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• Adrian Sanchez

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” x = 14 veces subió y bajó Sólo avanzó 14 escalones y como subió una vez más avanzó 5 escalones más. Finalmente: 14 + 5 = 19 escalones

V. PLANTEO DE ECUACIONES 1.

CONCEPTO

Plantear una ecuación es representar en forma matemática (forma simbólica) lo expresado en un lenguaje común (verbal)

2.

COMO PLANTEAR UNA ECUACIÓN

Se parte de: Lenguaje Común. (enunciado)

3.

Luego se: - Lee - Interpreta - Simboliza

4.- Si el perímetro de un cuadrado se reduce en 40 m entonces su área se hace igual a

Para finalmente: -Transformar al lenguaje matemático -Solucionar la ecuación.

ECUACIONES DIOFANTICAS Son ecuaciones cuyas incógnitas aceptan únicamente solución entera y se resuelve tomando divisibilidad respecto a cualquier coeficiente pero también en forma práctica se resuelve tanteando valores enteros para las incógnitas.

9 del 16

Luego: 5(x + 1) = 75 5x + 5 = 75

96

de

un

número

El

cuadrado

de

un

número

............................................................... 5)

La suma de los cubos de dos números consecutivos. ...............................................................

6)

El cubo de la suma de dos números impares y consecutivos. ...............................................................

7)

“a” es 5 veces “b” ...............................................................

8) x y

“a” es 5 veces más que “b” ...............................................................

9)

1

8,4

2

7,6

3

6,8

4

6

Soluciones descartadas (no son enteras)

Escribe al lenguaje matemático (forma simbólica) cada uno de los siguientes enunciados :

“a” es 5 más que “b” ...............................................................

10)

“a” es 5 veces mayor que “b” ...............................................................

11)

Dos números están en la relación de 3 es a 5. ...............................................................

12)

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 05 I.

cuadrado

disminuido en cinco.

compró: 4 aretes + 6 sortija = 10 artículos

Planteando: 2k + 3k + 4k = 126 9k = 126 k = 14 Finalmente: B = 3(14) = 42

El

4)

13x + 16y = 148

C

El cuádruple de un número aumentado en su tercera parte.

...............................................................

5.- Una persona compró con S/.148 aretes sortijas. Si cada arete costó S/.13 y cada sortija S/.16. ¿Cuántos artículos compró en total?

k

número,

aumentado en seis.

9 2 L (L - 10)2 = 16 3 L (L - 10) = 4

k

B 3k

2)

2

9 2  4L  40   L   4 16   Simplificando:

Tanteando:

un

...............................................................

3)

L  Lado

Solución: N° aretes N° sortijas

El quíntuple de disminuido en su mitad.

...............................................................

Perímetro = 4(40) = 160m

3.- A, B y C tiene en total 126 limones; si “C” le diera la cuarta parte a “A” tendrían la misma cantidad, pero si A le diera la mitad a B entonces B tendría la misma cantidad que C. ¿Cuántos limones tiene “B”?

A 2k

el

Solución:

Solución:

1.- Una persona sube una escalera con el curioso método de subir 5 escalones y bajar 4, si en total subió 75 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? Solución: Veces que baja x Veces que sube  (x+1)

Determina

4L - 40 = 3L L = 40

Incorrectas = 30 – 4(7) = 2

PROBLEMAS RESUELTOS

inicial.

perímetro del cuadrado original.

2.- En un examen de 30 preguntas, cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrecta –1 punto y en blanco 0 puntos. Si un estudiante obtuvo 82 puntos y notó que por cada respuesta en blanco tenía 3 correctas. ¿Cuántas contesto incorrectamente? Solución: N° blanco x N° correctas  3x N° incorrectas  (30 - 4x) Luego: 0(x) + 4(3x) + (-1)(30 - 4x) = 82 12x – 30 + 4x = 82 16x = 112 x=7 Finalmente:

área

1)

“m” excede a “n” en “x” ...............................................................

13)

“El exceso de “m” sobre “n” es “z” ...............................................................

5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” 14)

“a” es excedido por “b” en 20 unidades. ...............................................................

II.- Desarrolla en tu siguientes preguntas

cuaderno

las

1).- Ana y Katty fueron de compras y cada una compró tantos artículos como soles pago por cada uno. Si Ana gastó S/.600 menos que Katty y compraron 30 artículos en total, ¿Cuánto gastó Ana? a) S/.100 b) S/.81 c) S/.25 d) S/.625 e) S/.400 2).- Ana tiene el doble de lo que tiene María en dinero; luego Ana le prestó cierta suma a María; por lo que ahora María tiene el triple de lo que le queda a Ana. Si el préstamo que pidió María excede en S/.6 a lo que tenía inicialmente, ¿con cuánto se quedó Ana? a) S/.12 b) S/.15 c) S/.18 d) S/.24 e) S/.30 3).- Yo tengo el triple de la mitad de lo que tienes más S/. 10. Si tú tuvieras el doble de lo que tienes, tendrías S/.5 más de lo que tengo, ¿cuánto tengo? a) S/.50 b) S/.55 c) S/.60 d) S/.40 e) S/.45 4).- En el camino a un hormiguero se escuchó la siguiente conversación: “Si tú me dieras un gramo, cargaríamos el mismo peso”. Respuesta: “Pero si yo te diera un gramo, cargarías el doble que yo”. ¿Cuántos gramos cargan entre los dos? a) 14 b) 12 c) 16 d) 20 e) 7 5).- Se tiene un examen de 350 preguntas de las cuales 50 son de matemática. Suponiendo que a cada pregunta de matemáticas se de el doble de tiempo que a cada pregunta no relacionada con esta materia, ¿Cuánto demorará resolver matemáticamente si el examen dura tres horas?

a) 45 min d) 60 min

b) 52 min e) 50 min

c) 62 min

6).- Se reunieron varios amigos quienes tomaron cuatro tazas de leche y dos tazas de café y tuvieron que pagar 20 soles. Si en otra oportunidad consumieron 1 taza de leche y 3 tazas de café y pagaron 10 soles, entonces una taza de leche cuesta: a) 2,5 soles b) 3 soles c) 4 soles d) 5 soles e) 6 soles 7).- En el primer piso de una biblioteca hay 500 mil libros, en el segundo piso hay 300 mil y en el tercer piso 100 mil. ¿Cuántos libros deben trasladarse del primero al tercer piso para que en el primer piso haya tantos libros como en el segundo y tercero juntos? a) 20 mil b) 50 mil c) 100 mil d) 75 mil e) 150 mil 8).- En 7 horas 30 minutos una costurera puede confeccionar un pantalón y tres camisas; ó 2 pantalones y una camisa. ¿En cuánto tiempo puede confeccionar un pantalón y una camisa? a) 3 horas b) 4 horas c) 5 horas d) 4 horas 30 min e) 3 horas 30min 9).- Indica cuánto aumenta el área de un rectángulo de perímetro “2p” cuando cada uno de sus lados aumenta en “x” (Área de rectángulo = base x altura, perímetro =  de sus 4 lados) a) x2 + px b) x2 – px c) (x+p)2 2 2 2 2 d) x – p e) x – 2px + x 10).- Un día viernes en el colegio 200 Millas un alumno preguntó a su profesor de R.M. “¿Qué hora es?”, y le contestó: “La hora es tal que la fracción que falta por transcurrir del día, es igual a la fracción que falta por transcurrir de la semana, considerando lunes como inicio de la semana”. ¿A qué hora le hizo la pregunta? a) 15:00 h b) 16:00 h c) 17:00 h d) 18:00 h e) 19:00 h

97

11).- Al dividir un número entre 5 el residuo es 3 y al dividirlo entre 8 el residuo es 6. Si los cocientes se diferencian en 9, ¿qué resto dará al dividir el número por 7? a) 6 b) 3 c) 1 d) 5 e) 2 12).- En una reunión el número de caballeros es dos veces más que el número de damas; después que se retiran 8 parejas, el número de caballeros que ahora queda es cuatro veces más que el nuevo número de damas. ¿Cuántos caballeros habían inicialmente? a) 16 b) 32 c) 48 d) 64 e) 72

siendo los precios respectivos de cada clase de vaso 7; 8 y 12 soles. ¿Cuántas docenas de vasos se compraron? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 17).- En una bolsa hay fichas blancas y fichas negras. Si se saca 5 fichas blancas, queda el doble de fichas negras que blancas. Si se extrae 6 fichas negras y 3 blancas, la razón de blancas a negras será 8: 11. ¿Cuántas fichas blancas hay en la bolsa? a) 23 b) 19 c) 25 d) 28 e) 16

13).- En un edificio de 4 pisos se observa que el número de habitaciones de cada piso es uno más respecto del inmediato anterior y en cada habitación hay tantas ventanas como habitaciones hay en el respectivo piso. Si el total de ventanas del último piso y el total de habitaciones del primer piso suman 69, calcula cuántas habitaciones en total tiene el edificio. a) 28 b) 26 c) 12 d) 16 e) 36

18).- El cuadrado de la suma de las 2 cifras que componen un número es igual a 121. Si de este cuadrado se restan el cuadrado de la primera cifra y el doble del producto de las 2 cifras, se obtiene 81. ¿Cuál es la diferencia de las cifras del número? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

14).- Se tiene x, (x + y) , 2y monedas de S/.1, S/.2 y S/.5 respectivamente. Al cambiar todo el dinero en billetes de S/.10 se cuentan 30 billetes, coincidiendo el número de monedas que excedía las monedas de S/.2 a las de S/5. Calcula cuánto dinero se tiene en monedas de S/.2. a) S/.24 b) S/.116 c) S/.64 d) S/.120 e) S/.128 15).- Una madre debe repartir una herencia de 70 mil dólares en el momento del nacimiento de su hijo o hija. Si tuviera un hijo ella recibiría la mitad de lo que recibe su hijo. Pero si naciera mujer, la madre recibiría el doble de lo de su hija. Llegó el día del parto y para sorpresa de todos nacieron gemelos, un hombre y una mujer. ¿Cuánto recibió el hijo? a) $20 000 b) $10 000 c) $30 000 d) $40 000 e) $25 000 16).-Con S/.1 296 se han comprado igual número de vasos de tres clases distintas,

19).- A un campamento de retiro, asisten 320 personas entre varones, mujeres y niños. Si el número de varones es tres veces más que el número de mujeres y éste es el triple que el de los niños, ¿cuántos hombres hay? a) 120 b) 160 c) 320 d) 240 e) 200 20).- Sobre un estante se pueden colocar 15 litros de ciencias y 3 libros de letras ó 9 libros de letras y 5 libros de ciencias. ¿Cuántos libros de ciencias únicamente caben en el estante? a) 15 b) 20 c) 24 d) 30 e) 18 21).- Ana le dice a Raúl: “Si me dieras 5 de tus galletas, ambos tendríamos la misma cantidad” y éste respondió: “Si me dieras 10 de las tuyas, tendría el triple de lo que te quedaría”. ¿Cuántas galletas tiene Ana? a) 10 b) 25 c) 40 d) 30 e) 35 22).-Se han comprado un traje, un bastón y un sombrero por $259. El traje costó 8 veces lo que costo el sombrero y el

5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008

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I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”

24).- Una rajá dejó en herencia a sus hijas cierto número de perlas. Tenían que repartírselas de una forma muy especial. Cada hija recibiría: La mayor, una perla más 1/7 de las restantes, la segunda dos perlas más 1/7 de las tres restantes, la tercera tres perlas más 1/7 de las restantes, y así sucesivamente todas las demás hijas. Las hijas menores se sintieron perjudicadas por este reparto. El juez, tras contar las perlas, les dijo que todas ellas se llevarían el mismo número de perlas. ¿Cuántas hijas y perlas había?. Dar como respuesta la suma de ambos resultados. a) 36 b) 42 c) 50 d) 35 e) 48 25).-Un asunto fue sometido a votación de 800 personas y se perdió, habiendo votado de nuevo las mismas personas sobre el mismo asunto, fue ganado el caso por el triple de votos por el que había sido perdido y la nueva mayoría fue con respecto a la anterior como 13 es a 11. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión entre la primera y segunda votación? a) 416 b) 160 c) 150 d) 220 e)180

CLAVES DE RESPUESTAS 1) c 5) a

2) c 6) c

3) b 7) b

4) b 8) d

9) a 13) b 17) b 21) b 25) b

10) b 14) b 18) c 22) c

11) b 15) d 19) d 23) d

12) c 16) a 20) b 24) b

Resolución : X–4=

Dentro de 12 años tendrá =  Ejemplo Aplicativo (2)

VI. PROBLEMAS SOBRE EDADES INTRODUCCIÓN Los problemas sobre edades, pertenecen al capítulo de “planteo de ecuaciones” pero, lo estudiaremos como un capítulo aparte por la diversidad de problemas existentes y por la exist4encia de formas prácticas para dar solución a dichos problemas.

Hace 6

Edad= x

Sea la edad actual de Mauricio “x” años. Luego : La edad que tuvo hace 6 años x + 12 = 4 (x - 6)  x = 12

x-8

x-6

Tiempo presente

Tres veces más La edad que tendrá dentro de 12 años.

Dentro de Dentro de 5 15 x+5

x +15

A

19ab



1969

1900



3ab

= 69



2ab

ab



 1969

2ab

ab = 23 años

CASO II : Cuando interviene la edad de dos ó más sujetos. En esta situación se recomienda el uso de un “cuadro de doble entrada” para facilitar la ubicación de los datos en sus tiempos respectivos. TIEMPOS PASADO PILI MILI

a b

PRESENT E m n

FUTURO X Y

Del cuadro anterior se concluye: La edad de Mauricio es 12 años.

TIEMPO PASADO

AN + EX =

24 años

Dentro de 12 años Mauricio tendrá 3 veces más la edad que tuvo hace 6 años. ¿Qué edad tiene Mauricio? Resolución :

CASO I : Cuando Interviene la edad de un sujeto. Hace 8

2 (x+8)  x = 12 5

SUJETOS

bastón $30 menos que el traje. Halla la diferencia del precio del sombrero con el traje. a) 110 $ b) 115 $ c) 119 $ d) 112 $ e) 215 $ 23).- En una reunión de amigos los cuales estaban en pareja, cada varón compra una caja de chocolates para cada dama. En cada caja el número de chocolates es tanto como el número total de cajas, y estas son tantas como el triple del número de soles que cuesta cada chocolate. Si los varones gastan en total 243 soles. ¿cuántas damas son las damas afortunadas? a) 15 b) 18 c) 12 d) 9 e) 6

TIEMPO FUTURO



a–b=m- n=x–y

Observación.- Es recomendable resolver el problema planteando una simple ecuación.

EDAD ACTUAL

 Ejemplo Aplicativo (1) Hace 4 años Rocío tenía 2/5 partes de los años que tendrá dentro de 8 años. ¿Cuántos años tendrá Rocío dentro de 12 años?

Si una persona ya cumplió años, luego:



AÑO = ACTUAL

Sea la edad actual de rocío : “x” años. Luego :

-

AÑO DE SU NACIMIENTO

Si una persona todavía no cumple años, luego:

EDAD = AÑO - 1 ACTUAL ACTUAL

Resolución :

AÑO DE SU NACIMIENTO

 Ejemplo Aplicativo (3)

Hace 4 años tenía “x-4”

Según dato:

98

2. El tiempo que ha transcurrido para una persona es el mismo que ha transcurrido para la otra: m-a=n-b y x-m=y–n  Ejemplo Aplicativo (1): Normita le dice a su hermano Tony :”Mi edad es 8 años menos que tu edad , pero dentro de 4 años tu edad será el doble de mi edad”. ¿Cuál es la edad de Tony? Resolución :

Luis Tenía en el año 1969 tantos años como el doble del número formado por las dos últimas dos cifras del año de su nacimiento. ¿cuántos años tendrá Luis el año 2000?

Dentro de 8 años tendrá: “x + 8”

1. La diferencia de edades de dos personas es constante en cualquier tiempo.

NORMIT A TONY

PASAD O

DENTRO DE 4 AÑOS

x-8

x-8+4

x

x+4

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I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” x + 4 = 2(x – 8 + 4) x + 4 = 2(x – 4) x + 4 = 2x = 8 12 = x Tony tiene 12 años.  Ejemplo Aplicativo (2): Adrián le dijo a Elvira : “Yo tengo 3 veces la edad de tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 35 años. ¿Cuál es la edad de Elvira? Resolución : ADRIÁN ELVIRA

TENÍA Y x

TIENE 3x y

TENDRÁ 35-3x 3x

Del cuadro se tiene : * 3x – y = y – x 4x = 2y 2x = y ......()

35 – 3x – 3x = 3x – y 35 + y = 9x ....()

() en () 35 + 2x = 9x x=5 y = 10 años.

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 06 1).- Cuando transcurran “m+n” años a partir de hoy, tendré el triple de la edad que tenía hace “m-n” años. Actualmente tengo: a) (2m + n) años c) (2m- n)años e) (3m-2n) años

b) 2(m+n) años d) (n-2m) años

2).- La diferencia de los cuadrados de las edades de Graciela y Merly es 49. Si Graciela le lleva por un año a Merly, ¿cuántos años deben transcurrir para que

la edad de Merly sea un cuadrado perfecto?

es la edad actual del hijo, si hace 2 años, la edad del padre era el triple que la del hijo?

a) 1 año d) 12 años

a) 38 d) 27

b) 5 años e) 15 años

c) 10 años

3).- Si tuviera 15 años más de la edad que tengo, entonces lo que me faltaría para cumplir 78 años sería los cinco tercios de la edad que tenía hace 7 años. Dentro de 5 año que edad tendré. a) 28 b) 30 c) 33 d) 42 e) 48 4).- Hace “a” años César tenía “m” . dentro de “a” años tendrán n veces la edad que tenía Pepe hace “a” años. ¿Cuál es la edad actual de Pepe?

m  a( n  2) n m  a  2) n m  2( a  n ) c) n m  a( n  1) n nam e) n a)

b)

nx  y n 1 ny  x c) n 1

c) 14

8).- La suma de las edades actuales de 2 hermanos es 60 años, dentro de 5 años el mayor tendrá el doble de la edad que tenía el menor hace 5 años. Hallar la suma de cifras de la edad actual del mayor. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 9).- Las edades actuales de 2 amigos son entre sí, como 7 es a 5, pero hace 4 años estaban en la relación de 3 es a 2. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 9 es a 7? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 10).- Augusto le dice a Patty: Dentro de 10 años yo tendré el doble de tu edad, a lo que Patty le responde: “Es cierto, pero hace 5 años tu edad era el quintuple de la mía”. ¿Qué edad tiene Augusto? a) 30 b) 10 c) 20 d) 14 e) 28

d)

5).- ¿Cuál será la edad de Jhon si hace “x” años tenía “n” veces la edad que tenía hace “y” años? a)

b) 20 e) 32

ny x n 1 nx  n xy  n d) e) y 1 x 1 b)

6).- La edad que tendré de “m” años es a la que tenía hace “m” años como 5 es a 3. ¿Qué edad tendré dentro de “2m” años? a) 4m b) 6m c) 5m d) 7m e) 3m 7).- Dentro de 10 años, la edad de un padre será el doble de la edad de su hijo. ¿Cuál

99

11).- Cuando tú tengas el cuádruple de la edad que él tenía, entonces él tendrá exactamente 50 años, menos la edad que tú tenías. ¿Cuál será tu edad en ese entonces? a) 30 b) 40 c) 38 d) 42 e) 44 12).- Cuando Kelith le preguntó a César por la edad que tenías, éste respondió: Tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes y cuando tengas la edad que tengo, tendré tanto como tú tendrás dentro de 8 años. La edad de César es : a) 32 años b) 34 años c) 36 años d) 40 años e) 72 años

13).- Stephani tiene 30 años, su edad es el quintuple de la que tenía Corina, cuando Stephani tenía la tercera parte de la edad actual de Corina. ¿Cuál es la edad actual de Corina? a) 14 b) 15 c) 28 d) 27 e) 30 14).- Juanito le dice a Estela : actualmente tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía tu edad y cuando tú tengas mi edad entre ambos sumaremos 108 años. ¿Cuántos años tengo? a) 48 b) 24 c) 20 d) 18 e) 32 15).- Las edades de dos personas están en la relación de 5 a 7. Dentro de 10 años la relación será de 3 a 4. ¿Hace 10 años cuál era la relación de dichas edades? a) 3 a 5 c) 1 a 2 e) 2 a 3

b) 2 a 5 d) 4 a 3

16).- Al ser consultada por su edad, Marilú responde si al doble de mi edad le quitan 13 años, se obtendrá lo que falta para tener 50 años. ¿Cuál es la edad de Marilú? a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c) 22

17).- La edad que tiene actualmente Luis es la misma edad que tenía Jaime hace 6 años, justamente cuando Luis tenía 20 años. ¿Qué edad tiene Jaime actualmente? a) 20 d) 32

b) 24 e) 36

c) 26

18).- La edad de Juan es el triple de la edad de Carmen pero dentro de 50 años, el tendrá 11/7 de lo que ella tenga. ¿Qué edad tenía Juan cuando Carmen tenía 10 años? a) 30 d) 50

b) 40 e) 60

c) 45

19).- La suma de las edades de Pascual y Javier es 50, pero dentro de 12 años la 5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008

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I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” diferencia de edades será 10. Hallar la edad de Pascual, si se sabe que este es el mayor. a) 20 d) 30

b) 24 e) 32

c) 28

20).- Hace 6 años la suma de las edades de Carlos y Jorge era 42. Si actualmente Carlos tiene el doble de la edad de Jorge, hallar la edad de Jorge dentro de tres años. a) 18 d) 36

b) 21 e) 39

c) 23

1).-Hace 10 años de edad de Milagros y la edad de Silvia estaban en la relación de 1 a 3; pero, dentro de 5 años, sus edades serán como 3 a 4. ¿Cuál es la edad de Milagros? A)10 B)11 C)12 D) 13 E) 14 Jorge nació 6 años antes de Juan. En 1970, la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades, en 1985. ¿En qué año la suma será el doble de la correspondiente a 1985? A)2000 B) 1998 C) 2 005 D) 1999 E) 2 001 1).Cuanto tú naciste yo tenía la tercera parte de la edad que tengo ahora. ¿Cuál será tu edad cuando yo tenga el doble de la edad que tienes, si en ese entonces nuestras edades sumarán 56 años? A) 12 B) 15 C) 20 D) 22 E) 24 2).Un padre comenta: "Mi hija es ahora dos veces menor que yo; pero, hace 5 años, era tres veces menor"; ¿cuántos años tiene mi hija? A) 15 años B) 20 años C) 25 años D) 12 años E) 18 años 3).Hace 15 años, la edad de Ana y la edad de Betty estaban en la relación de 3 a 7; pero, dentro de 10 años, sus edades serán como 4 a 6. ¿Qué edad cumplirá Ana dentro de 10 años?

A) 30 años B) 40 años C) 45 años D) 25 años E) 35 años 4).Hace 6 años, las edades de Antonio y Dina estaban en la relación de 1 a 4; pero, dentro de 8 años, sus edades serán como 5 a 6. ¿Cuál será la edad de Antonio dentro de 10 años? A)10 B)12 C)17 D) 20 E) 21 5).Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando tuve yo la novena parte de la edad que tengo ahora. Si nuestras edades suman 72 años, ¿cuántos años tengo? A) 36 B) 27 C) 25 D) 32 E) 29 6).Él tiene la edad que ella tenía cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene; si ella tiene cinco años más de los que él tiene, ¿cuál es la edad de ella? A) 9 B) 12 C) 16 D) 10 E) 15 7).La suma de las edades de Ana, Betty y Karla es 37 años; al acercarse Karla, Ana le dice: "Cuando tú naciste yo tenía 5 años, pero cuando Betty tenía un año, tú tenías 5 años". Calcular la suma de edades de Ana y Karla dentro de 6 años. A) 20 B) 38 C) 41 D) 35 E) 29 8).Un hombre, nacido en la primera mitad del siglo XIX, tenía "x" años en el año "x". ¿En qué año nació? Dar como respuesta la suma de cifras. A) 15 B) 20 C) 1.3 D) 17 E) 16

13)a 16)b 19)a

14)c 17) 20)a

15)a 18)e

c) Con respecto a un año. 365 días Normal

NIVEL II 1) c 4) a 7) c 10)a 13)d 16)b 19)d

2) a 5) c 8) d 11)b 14)a 17)c 20)b

3) c 6) b 9) c 12)c 15)e 18)d

52 semanas

Año

366 días Febrero (29 días)

Bisiesto

Se repite cada 4 años()

VII. CRONOMETRÍA 1.

12 meses (febrero trae 28 días)

CALENDARIOS

1.1.- CONCEPTO Es un sistema de medida del tiempo, agrupados en unidades superiores, como semanas, meses, años, etc.

2.

RELOJES

2.1.- CONCEPTO Instrumento empleado para medir o indicar el paso del tiempo y divide el día en horas, minutos y segundos.



Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio 31 28 ó 29 31 30 31 30 31 Año normal Año bisiesto

2 30° 3

H

8

a) Considerar el número de días que atrae cada mes.

1

m

9

1.2.- OBSERVACIONES

12

11 10

7

4 6

5

5 divisiones (1 división 1min)

H : Horario m : minutero  : ángulo formado por el horario y el minutero

Observación: En 1 hora el minutero recorre 60 divisiones, luego: 1h 60 div 60 min 360°  1 div = 1 min = 6°

Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre 31 30 31 30 31

2.2.- RELACIÓN DEL RECORRIDO DEL HORARIO Y MINUTERO

b) Un día se vuelve a repetir cada 7 días.

En cada hora la relación de recorrido de “H” y “m” es: H 5 divisiones  m 60 divisiones

+7

CLAVES DE RESPUESTAS NIVEL I 1) e 2) c 3) a 4) d 5) c 6) d 7) a 8) c 9) a 10) 11)b 12)a

+7k Martes 1

100

+7 Martes 8

+7

Martes . . . Martes 15

H 1  m 12

5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” Solución : Lo cual significa que cada vez que el minutero avance “m” divisiones el horario avanzará “m/12” divisiones. 12

n° Campanadas = n° intervalos + 1

1C

3

9

1° m/12 div

T

2.3.- CÁLCULO DEL ÁNGULO “” 1er CASO : Cuando el minutero adelanta al horario. 1 2 3

9

8

=



m 7

H

11 m - 30H 2

4

”m” antes que “H” 2do CASO : Cuando el horario adelanta al minutero. 12

11

1 m

9

2seg

=

4°

2 seg

2seg

4

x x

3

(-) atraso total

 ADELANTOS HM = HR + AD  ATRASOS

5

6

2

= 8seg

HM = HR - AT

2.4.- TIEMPO RELACIONADO CON CAMPANADAS, GOLPES, ETC. En general : Número de campanadas :

2)

2

3

4

1°

2°

3°

I

I

I

n (n-1)° n° I

I

n+1 tiempo de cada intervalo

Hace 12 horas y media se descompuso un reloj sufriendo un atraso de 8 min. cada 4 horas. Si en éste instante marca 8h 57min. ¿Cuál es la hora correcta? Solución :

Hora marcada por un reloj adelantado

Tiempo 4h  12,5 

(+) adelanto total

x=

Donde: HM : Hora marcada HR : Hora real AD : Adelanto

Atraso 8min x

12,5 (8 ) = 25min 4

Solución :

11

12

1

HM = HR - atraso 8h 57min = HR - 25 min

Donde: HM : Hora marcada HR : Hora real AT : Atraso

9h 22 min = HR 3)

Qué ángulo forman el horario y minutero a las 5h 10min. Solución : 11

12

10

Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un reloj 5min cada hora. ¿Qué hora marcará cuando la hora correcta sea 10 pm del mismo día?

101

2

m

9 8

7

° = 5)

11 2

H  6

3 4

5

(40) - 30(3)

 ° = 220° - 90° = 130° Si el 1 de enero de 1942 cae jueves. ¿Qué día caerá el 1 de mayo del mismo año? Solución : N° de días =31 Ene +28Feb + 31Mar + 30Abr = 120 días 

Pero : 120 = 7 + 1 Lo cual significa que caerá un día después de jueves, es decir viernes.

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 07

Sabemos :

PROBLEMAS RESUELTOS 1)

Halla la medida del ángulo que forman horario y minutero a las 3h 40min.

= 11 h 10min p.m.

Tiempo de cada intervalo

”H” antes que “m”

1

4)

Sabemos : HM = HR + adelanto HM = 10h + 1 h 10min

Estas situaciones se presentan como consecuencia de algún desperfecto en el reloj, por lo que no marcaran la hora correcta. Hora real

(10) + 30(5)

10

2.5.- ADELANTOS Y ATRASOS

Hora marcada por un reloj atrasado

11 2

° = -55° + 150° = 95°

5C

3°

Tiempo = n° de Total intervalos

11 m 2

4

H 7

 = 30H -

2

 m

4C

5

6

10

3C 2°

2seg

6

10

2C

Adelanto 5min x

x = 70 min = 1h 10min

H

12

Tiempo 1h  14h 

Ejemplo :

m

11

Se adelantó durante : 22h - 8h = 14h

Del gráfico:

m div.

° = -

1 2

m

9



8 7

H 6

3 4

5

1).- ¿A qué será equivalente el ayer del anteayer del ayer del pasado mañana del pasado mañana de mañana. a) Ayer b) Mañana c) Anteayer d) Pasado mañana e) F.D 2).- Siendo viernes el mañana del mañana de hace 5 días. ¿Qué día será el anteayer del anteayer de dentro de 4 días? a) Lunes b) Jueves c) Viernes d) Martes e) Sábado 3).- En un mes hay 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. ¿Qué fecha cae el tercer miércoles de dicho mes?

5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” a) 18 d) 21

b) 19 e) 22

c) 20

4).- Si el 1 de enero de 1843 cae jueves. ¿Qué día caerá 1 de mayo del mismo año? a) Lunes b) Martes c) Miércoles d) Jueves e) Viernes 5).- En un determinado mes existen 5 viernes, 5 sábado y 5 domingos. ¿Qué día será el 18 de dicho mes? a) Domingo b) Lunes c) Martes d) Miércoles e) Jueves 6).- Si el lunes es el martes del miércoles y el jueves es el viernes del sábado. ¿Qué día es el domingo del lunes? a) Martes c) Jueves e) Sábado

b) Miércoles d) Viernes

7).- Si el ayer del mañana es sábado. ¿Qué día será el mañana del ayer de pasado mañana? a) Lunes b) Martes c) Miércoles d) Jueves e) Viernes 8).- Si el ayer del anteayer de mañana es lunes. ¿Qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer? a) Lunes b) Martes c) Domingo d) Jueves e) Viernes 9).- ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancadas excede en dos a los 3/8 del número de hojas que quedan? a) 11 de abril b) 12 de abril c) 13 de abril d) 10 de abril e) N.A. 10).- En un determinado mes el primer día cayó martes y el último también. ¿Qué día cayó el 20 de mayo de dicho año? a) Lunes b) Miércoles

c) Sábado e) Martes

d) Jueves

11).- ¿Qué fracción decimal de la hora viene a ser 24 minutos con 36 segundos? a) 0.52 b) 0.37 c) 0.71 d) 0.41 e) 0.49 12).- Un reloj segundos. En campanadas? a) 12 s d) 9 s

da 6 campanadas en 5 cuántos segundos dará 12 b) 10 s e) 13 s

b) 5 am e) 3 pm

c) 3 am

19).- Si las horas transcurridas del día exceden en 4 a los 2/3 de las horas no transcurridas, entonces la hora es : a) 12:00 d) 08:40

14).- ¿Cuántas campanadas dará en un día un reloj que indica cada hora con igual número de campanadas y cada media hora con una campanada? a) 178 b) 179 c) 160 d) 168 e) N.A 15).- ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta? I. A las 12h30min las agujas del reloj están diametralmente opuestas. II. Cuando el horario recorre 30° el minutero recorre 60 minutos. III. A las 6h 30min las agujas están superpuestas. b) Sólo II d) I y II

e) I, II, III

16).- Un ciego da 20 golpes de bastón en cierto tiempo. ¿Cuántos golpes de bastón dará en el triple de tiempo? a) 60 b) 59 c) 58 d) 61 e) 62 17).- Un boxeador da 5 golpes en 40 segundos. ¿Cuánto se demorará para dar 20 golpes? a) 3min 10 seg c) 3min 30seg e) 2min 40seg

a) 6 pm d) 4 pm

c) 11 s

13).- Una alarma suena 5 veces por segundo, cuántas veces sonará en un minuto? a) 300 b) 240 c) 301 d) 241 e) 299

a) Sólo I c) Sólo III

18).- Si faltan transcurrir del día tanto como ya pasó hasta hace 6 horas. ¿Qué hora es?

b) 3min 20 seg d) 2min 50seg

b) 13:00 e) 08:30

c) 12:45

20).- Si faltan para las 9:00 la mitad de los minutos que pasaron desde las 7:00. ¿Qué hora es? a) 7:50 b) 8:10 c) 8:20 d) 8:40 e) 8:30 21).- Un reloj demora “x” segundos en dar (x+y) campanadas. ¿Cuánto tiempo demora en dar “xy” campanadas? xy  1 xy  1 a) b) x  y 1 x  y 1 c)

x( y  1) x  y 1

e)

x( xy  1) ( x  y  1)

d)

x( xy  1) ( x  y  1)

22).- Un reloj que se atrasa 6min cada 2 h sincronizado el 4 de mayo a las 4p.m. ¿Cuál seré l próximo día en la que volverá a marcar la hora exacta. a) 14 de mayo b) 16 de mayo c) 15 de mayo d) 12 de mayo e) 13 de mayo 23).- Un reloj se adelanta 1 min por hora si empieza correctamente a las 12 del medio día del jueves 16 de setiembre. ¿Cuándo volverá a señalar la hora correcta? a) 10 de octubre b) 16 de octubre c) 30 de setiembre d) 4 de octubre e) 20 de octubre

102

24).- Un reloj se atrasa 2 min, cada hora y otro se adelanta 3min cada hora. Si los dos se sincronizan al medio día con un reloj normal. Cada cuánto tiempo volverán a marcar la hora exacta los res relojes: a) 4 días b) 8 días c) 10 días d) 5 días e) 6 días 25).- Un reloj marcará la hora exacta a las 12 del medio día, al cabo de cuántos días tendrá un atraso de 2 días si se atrasa 10 min cada hora? a) 10 días b) 12 días c) 14 días d) 8 días e) 9 días 26).- Un reloj se adelanta 2min cada 3h a que hora empezó adelantarse si a las 11h 15min de la noche marca las 11h 27min. a) 5:15 am b) 4:15 am c) 6:15 am d) 4: 27 am e) 5: 15 pm 27).- Rita sale de su casa a las 1 pm (según su reloj) y llega al colegio a las 2pm (según su colegio); luego se percata que su reloj estaba atrasado 6min y el del colegio adelantado 14min. ¿Cuánto tiempo se demoró Rita? a) 32’ b) 40’ c) 48’ d) 52’ e) 42’ 28).- Un reloj adelanta 5min cada hora y otro adelanta 2min cada hora ambos relojes se ponen a la hora a las 12 del día. ¿Después de cuántas horas el primero estará adelantado una hora respecto al otro? a) 20h b) 18h c) 10h d) 15h e) 40h 29).- Un reloj se atrasa 2 min cada 45 min se puso a la hora a las 7:45pm. ¿Qué hora marcará cuando realmente sean las 8:30 am del día siguiente? a) 7:56 b) 8:04 c) 7:54 d) 7:45 e) 8:15 30).- Un reloj en lugar de tener 12 divisiones tiene 9 y cada vez gira una vez a su eje. ¿Qué hora marcará a las 4pm?

5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” a) 5h d) 3h

b) 6h e) 2h

c) 4h

31).- Un reloj que tiene 30h gira una sola vez en torno a su eje al día.?Qué ángulo forman las manecillas de dicho reloj cuando en un reloj normal sean las 12 del día? a) 0° b) 90° c) 180° d) 120° e) 150° 32).- Faltan para las 6 tanto como la mitad del tiempo que transcurrió desde las 4:36. ¿Qué hora es? a) 3:36 b) 5:30 c) 5:28 d) 5:32 e) 5:42 33).- Qué ángulo forman las manecilla de un reloj a las 2h 20’? a) 40° b) 50° c) 55° d) 45° e) 35°

a) 1h20

3 min 11

b)

8 min 11 9 c) 1h21 min 11 9 min 11 8 e) 1h21 min 11

1h22

26) a 27) b

28) a

29) a

30) b

31) c 32) d

33) b

34) c

35) c

36) c 37) e

d)

1h23

37).- ¿Cuántas veces se superponen las agujas de un reloj? a) 12 d) 22

b) 24 e) 23

c) 11

34).- ¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 10h40’? a) 70° d) 85°

b) 75° e) 90°

c) 80°

35).- ¿A qué hora entre las 4 y las 5 las agujas de un reloj se superponen? a) 4h 20

3 min 11

3 min 11 9 c) 4h22 min 11 9 min 11 8 e) 4h 21 min 11

b)

4h21

d)

4h21

36).- ¿A qué hora entre las 1 y las 2 se forma un ángulo recto por primera vez?

CLAVES DE RESPUESTAS 01) b 02) a

03) d

04) e

05) b

06) e 07) a

08) d

09) b

10) c

11) d 12) c

13) d

14) e

15) b

16) c 17) a

18) e

19) a

20) c

21) d 22) a

23) b

24) e

25) b

103

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