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• Gilberto Mata

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Matemáticas IV

2.3 Funciones cuadráticas

Modelo cuadrático en enunciados 1. Se menciona una relación cuadrática. 2. Se involucra el producto de dos factores lineales.

Al igual que las funciones lineales, las funciones polinomiales de grado 2 (cuadráticas) son útiles para modelar diversas situaciones.

Ejemplo 1. Identificando un modelo cuadrático en una tabla.

Cuando las tablas son del tipo siguiente, es muy fácil decidir si el modelo es cuadrático o no, restando los valores como se indica:

Verifica si los datos en las tablas corresponden a un modelo cuadrático.

Solución:

a) La prueba de las diferencias no es aplicable porque son distintos los incrementos en x. b) Si. Es del tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Las segundas diferencias son todas iguales al mismo valor 8.

En cada tabla los valores de x están igualmente espaciados. Modelo cuadrático en tablas Se utiliza si: 1. Ésta consta al menos de tres datos y el modelo no es lineal. 2. Para iguales incrementos de x, las segundas diferencias de y son todas iguales (nunca cero).

Ejemplo2. Obteniendo un modelo cuadrático Construye un modelo cuadrático particular para la tabla del ejemplo 1b).

El modelo particular se obtiene sustituyendo tres puntos de la tabla en el modelo cuadrático y resolviendo un sistema de ecuaciones simultaneas.

Solución: Sabemos que la función tiene la forma 𝐹(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Reemplazamos x por 2, 4 y 6 y obtenemos tres ecuaciones lineales: 𝐹(2) = 𝑎(2)2 + 𝑏(2) + 𝑐 = 1 𝐹(4) = 𝑎(4)2 + 𝑏(4) + 𝑐 = 9

Cuando se trata de enunciados, por lo general se observa lo siguiente.

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Matemáticas IV 𝐹(6) = 𝑎(6)2 + 𝑏(6) + 𝑐 = 25 Simplificando 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 1 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 = 9 36𝑎 + 6𝑏 + 𝑐 = 25

El vértice es (20, 1100). Para 𝑥 = 20(1000) = 20 000 muñecas, se obtiene la ganancia máxima 𝑦 = 1 100(1000) = $1 100 000.

Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3

Resolviendo este sistema de ecuaciones se halla 𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = 1. El modelo buscado es 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1. Ejemplo 3. Producción y ganancia máxima La función 𝐺(𝑥) = −2𝑥 2 + 80𝑥 + 300 modela la ganancia (en miles de pesos) que obtiene una empresa de juguetes al producir x muñecas decorativas (en miles). Arriba de cierta cantidad, los costos de producción hacen que las ganancias disminuyan. ¿Para qué producción se obtendrá la ganancia máxima y cuál será ésta?

Solución: Por tratarse de una función cuadrática, su gráfica es una parábola vertical. Como 𝑎 = −2, abrirá hacia abajo y habrá un valor máximo en su vértice. Para hallar éste, debemos escribir la ecuación en forma estándar. 𝐺(𝑥) = (−2𝑥 2 + 80𝑥) + 300 = −2(𝑥 2 − 40𝑥) + 300

Ejemplo 4. Identificación de ballenas En biología marina se estudian y preservan las especies de ballenas identificando a los miembros de las manadas mediante la colocación de un microchip de radiolocalización. Para una manada

= −2(𝑥 2 − 40𝑥 + 400) + 300 + 800 = −2(𝑥 − 20)2 + 1100

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de 15 individuos, se estima que el número promedio de ballenas marcadas en x hectáreas de recorrido, será la cantidad de hectáreas andadas por 0.5𝑥 + 1 ballenas.

ballenas marcadas, abarcando el total de 15 ballenas al cubrir aproximadamente 4.5 hectáreas. b) 𝑔(𝑥) = 15 − 0.5𝑥 2 − 𝑥. Su gráfica corta al eje y en 15, pues 𝑔(0) = 15. Muestra que al aumentar el número de hectáreas, disminuye la cantidad de ballenas sin marcar llegando a 0 cuando 𝑥 = 4.5 aproximadamente. c) Se determina el valor de x para 𝑓(𝑥) = 15, o cuando 𝑔(𝑥) = 0 , cuya solución admisible es 𝑥 = 4.565 ℎ𝑒𝑐𝑡á𝑟𝑒𝑎𝑠.

a) Escribe la función f(x) que indica las ballenas marcadas en x hectáreas e indica su gráfica. b) Halla otra función g(x) que describa cuantas ballenas faltan por marcar después de avanzar x hectáreas. c) ¿Cuántas hectáreas se recorrerán para marcar a todas las ballenas?

Actividad 1 En los ejercicios 1 a 4, determina si los datos de cada tabla pueden modelarse con una función cuadrática. En caso afirmativo, escribe ésta.

Solución: a) 𝑓(𝑥) = 𝑥(0.5𝑥 + 1) = 0.5𝑥 2 + 𝑥 . Su gráfica pasa por el origen ya que 𝑓(0) = 0. La gráfica muestra que al aumentar el número de hectáreas, aumenta el de [35]

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8. Panecillos caseros. La gráfica muestra el comportamiento de las ventas semanales de panecillos que has emprendido con una amiga. 𝑥 = 0 indica que no hay ingrediente extra a parte de leche, harina, huevo y azúcar. Por su costo, otros ingredientes (pasitas, piñón, acitrón, higo, etc.) encarecen el producto y solo es costeable bajo cierta demanda. a) Halla una función para esta relación. b) ¿Cuál podría ser su dominio? c) ¿Podría aumentar, ilimitadamente, la ganancia? d) ¿Para cuántos ingredientes extra obtienes la menor utilidad?

En los ejercicios 5 a 7 identifica la gráfica de cada función indicando: a) porqué abre hacia abajo o hacia arriba; b) cuál es su intersección -y; c) cuál es su intersección -x; d) por qué pasa, o no, por el origen. 5. 𝑦 = −𝑥 2 − 3 6. 𝑦 = −0.5𝑥 2 − 𝑥 + 6 7. 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥

9. Mas sobre panes. La tabla de registros de ventas proviene del problema anterior. a) Verifica que corresponde a un modelo cuadrático; b) Obtén algebraicamente la función.

10. Tarifas en la tercera edad. La función 𝑦 = 28 − 𝑥 2 − 𝑥 modela el uso del fondo de subsidio destinado por autobús para personas de la tercera edad. a) ¿Cuál es el fondo del subsidio? b) ¿Para cuántas personas alcanza? c) ¿A cuánto asciende por persona? d) ¿Se halla el monto total del subsidio en el vértice de la parábola?

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Grados 2 y 4. Si suben a la derecha, suben a la izquierda. Son continuas.

Nota: Sugerencias para la evaluación de la actividad 1 (3) en pp. 71. Libro de texto.

2.4 Funciones de grado superior A) Modelos gráficos Las funciones polinomiales de tercero y cuarto grado siguen un comportamiento similar a las de primero y segundo grado. Grados 1 y 3. Si suben a la derecha, bajan a la izquierda. Son continuas.

Graficas de funciones polinomiales 1. Suben hacia la derecha se el coeficiente principal es positivo; bajan cuando es negativo. 2. Su trazo es suave y continuo (sin picos agudos ni interrupciones) 3. Se comportan igual a izquierda y derecha si el grado es par, y en forma opuesta si es impar. Mediante la transformación de las funciones monomiales 𝑦 = 𝑥 3 𝑦 𝑦 = 𝑥 4 se obtienen las gráficas de otras funciones cúbicas o cuárticas. Las intersecciones con el eje x son ceros de la función (pues en ese caso 𝑦 = 0). Ejemplo 1: Transformación gráfica de funciones monomiales. Bosqueja la gráfica de las siguientes funciones: a) 𝑦 = −𝑥 4 [37]

Matemáticas IV b) 𝑦 = 𝑥 3 + 2 c) 𝑦 = (𝑥 − 3)4 + 4

Ejemplo 2: Bosquejando la gráfica de una función cúbica. Dibuja la gráfica de 𝑦 = −𝑥 3 + 4𝑥

Solución: a) Se refleja 𝑦 = 𝑥 4 en el eje x:

Solución: El coeficiente principal negativo indica que la gráfica bajará a la derecha. Subirá a la izquierda por ser función cúbica. La tabla de valores permite situar algunos puntos y dibujar la gráfica.

b) 𝑦 = 𝑥 3 se mueve hacia arriba 2 unidades:

Los puntos donde la gráfica corta el eje x, son ceros de la función (donde y vale cero). En este caso hay tres: 𝑥 = −2, 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 2.

c) 𝑦 = 𝑥 4 se mueve a la derecha 3 unidades y sube 4.

Ejemplo 3: Comportamiento de gráficas Indica el comportamiento a izquierda y derecha de las gráficas de a) 𝑦 = 𝑥 3 − 5𝑥 2 b) 𝑦 = 𝑥 4 − 10𝑥 2 + 9 Soluciones: a) Por ser cúbica y su coeficiente principal positivo, subirá a la derecha, pero descenderá a la izquierda. b) Al ser cuadrática con coeficiente principal positivo, subirá a la derecha y también a la izquierda. [38]

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Solución: a) 𝑉 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑋 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝜋𝑟 2 × ℎ . Para 𝑟 = 𝑥 𝑐𝑚 de longitud, el ancho de la lata es 2𝑥 𝑐𝑚 (diámetro) y su altura es ℎ = doble del ancho. = 2(2𝑥) = 4𝑥 𝑐𝑚 𝑉 = 𝜋𝑟 2 × ℎ 𝑉(𝑥) = 𝜋𝑥 2 × 4𝑥 𝑦 = 12.56 𝑥 3 b) En la gráfica, cuando 𝑦 = 340, parece ser que 𝑥 = 3 . Para confirmar esto, reemplazamos 𝑦 = 340 en la función y hallamos x: 𝑦 = 12.56 𝑥 3 340 = 12.56 𝑥 3 27.07 = 𝑥 3 3.00 = 𝑥 c) Para 340 ml, la lata tiene un ancho de 2(3) = 6 𝑐𝑚 y un alto de 12 cm.

Ejemplo 4: envase para refresco

Actividad 2

Los envases cilíndricos para refresco generalmente miden el doble de alto que de ancho.

En los ejercicios 1 a 3, identifica la gráfica como función cúbica o cuadrática.

La gráfica mostrada modela el volumen de un envase con tales características. Si el radio de su base mide x cm, a) obtén la función correspondiente; b) usa la gráfica para estimar el tamaño del radio de un envase con capacidad para 340 ml de refresco y confirma tus resultados usando la función; c) halla las dimensiones del envase respectivo.

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En los ejercicios 4 a 9 asocia cada función con su gráfica. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

𝑦 = 𝑥4 − 2 𝑦 = 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 8 𝑦 = 𝑥 4 − 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 2 𝑦 = 𝑥3 − 8 𝑦 = 𝑥 4 − 9𝑥 2 𝑦 = 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 5𝑥 − 8

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Matemáticas IV

c) Haz una tabla con tres columnas para estas funciones y anota, en ese orden: grado; cantidad de ceros y cantidad de puntos de cambio. 11. Precios de petróleo. La gráfica muestra la variación en los precios del barril de petróleo crudo durante mayo – septiembre de 2005. Usa la gráfica para aproximar:

a) El valor del petróleo al iniciar el periodo; b) El precio más bajo que tuvo el petróleo y en qué mes ocurrió esto; c) El precio en el mes de septiembre; d) Halla una función cuadrática para la gráfica.

Nota: Sugerencias para la evaluación de la actividad 2 (4) en pp. 76 y 77. Libro de texto.

10. a) Indica cuáles valores de x son ceros reales en cada una de las funciones de los ejercicios 1 a 9. b) Indica los puntos de cambio en cada gráfica. [41]

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En los puntos de cambio se presentan los valores máximos o mínimos.

B) Solución de ecuaciones factorizables Las gráficas de funciones polinomiales pueden tener tres tipos de puntos:

Las intersecciones y los puntos ordinarios brindan información acerca de los valores específicos de la función. Por lo regular, sus abscisas se obtienen resolviendo una ecuación polinomial. Por ejemplo:

Puntos de intersección con los ejes

Los valores de x donde la función 𝑦 = 12.56𝑥 3 es igual a 340, se obtienen resolviendo la ecuación 340 = 12.56𝑥 3 . Cuando las ecuaciones son más complejas, puede intentarse su solución mediante una factorización. En tal caso se aplica la siguiente propiedad: Puntos de cambio Propiedad del producto cero El producto 𝑎𝑏 = 0 si, y sólo si, 𝑎 = 0 o bien 𝑏 = 0. Así, para resolver la ecuación (𝑥 2 − 4)(𝑥 + 5) = 0, podemos usar la propiedad del producto cero y concluir que alguno de los factores 𝑥 2 − 4 𝑜 𝑥 + 5, debe ser cero. Haciendo 𝑥 2 − 4 = 0 se llega a las soluciones 𝑥 = 2 𝑜 𝑥 = −2. Haciendo 𝑥 + 5 = 0 se obtiene la solución 𝑥 = −5. Puntos ordinarios Los ceros son los valores de x donde la función vale cero y muestra las intersecciones de la gráfica con el eje x. Ejemplo 1: Obtención de ecuaciones y soluciones. Determina los valores de x donde la función toma el valor que se indica. ¿Cuál de estos valores son los ceros de la función? a) 𝑦 = 𝑥 4 − 9𝑥 2 ; 𝑦 = 0 b) 𝑦 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥; 𝑦 = −2

Las intersecciones con el eje x y los puntos de cambio son puntos especiales en las gráficas. NO todas contienen esos puntos.

Solución: a)

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𝑥 4 − 9𝑥 2 = 0 𝑥 2 (𝑥 2 − 9) = 0 2 𝑥 = 0 𝑜 𝑥2 − 9 = 0

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𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = ±3

de guía para ubicar puntos de la gráfica y abreviar cálculos.

Los valores 𝑥 = 0, 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = −3 hacen que 𝑦 = 𝑥 4 − 9𝑥 2 sea cero. Son por tanto los ceros de ésta, y también las intersecciones se du gráfica con el eje x. b) 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 = −2 3 𝑥 − 2𝑥 2 − 𝑥 + 2 = 0 𝑥 2 (𝑥 − 2) − (𝑥 − 2) = 0 (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 1) = 0 𝑥 − 2 = 0 𝑜 𝑥2 − 1 = 0 𝑥 = 2 𝑜 𝑥 = ±1

Se inicia factorizando la función: 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 𝑥 2 (𝑥 − 1) − 4(𝑥 − 1) = (𝑥 − 1)(𝑥 2 − 4) Se hace y = 0 y se aplica la propiedad del producto cero para obtener: 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = ±2. Estos son los ceros. La gráfica corta al eje y en 4. Por ser cúbica y positivo su coeficiente principal, subirá a la derecha y bajará a la izquierda.

Para estos valores de x, se obtienen puntos con ordenada𝑦 = −2: 𝑃(−1, −2), 𝑄(1, −2) 𝑦 𝑅(2, −2). No son ceros de la función.

Para ajustarla mejor, hacia arriba y hacia abajo, calculamos valores entre las intersecciones -x:

Ejemplo 2: Obteniendo ceros para trazar gráficas Dibuja la gráfica de 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 utilizando sus ceros. Por facilidad usamos 𝑦 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 − 4) y una calculadora.

Solución: Los ceros de la función muestran sus intersecciones con el eje x. cuando existen, sirven

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al eje y, aproximadamente en 𝑦 = 0.5 . Parece que tal valor corresponde a 𝑥 = 2.5.

Ejemplo 3: Explotación de tortugas marinas Las tortugas son los reptiles sobrevivientes más antiguos, con cerca de 150 millones de años de existencia en el planeta. Varios países poseen industrias tortugueras que las explotan comercialmente, y que apoyan programas de protección a estas especies para evitar su extinción.

Calculamos valores a ambos lados, usando la ecuación.

La gráfica muestra la disminución de tortugas verdes en las playas de Michoacán, de la década de 1970 a la de 1990, y su creciente recuperación en campamentos de preservación.

El arribo de tortugas disminuyó a cerca de 500 ejemplares hacia 1995. c) El año 2005 corresponde a 𝑥 = 3.5 . determinando y para este valor obtenemos, en la gráfica y en la ecuación, 𝑦 = 7, es decir, 7000 tortugas.

Actividad 3 En los ejercicios 1 a 3 utiliza las gráficas para obtener los ceros reales de las funciones.

a) ¿Cuál es el máximo número de tortugas que arribaron a estas costas? b) ¿Hasta cuánto descendió este número en ese periodo? c) ¿A cuánto aumento la población que arribó en 2005? Solución: a) Veinticinco mil tortugas en 1970. En este caso, el valor máximo está en el punto inicial cuando 𝑥 = 0. Es la intersección -y de la gráfica: 𝑦 = 25. b) La producción mínima se halla en el punto más bajo de la gráfica. Allí, una recta horizontal es tangente a la gráfica y corta [44]

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En los ejercicios 4 a 6 verifica que el valor es un cero de la función. 4. 𝑦 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥 𝑥=1 5. 𝑦 = 𝑥 3 − 25𝑥 𝑥 = −5 6. 𝑦 = 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 𝑥 = −2

En los ejercicios 13 a 15, a) Obtén los ceros reales de cada función utilizando la propiedad del producto cero; b) Traza su gráfica.

En los ejercicios 7 a 9, obtener los ceros reales de las funciones. 4. 𝑦 = (𝑥 2 − 1)(𝑥 2 − 16) 5. 𝑦 = (𝑥 2 − 4)(𝑥 + 5) 6. 𝑦 = 𝑥(𝑥 + 8)(2𝑥 − 3)

13. 𝑦 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 14. 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 9𝑥 − 9 15. 𝑦 = 𝑥 4 − 6𝑥 2 + 5 En los ejercicios 16 a 20: a) Halla los valores de x que producen el valor que se indica para cada función: b) Verifícalos en la gráfica.

En los ejercicios 10 a 12, a) determina los puntos de cambio en cada gráfica; b) obtén en estos puntos los valores máximos y mínimos.

16. 17. 18. 19. 20.

𝑦 = 𝑥 4 − 5𝑥 2 ; 𝑦 = −4 4 2 𝑦 = 𝑥 + 12𝑥 − 15; 𝑦 = 51 𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4𝑥 + 1; 𝑦 = 13 𝑦 = 2𝑥 3 − 12𝑥 2 − 10𝑥; 𝑦 = −60 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥 − 1; 𝑦=0

21. Ecosistemas. Los perritos de la pradera son animales sociales que forman enormes ciudades con redes de túneles de hasta 5 m de profundidad y 60 hectáreas de extensión que albergan miles de individuos y colonias. Se estima que a principios del siglo XX ocupaban unos cien millones de hectáreas desde el sur de Canadá hasta el norte de México. En la actualidad su hábitat se ha reducido un 99% de su extensión original. La función 𝑦 = −0.15(𝑥 − 5)(𝑥 − 9)2 modela la cantidad de km2, ocupados por

[45]

Matemáticas IV Así, por ejemplo, (x-3) es un factor de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 6 porque el residuo es cero: 𝑓(3) = (3)2 − (3) − 6 = 0.

esta especie en x años en nuestro país. con base en la gráfica y en la función.

Factor (𝒙 − 𝒂) de un polinomio 𝒇(𝒙) 1. Se halla f(a); este será el residuo. (Teorema del residuo) 2. Si 𝑓(𝑎) = 0, concluyes que (𝑥 − 𝑎) es un factor de f(x), y viceversa. (Teorema del factor) Sabiendo que (𝑥 − 3) es un factor de f(x), podemos hallar fácilmente el otro factor usando división sintética. Ésta es una técnica abreviada para dividir cualquier función f(x) entre un binomio de la forma (𝑥 − 𝑎):

a) ¿cuántas hectáreas ocupaban en el año 2000? b) ¿En qué año la superficie se redujo a la mitad de la inicial? c) Según el modelo, ¿cuándo perderán su territorio?

Siempre en una división sintética: Nota: Sugerencias para la evaluación de la actividad 3 (5) en pp. 82 y 83. Libro de texto.

1. Ambos polinomios deben escribirse en orden decreciente. 2. Si falta alguna potencia de x, debe escribirse cero como su coeficiente. 3. El cociente de la división de f(x) entre (𝑥 − 𝑎) es de un grado menor en una unidad que el de f(x).

C) División sintética y factores Cuando no es fácil factorizar una función, pueden buscarse sus factores mediante una división. En el caso de los números: 12 es un factor de 60

60 = 12 × 5

La división de 60 entre 12 es exacta (el residuo es 0) El cociente de esta división es 𝑥 + 2. Por tanto, la función f(x) puede expresarse como 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) . Con la propiedad del producto cero se concluye que 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = −2 son ceros de esta función.

Para los polinomios, puedes saber si (x-a) es un factor de f(x) sin tener que dividir: su residuo es f(a) y sólo verificas que sea cero.

Ejemplo 1: Utilizando división sintética Mediante división sintética, obtén el cociente y el residuo de dividir: a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 − 2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 − 1 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 + 3

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Matemáticas IV

Solución:

a) Usamos división sintética para obtener el otro factor. Por tanto, 10)

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 7𝑥 +

b) Se hace 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 7𝑥 + 10) = 0. Factorizando el trinomio: (𝑥 − 2)(𝑥 + 5)(𝑥 + 2) = 0 Por la propiedad del producto cero: 𝑥 = 2, 𝑥 = −5, 𝑥 = −2 Para graficar se sitúan los ceros y se calculan algunos valores intermedios. Usas la factorización, o la división sintética: Por ejemplo, para calcular 𝑓(−4): (−4 − 2)(−4 + 5)(−4 + 2) = 12

Ejemplo 2: Valuando una función y sus factores Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 5𝑥 2 − 4𝑥 − 20 , emplea división sintética para determinar: a) Su valor cuando 𝑥 = −6. b) Si (𝑥 + 6) es uno de sus factores.

O bien:

Solución

El residuo −32 = 𝑓(−6) b) Como el residuo 𝑓(−6) ≠ 0, (𝑥 + 6) NO es un factor de f(x). Ejemplo 3: Factorizando con división sintética

Ejemplo 4: Ley de la oferta

Sabiendo que (𝑥 − 2) es un factor de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 5𝑥 2 − 4𝑥 − 20: a) Descompón ésta en factores. b) Obtén todos sus ceros y traza la gráfica de la función.

La función 𝑝 = 6𝑥 2 + 36 es una función de oferta de una empresa textil, e indica la relación entre la cantidad x de playeras (en millones) que puede ofrecer al precio p (en pesos).

Solución: [47]

Matemáticas IV 1. 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (𝑥 − 4) 2. 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (𝑥 − 5) 3. 𝑥 4 − 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (2𝑥 + 1)

Esta función permite calcular la ganancia de la empresa cuando vende x playeras con un costo unitario de producción de $21.00: 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 − 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑔(𝑥) = 𝑥(6𝑥 2 + 36) − 21𝑥

En los ejercicios 4 y 5 escribe los polinomios del dividendo, el divisor y el cociente, e indica el valor del residuo.

Para una producción de medio millón de playeras (𝑥 = 0.5) la compañía calcula ganar 𝑔(0.5) = 8.25, es decir $8250000. La empresa está interesada en saber si con una producción menor de playeras podrá obtener esta misma ganancia y, de ser así, conocer el precio al que debería vender las playeras. ¿Cómo determinarías esto?

En loe ejercicios 6 a 9 usa división sintética para evaluar la función. 6. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 − 2; 𝑓(5) 7. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 − 2; 𝑓(−12) 8. 𝑔(𝑥) = 𝑥 4 + 6𝑥 3 − 12𝑥 2 ; 𝑔(9) 9. 𝑔(𝑥) = 𝑥 4 + 6𝑥 3 − 12𝑥 2 ; 𝑔(−15)

Solución: Investigando si la ecuación de ganancia 𝑥(6𝑥 2 + 36) − 21𝑥 = 8.25 posee otras soluciones, además de 𝑥 = 0.5. La ecuación anterior equivale a 6𝑥 3 + 15𝑥 − 8.25 = 0. Como 𝑥 = 0.5 es una de sus soluciones, concluimos que (𝑥 − 0.5) es uno de sus factores.

En los ejercicios 10 y 11 halla el cociente y el residuo de la división. 10. 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 𝑥 − 4 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (𝑥 + 4) 4 2 11. 𝑥 − 10𝑥 + 9 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (𝑥 − 3)

Con división sintética hallamos el otro factor: En los ejercicios 12 a 14, 𝑥 = 1 es un cero de la función. Obtén los demás. 12. 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 13. 𝑦 = 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 15𝑥 − 9 14. 𝑦 = 𝑥 4 + 4𝑥 3 + 𝑥 2 − 6𝑥 En los ejercicios 15 a 18 investiga si (𝑥 + 2) es un factor del polinomio. 15. 2𝑥 2 + 7𝑥 + 6 16. 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 2𝑥 17. 𝑥 4 − 2𝑥 2 18. 𝑥 2 + 𝑥 = 2

Escribimos: 6𝑥 3 + 15𝑥 − 8.25 = (𝑥 − 0.5)(6𝑥 2 + 3𝑥 + 16.5) =0 La fórmula cuadrática muestra que las otras soluciones no son números reales. La ganancia de $8250000 sólo se obtendrá al producir medio millón de playeras y venderlas a $37.50 cada una.

19. Demanda de discos compactos. De acuerdo con el mercado, una compañía disquera encontró que 𝑝 = −2𝑥 2 + 𝑥 + 100 es la función de demanda para los discos de uno de sus mejores cantantes. Esta función indica el precio p (en pesos), para el cual se demandarán x millones de discos compactos.

Actividad 4 En los ejercicios 1 a 3 determina si puedes usar división sintética. [48]

Matemáticas IV

El costo por producir cada disco compacto es de $84.00 , considerando gastos de elaboración, distribución, publicidad, impuestos y regalías.

Prueba del cero racional Todos los ceros racionales de 𝑓(𝑥0 ) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ + 𝑎0 son de la forma: 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎0 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑛 (si 𝑎0 ≠ 0 y los coeficientes son enteros)

Si produce dos y medio millones de discos, la compañía ganará 15 millones de pesos. a) ¿Cuál será el precio de venta de estos discos? b) ¿Qué inversión deberá hacer la compañía? c) ¿Existe una producción menor que genere igual ganancia? ¿Qué precio tendrían los discos? ¿Cuál sería la inversión?

Los valores de esta lista se prueban sucesivamente con división sintética: si el residuo es cero, se tendrá la certeza de que el número es un cero de la función. En caso de existir muchos factores, las pruebas pueden disminuirse con ayuda de la gráfica. Ejemplo 1: Aplicando la prueba del cero racional Halla los ceros racionales de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 𝑥 3 − 4𝑥 2 − 2𝑥 + 4. Solución: El término constante es 4 y el coeficiente principal es 1. Cualquiera de los posibles ceros racionales tendrá la forma: 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 4 ±4, ±2, ±1 = 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 1 ±1 Los coeficientes conducen a estos casos ±4, ±2, ±1. Con división sintética se confirma que estos seis casos posibles, sólo 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = −2 son ceros racionales de la función.

Nota: Sugerencias para la evaluación de la actividad 4 (6) en pp. 86 y 87. Libro de texto.

D) Ceros reales de funciones polinomiales Los números que son ceros reales de una función polinomial son racionales o irracionales. Por ejemplo 0 y -1 son ceros racionales e la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 𝑥 , en tanto que √3, −√3 son irracionales. Para una función polinomial con coeficientes enteros, sus probables ceros racionales se listan así:

[49]

Matemáticas IV

Como (𝑥 − 1 ) 𝑦 (𝑥 + 2) son factores de f(x), con división sintética se obtiene: 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1 )(𝑥 + 2)(𝑥 2 − 2). Observamos en esta factorización que además de los ceros racionales: 1 y -2, existen dos ceros irracionales: √2, −√2.

No hay otros ceros: tres es el máximo para una función cúbica. Ejemplo 3: Obteniendo ceros reales Determina los ceros reales de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 𝑥 2 − 14𝑥 − 7. Solución: Aplicamos la prueba del cero racional para hallar los ceros racionales. Como el término constante es -7 y el coeficiente principal es 2, se tiene: ±7, ±1 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 = 2, 1

Ejemplo 2: Obteniendo ceros racionales Halla los ceros racionales de la función: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 13𝑥 + 12.

Esto produce 8 posibilidades. Para no verificar todos estos valores conviene hacer un bosquejo simple de la gráfica. Ésta muestra que los ceros racionales podrían ser -3.5, -1/2, 3.5. la división sintética prueba que solo -1/2 es realmente un cero de la función:

Solución: Como el término constante es 12 y el coeficiente principal es 1: 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 ±12, ±6, ±4, ±3, ±2, ±1 = ±1 La gráfica evita probar los 12 valores distintos de estos cocientes: sólo -4, 1 y 3 parecen ser ceros. La división sintética confirma esto. Factor (𝑥 − 1):

Este cero produce la forma factorizada: 𝑓(𝑥) = 1 (𝑥 + ) (2𝑥 2 − 14). 2

Resolviendo la ecuación cuadrática se hallan los demás ceros, que son los números irracionales: √7, −√7 (aproximadamente 2.6, -2.6).

Factor (𝑥 − 3):

[50]

Matemáticas IV

Esto indica que en 1999 (𝑥 = 4) un país se vio en la necesidad de sacrificar 13 (millones) de aves. En este año, ante un brote infeccioso del virus de influenza aviar en su industria avícola, Italia tomó dicha medida para evitar mayores daños a su economía y a la salud de personas y animales.

Ejemplo 4: Influenza aviar Identificada en Italia hace más de un siglo, la gripe constituye un foco de infección mortal para las aves. Una variante del virus causante de esta enfermedad, la cepa H5N1, posee potencial de transmisión a los humanos, y puede ser altamente peligroso, a nivel de pandemia, debido a su alta y rápida capacidad de mutación y a la falta de inmunidad de los seres humanos al no haber estado expuestos a él.

Actividad 5

El control de las rutas de mercado de aves vivas, higiene en equipo, ropa, jaulas y vehículos de transporte, son medidas de prevención y contención del virus aviar, igual que la cuarentena y el sacrificio de aves contagiadas.

En los ejercicios 1 a 3 indica en cuáles funciones puedes aplicar la prueba del cero racional. 1. 𝑦 = 𝑥 4 + 𝑥 3 − 𝑥 2. 𝑦 = 2𝑥 3 − 4𝑥 2 + 2 3. 𝑦 = 𝑥 4 − 4.5𝑥 2 − 8.2

La gráfica de la función 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 7𝑥 + 17 muestra la eliminación de aves de corral domésticas infectadas por este virus, de 1983 a 2003, en distintos países. ¿En qué año el sacrificio alcanzó la cifra de 13 millones?

En los ejercicios 4 a 6 escribe los ceros racionales e irracionales de cada función. 4. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 5)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 1 5. 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 8)(𝑥 + 2) 6. 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 3)(𝑥 2 − 16)

Solución: Se hace 𝐹(𝑥) = 13 y se resuelve la ecuación resultante. 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 7𝑥 + 17 = 13 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 7𝑥 + 4 = 0

En los ejercicios 7 a 9 contabiliza y lista los distintos ceros racionales posibles para cada función. 7. 𝑦 = 𝑥 3 − 5𝑥 2 + 𝑥 − 5 8. 𝑦 = 𝑥 3 − 31𝑥 2 + 30 9. 𝑦 = 2𝑥 4 + 6𝑥 3 − 2𝑥 − 6

Con la prueba del cero racional se determina que, de las seis posibilidades, 4 es una solución de esta ecuación. Verificamos en el modelo inicial: 𝐹(4) = (4)3 − 6(4)2 + 7(4) + 17 = 13

[51]

Matemáticas IV

En los ejercicios 10 a 12 utiliza división sintética sucesiva y el cero conocido, para escribir cada función como producto de: a) dos factores; b) tres factores; c) cuatro factores (función cuártica). 10. 𝑦 = 𝑥 3 − 5𝑥 2 − 𝑥 + 5; 11. 𝑦 = 𝑥 3 + 9𝑥 2 + 8𝑥 − 60; 12. 𝑦 = 𝑥 4 − 13𝑥 2 + 36;

Nota: Sugerencias para la evaluación de la actividad 5 (7) en pp. 92 y 93. Libro de texto.

E) Ceros complejos, factores y soluciones

÷5 ÷2 ÷2

Los números complejos están formados por números reales y por números imaginarios.

En los ejercicios 13 a 18 obtén los ceros reales de cada función. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

−5 3𝑖 4 + 6𝑖

𝑦 = 𝑥 3 − 10𝑥 2 − 𝑥 + 10 𝑦 = 𝑥 3 + 15𝑥 2 + 63𝑥 + 49 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 9𝑥 − 5 𝑦 = 𝑥 4 − 10𝑥 2 + 9 𝑦 = −𝑥 4 − 2𝑥 3 + 8𝑥 2 + 10𝑥 − 15 𝑦 = 𝑥 3 − 12𝑥 2 − 2𝑥 + 24

𝑅𝑒𝑎𝑙 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 "𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜"

Las funciones polinomiales pueden tener ceros no reales. Por ejemplo, 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 tiene como ceros los números imaginarios √−1 𝑦 − √−1. Siendo ceros, estos números son soluciones de la ecuación 𝑥 2 + 1 = 0

19. Geología. Después de la última exhalación del Volcán de Colima en 2005, se disminuyó gradualmente su actividad exterior con eventuales explosiones menores, hasta parar, como indica la gráfica de la función

El teorema fundamental del álgebra garantiza lo siguiente: Teorema fundamental del álgebra Toda ecuación polinomial de grado 1 o mayor tiene al menos un número complejo como solución.

𝑓(𝑥) = −2𝑥 4 + 15𝑥 3 − 38𝑥 2 + 36𝑥 + 1 a) ¿Qué altura alcanzó la primera exhalación? b) ¿Qué días alcanzó alturas de 12, 9 y 10 km? c) ¿En cuanto tiempo cesaron las exhalaciones del volcán?

Este teorema también se formula así: “Toda ecuación polinomial de grado n tiene exactamente n soluciones”. Una ecuación de grado 1 tiene justo una solución, una cuadrática dos, una cúbica tres, etc. El conteo incluye soluciones repetidas; la ecuación (𝑥 − 1)2 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1) = 0 , tiene dos soluciones iguales: 𝑥 = 1. Teorema de la factorización lineal Un polinomio de grado n tiene exactamente n factores lineales. Los ceros complejos siempre se presentan por pares conjugados: Si 3 + 4𝑖 es una solución, también lo es su conjugado 3 − 4𝑖. Ejemplo 1: Ceros, factores y soluciones reales [52]

Matemáticas IV Describe las expresiones asociadas a 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 5𝑥 2 − 4𝑥 − 20 , usando ceros, factores y soluciones. Solución: a) La función polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 5𝑥 2 − 4𝑥 − 20 tiene tres ceros: 𝑥 = 2; 𝑥 = −5; 𝑥 = −2

Así, 𝑥 2 + 2 es otro factor. Resolvemos 𝑥 2 + 2 = 0 𝑥2 + 2 = 0 𝑥 2 = −2 𝑥 = ±√2𝑖 b) Por tanto: 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 5)(𝑥 2 + 2) = (𝑥 − 5)(𝑥 + √2𝑖)(𝑥 − √2𝑖)

b) La ecuación 𝑥 3 + 5𝑥 2 − 4𝑥 − 20 = 0 tiene tres soluciones 𝑥 = 2; 𝑥 = −5; 𝑥 = −2 c) El polinomio 𝑥 3 + 5𝑥 2 − 4𝑥 − 20 tiene tres factores lineales: (𝑥 − 2)(𝑥 + 5)(𝑥 + 2)

c) Solo 𝑥 = 5 constituye una intersección -x de la gráfica, por ser un cero real. La intersección -y la da el término constante: −10.

d) Las intersecciones -x de la gráfica de f(x) son: 𝑥 = 2; 𝑥 = −5; 𝑥 = −2

Ejemplo 3 Obteniendo una función a partir de los ceros Construye tres funciones que tengan como ceros : 7, −√5𝑖, √5𝑖. Ejemplo 2: Obtención de ceros complejos a) Halla todos los ceros de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 5𝑥 2 + 2𝑥 − 10 b) Escríbela en forma factorizada c) Dibuja su gráfica.

Solución: Por el teorema de la factorización lineal podemos construir tres factores lineales (𝑥 − 𝑎), con estos ceros: (𝑥 − 7) (𝑥 + √5𝑖)(𝑥 − √5𝑖)

Solución: a) Con la prueba del cero racional y con división sintética verificamos ±10, ±5, ±2, ±1 . Sólo 𝑥 = 5 es un cero de la función:

2

(𝑥 − 7) (𝑥 2 − (√5𝑖) ) (𝑥 − 7) (𝑥 2 + 5) 3 𝑥 − 7𝑥 2 + 5𝑥 − 35 Una función que contiene exclusivamente los ceros dados es: [53]

Matemáticas IV 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 5𝑥 − 35

Solución: a) El inicio del huracán a 600 km corresponde al cero 𝑥 = −6, (𝑥 + 6) es entonces un factor del polinomio cuártico.

Otra función con los mismos ceros es: 𝑔(𝑥) = 2(𝑥 3 − 7𝑥 2 + 5𝑥 − 35) = 2𝑥 3 − 14𝑥 2 + 10𝑥 − 70 Una más, con otros ceros además de los dados es: ℎ(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 3 − 7𝑥 2 + 5𝑥 − 35) = 𝑥 4 − 8𝑥 3 + 12𝑥 2 − 40𝑥 + 35 Ejemplo 4: desplazamiento de huracanes

−𝑥 3 + 𝑥 2 − 3𝑥 + 27 es otro factor. Verificamos ±27, ±9, ±3, ±1 con la prueba del cero racional.

La gráfica muestra el desarrollo de un huracán conforme se aproxima a la costa del país, en la zona del Caribe, situada en el origen. La función: 𝐻(𝑥) = −𝑥 4 − 5𝑥 3 + 3𝑥 2 + 9𝑥 + 162

Solo 𝑥 = 3 resulta ser un cero. = (𝑥 − 3)(−𝑥 2 − 2𝑥 − 9) = 0

Modela los cambios de velocidad de los vientos conforme avanza el meteoro, desde su inicio detectado en el mar a 600 km del territorio.

Con la fórmula general obtenemos las soluciones de −𝑥 2 − 2𝑥 − 9 = 0

Aproximadamente a 400 km de tierra se torna en categoría 4, pues sus vientos alcanzan una velocidad de 240 km/h.

Los ceros buscados son −6, −3, −1 + 2√2𝑖, −1 − 2√2𝑖

a) Halla los ceros complejos de la función y factoriza estos usando coeficientes reales. b) ¿Con qué velocidad tocarán tierra los vientos del huracán? c) ¿Cuántos kilómetros tierra adentro avanzará el fenómeno meteorológico antes de disolverse? d) ¿A qué distancia antes de la costa su velocidad será de 160 km/h? e) ¿Qué categoría tendrá al estar 100 km tierra adentro?

La factorización con reales es 𝐻(𝑥) = (𝑥 + 6)(𝑥 − 3)(−𝑥 2 − 2𝑥 − 9). b) Tocará tierra en el origen. Cuando 𝑥 = 0, 𝑦 = 162 𝑘𝑚/ℎ. c) Para 𝑥 = 3, 𝑦 = 0. Se disolverá 300 km tierra adentro d) Se resuelve 𝐻(𝑥) = 160. De los factores ±2, ±1 , sólo -1 es un cero de esta ecuación. Corresponde a 100 km antes de la costa. e) Para 𝑥 = 1 se obtiene 𝐻(1) = 168 𝑘𝑚/ ℎ. Disminuirá a categoría 2.

Actividad 6 En los ejercicios 1 a 4 escribe los ceros reales para cada función. 1. 𝑦 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 2 + 1) 2. 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 5)(𝑥 + 6) 3. 𝑦 = (𝑥 2 − 7)(𝑥 + 2) [54]

Matemáticas IV

4. 𝑦 = (𝑥 − 6)(𝑥 + 2)(𝑥 + √2) En los ejercicios 5 a 8 indica la multiplicidad de cada cero. 5. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 6)(𝑥 − 6)(𝑥 + 3) 6. 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 2)2 (𝑥 − 6) 7. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 6)(𝑥 − 6)(𝑥 + 3) 8. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 6)(𝑥 − 6)(𝑥 + 3) En los ejercicios 9 a 11 escribe: a) dos funciones que tengan exactamente los ceros indicados; b) una función que los incluya entre otros ceros. 9. −1, 2 10. −4, 1, 3 11. −6, −2, 0, 1 En los ejercicios 12 a 14escribe la factorización lineal usando los ceros. 12. −5, 3, 6 13. −2, −1, 1, 2 14. −3, −√5𝑖, 0, √5𝑖 En los ejercicios 15 a 21, a) escribe todos los ceros complejos de cada función; b) factoriza con coeficientes reales. 15. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 9𝑥 16. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 16𝑥 − 20 17. 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 2𝑥 − 1 18. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥 − 4 19. 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 4𝑥 3 − 12𝑥 2 − 32𝑥 + 64 20. 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 4𝑥 − 8 21. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 − 3𝑥 + 18 22. Transporte terrestre. Un vehículo para transportar mercancía tiene una caja para carga con capacidad de 120 m3. Si el ancho es x, el largo 3𝑥 + 1 y la altura 𝑥 + 1 , metros, ¿Cuáles son sus dimensiones?

Nota: Sugerencias para la evaluación de la actividad 6 (8) en pp. 99. Libro de texto.

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