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CORRIENTE ALTERNA Objetivo Verificar el comportamiento de las conexiones RL y RC serie, en régimen permanente de corriente alterna. Determinar la potencia activa. Comprobar las relaciones del módulo de la impedancia y el ángulo de fase con a frecuencia.

Marco Teórico Sea el circuito pasivo lineal de la figura 1 que tiene aplicad un voltaje senoidal tal como: v  Vm sen t (1) Si ha transcurrido bastante tiempo como para permitir que aparezca cualquier fenómeno + Circuito transitorio, se dice que dicho circuito está V Pasivo trabajando en régimen de corriente senoidal o Lineal i régimen de corriente alterna. En tal caso, la corriente que circula tiene la forma: i  I m sen t    (2) Figura 1. Donde Im es la amplitud de la corriente y , denominado ángulo de fase, es el ángulo con que la corriente se retrasa respecto del voltaje (valores negativos de  suponen un adelanto). La relación entre las amplitudes del voltaje y la corriente se conoce como reactancia y se simboliza por X, es decir:

X

Vm Im

(3)

Im 

Vm X

(4)

pudiendo escribirse:

ecuación que es similar a la ley de Ohm; por lo que se dice que la reactancia es la “oposición de un circuito al paso de la corriente alterna”. Más aún, la reactancia también tiene unidades de ohmios. La potencia instantánea consumida por el circuito está dada por:

p  vi  Vm I m sen t sen t    (5)

y por propiedades trigonométricas, resulta:

p

1 1 Vm I m cos   Vm I m cos 2t    2 2

(6)

En la Figura 2 se representa el comportamiento temporal del voltaje, la corriente y la potencia. Un valor positivo de potencia es entregada por la fuente al circuito pasivo lineal y un valor negativo, que la potencia es entregada por el circuito a la fuente; por tanto existe un intercambio alternado de energía entre la fuente y el circuito y en promedio, la potencia realmente entregada al circuito

es igual al valor medio de la potencia instantánea; es decir, al término constante de la ecuación (6) que se conoce como potencia activa, P; es decir:

1 p  Vm I m cos  2

P P

(7)

El factor cos  se conoce como factor de potencia. Finalmente, para describir voltajes y corrientes senoidales se suele usar sus valores eficaces dados por:

Vef 

Vm 2

I ef 

Im

v

Vm

i

Figura 2.

Im 2

Conexión RC. Si el circuito pasivo lineal consiste en una conexión RC serie como la representada en la Figura 3, la corriente estará dada por la solución particular de la ecuación de malla

Vm sen t  R i 

1 i dt C

(9)

(8)

V

-

V m di 1  i cos t dt RC R

Que puede escribirse: (10)

R

+ i

C

+

-

VR

+ VC

-

Figura 3.

Dicha solución es:

Vm

i



1    C 

2

R2  

  1   sen  t  tg  1     RC   

(11)

De donde:

Vm

Im 



1    C 



1     C

X

2

2



1    RC  

  tg  1 

R2  

R2  

(12)

Conexión RL Para un circuito pasivo lineal consistente en una conexión RL serie, como la mostrada en la Figura 4, la corriente estará dada por la solución particular de la ecuación de malla:

di dt

Vm sen t  R i  L Que puede escribirse.

(13)

+

di R V  i  m sen t dt L L

(14)

V

-

Dicha solución es:

i



Vm

R 2   L 

2

R

 L   sen  t  tg     R    1

(15)

i

L

+

-

VR

+ VL

-

Figura 4.

De donde:

Im 

Vm

R   L  2

2

X

R 2   L 

2

 L    R 

  tg 1 

(16)

Para tomar en cuenta la resistencia óhmica del inductor, RL, debe considerarse que ésta queda en serie con la resistencia R; por tanto, las ecuaciones anteriores pueden usarse si se reemplaza R por R+RL, con lo que quedan.

Im 

Vm

 R  R L  2   L  2

X 

 R  R L  2   L  2



L     R  RL  

  tg 1 

(17)

Procedimiento  Conexión RL 1. Montar el circuito de la Figura 5. El voltaje sobre la conexión RC, v, debe ser senoidal, con Vpp = 6.0[V] y nivel DC nulo. 2. Llenar la tabla 1 de la hoja de datos, manteniendo constante Vpp (por las características del generador de funciones, este voltaje puede variar con la frecuencia). Medición del ángulo de fase. Dado que el voltaje sobre la resistencia, V R, es proporcional a la corriente, el ángulo de fase, , puede medirse con el osciloscopio, como el ángulo con que dicho voltaje (desplegado en el canal 2) se retrasa respecto de v (desplegado en el canal 1). El procedimiento a seguir se describe a continuación: Ubicar los niveles de referencia de ambos canales en la línea horizontal central de la pantalla; de este modo, los trazos de las señales estarán centrados verticalmente. Usar como señal de disparo la señal adelantada que, en este caso, es la del canal 2. Ajustar el nivel de disparo a cero. Hacer que el trazo del canal 2 ocupe 10 divisiones horizontales (para ello puede ser necesario usar el control VAR SWEEP); de esta manera, cada división horizontal representa 36º. Determinar f como el número de divisiones que separan a ambos trazos en su nivel medio, multiplicada por 36[º/div]. Si VR esta adelantado respecto de v, el ángulo será negativo, caso contrario será positivo. Las mediciones de ángulos de fase se intercalarán con mediciones de frecuencia (periodo); por tanto, para éstas últimas, se debe verificar que VAR SWEEP esté en la posición CAL. 3. Para la frecuencia de 10 de [KHz] dibujar el despliegue del osciloscopio.  Conexión RC. 4. En el circuito montado reemplazar el capacitor por un inductor de 35[mH] y con los cambios correspondientes, seguir un procedimiento similar al de la conexión RC y llenar la tabla 2.

Tratamiento de Datos 

Conexión RL 1. Con los resultados experimentales para f=10.0 (kHz), determinar numéricamente v=v(t), i=i(t) (obtenida en base a vR) y p=p(t), y dibujarlas en forma correlativa. De p=p(t) anotar el valor de la potencia activa , P, y compararlo con el valor dado por la ecuación 18 de la guía.

p

1 1  Vm I m cos    Vm I m cos(2t   ) 2 2 p  1,06  10 3  1,64  10 3 cos(125663,7  t  49,42) P  1,06  10 3 [W ]

Para la potencia activa: 2

 Im 

2

P  I ef  R   

2

 R

P  1,07  10 3 [W ]

Comparando Pexp con Pteo:

Pexp  1,06  10 3 [W ]

Dif .Porct .  0,9%

Pteo  1,07  10 3 [W ]

2. En base a la tabla 1 de la hoja de Datos, elaborar una tabla ω, Z exp, Zteo con la ecuación 5 (con I m determinada en base a VRpp) y Zteo con la ecuación 6.a de la guía de datos (tomando en cuenta la resistencia óhmica del inductor RL). Dibujar la curva Z teo vs. ω y en el mismo gráfico, ubicar los puntos correspondientes a Zexp. [Hz] Zexp[] Zteo[] 12566,37 1853,68 1844,33 3. 18849,56 1886,79 1901,71 31415,93 2031,92 2074,7 43982,3 2296,96 2310,02 62831,85 2780,53 2743,86 94247,78 3522 3592,05 125663,71 4593,91 4519,56 188495,56 7044 6474,76 Elaborar una tabla ω, φexp, φteo calculando φteo con la ecuación 6.b de al guía (tomando en cuenta la resistencia óhmica del inductor, RL). Dibujar la curva φteo vs. ω y en el mismo gráfico, ubicar los puntos correspondientes a φexp.

GRAFICA ω vs. Zexp, Zteo

[Hz]

1,8E5

1,7E5

1,6E5

1,5E5

1,4E5

1,3E5

1,2E5

1,1E5

1E5

9E4

8E4

7E4

6E4

5E4

4E4

GRAFICA ω vs. jexp, jteo

3E4

2E4

Z[] 2E3

2,5E3

3E3

3,5E3

4E3

4,5E3

5E3

5,5E3

6E3

6,5E3

7E3

[Hz]

[Hz] 12566,3 7 18849,5 6 31415,9 3 43982,3 62831,8 5 94247,7 8 125663, 7 188495, 6

exp[º]

teo[º]

14,4

12,99

18

19

28,8 39,6

29,98 38,93

1,8E5

1,7E5

1,6E5

1,5E5

1,4E5

1,3E5

1,2E5

1,1E5

1E5

50,4

49,08

9E4

8E4

61,2

59,98

7E4

6E4

68,4

66,57

5E4

4E4

75,6

73,89

3E4

2E4

[º] 18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

4. Elaborar una tabla ω2, Zexp2. Mediante un análisis de regresión, determinar y dibujar la relación Zexp2=f(ω2). Por comparación con la relación teórica, determinar los valores de R+R L y L, y compararlos con los valores esperados. Zexp2[2]

2[Hz2] 157913655 355305912,2 986960657,8 1934442713 3947841374 8882644035 1579136801 1 3553057614 0

Zexp2[2] 3436129,542 3559976,504 4128698,886 5276025,242 7731347,081 12404484

4,5E7

4E7

3,5E7

3E7

2,5E7

21104009,09 2E7

49617936 1,5E7

Z exp  2,47  106  1,29 10 3   2

1E7

Z exp  RT   2  L2

5E6

2

2

2

2[Hz2] 5E9

1E10

1,5E10

2E10

Tenemos: RT exp  1571,62[] Comparando:

;

Lexp  35,92  10 3 [ H ]

2,5E10

3E10

3,5E10

RT exp  1571,52[] RT teo  1797,10[]

Dif .Porcent .  14,35%

Lexp  35,92[mH ] Lteo  33,00[mH ]

Dif .Porcent .  8,85%

 Conexión RC 5. al 7. Con los cambios correspondientes, repetir, para la conexión RC, los puntos 1. al 3.

p

1 1 3 Vm I m cos   3.9 cos 10.8º  1.0883 W  2 2 5.28

POTENCIA ACTIVA : 1.0883[W] V, I y P vs. t 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 -1 -1,5 -2

0

1

2 Voltaje Corriente Potencia

3

4

5

6

7

8

6. En base a la tabla 1 de la hoja de datos, elaborar una tabla w, Z EXP, ZTEO, calculando ZEXP con la ecuación (3) y ZTEO con la ecuación (12). Dibujar ZEXP vs. w y ZTEO vs. w en un mismo gráfico.

f [KHz] VRpp [V]

j [º]

w

ZEXP

ZTEO

2,0

1,2

- 72,0

12566,371

26400,000

27046,215

2,9

1,6

- 50,4

18221,237

19800,000

19040,400

5,0

2,6

- 28,8

31415,927

12184,615

11851,476

7,1

3,2

- 14,4

44610,616

9900,000

9149,324

10,0

3,9

- 10,8

62831,853

8123,077

7484,863

14,0

4,8

- 3,6

87964,594

6600,000

6499,075

20,0

5,2

- 2,9

125663,706

6092,308

5908,857

29,0

5,4

- 1,8

182212,374

5866,667

5587,932

GRAFICA

w

vs. ZEXP ,

ZTEO

30000 25000

[ W]

X Esperimental X Teórico

Reactanci a

20000 15000 10000 5000 0 0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

Frecuencia [Hz ]

140000

160000

180000

200000

7. Elaborar una tabla w, ɸ EXP, ɸTEO calculando ɸTEO con la ecuación (12). Dibujar ɸ EXP vs. w y TEO vs. , en un mismo gráfico.

f [KHz]

VRpp [V]

jEXP [º]

w

2,0

1,2

-72,0

12566,371

-78,742

2,9

1,6

-50,4

18221,237

-73,901

5,0

2,6

-28,8

31415,927

-63,544

7,1

3,2

-14,4

44610,616

-54,754

10,0

3,9

-10,8

62831,853

-45,136

14,0

4,8

-3,6

87964,594

-35,667

20,0

5,2

-2,9

125663,706

-26,674

29,0

5,4

-1,8

182212,374

-19,110

GRÁ FIC A

jTEO

w vs jEXP ,

[º]

jTEO

Fr ec u en c i a [KHz ] 0

50000

100000

150000

200000

0

Á ngulo

[º]

-10 -20 -30 -40

Teórico Experimental

-50 -60 -70 -80 -90

8. Elaborar una tabla (1/w)2, ZEXP2. Mediante un análisis de regresión determinar y dibujar la relación entre ZEXP2 y (1/w)2. Comparar las constantes de la regresión con los valores esperados.

2

G R Á F IC A

ZEXP

vs.

2

( 1 /w)

0,000000007 0,000000006

y = 9E- 18x - 3E- 10

0,000000005

R = 0,9960

2

0,000000004 0,000000003 0,000000002 0,000000001 0,000000000 0

10000000 20000000 30000000 40000000 50000000 60000000 70000000 0

0

0

0

0

0

0

Conclusiones Concluimos que llegamos a verificar el comportamiento de los circuitos RL y RC para un proceso de corriente alterna. Pudimos determinar la potencia activa y comparar con la potencia teórica. Mencionamos también que de acuerdo con los datos obtenidos, y que los factores de correlación estén próximos a la unidad, decimos que estos datos tomados fueron muy precisos y que llegamos a realizar un buen trabajo.

Cuestionario 1. Mostrar que las unidades de los módulo de la impedancia dadas por las ecuaciones (6.a) y (10.a) son ohmios.

1 Kg  m 2 J 2  V Z  ( R )  (L)    (  2 2 ) 2   2  ( )  2    s A s A s  A 2

2

2

 2  2  

2



2

 

1 2 1  Z  ( R) 2  ( )  2    C 1 A2  s 2   2  s kg  m 









 J    2   s   A   

2

 V   A

 2  

2

 2  2  

2. ¿Cuáles son los módulos de la impedancia y los ángulos de fase correspondientes a un resistor, a un capacitor y a un inductor? 

R  R  j 0  R  R 0 

X L  0  j L  X L   L 90 

X C  0  jC  X C  C 90

}

fasor 

V 

3.

} V

} θ 25 

impedancia angulo de fase

¿Cuál es el comportamiento de las conexiones RL y RC serie a frecuencias muy bajas y a frecuencias muy altas?

CIRCUITO RL Frecuencia baja ⇨ el circuito será resistivo puro. Frecuencia alta ⇨ el circuito será inductivo puro. CIRCUITO RC Frecuencia baja ⇨ el circuito actuará como capacitivo puro. Frecuencia alta ⇨ el circuito actuará como resistivo puro. 4. Para

las conexiones RL y RC serie puede verificarse que, en general, Vm  VRm  VLm y que Vm  VRm  VCm respectivamente. ¿Es esto es una violación de la ley de tensiones de Kirchhoff?

La medida de la caída de tensión no cumple con la ley de tensiones de Kirchhoff, debido que la medida de la tensión falla porque estos elementos almacenan y descargan voltajes.

5. Siendo variables los voltajes senoidales, ¿qué valor se lee con un voltímetro fabricado para medir esos voltajes? Es el valor eficaz el que lee el voltímetro, como por ejemplo el de la alimentación de la red domiciliaria que es un valor eficaz de 220 V.

Bibliografía 

Enciclopedia Encarta 2004



Física Experimental – Manuel Soria (guía laboratorio)



www.google.com