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• Daniela

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Tarea I de Matem´ aticas IV

25 de septiembre de 2015 1. Realiza las siguientes operaciones con matrices 

4  −2 3 6

   −2 1 4 −2 1 5 8  + 2  −3 23 8  −12 3 −3 5 −4

2. Determina los valores de las variables para las cuales las siguientes ecuaciones matriciales son v´alidas. i)       x + 1 −1 3 3 −1 2 6 u+2 7  4 1 z + 2  + 2  1 2 −3  =  v + 1 5 −7  −1 y 2 4 −1 0 7 0 w ii) 

1  0 z

  x+1 0 u −2 y − 1  − 3  1 1 2 0

  2 8 3 = u+y 1 4

−1 v+2 −3

 7 2v − 2z −7 1 − 7z  w + 11 t

3. El comercio entre tres pa´ıses I, II y III durante 1986 (en millones de pesos) est´ a dado por la matriz A = [aij ], donde aij representa las exportaciones del pa´ıs i al pa´ıs j.   0 16 20 A =  17 0 18  21 14 0 El comercio entre estos tres pa´ıses durante el a˜ no de la matriz B  0 17 B =  18 0 24 16

1987 (en millones de pesos) est´ a dado por  19 20  0

i) Escriba una matriz que represente el comercio total entre los tres pa´ıses en el periodo de 2 a˜ nos, 1986 y 1987. ii) Si en 1986 y 1987, 1 d´ olar de Hong Kong equival´ıa a 5 pesos mexicanos, escriba la matriz que representa el comercio total durante los 2 a˜ nos en d´ olares de Hong Kong. 4. Un fabricante de zapatos los produce en color negro, blanco y caf´e para ni˜ nos, damas y caballeros. La capacidad de producci´on (en miles de pares) en la planta de Sonora est´ a dada por la siguiente tabla Negro Caf´e Blanco

Hombres 30 45 19 1

Mujeres 34 20 26

Ni˜ nos 20 26 25

La producci´on de la planta de Durango est´ a dada por Negro Caf´e Blanco

Hombres 35 52 23

Mujeres 30 25 24

Ni˜ nos 26 18 32

a) Determina la representaci´on matricial de la producci´on total de cada tipo de zapato en ambas plantas. b) Si la producci´on en Sonora se incrementa en un 50 % y la de Durango en 25 %, encuentra la matriz que representa la nueva producci´on total de cada tipo de calzado. 5. En un ecosistema, ciertas especies proveen de comida a otras. El elemento cij de la matriz de consumo es igual al n´ umero de unidades de la especie j consumidas diariamente por un individuo de la especie i. Construya la matriz (cij ) para el siguiente ecosistema simple que consiste de tres especies. a) Cada especie consume en promedio 1 unidad de cada una de las otras especies. b) La especie 1 consume una unidad de la especie 2; la especie 2 consume 1 unidad de cada una de las especies 1 y 3; la especie 3 consume 2 unidades de la especie 1. c) La especie 1 consume 2 unidades de la especie 3; la especie 2 consume 1 unidad de la especie 1; la especie 3 no consume de ninguna de las otras especies. 6. Dadas A=



1 2 3 4



y

B=



2 −1 −3 −2



a) Encuentra (A + B)2 b) Encuentra A2 + 2AB + B2 . ¿Son iguales? 7. Reescribe los siguientes sistemas de ecuaciones en forma matricial. a)

5x3 − 2x2 + x 3x3 5x2

= 100 = −18 = 125

b)

a11 x2 + a12 x + a13 a21 x2 + a22 x + a23 a31 x2 + a32 x + a33

= b1 = b2 = b3

8. Un comerciante de televisores a color tiene cinco televisores de 26 pulgadas, ocho de 20, cuatro televisores de 18 pulgadas y diez de 12. Los televisores de 26 pulgadas se venden en $650 cada uno, los de 20 en $550 cada uno, los televisores de 18 pulgadas en $500 cada uno y los de 12 se venden en $300 cada uno. Exprese el precio de venta total de su existencia de televisores como el producto de dos matrices. 9. Una empresa utiliza tres tipos de materias primas M1 , M2 y M3 en la elaboraci´ on de dos productos P1 y P2 . El n´ umero de M1 , M2 y M3 usados por cada unidad de P1 son 3, 2 y 4, respectivamente, y por cada unidad de P2 son 4, 1 y 3, respectivamente. Suponga que la empresa produce 20 unidades de P1 y 30 unidades de P2 a la semana. Exprese las respuestas a las preguntas siguientes como productos de matrices. a) ¿Cu´ al es el consumo semanal de las materias primas? b) Si los costos por unidad para M1 , M2 y M3 son 6, 10 y 12, respectivamente, ¿cu´ ales son los costos de las materias primas por unidad de P1 y P2 ? c) ¿Cu´ al es la cantidad total gastada en materias primas a la semana en la producci´on de P1 y P2 ?

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