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UNIVERSIDAD DE CUENCA Facultad de ingeniería Tema: Coseno Hiperbólico Nombres: Christian Ordóñez, Valeria Sumba Materia: Calculo integral Docente: Ing. Guillermo Martínez Periodo: Septiembre 2018- febrero 2019

Definición: Ciertas combinaciones de ex y e-x aparecen con mucha frecuencia en los problemas de matemática. Estas combinaciones se denominan como funciones hiperbólicas, ya que están relacionadas con las coordenadas de los puntos de una hipérbola equilátera, de manera similar a como los valores de las funciones trigonométricas se relacionan con las coordenadas de los puntos de una circunferencia. Las funciones hiperbólicas son funciones exponenciales. Entonces, la función coseno hiperbólico denotado por cosh y la función seno hiperbólico denotado por senh, están definidos como:

cosh(𝑥) =

𝑒 −𝑥 +𝑒 𝑥 2

𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) =

𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 2

Demostración:

u es el area total del triangulo formado por las funciones mostradas.. X2-y2=1 y=x

y = -x

senh(u) A1

A2

Cosh(u)

Sabemos que A1 es un triángulo de base “x” y altura “y” y A2 es el área bajo la curva √𝑥 2 − 1 desde 1 hasta x, entonces: 𝑥𝑦

A1= 2

𝑥

A2= ∫1 √𝑥 2 − 1 dx X= cosh(u) Y= senh(u) u=2(A1-A2)

𝑥𝑦 2

u=2[

𝑥

− ∫1 √𝑥 2 − 1 dx] (1)

𝑥

∫ √𝑥 2 − 1 dx 1

sec(𝜃) = √𝑥 2 − 1

𝑥 1

x=sec(𝜃)

𝑑𝑥 = sec(𝜃) tan(𝜃)𝑑𝜃 ∫ √𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃) − 1 sec(𝜃) tan(𝜃) 𝑑𝜃 θ 1

𝑥

𝑥

∫ √𝑥 2 − 1 dx = ∫ 𝑡𝑎𝑛2 (𝜃)sec(𝜃) 𝑑𝜃 1

1

= ∫(𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 1) sec(𝜃) d𝜃 =[∫ 𝑠𝑒𝑐 3 (𝜃)𝑑𝜃 − ∫ sec(𝜃) 𝑑𝜃] ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 (𝜃)𝑑𝜃 u=sec(𝜃)

dv=𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃)𝑑𝜃

du=(sec(𝜃) tan(𝜃))

v= tan(𝜃)

𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 (𝜃)𝑑𝜃 = sec(𝜃) 𝑡𝑎𝑛(𝜃) − ∫ 𝑡𝑎𝑛2 (𝜃) sec(𝜃) 𝑑𝜃 ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 (𝜃)𝑑𝜃 = sec(𝜃) 𝑡𝑎𝑛(𝜃) − ∫(𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃) − 1) sec(𝜃) 𝑑𝜃 ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 (𝜃)𝑑𝜃 = sec(𝜃) 𝑡𝑎𝑛(𝜃) − ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 (𝜃)𝑑𝜃 + ∫ sec(𝜃) 𝑑𝜃 2∫ 𝑠𝑒𝑐 3 (𝜃)𝑑𝜃= sec(𝜃) 𝑡𝑎𝑛(𝜃) + ∫ sec(𝜃) 𝑑𝜃 1

∫ 𝑠𝑒𝑐 3 (𝜃)𝑑𝜃 = 2 [sec(𝜃) 𝑡𝑎𝑛(𝜃) + ∫ sec(𝜃) 𝑑𝜃] 1 2

= [sec(𝜃) 𝑡𝑎𝑛(𝜃) + 𝐼𝑛(sec(𝜃) + tan(𝜃)] Reemplazando en (1) 1

u= 𝑥𝑦 − 2 [sec(𝜃) 𝑡𝑎𝑛(𝜃) + 𝐼𝑛(sec(𝜃)] sustituimos los limites. u= 𝑥𝑦 − 𝑥√𝑥 2 − 1 + 𝐼𝑛(𝑥 + √𝑥 2 − 1). En la ecuación de la hipérbola despejamos y para hallar el coseno hiperbólico 𝑦 = √𝑥 2 − 1 , sustituimos en la función del integrando

u= 𝑥√𝑥 2 − 1 − 𝑥√𝑥 2 − 1 + 𝐼𝑛(𝑥 + √𝑥 2 − 1) u= 𝐼𝑛(𝑥 + √𝑥 2 − 1) 𝑒 𝑢 = 𝑒 𝐼𝑛(𝑥+√𝑥

2 −1)

𝑒 𝑢 = 𝑥 + √𝑥 2 − 1 (𝑒 𝑢 − 𝑥) = 𝑥 2 − 1 𝑒 2𝑢 − 2𝑒 𝑢 𝑥 + 𝑥 2 = 𝑥 2 − 1 𝑥=

𝑒 2𝑢 +1 𝑒 𝑢 +𝑒 −𝑢 = 2 2𝑒 𝑢

Cosh(u)=

𝑒 𝑢 +𝑒 −𝑢 2

Derivada del coseno hiperbólico: Para obtener la fórmula de la derivada de esta función tenemos qué usar su definición y diferenciar dicha expresión, entonces: 𝑑 cosh(𝑥) 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 = = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 2 De esta formula y de la regla de la cadena se tiene lo siguiente: 

Si u es una función diferenciable de x, entonces: 𝐷𝑥(cosh(𝑢)) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑢) ∗ 𝐷𝑥(𝑢)

Segunda derivada del coseno hiperbólico: 𝑑 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑒 −𝑥 + 𝑒 𝑥 = cosh(𝑥) ( )= 𝑑𝑥 2 2 Integral del coseno hiperbólico: ∫ cosh 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) + 𝐶

Análisis de la función coseno hiperbólico Dominio: El dominio de una función f(x) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función esta definida. Por lo tanto, para el coseno hiperbólico, su dominio son todos los números reales (R), su demostración es: 𝑓(𝑥) = cosh(𝑥) =

𝑒 −𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑒 2𝑥 + 1 = 2 2𝑒 𝑥

Igualamos el denominador de la función a 0: 2𝑒 𝑥 = 0 𝑒𝑥 = 0 ln(𝑒 𝑥 ) = ln(0) 𝑥 = ln(0) Como ln (0) no existe, no hay restricciones y por lo tanto está demostrado que Dom(f) = {R}

Rango: El rango de una función la podemos definir como el dominio de su inversa. Por lo tanto, calculamos la inversa del coseno hiperbólico: {𝑦 ∈ 𝑅 |y ≥ 1}

La inversa de la función es: 𝑦 = 𝐼𝑛(𝑥 + √𝑥 2 − 1) Procedemos a sacar el dominio de la función que será nuestro rango. 𝑥 + √𝑥 2 − 1 ≥ 0 √𝑥 2 − 1 ≥ −𝑥 Dividir la desigualdad en dos casos. √𝑥 2 − 1 ≥ 0 y −𝑥 < 0 𝑥2 − 1 ≥ 0 𝑥>0 𝑥2 ≥ 1 𝑥 ≥ ±1 Entonces el rango de la función es: [1+∞). Cortes: Cortes con el eje x: 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) = 0 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 𝑒 2𝑥 + 1 𝑦= = 2 2𝑒 𝑥 𝑒 2𝑥 + 1 =0 2𝑒 𝑥 𝑒 2𝑥 + 1 = 0 𝐼𝑛(𝑒 2𝑥 ) = 𝐼𝑛(−1)

Como 𝐼𝑛(−1) no existe, no hay punto de corte en el eje de las abscisas. Cortes eje y: 𝑦 = cosh(𝑥) 𝑦=

𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 𝑒 2𝑥 + 1 = 2 2𝑒 𝑥 𝑦=

𝑒 2(0) + 1 2𝑒 (0)

𝑦=

1+1 =1 2

Existe un punto de corte con el eje de las ordenadas y=1 Simetría: Simetría al eje y: una función es simétrica al eje y cuando es una función par, y si cumple que: f(x)=f(-x) 𝑓(𝑥) =

𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2

𝑓(−𝑥) =

𝑒 −𝑥 +𝑒 −(−𝑥) =f(x) 2

Simetría eje origen: una función es simétrica al origen cuando es una función impar. Como la función cosh(x) es simétrica al eje y, por tanto, ya no tendrá simetría al origen. Signos: Los signos de una función consisten en ver en que intervalos su grafica esta arriba (signo positivo) o abajo (signo negativo) del eje x. Para esto determinaremos los puntos de corte con el eje x. En el eje x, la función cosh(x) no tiene ningún punto de corte, por lo tanto, la función cosh(x) tendrá signo positivo en todo su dominio. Asíntotas: Asíntotas verticales: La función cosh(x) no tiene asíntotas verticales porque no hay ningún número que haga indefinida la función. Asíntotas horizontales: 1 −𝑥 (𝑒 + 𝑒 𝑥 ) = +∞ 2 𝑥→+∞ lim

No hay asíntotas horizontales. Asíntotas oblicuas: y=mx+b 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥→∞

𝑚 = lim

m = lim

𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2 𝑥

𝑥→+∞

= lim 𝑥→

+∞

𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2𝑥

;

𝑏 = lim (𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥) 𝑥→∞

=

∞+0 ∞

∞ ∞

=

𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

1

m =lim 𝑥→

+∞

𝑒 𝑥+ 𝑥 𝑒 2𝑥

=+∞

Continuidad: Para que una función sea continua debe cumplir las tres condiciones siguientes:   

f(a) debe existir. lim 𝑓(𝑋)𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟. 𝑥→𝑎

𝑓(𝑎) = lim 𝑓(𝑋). 𝑥→𝑎

Demostración: 𝑓(𝑎) = cosh(𝑎) =

𝑒 −𝑎 + 𝑒 𝑎 , 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 2

𝑒 −𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑒 −𝑎 + 𝑒 𝑎 = , 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑥→𝑎 2 2

lim cosh(𝑥) = lim

𝑥→𝑎

Como si cumple con las tres condiciones, entonces cosh(x) es continua en todo a ∈ R. Números críticos: Para encontrar los números críticos de una función, tenemos que igualar su primera derivada a cero, entonces: 𝑓 ′ (𝑥) =

𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑒 2𝑥 − 1 = 2 2𝑒 𝑥

𝑒 2𝑥 − 1 =0 2𝑒 𝑥 𝑒 2𝑥 − 1 = 0 ln(𝑒 2𝑥 ) = ln(1) 𝑥=0 

La función cosh(x) tiene un numero critico en x = 0.

Comportamiento: Consiste en ver que signos toma la primera derivada de la función en los intervalos dados por los números críticos. Nos indica en que intervalos una función es creciente o decreciente. 𝑓 ′ (𝑥) =

𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 2

(-)

(+)



La función es monótona decreciente en (-∞, 0] y monótona creciente en [0,+ ∞). 0 -∞ +∞ Extremos: la función cosh(x) tiene un mínimo absoluto en c = 0, ya que se cumple: 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑐), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) Concavidad: para analizar la concavidad tenemos que utilizar la segunda derivada de la función. 𝑑2 𝑑𝑥 2

−∞

1

= 2 (𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 ) =

𝑒 2𝑥 +1 = 2𝑒 𝑥

(+)

cosh(x)

(+)

+∞

𝐎

Puntos de inflexión: No hay puntos de inflexión dado que no hay cambio en las concavidades. Resumen:

{𝑥/𝑥 ∈ 𝑅} {𝑦 ∈ 𝑅 |y ≥ 1}

Dominio Rango Corte en x

No tiene cortes

Corte en y

y=1

Signo

Positivo en todo su dominio

Continuidad

Continua para todo x

Comportamiento Concavidad

Decreciente en (-∞,0) Creciente en (0, + ∞) Hacia arriba

Punto de inflexión

No tiene

Simetría

Respecto al eje y

Numero critico

x=0

Asíntotas Extremos

No tiene ninguna Mínimo absoluto en x = 0

Grafica: f(x) = cosh(x)

La catenaria: La catenaria es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la gravedad. La ecuación de la catenaria tomando su mínimo en el punto (0,h) es: 𝑥 𝑥 𝑥 ℎ 𝑦 = ℎ ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ ( ) = ∗ (𝑒 ℎ + 𝑒 − ℎ ) ℎ 2

Diferencia entre la grafica de una parabola y la catenaria: La principal diferencia entre una parábola y la catenaria es su recta tangente, ya que en la catenaria esta tiende a la verticalidad, mientras que en la parábola este valor tiende a ser mas una constante.