eje x : y = z = 0 Plano xy : z = 0 ∀ x : 0 = 0 ⇒ eje x y2 =0 2

pl // xy : z = k

y2 =k b2

b

par de rectas ≡

GRAFICA

k > 0 par de rectas //

k < 0 no existe lugar geométrico Con eje y : x = z = 0

y2 =0 P(0,0,0) b2

Plano xz : y = 0 0 = z ⇒ eje x

Plano // xz : y = k

k2 = z b2

⇒

recta // eje x

Con eje z : x = y = 0 Plano yz : x = 0 Plano // yz : x = k 0 = z P(0,0,0) y2 2 2 = z ⇒ y = b z y2 = z ⇒ b2 b2 parábolas de eje z parábolas eje // z

Con eje x : y = z = 0 Plano xy : 2

x = 0 a2

2

P(0,0,0)

Con eje y : x = z = 0

y2 =0 P(0,0,0) b2

Con eje z : x = y = 0 0 = 0 ⇒ eje z

z = 0 2

pl // xy : z = k

x y + 2 = 0 2 a b

x2 y2 + = 0 a 2 b2

P(0,0,0)

P(0,0,k)

Plano xz : y = 0 Plano // xz : y = k ≠ 0

x2 = 0 ⇒ eje z a2

x2 k2 = - 2 no existe a2 b lugar geométrico

Plano yz : x = 0 Plano // yz : x = k ≠ 0

y2 = 0 ⇒ eje z b2

y2 k2 = no existe b2 a2 lugar geométrico VOLVER PÁGINA PRINCIPAL

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA SUPERFICIES CUÁDRICAS

I1.- TIPO

M X 2 + N Y 2 = S Z ( Cuádricas sin centro )

SIGNO M N LUGAR GEOMÉTRICO

INTERSECCIÓN CON TRAZAS SOBRE EJES COORDENADOS PLANOS COORD.

SECCIÓN CON PLANOS // A LOS PLANOS COORD

GRAFICA

ECUACIÓN S=0 M y N : signos opuestos Ej. M > 0 N < 0

Con eje x : y = z = 0 Plano xy : Dos planos incidentes

2

x =0 a2

2

x y =0 a2 b2

x2 y 2 =0 a2 b2

dos rectas incidentes

dos rectas incidentes

P(0,0,0)

x2 y2 = 0 a 2 b2

Con eje y : x = z = 0 Plano xz :

y2 - 2 =0 P(0,0,0) b

z = 0 Plano // xy : z = k 2

y = 0 Plano // xz : y = k

x2 = 0 ⇒ eje z a2

x2 k 2 = a2 b2

⇒

dos rectas //

Con eje z : x = y = 0 Plano yz : x = 0 0 = 0 ⇒ eje z y2 - 2 = 0 ⇒ eje z

b

Plano // yz : x = k -

y2 k2 = b2 a2

⇒

dos rectas //

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA SUPERFICIES CUÁDRICAS

CLASIFICACIÓN DE LAS CUÁDRICAS I1.- TIPO

MX2+NY2= SZ

SIGNO M N

( CUÁDRICAS SIN CENTRO )

LUGAR GEOMÉTRICO ECUACIÓN

con eje x : y = z = 0 ∀ x : 0 = 0 ⇒ eje x

S=0 Uno nulo Dos Ej

M = 0 N ≠ 0

INTERSECCIÓN CON TRAZAS SOBRE EJES COORDENADOS PLANOS COORD.

planos

Plano xy :

y2 = 0 b2

( plano

xz )

GRAFICA

z = 0 Plano // xy : z = k

2

y ± 2 = 0 ⇒ eje x b

coincidentes ±

SECCIÓN CON PLANOS // A LOS PLANOS COORD

y2 ± 2 =0 b recta // eje x

Con eje y : x = z = 0

y2 ± 2 =0 P(0,0,0) b

Plano xz : y = 0 Plano // xz : y = k ∀x∀z 0=0 k2 ± 2 = 0 ⇒ plano xz

b

k ≠ 0 no existe lugar geométrico Con eje z : x = y = 0 Plano yz : x = 0 ∀ z : 0 = 0 ⇒ eje z y2 ± 2 = 0 ⇒ eje z

b

Plano // yz : x = k ±

y2 = 0 b2

recta // eje z

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