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1. IDENTIFICACIÓN DEL MODULO

1.1 Información General Nombre del Módulo: ACUICULTURA

HABILIDADES

LÓGICO

MATEMÁTICAS

APLICADAS

A

LA

Palabras clave: Proceso, habilidades, desarrollo, aplicación, formación, razonar, inferir, apropiación, relaciones, retos, problema, competencia, entorno, investigación, significativo, pertinente, algoritmo, sistema, soporte, epistemología, didáctica, acuicultura

Autor(es): ATILANO ARRIETA VIVERO Año, versión: 2010, 01 Créditos académicos: 2

Competencia General: Desarrolla habilidades de pensamiento lógico matemático y resuelve problemas del entorno pertinentes con su desempeño laboral Denominación de los elementos de competencia: Selecciona estrategias adecuadas, valorando la pertinencia de diferentes vías para resolver un problema Organiza, ordena, comprender e interpretar utilizando procedimientos matemáticos.

información presentada en formato gráfico

1.2 JUSTIFICACION Vivimos en un mundo caracterizado por los constantes cambios y desarrollo permanente; ya en pleno siglo XXI es preciso señalar que la actividad educativa no tendría sentido si no fuera por los objetivos respecto a la sociedad en que se encuentra inserta, esto es, para toda empresa educativa es el objetivo externo quien le da significado, por lo tanto uno de los objetivos fundamentales y retos de la educación actual en Colombia es “propiciar la convivencia social y una formación integral” mediante el acceso, de manera crítica y creativa al conocimiento científico, tecnológico, artístico y humanístico que le permita al individuo establecer relaciones armoniosas con la sociedad y naturaleza misma, esto es, el educando debe prepararse para enfrentar con éxito los retos que los niveles superiores del proceso educativo plantea y para su vinculación con la sociedad y el trabajo”. En este sentido, la matemática por su naturaleza y riqueza misma permite presentarla de forma intencionada mediante situaciones problémicas que estimulen en el estudiante el desarrollo de habilidades y de su pensamiento crítico, analítico y a la autoevaluación de los procesos realizados, como forma adecuada de llegar a la construcción y apropiación de los conocimientos que han sido considerados por la comunidad científica como válidos. Con el desarrollo del presente módulo, se busca que el estudiante se encuentre en capacidad de interpretar, discriminar y relacionar los fundamentos básicos de la Matemática, a través del análisis de datos tomados de un fenómeno propio de su entorno y que describa, examine y sintetice adecuadamente la información mediante el análisis crítico y lógico de algoritmos, situaciones problémicas, modelos y métodos estadísticos sencillos. Actualmente la matemática es concebida como una disciplina de investigación, en la cual el avance se da como una consecuencia del proceso mismo de la investigación y la resolución de problemas, por tal razón su importancia y estrecha relación con las otras disciplinas que conforman el plan de estudio de la carrera, esto es, no existe disciplina de forma aislada, las temáticas propuestas aquí pretenden hacer un recorrido por todos aquellos temas significativos para los estudiantes de Administración Acuícola, en el sentido que le ayuden a resolver y plantear problemas de su saber y entorno específico. Por la naturaleza del curso, es pertinente hacer algunas precisiones sobre la educación virtual como “concepto”, lo cual ha generado bastantes discusiones en el marco social educativo. Muchos la han catalogado como una enseñanza bajo fantasías y descontextualizada, otros arguyen la formación única por internet. Para ello, en primer lugar se plantea las siguientes preguntas: ¿Qué es "lo virtual"? ¿Existe verdaderamente una educación virtual? ¿Acaso la educación formal o alternativa se ha de convertir en educación virtual? ¿Dónde quedarán las aulas de las cuatro paredes? ¿Es la educación virtual un desafío para educadores y educandos? La educación virtual, surge como una necesidad de los tiempos modernos, donde el estudiante debe capacitarse de forma permanente, para lo cual requiere aprender a regular su propio ritmo de aprendizaje conciliando su tiempo de trabajo, de estudio, de socialización, de diversión y recreación, así como seleccionando por sí mismo las temáticas e información de su interés, de acuerdo con su propia necesidad, utilizando los diferentes medios de auto-instrucción y comunicación que ofrece el mundo moderno.

1.3 METODOLOGIA DE APRENDIZAJE DEL MODULO La estructura metodológica del módulo se fundamenta en un enfoque pedagógico innovador, soportado en el modelo pedagógico de la universidad y la modalidad de educación virtual, por competencias laborales, por ciclos propedéuticos y el uso intensivo de las TIC. Es decir se deben desarrollar los tres momentos descritos en el MEAD. La metodología en general responde al cómo enseñar y aprender. Es evidente que en cada modelo de educación virtual se destaca la metodología como base fundamental del proceso; a continuación se describen brevemente los métodos sincrónico y asincrónico como pilares en la modalidad virtual.

Método sincró nico consiste en que el emisor y el receptor del mensaje en el proceso de comunicació n operan en el mismo marco temporal, es decir, para que se pueda transmitir dicho mensaje es necesario que las dos personas estén presentes en el mismo momento; estos recursos sincró nicos se hacen verdaderamente necesarios como agente socializador, imprescindible para que el alumno que estudia en la modalidad virtual no se sienta aislado. Son entre otros Videoconferencias con pizarra, audio o imá genes como el Netmeeting de Internet, chat, chat de voz, audio y asociació n en grupos virtuales. Métodos asincrónicos, transmiten mensajes sin necesidad de coincidir entre el emisor y receptor en la interacción instantánea, requieren necesariamente de un lugar físico y lógico en donde se guardarán y tendrá también acceso a los datos que forman el mensaje; son más valiosos para su utilización en la modalidad de educación virtual, ya que el acceso en forma diferida en el tiempo de la información se hace absolutamente necesaria por las características especiales que presentan los alumnos que estudian en esta modalidad. Lo importante radica en que la virtualidad garantiza que el hombre aprende a transformar su lógica de pensamiento a través de la transmisión de conocimiento, lo cual no podría hacer por los métodos tradicionales; aprende a transformar en tanto él mismo elabora su conocimiento, maneja sus esquemas, determina sus tiempos, y utiliza no solo los contenidos sino todo el proceso virtual para generar solución a problemas únicos, acercándose aún más al perfil que pretende lograr en la institución.

Es en estos aprendizajes en donde intervienen todos los sentidos, (y no solo el oír al profesor), por lo tanto brinda una nueva cosmovisión del mundo, de sus potencialidades y de sus habilidades. La educación así le permite al educando satisfacer sus necesidades, expectativas y lo capacita para que transforme sus comunidades ya que está utilizando información de primera mano que normalmente no se encuentra en las aulas presenciales corrientes, esto es, la educación se hace realmente significativa.

2. ESTRUCTURA DEL MODULO

2.2 El Glosario Algoritmo: problema

Es una secuencia de pasos que permite hallar la solución de un ejercicio o

Cociente: Es el resultado de una d i v i s i ó n I n c ó g n i t a : Es el valor desconocido que se pretende determinar en una ecuación S i m é t r i c o : E s un número que operado con cualquier otro número da el e l e m e n t o n e u t r o de la operación. Dato: Es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico Didáctica: Estudio de los problemas metodológicos relativos a la enseñanza de las disciplinas Diseño: Delinear la secuencia lógica de un proceso Definición: Explicación breve y clara de la naturaleza de un proceso por la enunciación de sus principales atributos. Deducción: Método de razonamiento que considera válidas conclusiones hipotéticas o consecuencias por razón de un principio general o ley aceptada como verdadera Recurso: Medio que facilita un proceso Proceso: Conjunto de las fases sucesivas de un fenómeno para llegar a una solución Procedimiento: Método de ejecutar operaciones o algoritmos Posición: Actitud frente a algo Opuesto: Cantidades de igual valor absoluto y signo contrario Opinión: Concepto que se forma de una cosa cuestionable Amplitud: Valor máximo de una cantidad variable respecto de su base Armónico: Sucesión que se repite con regularidad.

Experimento aleatorio: Es aquel cuyo resultado no s e p u e d e pr e d e c i r y a q u e d e p e n d e del azar A r g u m e n t o : Es toda variable que afecta al resultado de una función Coeficiente. Número usado para multiplicar una variable Expresión algebraica: Combinación de números, símbolos y operadores Estructura algebraica: es todo conjunto en que hay definidas unas operaciones que cumplen determinadas propiedades. Hipótesis: Afirmación acerca de una población Fórmula: Regla que relaciona objetos matemáticos o cantidades Problema: Asunto que tiene una o varias soluciones Percepción: Reflejo integral de las diferentes propiedades de los objetos que constituye el fundamento de toda la actividad mental del hombre. Pensamiento: Proceso cognoscitivo dirigido a la búsqueda de las relaciones esenciales de los objetos y fenómenos, y que constituye el reflejo mediato y generalizado de la realidad Preconcepto: Representación que posee el alumno sobre algún aspecto de la realidad, y que constituye el punto de partida en el proceso de aprendizaje para la asimilación de los verdaderos conceptos. Habilidad: Capacidad de actuar que se desarrolla gracias al aprendizaje, al ejercicio y a la experiencia Educación: Proceso social integral de la formación de la personalidad Autoeducación: Acción consciente del individuo para formar en sí mismo cualidades valiosas de la personalidad Esquema mental: Estructura intelectual que se manifiestan en forma de series recurrentes de comportamiento Enseñar: Acto mediante el cual un docente pone al alcance del educando el objeto de conocimiento para que este lo comprenda y asimile Acuicultura artesanal: Sistema de acuicultura que produce para el consumo familiar y para comercialización en pequeña escala.

2.3 Mapa conceptual general

3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA La matemática en general constituye la base del desarrollo tecnológico, el origen y la evolución del saber se apoya en ella, lo que la hace ocupar un lugar preponderante dentro del campo de las diversas disciplinas que son objeto de estudio para el hombre en su búsqueda por mejorar sus competencias a nivel personal y profesional. Es así como a lo largo de la evolución del ser humano, a partir del momento en que este desarrolló el concepto matemático de medir ( comparar una cosa con otra partiendo de un patrón ), también en el saber se reflejó con el descubrimiento de la rueda , los principios físicos de la palanca, etc, hasta llegar a la creación DE LOS MAS SOFISTICADOS COMPUTADORES DEL MOMENTO y a la comprensión del origen, forma y dimensión infinita del Universo ,Siempre apoyado en las matemáticas

Es necesario tomar clara conciencia de la importancia de la matemática, porque esta estimula a través de sus tipos de pensamiento la capacidad de razonar lógicamente y críticamente ante situaciones o retos que el mundo actual le plantea al ser humano en todos los niveles de nuestras vidas y profesiones. La moderna concepción matemática hace mayor énfasis en la función de facilitar las herramientas que permitan resolver problemas de la vida cotidiana, por estar más acordes con las necesidades del individuo y del país, sin dejar de proporcionar la estructura lógica indispensable .

Las ideas matemáticas se desarrollan sin perder de vista los objetivos generales del programa, acondicionando la asignatura a las competencias laborales del programa de la salud .

Los ejemplos son incontables en el uso de las matemáticas aplicadas en la solución problemas de la vida real.

de

Los diseños y la construcción de muchas obras civiles así como del diseño de maquinas y herramientas , requiere poseer dominio del cálculo diferencial e integral. Dentro de la cadena agroindustrial de la acuacultura o de la pesca la función de las plantas de proceso de los mismos cobra vital importancia al momento de realizar la comercialización del mismo. Dentro del funcionamiento de una planta de proceso, se tiene una gran cantidad de componentes como en infraestructura, equipos y herramientas que se correlacionan para lograr un buen proceso final que cumpla con las condiciones requeridas para el mismo; el correcto mantenimiento de estos componentes de una planta de proceso permiten los buenos resultados, que al final logran los objetivos que se buscan con esta planta. Por todas las razones y argumentos expuestos anteriormente, es fundamental estimular en el estudiante de hoy el aprecio por la matemática y el desarrollo de sus habilidades lógico matemáticas para que las aplique en la resolución y planteamiento de problemas de su saber disciplinar y en beneficio de su entorno físico y comunidad que lo rodea.

4. DESARROLLO DE UNIDADES DE APRENDIZAJE DEL MODULO Competencia(s): Selecciona estrategias adecuadas, valorando la pertinencia de diferentes vías para resolver un problema 4.1 Presentación del elemento de competencia Es evidente que en la mayoría de las actividades de nuestra vida diaria y de las profesiones es fundamental el uso de la aritmética en mayor o menor escala, además el uso de los números ha ido cambiando dependiendo de las propuestas curriculares imperantes, las cuales en las actuales circunstancias hacen énfasis en los sistemas numéricos, esto es, el desarrollo del pensamiento numérico. En esta propuesta se hablará no solo del número, sino de sistemas de numeración, el cual incluye el sentido operacional, las habilidades, estrategias y destrezas numéricas, las comparaciones, las estimaciones y los juicios matemáticos que serán la base para que más tarde el educando pueda usar los números en contextos significativos.

4.2 Criterios de Desempeño y Evaluación

Para esta unidad, son muchos los criterios de desempeño que pueden enunciarse, solo se toman aquí algunos considerados como fundamentales dentro de ese gran acerbo para el alumno. Expresa de forma oral y escrita con fluidez y claridad, utilizando un vocabulario matemático correcto sobre los diversos conjuntos numéricos, propiedades, algoritmos y relaciones Fundamenta su postura en argumentos congruentes y lógicos Emite juicios basados en la observación, análisis y síntesis, de acuerdo con los marcos de referencia propios de la matemática. Selecciona y propone alternativas de solución original y de manera fundamentada ante una situación o problema presentado Aborda la realidad desde una perspectiva que integra la matemática con las aportaciones de distintas disciplinas.

Los criterios de Evaluación seleccionados para esta temática son claros, sencillos y precisos, esto es. Formulación de problemas utilizando los números N, Z, Q, I y R a partir de situaciones dentro y fuera de la matemática Aplicación, justificación y generalización de estrategias para resolver situaciones o problemas significativos Manejo de los procedimientos para el cálculo mental, efectuar operaciones, predecir el efecto, usar calculadora y fórmulas preestablecidas. Dar cuenta del cómo de los procesos que se siguen para llegar a conclusiones Establecimiento de traducciones del lenguaje común al algebraico y viceversa. Identifica números naturales dadas ciertas condiciones relacionadas con el sistema de posición decimal, los conceptos de sucesor y antecesor así como la paridad de estos.

4.3 Evaluación Diagnostica Es fundamental de acuerdo con las nuevas tendencias pedagógicas, no solo conocer los presaberes de los estudiantes, sino identificar la forma de enfrentar una situación problémica y la concepción que se tenga de educación; para tales fines se propone una serie de preguntas para efectuar esta evaluación diagnóstica e indicar las demandas lógicas que la temática a enfrentar requiere, los interrogantes tienen inmersos los tres niveles de desempeño. Las preguntas son las siguientes: 1: ¿Qué entiendes por matemática? 2: Con tus propias palabras conceptualiza sobre ¿qué entiendes por número? 3: María tiene una estatura de 1,63 m y Karla de 163 cm. ¿Cuál de las proposiciones siguientes con respecto a la estatura de cada una de ellas es la correcta? a) La estatura de Karla es menor que la de María. b) Ambas tienen la misma estatura. c) La estatura de María es menor que la de Karla. d) Con los datos suministrados no es posible comparar. 4: Se quiere traducir al lenguaje algebraico la siguiente información: “El duplo de un número aumentado en cuatro es igual a la mitad del número disminuido en 5”. La traducción correcta al lenguaje matemático es:

a) 2x – 4 = 2x - 5

b)

2x  4 

x 5 2

c) 2x + 4 =2x + 5

d)

2x  4 

x 5 2

3 5: El resultado de efectuar operaciones para calcular el resultado en 20  5  2 es.

120

b) 20

c) – 20

d) - 120

6: Un tanque se encuentra lleno de agua del mismo se extrae 25 % de su capacidad para tomar, la mitad del resto es para cocinar y lo que queda se usa para el aseo de la casa. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta? a) Se utiliza la mayor cantidad para tomar. b) Se utiliza la misma cantidad para cocinar y mantener la higiene. c) Se utiliza la misma cantidad en las tres actividades. d) Se utiliza la mayor cantidad para cocinar.

7: El antecesor del número que tiene un 3 en el lugar de la centena de millar, un 3 en el lugar de las centenas y 0 en los restantes es: a.) 30299

b) 300300

c) 30299

d) 300301

8: Si A es el conjunto de los números naturales que dividen a 28, entonces el conjunto A escrito por extensión es.

 1, 2, 4, 7,14, 28

b)

 1, 2, 4, 7,14

c)

 2, 4, 7,14

d)

 0,1, 2, 4, 7,14, 28

9: De las siguientes afirmaciones la correcta es Todo número natural tiene antecesor b) Todo número natural tiene su sucesor c) Entre dos números naturales siempre hay otro número natural d) Existe un número natural mayor que todos los demás 10: Vendí cierta cantidad de naranjas y aún me quedan dos cajas de 50 naranjas cada una. Si inicialmente tenía 520 naranjas, la cantidad que vendí es. 100

b) 350

c) 420

d) 620

4.4 REFERENTES TEORICOS UNIDAD Nº1: Selecciona estrategias adecuadas, valorando la pertinencia de diferentes vías para resolver un problema

COMPETENCIAS: Identifica las propiedades y realiza operaciones con los distintos conjuntos numéricos siguiendo secuencia lógica. Traduce situaciones reales a esquemas o estructuras matemáticas seleccionando los datos apropiados para resolver un problema.

SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES INTRODUCCION: La idea central aquí es hacer un breve recorrido por los distintos conjuntos numéricos hasta llegar a los números reales, por ser este conjunto el más general y utilizado en todo curso de matemática. La historia de la matemática da cuenta de que la construcción de los diversos conjuntos numéricos ha obedecido a necesidades tanto de la humanidad como de la matemática misma; para los fines aquí perseguidos, el conjunto de los números reales será introducido partiendo de los números positivos los cuales constituyen la base para los números racionales, estos para los irracionales y finalmente dar el salto a los reales con sus propiedades, operaciones y relaciones que son las condiciones para ser un sistema.

NÚMEROS NATURALES: El conjunto de los números naturales simbolizado por N, surgió como una necesidad del hombre primitivo de contar los objetos de la naturaleza, cuya descripción por extensión está dada por N = {1,2,3,...,}. los puntos suspensivos indica la continuación indefinida de los elementos. NÚMEROS ENTEROS: Este conjunto surgió como una necesidad de ampliar los números naturales, ya que estos bien pronto presentaron limitantes para la solución, por ejemplo de ecuaciones como x + a = b; este conjunto está denominado por Z y formado por los números naturales, el cero y los opuesto de los naturales, es decir, Z = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}. NÚMEROS RACIONALES: Este conjunto es construido por razones entre números enteros, esto es, todo número racional tiene la forma

r 

a b

, con a y b son números enteros con b ¹ 0.

Es preciso señalar que el origen de dicho conjunto obedeció también a la necesidad de ampliar los números naturales, de tal forma que ecuaciones de la forma ax = b siempre tengan

a   Q  r / r   a , b  Z ; b  0  b  . soluciones; su simbolización es Q y se describe como OBSERVACIÓN: Según lo visto anteriormente, los números racionales están formados por.

Enteros como,

3 

3 7 ;7 1 1 , etcétera

1 17 0.2  ; 3.4  5 5 b) Decimales finitos como,

1 193 0.333...  ; 0.21444..  3 900 C) Decimales infinitos periódicos ( puros – mixtos), como

NÚMEROS IRRACIONALES: Este conjunto está formado por los números que no pueden ser expresados como cociente de dos enteros y se simboliza por Q'. Son números irracionales, los decimales infinitos no periódicos, como p y 1,4142... y las raíces de cualquier índice que al ser simplificadas originan una nueva raíz, como

2;

3 ; 3 16  2 2 y

8 2 2.

NÚMEROS REALES: Este conjunto está formado por la unión de los racionales y los irracionales, esto es, R = Q È Q¢; los números reales son usados para representar cantidades continuas. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales goza de las siguientes propiedades, agrupadas en tres bloques para una mejor comprensión. Propiedades de la adición. P1: Clausurativa: Si a,b eR, entonces a +b es también un número real P2: Asociativa: Si a,b,c eR, entonces (a + b) + c = a + (b + c) P3: Existencia del elemento neutro aditivo: Existe un número real denotado por cero, de tal forma que para cualquier número real “a”, se cumple que a +0 = 0 + a = a. P4: Existencia del inverso aditivo: Para todo real “a”, existe otro número real “- a”, llamado inverso aditivo de “a”, tal que a + (- a) = (- a) + a = 0. P5: Conmutativa: Si a,b eR, entonces a + b = b + a Propiedades de la multiplicación P1: Clausurativa: Si a,b eR, entonces a ´ b es también un número real P2: Asociativa: Si a,b,c eR, entonces (a ´ b) ´ c = a ´ ( b ´ c) P3: Existencia del elemento neutro multiplicativo: Existe un número real denotado por uno, de tal forma que para cualquier número real “a”, se cumple que a ´ 1 = 1 ´ a = a. P4: Existencia del inverso multiplicativo( recíproco): Para todo número real “a ¹ 0”, existe otro número real “a-1”, llamado inverso multiplicativo de “a”, tal que a ´ a-1 = a-1 ´ a = 1. P5: Conmutativa: Si a,b eR, entonces a ´ b = b ´ a

a  b  c  a b  a  c P6: Distributiva del producto respecto a la adición: Si a, b, c  R , luego P7: Anulativa: Para todo número real “a” se tiene que a ´ 0 = 0 ´ a = 0 Propiedades de la igualdad: P1: Reflexiva: Si a eR, entonces a = a, esto es, todo número real es igual a si mismo.

P2: Simétrica: Para cualesquiera a,b eR, si a = b entonces b = a P3: Transitiva: Para cualesquiera a,b,c eR, si a = b y b = a entonces a = c P4: Uniforme respecto a la adición: Para todo a,b,c eR, si a = b entonces a + c = b + c P5: Uniforme respecto a la multiplicación: Para a,b,c eR, si a = b entonces a ´ c = b ´ c P6: Productos nulos: Para a,b eR, si a ´ b = 0 entonces a = 0 Ú b = 0 P7: Para a,b eR, entonces se cumple que - (a ´ b) = (-a)(b) = a ´ (-b) P8: Si a eR, entonces (-1) ´ a = - a y - (- a) = a

a c  P9: Para cualesquiera a,b,c,d eR, si b d entonces se cumple que a ´ d = b ´ c.

a c a  b  c b , siempre que b ¹ 0 y c ¹ 0. P10: Para a,b,c,d eR, se cumple que

TALLER Nº 1: Usa la información para responder los interrogantes planteados seguidamente. Indica en cada caso si la expresión es falsa o verdadera.

1.1) -50 < -500

1.2)



1 2 < -1

10 13  1.4) 11 14

1.3) -p > -3

Efectuar las operaciones indicadas en cada caso, simplificando si es posible.

2.1) -200 + 600 - 500 - 800 + 900

1 3  4 2.2) 5

1 2 3    2.3)  3 5  8

2 3    5   5 2 2.4) 

3) Identificar la propiedad de los números reales usada en cada caso. 3.1) 3m + 5n =5n + 3m 3.2) k(2x + y) = (2x + y) k 3.3) (x + m)(x + n) = (x + m)x + (x + m)n 3.4 (m n) p = m(n p) b)

3.5) m(a + b + c) = ma + mb + mc

3.6) (a + b) + c = c + (a +

4) Clasificar los siguientes números reales en racionales o irracionales.

4.1) −

4

4.2)

169

4.3) −7

4.4)

3

12

3

4.5)

8 27

REPRESENTACION DECIMAL DE LOS NÚMEROS REALES En esta parte se establecerá la forma de relacionar los números racionales con los decimales, esto es, dado un número racional cualquiera, se trata de buscar su equivalente decimal; estos pueden presentarse como decimales exactos o decimales periódicos. Decimales exactos: Son aquellos que tienen un número finito de dígitos decimales y además tienen como características fundamental, que el denominador de su fracción representativa tiene como únicos factores a dos, cinco o ambos; por ejemplo, 0.25 cuya fracción representativa

1 3 es 4 tiene como factores a 2 y 0.12 cuya fracción representativa es 25 cuyo factor es el 5. Decimales periódicos: Son aquellos que tienen en su parte decimal uno o varios dígitos que se repiten indefinidamente; el o los dígitos que se repiten se le conoce como período, el cual se nota con un segmento sobre el o los dígitos que se repiten. Ejemplo: El número 1,3333..., se nota como 1.3 cuyo periodo es 3 y 0,037...., se nota como

0.037 que tiene como periodo a 37. Decimales periódicos puros: Es todo número decimal donde el periodo se inicia exactamente inmediatamente a la derecha de la coma, además presentan como característica fundamental que el denominador de su fracción representativa es un número no divisible por 2 ni por 5.

1 0,3333..., cuya fracción representativa es 3 tiene como

Ejemplo: El número decimal denominador a 3 que no es divisible por 2 ni por 5.

Decimales periódicos mixtos: Es todo número decimal en donde el periodo se inicia uno o más lugares a la derecha de la coma y presentan como característica principal, el hecho de que la fracción representativa tiene como denominador un número cuyos factores son dos o cinco y a otro diferente.

5 12 , en donde puede

Ejemplo: Para el número 0,41666..., su fracción representativa es observarse que 12 tiene como factores a 2 y 3 únicamente, además el periodo es 6.

☼ FRACCIONES GENERATRICES

Se entiende por “generatriz” de un número decimal a la fracción equivalente que da origen al número dado; aquí se calcularán las generatrices para los decimales exactos y los periódicos. Decimales exactos: Para este caso, al número dado se le asigna una letra ( x por ejemplo), luego la ecuación así formada se multiplica de ambos lados por la potencia de diez correspondiente dependiendo del número de dígitos decimales que tenga el número dado y finalmente se despeja la letra asignada inicialmente en la última ecuación resultante. Ejemplo: Hallar la generatriz correspondiente a los números decimales 0,8 y 1,25 Solución: Sea

x = 0,8 ; como hay un solo dígito decimal, se multiplica por 10, entonces se

obtiene 10x = 8, en la cual al despejar la incógnita se obtiene

x

8 4 4  10 5 ,luego 0,8 es 5 .

De forma similar, sea m = 1,25; como son dos dígitos decimales entonces se multiplica por 100, luego la ecuación se convierte en 100m = 125, luego despejando la incógnita se tiene la nueva ecuación

m

125 11 11  100 20 , por lo tanto, la generatriz es 20 .

II) Decimales periódicos puros: Al número dado se le asigna una letra, la ecuación así formada se multiplica a ambos lados por la potencia de diez correspondiente dependiendo del número de dígitos que tenga el período, a esta nueva ecuación se le resta miembro a miembro la ecuación original y finalmente de la ecuación resultante se despeja la incógnita ( letra asignada inicialmente). Ejemplo: Calcula la fracción generatriz correspondiente a los números 0,333... y 1,545454... Solución: Sea x = 0,333... ; como el período tiene un solo dígito, entonces se multiplica por 10, obteniendo 10x = 3,33... ; entonces restando miembro a miembro la ecuación original de la última, esto es, (10x = 3,33...) – (x = 0,333...) resulta 9x = 3, entonces

x

3 1 1  x 9 3 ,luego 3 .

Similarmente, para 1,545454... ; se tiene x = 1,5454... ; entonces como el período tiene dos dígitos, se multiplica por 100 para obtener 100x = 154,5454... ; al restar miembro a miembro la nueva ecuación obtenida es 99x = 153 y finalmente, despejando la incógnita en la ecuación anterior se obtiene

x

153 17 17  x 99 11 , esto es, 11

Decimales periódicos mixtos: En este caso el formado por los dígitos anteriores la período se le llama ante- período; para la conversión se procede a asignar una letra al número dado, esta ecuación se multiplica a ambos lados por la potencia de diez correspondiente dependiendo del número de dígitos que tenga el ante-período, el número así formado a la derecha de dicha ecuación corresponde a los decimales periódicos puros, luego se aplica el caso visto inmediatamente anterior para obtener la fracción representativa deseada.

Ejemplo: Hallar la fracción generatriz correspondiente a los números 0,366... Solución: Sea x = 0,366... ; como el ante- período tiene un dígito(3), se multiplica la ecuación por 10 para obtener 10x = 3,66... ; puede observarse que el nuevo número a la derecha de la ecuación es decimal periódico puro, luego se procede como en el caso anterior obteniendo 100x = 36,66... ; al efectuar la resta (100x = 36,66...) – (10x = 3,66...) se obtiene 90x = 33, finalmente al despejar la incógnita se obtiene

x

33 11 11 x  90 30 , esto es, 30

TALLER Nº 2: Usa tu saber y la información vista para dar respuesta a los ejercicios y problemas planteados en el siguiente taller. 1) Encuentra el inverso aditivo y multiplicativo para cada uno de los siguientes racionales.

4 1.1) 5

1.2) - 7

1.3) 0

1.4)



2 3

1.4) -1

1.6)



1 3

2) Ordenar de menor a mayor cada uno de los siguientes conjuntos de números racionales.

1 2 1 4 ; ; ; 2.1) 4 5 3 7

3 5 2 11 ; ; ; 2.2) 4 6 3 12

2.3)

3 3 5 1 ; ; ; 4 8 8 2

3) Realiza cada una de las siguientes operaciones con números racionales.

 7 1   3  3      2  3.1)  11 7   4

4 1 3        2  3.2)  5 5   4

  1  1  1  1     2  3.3)

4) Descomponer en factores primos el denominador de los siguientes números racionales para determinar cuales se pueden representar como decimales finitos y cuales como infinitos periódicos.

3 4.1) 25

8 4.2) 15

1 4.3) 33

8 4.4) 42

8 4.5) 13

37 4.6) 21

5) Calcular la fracción representativa para cada uno de los siguientes números decimales. 5.1) 0,`7 5.7) 5,143

5.2) 0, 57 5.8) 52, 92

5.3) 1,37

5.4) 6, 834

5.9) 0,21444... 5.10) -8,666...

5.5) 23,6 5.11) 0,962962...

5.6) 4,31 5.12) 3,41313...

6) Un trabajador haría cierto trabajo en 8 días, otro en 7 días y un tercero en lo haría en 6 días.

¿En cuántos días lo harían los tres juntos?

1 4 7) Un señor gana diariamente 2 de los 5 de $ 180000. ¿Cuánto gana en 5 días? 3 8) Cuál es el número cuya mitad equivale a 5 ? 9) Pedro meses?

cumple hoy 13 años, ¿cuál es el racional que representa su edad dentro de 6

POTENCIACION EN LOS NUMEROS REALES En términos generales, la operación potenciación es considerada como un caso especial de la multiplicación, esto es, un producto donde todos los factores son iguales. POTENCIACION: Es el proceso de calcular la potencia, siendo ésta el resultado de multiplicar un número real por sí mismo un número determinado de veces, es decir, si b ε R y n ε N, n entonces se tiene que la n – ésima potencia de b se escribe como b b  b  b  b   

p El número b es llamado base, n es el exponente y p es la potencia. Ejemplo 1. En el producto 3 x 3 x3 x 3 x 3 = 81, su simbolización es 3  81 “ 3 elevado a la 4 igual a 81”; aquí la base es 3, el exponente 4 y la potencia 81. 4

que se lee

Ejemplo 2:   2     2     2     2  8 ; aquí - 2 es la base, 3 el exponente y – 8 la potencia. 3

3

Ejemplo 3: En

 2   2  2   2  8               3   3  3   3  27

 2    3  es base, 4 exponente y

16 81 potencia.

* LEYES DE LA POTENCIACION Para a y b números reales, m y n enteros positivos, se cumplen las siguientes propiedades.

;

1) Producto de potencias de igual base: Es igual a la base elevada a la suma de los exponentes, esto es,

 5  5  5  5 3

4

b m  b n  b mn

Ejemplo:

8

2) Cociente de potencias de igual base: La potencia se obtiene colocando la misma base y como exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor , es

bm  b mn n b decir, si b es un número distinto de cero, m y n enteros positivos, entonces 7 20 18 siempre que se cumpla que . Ejemplo: 7 = 72 = 49 3) Potencia de potencia: Se obtiene colocando la misma base y multiplicando los exponentes,

 

n esto es, b

m

 b mn .

Ejemplo: (- 53 )4 = - 512

4) Distributiva del producto: La potencia de un producto es igual al producto de las potencias, es decir, se tiene que (a x b)n = an x bn. Ejemplo: (- 2 x 3)5 = - 25 x 35

5) POTENCIA DE EXPONENENTE CERO: Todo número real distinto de cero elevado a la cero es igual a 1, esto es, b0 = 1 para b . Nota: La propiedad inmediatamente anterior es una consecuencia lógica de la propiedad 2, cuando los exponentes son iguales.

16 Ejemplo: 1 = 16

24 4 = 2

= 24 – 4 = 20

6: Si b  R, b  0 y n un número entero positivo cualquiera, entonces

Ejemplo:

23 

b n 

1 bn

1 1  23 8

* ALGUNAS OBSERVACIONES 1) La propiedad seis es una consecuencia inmediata de la segunda cuando m

n

25 2 8 = 2-3 =

Ejemplo:

1 23 =

1 8

2) La propiedad seis permite trasladar factores del numerador al denominador y viceversa, útiles para cuando se trata de simplificar expresiones.

3)

a)

– bn

(- b)n

b) ( - b)n = (- 1)n bn

4) La potenciación tiene una aplicación importante en la llamada “ notación científica”, la cual es usada para escribir de forma simplificada cantidades muy grandes o muy pequeñas; consiste en escribir un número dándole la forma m x (10) n, donde m , 1 y n un entero. Ejemplo 1: el número 15000 escrito en notación científica es 1,5x (10)4 Ejemplo 2. El número 0,00015 escrito en notación científica es 1,5  10 

4

TALLER 3: Usa la información sobre la potenciación en la solución de los siguientes ejercicios. 1) Escribe en forma de potencia cada uno de los siguientes productos 1.1) 8x8x8x8x8x8

1.2) mxmxmxm

1.3 - 9

1.4) 7x7x7x5x5x5x5

1.5)

1 1 1   5 5 5 2) Escribe como producto cada una de las siguientes potencias

2.1 S4

2.2 53 x 72 x 54

2.3 (abc)3

a   2.4  b 

3) Simplificar y expresar el resultado mediante exponentes positivos.

 a2  2  2 a b 3.1  3 2 3.2) 2  5

1

  a 2 b  1c  2     2 2   a c

2

  b 4c  2     2  1  2  a b c

 xy  2 z  2  2 2  4 x y z 3.3 

  

1

  

2

3

1   2.5  2 

6

4) Escribe cada uno de los siguientes números en notación científica. 4.1) 69300000

4.2) 0,000000259

4.3) 35,1

4.4) 0,0000000001

4.5) 2000000000

5) Escribe cada número en notación decimal 5.1) 4,03 x (10)-5

5.2) 3,9 x(10)4

5.3) 7,2x104 x 1,8x10-3

5.4) 2,05x102

6) Escribe cada número en notación decimal normal 6.1) 3,19x105

6.2) 2,67x10-8

6.3) 7,1x106

6.4) 6,124x103

7) Encuentra el resultado en cada caso efectuando las operaciones indicadas

4 2  3 9 4 2 1  3 9

7.1) – 5)-3

7.2)

2  3  3 2

7.3)

(2

RADICACION EN LOS REALES La radicación es la operación que permite hallar la base conociendo el exponente y la potencia. Definición: Si n es cualquier entero positivo mayor que 1, la raíz n-ésima del número real a es otro número real b cuya n-ésima potencia es igual al número a. Simbólicamente: Se tiene que Ejemplo1:

Ejemplo 2:

3

4

82 16   2

=b

bn = a

es el símbolo de la radicación, a es el radicando, n el índice y b es la raíz. por que 23 = 8, además 3 es el índice, 8 el radicando y 2 es la raíz.

por que 24 = 16 y (-2)4 = 16

PROPIEDADES DE LA RADICACION P1: Raíz de un producto: La raíz de un producto es igual al producto de las raíces, siempre que estas

existan,

esto

es,

=

.

Ejemplo:

9  4  49  9  4  49  3  2  7  42 P2: Raíz de un cociente: La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces, siempre que n

estas existan, esto es, 3

8  27

3 3

8 27



a b

=

n

a

n

b

Ejemplo 1:

2 3

P3: Raíz de una raíz: La raíz de una raíz es otra raíz de índice igual al producto de los dos m n

índices conocidos, esto es, 3

b

m n

b

Ejemplo:

64  6 64   2

P4: Propiedad fundamental: El índice del radical y el del radicando se pueden multiplicar (dividir) por un mismo número natural. Si el índice es par, el radicando debe ser positivo, esto es, para p n

se cumple que

bm 

n p

b m p m n , donde m y n son enteros con n

P5.Para cualesquier exponente racional entonces se define la potencia racional necesita que b

b

m n



 b n

m

 n bm

. Si n es par entonces se

6

Ejemplo:

3

64  3 2 6  2 3  2 2  4

Nota: Una consecuencia inmediata de la propiedad cinco, es que

,

n

bn  b

TALLER 4: Usa tus conocimientos y la información vista para dar solución al siguiente taller. 1) Encontrar las raíces si es posible en cada uno de los siguientes casos.

4

1.1 3

256

1.2 5

 729

1.5

1 243

1.6

3

 1000

5

32  5 y 20

 10000

4

1.3

1.4

2) Escribir cada una de las expresiones utilizando las potencias o radicales correspondientes 2.1) La raíz cuadrada de a + b es igual a seis

2.2 a es un número cuyo cubo es igual a b.

2.3) m es el resultado de elevar b a la cinco. 2.4) m es un número que elevado a la 7 da – n. 2.5) a y b son números cuya suma elevada al cubo da 64.

2.6) b es igual a n a la ¾.

3) En cada uno de los siguientes ejercicios escribir como radicales y hallar el resultado. 1

1

16 2

3.1

 x  y

3.2

4 3

4

 27  3

3.6 8

3.3

3

  32 5

3.4

 4  2

3.5

2 3

4) Expresar cada uno de los siguientes ejercicios con exponente racional.

4.1

9x 2

3

4.2

25



4.5

5

5

x y

x2  y2

3

4.3

8

4.4

15

5) Simplificar los siguientes radicales usando las propiedades vistas anteriormente.

5.1

4

ab 4 c 5 3

5.4

3 4

5.5



9 6  2 y 2

8  50

3

5.2





8

y4



x 3 yz 6 w 9

5

m 6 n12 p 15

2

6

5.6 5.8

5.3

3

108 -

3

32

5.7

245  125

6) Responder falso o verdadero cada uno de los siguientes enunciados. 6.1 La raíz cuadrada de un número real siempre es positiva 6.2 La raíz cúbica de un número negativo no es un número real 6.3 La raíz de índice par de un número negativo no es un número real 6.4 La raíz de índice impar de un número negativo no es un número real 6.5 Si b =

entonces bn = x

OPERACIONES CON RADICALES En esta sección se tratarán las operaciones básicas con radicales, es decir, adición, sustracción, multiplicación y división más un rápido recuento de la racionalización, para tales propósitos es necesario inicialmente definir los radicales semejantes. * RADICALES SEMEJANTES: Dos radicales son semejantes si tienen igual índice e igual 3 5 radicando. Ejemplo:  7 2 x índice e igual radicando

y

3 5 2 x 3 son radicales semejantes por tener igual

Nota: En muchos casos hay que simplificar inicialmente para identificar radicales semejantes Ejemplo:

50 , 18 y

32

simplificar se transforman en

aparentemente no son radicales

25  2  5 2 ;

18  9  2  3 2

semejantes, pero al

y

32  16  2  4 2

, los cuales evidentemente son semejantes. I) ADICION Y SUSTRACCION Caso A: Radicales semejantes: El resultado es otro radical semejante a los sumandos cuyo coeficiente se obtiene sumando los coeficientes dados. 2 2 2 2 4 4 4 4 Ejemplo 1: Halla la suma 5 x  3 x   5  3 x  8 x

Ejemplo 2: Calcula el resultado de

4 xy 3  16 x 3 y 

xy

Solución: Aplicando las propiedades vistas y simplificado los radicales, se transforman en;

4 xy 3  16 x 3 y  xy  2 2 xyy 2  2 4 x 2 xy  2 y xy  4 x xy 

xy   2 y  4 x  1 xy

Nota: Para el caso en que los radicales no sean semejantes, la adición o sustracción queda indicada. * MULTIPLICACION: En la multiplicación de radicales son notorios dos casos: de igual índice y radicales de diferentes índices, además su operatividad se fundamenta en la propiedad número uno pero a la inversa. A) Radicales de iguales índices: En este caso, el producto es otro radical del mismo índice, de coeficiente igual al producto de los coeficientes y el radicando también será el producto de los

radicandos

productos, esto es, usando la inversa de la propiedad

Ejemplo 1:  2  5 3    3  5 2  3  15 6 Ejemplo 2:

3

2



3



5  3 3  3 2  3 5  3 2  3  3 10  3 6

Radicales de distintos índices: Para este caso, el proceso consiste en transformarlos en radicales de igual índice mediante la propiedad fundamental de los radicales. Ejemplo: Efectuar el producto

3

 8a  25b

Solución: Se reducen a común índice, para este caso el mcm(3, 2) = 6 obteniendo como cocientes los números 3 y 2 respectivamente; por lo tanto al aplicar la propiedad fundamental, 3 se transforman en:  2 a  2

32

a2   26 a y

25b  5 b  5

23

b3  5 3 b3

2 3 2 3 6 6 6 Luego el producto final es  2 a  5 b   10 a b

DIVISION DE RADICALES. En la división son notorios los mismos casos vistos en la multiplicación, además el uso de la propiedad distributiva del cociente es fundamental para tal proceso. Radicales de igual índice: Para este caso es suficiente aplicar la propiedad distributiva del cociente, obteniendo otro radical del mismo índice al dividir los coeficientes y los radicandos entre sí. Ejemplo: Efectuar la siguiente división

 12 x  4 y  12 x

Solución: Procediendo según lo afirmado antes, se tiene que

4 y

3

x y

Radicales de distintos índices: De forma análoga a la multiplicación, inicialmente se procede a la conversión de índice común y finalmente se realiza como el caso anterior. Ejemplo: Efectuar el cociente entre

3

 8a y

25b

Solución: La conversión a radicales con índice común se realizó en ejemplo de la página 3

 26 a2

anterior obteniendo

y 5 6 b 3 ; por tanto,

 8a 25b



 26 a2 5 6 b3



2 5

6

a2 b3

TALLER Nº 5: De acuerdo con la teoría vista sobre radicales, desarrolla el taller. Usa lo visto en la adición para calcular la suma en cada uno de los siguientes ejercicios

25 x  2 36 x  8 9 x

1.1

3 x y  9 x y  27 x y 3

1.3

3

4

2

6

6

125  75  147

1.2 3

1 2 xy  xy 5 1.4 3

9

2) Efectuar los productos indicados en cada caso

1 3 xy  xy 5 2.1 3 3

2.4

2.2 7 5  8 8

3 5  5 3

2.5



x 3 y

5

25b  2 36b  8 9b

2.3

2.6  2

3

3



2

3) Realiza las siguientes divisiones obteniendo el resultado de la forma más simple posible

3.1 3.4

3

14  21

3.2

64 2

3.5

3

5

72 xy  9 x y 2

3

2

2 6 3

4: Aplica la racionalización en cada uno de los ejercicios siguientes

2 3.3 3 3.6

3

3 4  2 5

3

5 4

12 x  3 12 y

5

1 4.1

3

b)

3 1

c)

3

2

5 2

2

1 d)

2 3

e) 2 

2

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Y SISTEMAS LINEALES

INTRODUCCION: El álgebra se ha ocupado durante mucho tiempo de dos aspectos fundamentales: el estudio de las expresiones algebraicas y la resolución de ecuaciones. Es frecuente, sobre todo en el campo de la administración escuchar hablar de balance, equilibrio comercial y muchas otras expresiones que llevan consigo la idea de “ecuación”; en este capítulo se pretende abordar con claridad el proceso de resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita con el fin último de ser usadas en la resolución de problemas, previamente se dan algunas definiciones que faciliten dicho proceso.

DEFINICIONES: ↓ Igualdad. Es un concepto matemático que indica que dos expresiones tienen el mismo valor. Ejemplo: 3 + 5 = 8;

3 – 5 = -2;

3  4  12 ;

↓ Ecuación: Es una igualdad en la que hay uno o varios convierten en verdadera solo para algunos valores reales. Ejemplo: x + 5 = 8, solo se cumple para x = 3;

términos

 20  4   5 desconocidos que la

n + 8 = 5, se da para n = - 3

↓ Identidad: Es una ecuación en donde la variable puede tomar cualquier valor para que la igualdad sea verdadera. Ejemplo: variable.

2x + 3x = 5x, es evidentemente cierta para cualquier valor real que tome la

↓ Raíz de una ecuación: Es el valor o conjunto de valores de la variable que hacen la ecuación verdadera. Ejemplo: En 2x – 3 = 7, la raíz es 5, pero en 5 – 2x = 15 la raíz es – 5. ↓ Ecuaciones raíces.

equivalentes: Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas

Ejemplo: x + 3 = 5; 3x – 2 = 4 y 6x = 12 son equivalentes, ya que tienen la raíz común x = 2; esto es, se cumple 2 + 3 = 5; 3(2) – 2 = 4 y 6(2) = 12. ↓ Miembros: Es cada expresión situada a ambos lados del signo igual en una ecuación.

RESOLUCION DE ECUACIONES Es el proceso para hallar las raíces o soluciones de una ecuación; para tales fines es pertinente establecer el conjunto de propiedades que facilitan dicho proceso. P1: Uniforme respecto a la adición: Para cualesquiera a,b,c eR, si a = b entonces a + c = b + c P2: Uniforme respecto a la multiplicación: Para a,b,c eR, si a = b entonces a ´ c = b ´ c P3: Productos nulos: Para a,b eR, si a ´ b = 0 entonces a = 0 Ú b = 0 P4: Para a,b eR, entonces se cumple que - (a ´ b) = (-a)(b) = a ´ (-b) P5: Si a eR, entonces (-1) ´ a = - a

y

P6: Para a, b, c, d eR, b 0 y d 0

a c  si b d entonces se cumple que a ´ d = b ´ c.

- (- a) = a

Para encontrar la solución de una ecuación de primer grado con una incógnita se sugiere la siguiente sucesión de pasos, usando las propiedades vistas inmediatamente anteriores. 1) se efectúan las operaciones indicadas en cada miembro si las hay. 2) Se reducen términos semejantes en cada miembro si es posible. 3) Se aplica la propiedad uniforme hasta obtener en uno de los miembros los términos que contienen la incógnita y en el otro lado las constantes. 4) Se reducen términos semejantes si los hay.

5) Se vuelve a aplicar la propiedad uniforme para obtener la solución o raíz de la ecuación.

Ejemplo1: Resolver la ecuación x + 3 = 5 Solución: Aquí los pasos 1 y 2 no son necesarios como puede notarse a simple vista Al aplicar la propiedad uniforme de la adición, se suma (- 3) de ambos lados obteniendo como nueva ecuación x + 3 + (-3) = 5 + (-3); por lo tanto x + 0 = 2, esto es, x = 2.

Ejemplo2: Halla la solución de la ecuación

5(x – 3) + 4 = 2x + 1

Solución: Se efectúan las operaciones indicadas

5 x  15  4  2 x  1

Se reducen términos semejantes

5x – 11 = 2x + 1

Se aplica la propiedad uniforme Se reducen términos semejantes Se vuelve a aplicar la propiedad uniforme Se reducen términos semejantes

Nuevamente se aplica la propiedad uniforme =4

Ejemplo 3: Encuentra la solución para la ecuación

5x + (- 2x) – 11 = 2x + (- 2x) + 1 3x – 11 = 1 3x – 11 + 11 = 1 + 11 3x = 12

3x 12 ❑ ❑  3 3 , ❑ ❑ por lo tanto x

x  5 1 4x  2   6 2 9

❑❑ ❑❑

Solución: Inicialmente se aplica la propiedad uniforme multiplicando por el MCM de los

 x5 1  4x  2  18    18  2  6  9  , al denominadores, esto es, MCM (6, 2, 9) = 18, entonces

❑ ❑

efectuar las operaciones indicadas se obtiene

3(x – 5) + 9 = 2(4x + 2)

❑ ❑

( ) Se reducen términos semejantes

3x – 15 + 9 = 8x + 4

Se aplica la propiedad uniforme

3x – 6 = 12x + 4

Se reducen términos semejantes

3x + (- 8x) – 6 + 6 = 8x + (- 8x) + 4 + 6

Se aplica la propiedad uniforme

- 5x = 10

Se obtiene la solución

 5 x 10 ❑ ❑   5  5 ❑ ❑ por tanto x = - 2

TALLER N° 6: Usa la información vista y tus conocimientos para la solución del taller siguiente. 1) En cada caso determina si los valores dados a la variable son o no solución de la ecuación. 1.1) 3x + 5 = - 4 para a) x = 3

b) x = - 3

1.2) - 5x = 30 para a) x = - 6

1.3) 4(n – 1 ) – ( 2 – n) = 5(n – 2) + 4 para a) n = - 3 1.5) 3m + 14 = 47 para a) m = 9

b) m = 10 c) m = 11

b) x = 6

1.4) x2 = 81 para x = 9

b) n = 0

1.6) 6k – 48 = 2k para k = 8.

2) Despeja la variable indicada en función de las otras en cada ecuación. 2.1 En AB = CDE para C

2.2 A = 2B + 3C, para B

1 1 1 ❑❑❑   2.4 A B C ❑ ❑ ❑ para B

2.5

2.3 A = 2BC + 2CD + 2BD, para D

V = V 0 + AT, para A

2.6

H  V0 T 

GT 2 2

para G

3) Resuelve cada una de las ecuaciones planteadas 3.1 x – 5 = - 10

3.2 7 – x = 8

3.3 - 7n = 15 – 2n

3.4

2(1 – x) + 3(1 + 2x) = 5

3.5 5(k + 3) + 9 = - 2(k – 2) – 1

3.6 p + 2(p – 3) = 9

3.8 5n – (3n – 7) – [4 – 2n – (6n – 3)] = 10

3.9

1

3.7 4(2 – 3x) = 8(6 + 2x) + 72

2 x  11 7  x2 x2

❑ ❑ ❑ ❑

3.10

3m  21 ❑ 4 ❑

3.11) 0.7x = 21

3.12) 1.1k = 55 3.13) 25.2 = 0.12h

3.14) 7.5 = 0.015n

5 x  4 3.15) 2 8

❑❑ ❑❑ 3.16

5h – (7h – 4) – 2 = 5 – (3h + 2)

3.18 0.2n + 0.3(n – 5) = 13 – 3) = 5

3.21

1 2  5 x x

3.17 - 2{3 + [2x – (x – 4) ]} = 2[(x + 2) – 3]

2 2 4 ❑❑❑   ≠0 3.19 3 h h ❑ ❑ ❑ con h x 1 5   3.22 3 x x

3.23

3.20 0.04m – 0.3(m

0.5 x  1.6  1  0.3 x

ECUACION CUADRATICA EN UNA VARIABLE En las secciones anteriores se habló de ecuaciones lineales con una variable, en esta sección se extiende la idea a las llamadas ecuaciones cuadráticas, esto es, aquellas donde el máximo exponente de la variable es dos, las cuales se definen de la siguiente forma: 2 Es toda ecuación que toma la forma ax  bx  c = 0, en donde a, b, c  R y a ≠ 0 2 Ejemplo: x  5 x  6 = 0;

2 x 2  x  2 = 0;

3x 2  27 = 0;

5 x 2  15 = 0;

7x 2 = 0

Puede notarse que lo de ecuación cuadrática o de segundo grado se refiere al máximo exponente de la variable que es dos, este término se le llama precisamente “cuadrático”, el segundo término se le llama “lineal” y el tercero “independiente”; además si la ecuación tiene todos los tres términos entonces se le llama “completa o normalizada” e incompleta si le falta el lineal o el constante o ambos. En el ejemplo anterior, las dos primeras ecuaciones son completas y las otras incompletas.

Normalización de ecuaciones cuadráticas: En algunos casos la ecuación cuadrática se presenta de forma tal que a simple vista no parece cuadrática, pero después de realizada algunas transformaciones en ella, esta toma la forma normalizada; para tales fines se pueden efectuar entre otros los siguientes procesos: a) Eliminar paréntesis o cualquier otro símbolo de agrupación que aparezca, comenzando por el más interno y resolviendo las operaciones indicadas b) Eliminar denominadores, multiplicando por el mcm de los denominadores a ambos lados de la ecuación dada c) Suprimir radicales si los hay aplicando las propiedades de la radicación d) Reducir términos semejantes, para esto se utiliza la adición con números enteros básicamente

Ejemplo 1: Normalizar la ecuación x(x – 2) – 3 = 0 2 2 Solución: Efectuando el producto se obteniendo x  2 x  3 = 0 que tiene la forma ax  bx  c =0

2x 7 5  0 x Ejemplo 2: Normaliza la ecuación 3 para x ≠ 0 Solución: Aquí se calcula el mcm de los denominadores, el cual por simple inspección es 3x y se procede a efectuar la operación obteniendo lo siguiente:

2 x ( x )  3x (5)  3(7) 0 3x ,

2 x 2  15 x  21 0 3x efectuando los productos indicados se obtiene y finalmente multiplicando 2 ambos lados por 3x, la ecuación toma la forma 2 x  15 x  21 = 0 que es la forma normal. Ejemplo 3: Normalizar la ecuación 2x =

x5

Solución: Aquí debe eliminarse el radical; para esto se eleva al cuadrado ambos lados de la 2 2 ecuación obteniendo 4 x  x  5 , la cual al igualarla a cero toma la forma 4 x  x  5  0

RESOLUCION DE LA ECUACION CUADRATICA CON UNA VARIABLE

Resolver una ecuación cuadrática es el proceso que consiste en hallar el valor o valores de la variable para que se cumpla la igualdad, esto es, al reemplazar dichos valores en la ecuación dada, debe dar cero; la o las soluciones de una ecuación cuadrática también se les llama “raíces” y finalmente para la resolución de ecuaciones cuadráticas con una variable pueden ser usados varios métodos, entre ellos los siguientes: a) Por factorización b) Completando el cuadrado c) Aplicando la fórmula general CASO 1: Por factorización: Para este caso la secuencia lógica de pasos comienza por escribir la ecuación dada de la forma normalizada, seguidamente se factoriza (si es posible) y finalmente aplicar la propiedad Productos nulos de los números reales y resolver cada una de las ecuaciones que resulte. Ejemplo 1: Resolver la ecuación x x  4   5 Solución: Inicialmente se efectúan las operaciones indicadas para normalizar la ecuación, en

x 2  4 x  5  0 que corresponde a la forma normalizada, ahora se procede a factorizar quedando  x  5 x  1  0 y finalmente por la 2 este caso se obtiene x  4 x  5 , luego

propiedad productos nulos cada expresión en el paréntesis se iguala a cero y resuelve la ecuación, es decir, x – 5 = 0 ó x + 1 = 0, las cuales tienen por raíces x = 5 ó x = - 1 Ejemplo 2: Encuentra la solución de la ecuación cuadrática

x 2  49

Solución: Normalizando la ecuación se transforma en x  49  0 y al factorizarla de acuerdo con el caso correspondiente se obtiene (x + 7)(x – 7) = 0 y finalmente resolviendo las dos ecuaciones resultantes x + 7 = 0 ó x – 7 = 0 se obtiene x = - 7 ó x = 7 como raíces. 2

Caso 2: Por fórmula general: La deducción de la fórmula general será objeto de consulta para los estudiantes, aquí solo será tomada para efectos prácticos, esto es, se usará para resolver

 b  b 2  4ac x 2a , en

ejercicios; luego la ecuación ax  bx  c  0 tiene por solución a donde a, b y c son los coeficientes del término cuadrático, lineal y término independiente respectivamente, además el doble signo significa las dos raíces, una tomando el signo mas y otra tomando el menos. 2

Ejemplo 1: Resolver la ecuación x x  4   5 Solución: Inicialmente se efectúan las operaciones indicadas para normalizar la ecuación, en 2 x  4 x  5  0 que corresponde a la forma este caso se obtiene x  4 x  5 , luego normalizada, en la cual puede notarse que a = 1; b = - 4 y c = - 5; seguidamente utilizando la 2

 b  b 2  4ac  (4)   2a

  4 2  41  5

4  16  20 4  36 4  6   2 1 2 2 2 , fórmula 4  6 10 46 4 x  5 x   2 2 2 2 2 tomando separadamente los signos se tiene, y x



2 Ejemplo 2: Encuentra la solución de la ecuación cuadrática 2 x  6 x 2 Solución: Se normaliza la ecuación, obteniendo 2 x  6 x  0 , con a = 2, b = 6 y c = 0; luego se procede a aplicar la fórmula general con estos valores se obtiene para obtener

6  6 2  4  2  0 6  36  0 6  36 6  6    2a 2 2 4 4 4 , tomando finalmente : 6  6 12 66 0 x  3 x  0 4 4 4 4 separadamente los signos se tiene, y . x

 b  b 2  4ac



TALLER N° 7: Usa la información vista y tu saber previo para resolver los ejercicios siguientes Escribe de forma normalizada las siguientes ecuaciones cuadráticas

1.1 3 ( x  5)  4 x 2

7  5  2x 1.4 x

6 11 x 2 1.2 x

1.5

2 x 2  3x  x

2 1.3 7 ( x  9)  x( x  5)

1.6

3x  7  x  1

2) Resuelve por uno de los métodos conocidos las ecuaciones planteadas a continuación 2.1)

x 2  25  0

2.4 (x – 4)(3x + 10) = 0

2 2.2) 3 x  27 x  0

2.5

(y + 3)/y – 3) = 2y – 1

2 2.3) x  x  7

2.6

x  2 x 8

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS A: Simbolizaciones de enunciados Antes de iniciar el proceso de la resolución de problemas es necesario hacer una breve introducción a la simbolización de enunciados, lo cual es de vital importancia para el éxito en dicho proceso; seguidamente se recuerdan algunos enunciados muy comunes: 1) Al decir un número, puede simbolizarse por n o cualquier otra letra del alfabeto. 2) Para la adición: suma – más que – ganar – aumentar – mayor que – exceder 3) Para la sustracción: restar – deber – perder – disminuir – menor que – diferencia 4) Para la multiplicación: Producto – duplo – triplo 5) Para la división: Cociente – la mitad de – la tercera parte Algunos ejemplos

1) El cociente entre dos números, puede simbolizarse por

x❑ y ❑ , con x e y los números.

2) El triplo de la suma de dos números: 3(m + n), con m y n los números 3) Un número disminuido en 6: n – 6, en donde n es el número.

mn 4: La mitad de la suma de dos números se simboliza como 2 , con m y n son los números TALLER N° 8: Usa la información para simbolizar los siguientes enunciados. 1) Si n representa un número entero, simbolizar 1.1 El número aumentado en tres

1.2 El siguiente del número

1.3 Noventa menos el número

1.4 El doble del número aumentado en diez

1.5 El número disminuido en un medio

1.6 El anterior al número

1.7 El triplo de la mitad del número

1.8 Cinco veces el número

2) Si x e y representan las edades actuales de Carmen y Pedro, simbolizar. 2.1 La edad de Carmen hace cinco años 2.3 La suma de las edades hace 2 años

2.2

La edad de Pedro dentro de diez años.

2.4 La diferencia de las edades dentro de 20 años.

3) Teniendo en cuenta que m representa la edad actual de Diana y n la edad actual de Yuli, escribe el enunciado correspondiente a las siguientes simbolizaciones. 3.1 m + n

3.2 n – m

3.3 8m + n) – 9

3.4 2m + 3n

3.5 (m + 5) + (n +5)

4) Si x e y representan números reales, simboliza los siguientes enunciados. 4.1 El producto de los dos números

4.2 El cuadrado de x disminuido en 5. 4.3 El cubo de y

4.4 El cuadrado de la diferencia de los números 4.6 La suma de los números por su diferencia

B: RESOLUCION DE PROBLEMAS

4.5 Cuatro veces el producto de los números 4.7 El doble de la diferencia de los números.

Para la resolución de problemas es necesario desarrollar una secuencia de pasos que aquí se sugieren, haciendo la salvedad que son tantos y tan variados los problemas que pueden plantearse en matemática que ningún método podría considerarse como general . 1) Lea detenidamente el problema varias veces si es necesario hasta comprenderlo, es decir, comprenda perfectamente el enunciado y sepa que se pide y que te da el problema. 2) Elija una letra del alfabeto que represente la incógnita o términos desconocidos. 3) Expresa cada parte del enunciado en función de la incógnita. 4) Plantea la o las ecuaciones que representen la situación del problema. 5) Resuelve la o las ecuaciones planteadas Nota: Después de resuelto el problema objeto de estudio, es importante verificar que la o las respuestas obtenidas sean realmente soluciones del problema. Ejemplo 1: El duplo de un número aumentado en diez da treinta y dos. ¿Cuál es el número? Solución: La lectura refleja que hay un valor desconocido que cumple determinada condición. Sea n el número, 2n es el doble del número y 2n + 10 representa el duplo aumentado en diez La ecuación que representa la situación del problema es: El duplo del número aumentado en diez es igual a treinta y dos, esto es, 2n + 10 = 32. Al resolver: 2n + 10 + (- 10) = 32 + (-10), esto °: Utiliza tus conocimientos previos y los adquiridos con la información anterior para resolver los problemas planteados seguidamente. 1) Un número disminuido en cuatro da ocho. ¿Cuál es el número? 2) La suma de un número y su duplo es 18. ¿Cuál es el número? 3) Halla el número cuyo triplo aumentado en 6 da 18. 4) Dos cajas contienen 300 aguacates, si la segunda contiene 10 más que la primera, ¿cuántos aguacates hay en cada caja?

2 ❑ 5) El doble de un número excede en 40 a los 3 ❑ del mismo número. ¿Cuál es el número? 6) Un bolígrafo y un cuaderno costaron $ 25000; si el bolígrafo costó 4 veces lo que costó el cuaderno, ¿cuál es el costo de cada artículo? 7) El perímetro de un triángulo mide 75 metros, si el lado mayor es el doble del mediano y éste excede en 25 al menor, ¿cuánto mide cada lado?

8) La edad de un padre y su hijo suman 90 años. Si la edad del padre excede en 36 años a la del hijo, ¿cuál es la edad de ambos? 9) Lorena tiene cuatro billetes más de cinco mil pesos que de mil pesos. Si gastara tres billetes de cinco mil pesos y uno de mil pesos, le quedarían sesenta y cuatro mil pesos. ¿Cuántos billetes tiene de cada uno? 10) Julio tiene dos años más que María. Hace once años Julio tenía el doble de la edad de María. ¿Cuál es la edad actual de cada uno de ellos? 11) Un terreno es de forma rectangular, el largo mide el triple del ancho y para cercarlo se necesitan 656m. de malla. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno? 12) Al repartir $ 536000 entre dos personas de tal forma que una de ellas reciba $ 58000 más que la otra, ¿cuánto le corresponde a cada una? 13) Dos números son tales que el mayor es cinco unidades más que el menor y la suma de los dos es igual al triplo del menor disminuido en tres, ¿cuáles son los números? 14) Si 22 estudiantes de tercero y cuarto semestre de una facultad, reciben un conjunto de revistas de informática y los dos grupos reciben 60 revistas cada uno, ¿cuántos estudiantes hay de tercer y de cuarto, si cada uno de estos (4º) recibe una revista menos que un alumno de tercero? 15) La edad de Kevin es tres veces la de Verónica y ambas edades suman 24 años. ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos?

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES En secciones anteriores se ha tratado sobre ecuaciones lineales y cuadráticas con una incógnita, su resolución, solución y hasta la aplicación de las mismas en la resolución de problemas; seguidamente se hará una descripción de conjunto de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas, su resolución, solución y aplicación a problemas prácticos; para tales fines es pertinente iniciar con la siguiente Definición: Un conjunto de ecuaciones lineales se le llama “sistema de ecuaciones lineales”

3x  5 y  1 Ejemplo: 2 x  y  5 Es un sistema de 2  2 , dos ecuaciones con dos incógnitas cada una x  2 y  5 z  15 2x  3y  z  8 5 x  2 y  3 z  13 Corresponde a un sistema de 3 3 .

2  2 : Como se afirmó antes, son dos ecuaciones con dos ax  by  m incógnitas cada una y presenta como estructura general la forma cx  dy  n SISTEMAS LINEALES DE

2  2 , se entiende el conjunto de todas las parejas ordenadas de números reales de la forma  x, y  que satisfacen las dos ecuaciones. Por solución de un sistema lineal de

3x  5 y  1 Ejemplo: Para el sistema 2 x  y  5 puede notarse que  2,1 es solución para dicho sistema. En cuanto al proceso de resolución de dichos sistemas, puede afirmarse que existen básicamente dos métodos: Gráfico y Algebraico

METODO GRAFICO: Desde este punto de vista, la solución es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales correspondientes a la intersección de las gráficas de las dos ecuaciones lineales (si existe) que forman el sistema; por lo anterior se infiere que inicialmente deben ser graficadas cada una de las ecuaciones que forman el sistema y después identificar a cuál de los siguientes casos corresponde dicha solución. A: Las dos rectas se intersectan en un punto, en este caso se afirma que el sistema es consistente y tiene solución única. B: Las dos rectas son paralelas, en este caso el sistema es inconsistente, esto es, no tiene solución. C: Las dos rectas coinciden, entonces el sistema es consistente y tiene infinitas soluciones

Seguidamente, para una mejor comprensión se ilustra gráficamente las tres opciones

Solución única

Sin solución

Infinitas soluciones

4y

4 y

2

2

x

0 -6

-4

-2

0

2

4

x

0

6

-6

-4

-2

0

2

4

6

Ejemplo: Identifica el tipo de solución para cada uno de los siguientes sistemas -2 - 2 lineales

2x  3y  0

2x  y  1

-4

a)  2 x  3 y  1

-4

b) 6 x  3 y  0

x  y 1 c) 2 x  2 y  2

Solución: Inicialmente se construyen las gráficas(a computador) para visualizar la respuesta. El sistema es inconsistente

Tiene solución única

Tiene infinitas soluciones

4 y

2

x

0 -6

-4

-2

0

2

4

6

-2

-4

METODO ALGEBRAICO: Este método está formado por varios casos, entre los cuales pueden mencionarse “igualación”, “sustitución” y “Reducción”; aquí solo será tratado el último, los otros quedan a manera de consulta para los estudiantes. FORMA DE REDUCCION: Es seguramente la forma más usada por su rapidez y facilidad para ser programado por computador, lo que no ocurre con las otras formas. Consiste en obtener del sistema dado (reducir) una ecuación con una incógnita, la cual puede ser resuelta como se vio en páginas anteriores. Este caso se fundamenta en el hecho de que si un sistema de ecuaciones se reemplaza por otro equivalente, su solución no cambia; para la parte operativa propiamente dicha, se recomienda desarrollar la siguiente secuencia. 1: Se multiplican los dos miembros de una o las dos ecuaciones por números reales adecuados para que una de las variables quede con coeficientes opuestos en las dos ecuaciones.

2: Se suman miembro a miembro las dos ecuaciones resultantes después del primer paso 3: Se resuelve la ecuación que resulte después de efectuar el paso dos para hallar el valor de una de las incógnitas 4: Lo obtenido después del paso tres se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema para obtener el valor de la otra variable. Observación: La idea clave en el proceso de resolución de un sistema lineal de ecuaciones es poder conseguir que una de las variables quede con coeficientes opuestos, para tal fin se requiere de un poco de observación para seleccionar el número o los números por los cuales debe multiplicarse una o las dos ecuaciones. A manera de sugerencia se recomienda eliminar la variable que en el sistema aparezca con signo cambiado.

1) x  2 y  8 Ejemplo 1: Resolver el sistema 2) 3 x  4 y  4 Solución: Aquí es claro que el primer paso de la secuencia dada debe realizarse multiplicando

1) x  2 y  8 (2)  2 x  4 y  16

2) 3 x  4 y  4  3 x  4 y  4 al la ecuación (1) por 2, de esta forma se transforma en sumar miembro a miembro el sistema equivalente se obtiene 5 x  20 , la cual debe ser resuelta 5 x  20  x 

20 4 5 , por tanto x  4 . Para

según lo visto en páginas anteriores, esto es, obtener el valor la otra incógnita (y), se reemplaza el valor obtenido para x en cualquiera de las ecuaciones originales, por ejemplo en la ecuación (1), entonces

4  2y  8  2y  8  4  y 

4 2 2 , por tanto y  2 , luego la pareja  4, 2 es la solución.

1) 2 x  5 y  3 Ejemplo 2: Resolver el sistema 2) x  3 y  7 Solución: Suponga que se quiere eliminar la variable x ( puede ser cualquiera de las dos), para esto es suficiente multiplicar la segunda ecuación por – 2, entonces

1) 2 x  5 y  3  2 x  5 y  3

2) x  3 y  7( 2)   2 x  6 y  14 al sumar miembro a miembro el sistema equivalente se obtiene y  17 . Para hallar el valor de x basta reemplazar en la ecuación (2) para obtener

x  3( 17)  7  x  51  7  x  7  51   44 , esto es, x   44 ,   44,  17  es la solución

1) 2 x  5 y  2 Ejemplo 3: Encuentra la solución al sistema 2) 5 x  2 y  5 Solución: Se puede eliminar cualquiera de las variables, pero la que tenga signo cambiado parece ser la preferida; suponga entonces que se desea eliminar y, para tal fin multiplíquese la ecuación (1) por 2 y la ecuación (2) por 5, transformándose en

1) 2 x  5 y  2(2)  4 x  10 y  4 2) 5 x  2 y  5(5)  25 x  10 y  25

Al

sumar

miembro

a

miembro

se

obtiene

29 29 x  29  x  1 29 , esto es, x  1 . Para obtener el valor de y, tómese la ecuación (1), 22 2 1  5 y  2  2  5 y  2  y  0 5 entonces , por lo tanto y  0 , entonces 1, 0  .

4x  6 y  0 Ejemplo 4: Hallar la solución del sistema  2 x  3 y  1 Solución: Suponga que se desea eliminar x, entonces es suficiente multiplicar la segunda

1) 4 x  6 y  0

 4x  6 y  0

2)  2 x  3 y  1(2)   4 x  6 y  2 Al sumar miembro a miembro el nuevo sistema equivalente se obtiene 0  2 , lo cual es falso e indica que el ecuación por 2, para obtener

sistema es inconsistente, esto es, no tiene solución. SISTEMAS LINEALES DE 3 3 : Como se afirmó antes, son tres ecuaciones con tres incógnitas

ax  by  cz  m dx  ey  hz  n cada una, por lo tanto presentan la siguiente estructura. px  qy  rz  k

En la parte meramente operativa, para resolver los sistemas de 3 3 , el proceso consiste en aplicar dos veces la eliminación vista en los sistemas de 2  2 , .

1: Se escogen dos de las tres ecuaciones del sistema y se elimina una de las variables, obteniendo una cuarta ecuación pero con dos incógnitas únicamente. 2: Se toma una nueva pareja de ecuaciones del sistema y se elimina la misma variable que en el paso 1, obteniendo así una quinta ecuación con dos incógnitas 3: Las ecuaciones 4 y 5 obtenidas con los pasos 1 y 2 forman un sistema de resuelve nuevamente por eliminación.

2  2 , el cual se

4: Los valores obtenidos después del paso 3 se reemplazan en cualquiera de las tres ecuaciones del sistema original para hallar el valor de la incógnita que falte.

1) x  3 y  z  7 2) 3 x  6 y  z  1 Ejemplo 1: Encontrar la solución del sistema 3) 2 x  4 y  z   9 Solución: Por lo tratado en los sistemas de 2  2 , se prefiere eliminar la incógnita que esté con signo cambiado, para el caso tómese z en las ecuaciones 1 y 2.

1) x  3 y  z  7 2) 3 x  6 y  z   1 Al sumar miembro a miembro se obtiene la ecuación

Ahora tómese y súmense las ecuaciones 2 y 3:

4) 4 x  9 y  6

2) 3 x  6 y  z  1 3) 2 x  4 y  z   9 para obtener

5)

5 x  10 y  10 , ahora se forma el nuevo sistema con las ecuaciones 4 y 5, esto es, 4) 4 x  9 y  6 5) 5 x  10 y   10 Aquí elimínese x, multiplicando la ecuación 4 por 5 y la 5 por – 4 4) 4 x  9 y  6(5)  20 x  45 y  30 5) 5 x  10 y   10( 4)   20 x  40 y  40 respectivamente. Sumando se obtiene 5 y  70  y 

70  14 5 , luego en

5) 5 x  10(14)  10  5 x  10  140,  x 

150  30 5

Para hallar z, tómese la ecuación 1,  30  3(14)  z  7   30  42  z  7 , es decir,

z  7  30  42  5  z  5 . De todo lo anterior se tiene como solución la terna ( 30,14,  5) .

TALLER N° 9: Usa la información expuesta y tus saberes para dar solución al siguiente taller. Mediante el método gráfico identifica el tipo de solución para cada uno de los sistemas

x  y 1 1.1 2 x  2 y  2

x  y 1 1.2 2 x  2 y  3

x  2y  2 1.3 2 x  4 y  4

x y 4 1.4 3 x  2 y  7

2: Aplica el método de eliminación para hallar la solución (si es posible) del punto 1. 3:Encuentra si es posible la solución para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

x  3 y  2 3.1 3 x  5 y  8

5x  2 y  9 3.2

3x  2 y  7

3.3

x y  0 7 8 x 3y  7 7 4

6 x  15 y  12 3.4 2 x  5 y  4

4: Halla si es posible la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales de 3 3

3 4 7    10 x y z 1 1 1 2)    4 x y z 2 3 5 3)    5 x y z 4.3) 1)

1) x  y  3z  3 2) 3 x  2 y  2 z  0 4.1) 3) 3 x  4 y  z  1

4.4)

1) x  2 y  z  3 2) 2 x  y  2 z  1 3)  x  8 y  7 z  5

1) 2 x  y  z  0 2)  3 x  y  2 z  7 4.2) 3) x  2 y  z  3 1) y  z  4 2) 2 x  yz  4 4.5) 3) x  2 y  z  6

4.6)

1) x  4 y  7 z   4 2) 2 x  y  2 z  1 3) x  y  3 z  1

APLICACIONES DE LOS SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES Muchos problemas pueden ser resueltos mediante una sola ecuación, sin embargo en muchos casos aparece más de una cantidad desconocida, y la solución es más fácil o necesariamente necesita el manejo de varias incógnitas; es pertinente aclarar que para que el problema pueda ser resuelto necesita que permita plantear igual número de ecuaciones que de incógnitas, seguidamente se plantean algunos problemas en los cuales se muestra la utilidad de los sistemas lineales de ecuaciones en muchos campos del saber. En la aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales en la resolución de problemas, la mayor dificultad se encuentra en la interpretación de los enunciados, esto es, convertir el enunciado en ecuaciones, para tales fines es bueno tener en cuenta que al establecer las ecuaciones que representan al problema, las cantidades deben tener la misma magnitud y expresarse en las mismas unidades.

Ejemplo 1: Encontrar dos números que sumados den 182 y cuya diferencia sea 60. Solución: Si a cada uno de ellos se le asigna una letra, por ejemplo, sea x el primer número y sea y el segundo, entonces el enunciado queda representado por el siguiente sistema de

1) x  y  182

ecuaciones: 2) x  y  60 miembro, obteniendo

Para resolver dicho sistema es suficiente sumar miembro a

2 x  242  x 

242  121 2 ; para obtener el valor de y basta reemplazar

en la ecuación 1, esto es, 121  y  182  y  182  121  61 , por lo tanto los números pedidos son: el primero 121 y el segundo 61. Ejemplo 2: Un estudiante participa en un concurso de matemática y observa que si suma los puntajes obtenidos en las tres participaciones (puntaje sobre 10) le da un total de 24 puntos y la suma de las dos últimas participaciones excede en 10 puntos a la primera y además que el doble de la segunda participación es igual a la suma de la primera y la última. ¿Cuál es el puntaje en cada participación? Solución: Presenta tres datos desconocidos (incógnitas), esto es, los puntajes obtenidos en cada una de las tres participaciones; sea x lo obtenido en la primera, y lo obtenido en la segunda y z lo obtenido en la tercera. Se forma el siguiente sistema de ecuaciones.

1) x  y  z  24 2) y  z  x  10 3) x  z  2 y  0 Al ordenar dicho sistema para efectos de resolverlo se obtiene, 1) x  y  z  24 2)  x  y  z  10 3) x  2 y  z  0 Al sumar 1 con 2: 4) 2 y  2 z  34 y al sumar 2 con 3. 5)  y  2 z  10 . 4) 2 y  2 z  34 Al tomar el nuevo sistema se tiene 5)  y  2 z  10 Se multiplica la ecuación 5 por 2: 4) 2 y  2 z  34  2 y  2 z  34 54 6 z  54  z  9 z 9 5)  y  2 z  10(2)   2 y  4 z  20 Sumando se obtiene 6 . Se

reemplaza

en

5

para

hallar

y,

obteniendo

entonces

 y  2  9  10   y  10  18  8  y  8 . Para el cálculo de x tómese la ecuación 1, esto es, x  8  9  24  x  17  24  x  24  17  7  x  7 ; de lo obtenido anteriormente se tiene entonces que:

Primera participación obtuvo 7 puntos Segunda participación fueron 8 puntos Tercera participación obtuvo 9 puntos

RELACIONES Y FUNCIONES INTRODUCCION: Esta unidad es sin lugar a dudas la más importante del contenido programático porque lleva consigo el concepto de función el cual es el eje sobre el que gira toda la matemática; ¿habrá algo que no dependa de otro ente? En todo estudio, especialmente en el campo de la matemática se establecen relaciones entre personas, conjuntos y fenómenos en general, lo que sirve para descubrir, analizar y comparar lo que tienen en común o diferente, es decir, éste concepto permea toda la matemática y ciencia en general.

PAR ORDENADO: Es todo conjunto formado por dos elementos y un criterio de selección para establecer cual es primero y cual es segundo. Ejemplos: 1: El conjunto de los apellidos de una persona; es claro que de primero es el paterno y luego el materno. Notación: Los elementos de las parejas ordenadas suelen escribirse entre paréntesis separados por coma, como por ejemplo la pareja formada por las dos primeras letras del alfabeto, (a, b), en donde a y b son las componentes. Es pertinente establecer que las parejas (a, b) y (b, a), además de ser distintas se les llama “opuestas”. PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS: Sean A y B conjuntos cualesquiera no necesariamente distintos, se le llama producto cartesiano, producto directo o simplemente producto al conjunto formado por todas las posibles parejas ordenadas que puedan formarse con primera componente en A y segunda componente en B. Notación: A×B = {(a,b) / aεA y bεB}, se lee como “ el conjunto de todas las parejas (a, b) tal que a pertenece al conjunto A y b al conjunto B. Ejemplo: Dados los conjuntos A ={2,3} y B = {1,4,5}, su producto cartesiano está formado por las siguientes parejas ordenadas: A×B = {(2,1), (2,4), (2,5), (3,1), (3,4), (3,5)}, en donde puede notarse que A tiene 2 elementos, B tiene 3 y A×B tiene exactamente 2×3 = 6 elementos, de ahí el nombre de producto. Como B×A = {(1,2), (1,3), (4,2), (4,3), (5,2), (5,3)}, por definición de par ordenado es claro que no se cumple la propiedad conmutativa, esto es, A×B ≠ B×A. PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO 1: A×ø = ø para todo A

2: Para A y B conjuntos no vacíos, A = B si y solo si A×B = B×A.

3: A   B  C    A  B   A  C  2 5: Para A = B, A×B = A×A = A

4: A   B  C    A  B   A  C  2 6: Para A = R, R representa al plano cartesiano

N – TUPLA ORDENADA: Si n >2 es un número natural, de forma similar a la pareja ordenada, se define el objeto

 a1 , a 2 , a3 , , a n 

llamado n – tupla ordenada.

Ejemplo: La expresión (2, - 5, 8) es una 3 – tupla o tripleta y (1, 6, 9,- 3, 5) una 5 – tupla. OBSERVACION: De forma similar al producto cartesiano para dos conjuntos visto anteriormente, se puede definir dicho producto para n conjuntos de la siguiente forma:

A1  A2  A3    An    a1 , a 2 , a3 ,  , a n  / ai  Ai , i  1,2,3,4,  , n Ejemplo: Dados los conjuntos A = {2,3}; B = {4,5} y C = {6,7}, el producto A x B x C está dado por las ternas A x B x C ={(2,4,6),(2,4,7),(2,5,6),(2,5,7),(3,4,6),(3,4,7),(3,5,6),(3,5,7)}

REPRESENTACION DEL PRODUCTO CARTESIANO ENTRE DOS CONJUNTOS Existen básicamente dos formas; diagramas arborescentes y tablas de doble entrada: I: Diagramas arborescentes: Se toma un punto origen, luego los elementos del conjunto A y finalmente a la derecha de este los elementos del conjunto B. Ejemplo: Si A ={2,3} y B = {1,4,5}, su producto cartesiano correspondiente es. 1

4

5

2

1

4

5

II: Tablas de doble entrada: En el plano cartesiano se ubica el primer conjunto en el eje de las abscisas y el segundo en el eje de ordenadas, como se muestra a continuación r. × 2 3

1 (2,1) (3,1)

4 (2,4) (3,4)

5 (2,5) (3,5)

3

TALLER Nª10: Utiliza la información vista anteriormente para realizar el siguiente taller. 1: Asocia un punto del plano cartesiano para cada una de las siguientes parejas ordenadas, A(4, 2), B(3, -5), C(- 5, - 4), D(0, 3) y E(- 4, 0). 2: ¿Qué diferencia encuentras entre (2, 3) y {2,3}? 3: Dados los conjuntos A ={1,2,3}, B = {2,4} y C ={3,4,5}, halla. 3.1 A × B × C

3.2 A × (B u C)

3.3 A = (B ∩ C)

3.4 (A × B) ∩ (A × C)

4: Construye un ejemplo práctico de pareja ordenada donde pueda observarse el orden. 5: Construye un conjunto A con tres elementos cualesquiera y elabora con el A ×A . 6: Encuentra el valor de x en cada caso para que las parejas ordenadas sean iguales. 6.1 (3, x) = (3, - 5) 6.2 (3x, - 2) = ( - 12, - 2)

6.3 ( 5, - 10) = ( 5, - 2x)

6.4 ( 3 – x, 1) = ( 7, 1)

7: Si se lanza una moneda y después un dado, determina el conjunto que ilustre los posibles resultados.

RELACIONES BINARIAS INTRODUCCION: Es frecuente escuchar en nuestro lenguaje diario proposiciones que enlazan los elementos de dos conjuntos, como Pedro es el padre de Luís, la edad de Antonio es treinta años, etcétera; cada una de estas afirmaciones indica una asociación o correspondencia entre objetos, entre personas, objetos y personas o conjuntos de acuerdo con alguna propiedad que ellos cumplan. Estas asociaciones o correspondencias suele llamárseles “relaciones binarias, ternarias, cuaternarias y en general n - arias”, según que vincules dos, tres, cuatro o n – elementos y como se dijo antes, se da entre sujetos, objetos, sujetos y objetos, pero sin embargo una relación como tal no es un objeto como un libro, una silla, etcétera, pero hay una forma de convertirla en objeto para mayor facilidad en su estudio, más concretamente en un conjunto, el cual en muchos casos actúa como objeto. Para la construcción del nuevo conjunto llamado relación, con la característica especial de que sus elementos son parejas ordenadas se sugiere el siguiente proceso. Se toman dos conjuntos A y B no necesariamente distintos y se construye con ellos su producto cartesiano, esto es, A  B . Se aplica sobre

A  B una regla, ley o restricción

Con los elementos de A  B que cumplan la regla se construye un nuevo conjunto El nuevo conjunto así construido se denomina “relación de A en B”, y se denota por la simbología R: A → B. Nota: Si A = B, entonces R: A → B se convierte en R: A → A y en estos casos se habla de una relación en A, además, una relación puede ser definida de las siguientes formas:

DEFINICION COMO REGLA: Es toda regla que indica una correspondencia entre un conjunto A y un conjunto B, de tal forma que a todos o algunos elementos de A le corresponda uno o más elementos de B.

b) DEFINICION COMO CONJUNTO: Es cualquier subconjunto de un producto cartesiano A  B , esto es, R    a, b   A  B / cumpla la condición dada

Para indicar que un elemento pertenece a R se escribe

 a, b   R

 a, b   R

o también

aRb,

análogamente la escritura indica que dicho elemento no pertenece a R, es decir, el elemento a de A no está relacionado con el elemento b de B. Ejemplo 1: Dados los conjuntos A   0, 1 , 8 y definida por “x es menor que y”.

B   3, 7  , construir una relación R: A → B

Solución: Inicialmente se construye A  B    0,3 ,  0,7  , 1,3 , 1,7  ,  8,3 ,  8,7   ; seguidamente se construye el conjunto R con las parejas que cumplan la condición dada, que para el caso aquí descrito es R    0,3 ,  0,7  , 1,3 , 1,7   .

Ejemplo 2: Si A   2,3,6 y R una relación en A definida por “a divide a b”, construir los pares ordenados que forman la relación. Solución: El producto cartesiano es, A  A    2,2  ,  2,3 ,  2,6 ,  3,2 ,  3,3 ,  3,6  ,  6,2 ,  6,3 ,  6,6   , luego la relación son las parejas que cumplan la condición, es decir, aquellas parejas en donde la primera componente divida exactamente a la segundo, esto es, las parejas que cumplen dicha condición por simple inspección son R    2,2 ,  2,6  ,  3,3 ,  3,6  ,  6,6  

ELEMENTOS DE LAS RELACIONES Si A y B son conjuntos, R una relación de A en B, R: A → B, se definen los siguientes elementos: Conjunto solución: Es el conjunto de todas las parejas  a, b   A  B que cumplan la condición dada, esto es, S    a, b   A  B / aRb

Ejemplo: Para los ejemplos 1 y 2 de la página anterior, los conjuntos soluciones en el orden respectivo son

S    2,2  ,  2,6 ,  3,3 ,  3,6  ,  6,6  y

S    2,2  ,  2,6 ,  3,3 ,  3,6  ,  6,6 

Conjunto de partida: Se le llama así al primer conjunto, en los casos anteriores es A. Conjunto de llegada: Corresponde al segundo conjunto en el producto cartesiano, en los casos anteriores es B.

Conjunto original o dominio: Son todos los elementos del conjunto inicial relacionados mediante R con algún elemento del conjunto final. Notación: D ( R )   a  A / aRb

que están

Ejemplo: Dados los conjuntos A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3, 4, 5} y sea R : A → B una relación cuyo conjunto solución es S = {(a,1),(a,3),(b,4),(d,3}; el dominio es D(R) = {a, b, d} Conjunto imagen o rango: Son todos los elementos del conjunto final que están relacionados mediante R con algún elemento del conjunto inicial, esto es, su expresión simbólica está dada por

I  R    b  B / aRb para a lg ún a  A .

Ejemplo: En el ejemplo anterior, puede notarse fácilmente que I(R) = {1, 3, 4} Campo: Es el conjunto que resulta de la unión del conjunto original o dominio con el conjunto imagen, esto es, C ( R)  D( R)  I ( R)

Para el caso del ejemplo anterior, el campo está dado por C(R) = {a, b, d, 1, 3, 4}

GRAFICA DE RELACIONES Como una relación es un producto cartesiano por ser subconjunto de un producto cartesiano, su representación gráfica tendrá todas las formas vistas anteriormente, sin embargo las más comunes son el diagrama sagital y el diagrama cartesiano que finalmente serán los usados aquí. Diagrama sagital: Esta forma consiste en representar los conjuntos inicial y final mediante diagramas de Venn, luego mediante flechas se asocian los elementos originales con sus respectivas imágenes. Para el ejemplo anterior, su diagrama será A

Diagrama cartesiano: Se ubican los elementos del conjunto inicial sobre elB eje X y los del conjunto final sobre el eje Y respectivamente en el plano cartesiano, seguidamente se toman los elementos del conjunto solución en el orden respectivo y se ubican en el plano, en donde ese conjunto de parejas representarán la relación.

a

4

B

1

b

3

d

4

3

2

1 A a

b

c

d

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES Sea R una relación definida en A, esto es, R: A → A, se describen las siguientes propiedades 1) REFLEXIVA: Es toda relación R en donde todo elemento de A está relacionado consigo mismo, es decir, si

 a, a   R

Ejemplo: Dado A = {2, 3, 5} y R definida por “a es mayor o igual que b”; para este caso con la simple observación puede notarse que las parejas que conforman el conjunto solución son,

S    2,2  ,  3,2  ,  3,3 ,  5,2  ,  5,3 ,  5,5 en donde puede notarse fácilmente que es reflexiva

2) IRREFLEXIVA: La relación R es irreflexiva si ningún elemento de A está relacionado consigo mismo, esto es,

 a, a   R

Ejemplo: Si en el ejemplo anterior se toma la relación “a es mayor que b”, puede notarse que el

conjunto solución será S    3,2  ,  5,2  ,  5,3  , en donde con facilidad se observa que ningún elemento de A está relacionado con el mismo, es decir, es irreflexiva. 3) SIMÉTRICA: La relación R es simétrica si en la solución cada pareja tiene su opuesta, esto es, para cada  a, b   R entonces  b, a   R .

Ejemplo: Si en el ejemplo anterior se toma ahora la relación “a es diferente que b”; el conjunto

solución será ahora S    2,3 ,  2,5 ,  3,2  ,  3,5 ,  5,2  ,  5,3 en donde es fácil notar que cada pareja tiene su opuesta en el conjunto solución. 4) ASIMÉTRICA: La relación R es asimétrica si no existen parejas opuestas en la solución. El ejemplo tomado para la irreflexiva sirve también para la asimétrica, de igual forma si se toma sobre el conjunto A la relación “a es menor que b” también cumple la asimetría. 5) ANTISIMÉTRICA: Se afirma que R es antisimétrica si para cada

 b, a   R , entonces

a, b  A , si

 a, b   R

y

a = b.

Ejemplo: En los números naturales, la relación “a es múltiplo de b” es antisimétrica, pues si a es múltiplo de b y b es múltiplo de a, entonces a = b ya que todo número es múltiplo de si mismo. 6) TRANSITIVA: La relación R es transitiva si cumple que para todo a, b, c  A , si  a, b   S y

 b, c   S

entonces

 a, c   S

Ejemplo: Si A = {1, 3, 4, 5, 6} y sea R la relación definida por “a es menor que b”, entonces

S   1,3 , 1,4  , 1,5 ,  ,6  ,  3,4  ,  3,5 ,  3,6  ,  4,5 ,  4,6 ,  5,6 , en donde puede notarse que se cumple la propiedad transitiva, por ejemplo, si se toma 1,3  S y  3,4  S entonces 1,4  S ;  3,5  S y  5,6  S entonces  3,6  S . su conjunto solución es

7) RELACIÓN DE EQUIVALENCIA: Una relación R definida en un conjunto A es de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplo 1: En A = {2, 3, 5, 8}, defínase la relación “a es igual que b” Solución: Su conjunto solución es S    2,2  ,  3,3 ,  5,5 ,  8,8 , en donde puede observarse con facilidad que es reflexiva; es simétrica ya que cualquier pareja tiene su opuesta que es ella misma y además cumple la transitividad porque se puede tomar cualquier pareja tres veces. Ejemplo 2: Si A es el conjunto de rectas en el plano y R definida por “a es paralela con b” Solución: Aquí puede notarse que es reflexiva ya que toda recta es paralela a si misma; es simétrica porque si a es paralela con b entonces b es paralela con a y finalmente es transitiva ya que si a es paralela con b y b paralela con c, entonces a es paralela con c.

RELACION DE ORDEN

ORDEN ESTRICTO: Una relación R definida en A es de orden estricto si cumple las propiedades antisimétrica y transitiva. Ejemplo: Las relaciones “mayor que” o “menor que” definida en el conjunto de los enteros son de orden estricto. ORDEN PARCIAL: La relación R es de orden parcial si cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva Ejemplo: Las relaciones “mayor o igual que” o “menor o igual que” definida en el conjunto de los enteros son de orden parcial. ORDEN TOTAL: La relación R es de orden total o simplemente de orden si es de orden parcial y además todos sus elementos están relacionados. Ejemplo: Puede verificarse que la relación R definida en el conjunto A = {2, 3, 5} por el conjunto solución S    3,2 ,  5,3 ,  5,2 ,  2,2  ,  3,3 ,  5,5 es evidentemente de orden.

Inicialmente puede notarse que es reflexiva ya que cada elemento de A está relacionado consigo mismo; es antisimétrica por que no todas las parejas tienen opuestas; es transitiva como puede notarse en (3,2) y (2,2) entonces (3,2) o también (5,2) (2,2) entonces (5,2) y finalmente todos los elementos están relacionados entre sí.

RELACION INVERSA: Si R: A → B es una relación, la relación que resulta de invertir los conjunto se le llama inversa de R y se simboliza por conjunto se define por

R 1    b, a  /  a, b   R

R 1 , esto es,

R 1 : B  A y como

Ejemplo: Dados los conjuntos A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3, 4, 5} y sea R : A → B una relación cualquiera cuyo conjunto solución es S = {(a,1),(a,3),(b,4),(d,3}, entonces su inversa tendrá como conjunto solución a

S 1   1, a  ,  3, a  ,  4, b  ,  3, b 

TALLER N° 11: Usa la información vista y tu saber para la solución del siguiente taller 1) Si R es una relación en A = {2, 3, 4, 5, 6} definida por “x es divisor de y”, hallar 1.1) S

1.2) D(R)

1.3) I(R)

1.4) Diagrama sagital

2) Indica el número de relaciones que pueden formarse entre los conjuntos A y B en cada caso. 2.1 Si A y tienen dos elementos cada uno 2.2) Si A tiene dos elementos y B tres 3) Dados A = {9, 25, 49, 64, 81} y B = {3, 4, 5, 7, 9} y R definida por “a es el cuadrado de b”, hallar: 3.1) S 3.2) D( R) 3.3) I( R) 3.4) Diagrama cartesiano

Si A   x / x es hom bre y R definida en A por “x es hermano de y”, indica si cumple. 4.1) Reflexiva

4.2) Simétrica

4.3) Transitiva

4.4) Equivalencia

5: Determina si la relación “x tiene la misma estatura que y” definida en el conjunto

A   x / x es hom bre es o no de equivalencia.

R,R yR

3 por los conjuntos solución en el 6: En A = {1, 2, 3, 4, 5} se definen las relaciones 1 2 orden respectivo; indica en cada caso las propiedades que cumplen.

6.1) S1   1,1 ,  2,2 ,  3,3 ,  4,4 ,  5,5 6.3)

6.2) S 2   1,1 ,  2,2  , 1,2  ,  2,1 ,  3,3 ,  4,4 ,  5,5

S 3   1,1 ,  2,2  ,  3,3 ,  4,4  ,  5,5 ,  2,3 ,  3,2  ,  4,5 ,  5,4

7: Determina si la relación R definida sobre A = {2, 3, 4, 6, 8} por el siguiente conjunto

S    2,4  ,  3,6  ,  2,6  ,  4,8 ,  2,8 es de orden parcial u orden estricto. 8: Halla el conjunto solución, dominio e imagen para cada una de las siguientes relaciones definidas de A a B. 9.1) Es la mitad de

6.2) Es tres veces menos

9.3) Es el doble de

9: Da la relación R definida en A = {1, 2, 3, 4} por “x es divisor de y”, halla su conjunto solución y su relación inversa.

APLICACIONES O FUNCIONES INTRODUCCION: Uno de los aspectos fundamentales en la ciencia y en la vida cotidiana es establecer las relaciones entre los diversos fenómenos para formular hipótesis y hacer predicciones sobre los mismos o consecuencias de ellos; describir tales relaciones en el preciso lenguaje de la matemática es uno de los temas relevantes y básicamente un tipo especial de relaciones llamadas “funciones” ocupa lugar preponderante y además es reconfortante su estudio por las múltiples aplicaciones prácticas que de ellas se desprenden. Según la historia de la matemática, se cree que Leibniz en 1694 fue el primero que usó dicha palabra para representar cualquier cantidad asociada a una curva y fue Euler quien utilizó por vez primera la importante notación hasta nuestros días de f    .

La forma como se definió la función en sus comienzos hace referencia a que si dos variables x e y están relacionadas de tal forma que para cada valor de x corresponda exactamente un

único valor de y, entonces se afirma que y está en función o es función de x; a la variable x se le llamó independiente y a la variable y dependiente, además al conjunto de valores que puede tomar x se le llamó “dominio” y al conjunto correspondiente de valores de y “rango”, ahora, por la importancia del tema se hace necesario precisar y formalizar dichos elementos en las siguientes definiciones: DEFINICION: FUNCION: En términos generales se llama aplicación o función entre los conjuntos A y B a la correspondencia entre ellos de tal forma que todos los elementos de A sean originales y su correspondiente imagen sea única, esto es. Si A y B son conjuntos no vacíos, una función f de A en B es una relación que permite asignar a todo x  A un único y  B .

En la definición puede notarse que las restricciones impuestas para que una relación sea función son específicamente sobre el conjunto A, en este caso se infiere que el conjunto original y el inicial coinciden.

f : A B

Las formas de simbolizar las funciones son las mismas de las relaciones, esto es,

es seguramente la más usada, o también se simbolizan mediante y  f    y especificación las formas más comunes son: METODO

ILUSTRACION

x Tabla

Pares ordenados

EJEMPLO

f  x   x 2  3x

Ecuación

f (x)

1 1

2 4

para su

Para x  1, 3 9

 (1,1), (2,4), (3,9)

Para

Para

y  2

x  2,

y4

f  3  9

ELEMENTOS DE LAS APLICACIONES O FUNCIONES Como las funciones son relaciones especiales, sus elementos son los mismos vistos anteriormente, es decir, conjunto de partida, que para el caso de las funciones coincide con el dominio, conjunto de llegada o codominio y el rango o imágenes; para las funciones cuando se quiere indicar que un elemento x de A está relacionado con un elemento y de B se nota como f(x) = y, lo cual se lee como f de x igual a y, lo que significa que la imagen de x bajo la función f es y.

Ejemplo 1: Si f es una función de A en B que hace corresponder a cada elemento de A su 2 cuadrado en B, esto es, f ( x)  x , de tal forma que A representa al conjunto de los números

enteros y B

f (3)  9

a los

enteros positivos, esto es,

f : Z  Z  , entonces por ejemplo,

f ( 4)  16 , es claro que el dominio son todos los enteros, el codominio los

y

enteros positivos y el rango o imágenes son todos los eneros positivos que sean cuadrados perfectos, esto es, que tengan raíz cuadrada exacta. Ejemplo 2: De las relaciones mostradas en los diagramas, solo es función la

R1

A a)

B

2

0 1

3

A b)

R2 B

A

2

0

3

1

c)

R3

R3 .

B

2

0

3

1

6

6

R   (3, 0), (3,1) , R   (2,1),  3, 0  (3,1))

y

R   (2,1), (3, 0)

2 3 Aquí se tiene 1 ; en R1 puede notarse que el 2 no está relacionado con ningún elemento de B, por lo tanto no es función; en

R2 , el 3 está doblemente relacionado, por lo tanto no es función y en R3 , todos están relacionados y una sola vez, es decir, es una función en donde pueden verse con claridad el dominio

D( f )   2,3

y las imágenes f (2)  1; f (3)  0

original coinciden, además es el mismo de llegada.

I ( f )   0,1

, esto es, el conjunto de partida y el

, lo cual implica que este conjunto no necesariamente

DETERMINACION DEL DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES Como en general las funciones usadas en matemática están definidas en los reales o subconjuntos de este, sería muy dispendioso mediante diagramas o parejas identificar el dominio y el rango de cualquier función, para tales fines se plantea el siguiente proceso, mediante el cual puede ser obtenido dominio y rango. Si la función tiene la forma f ( x, y )  0 , se despeja y en la ecuación dada b) En la expresión obtenida anteriormente, se analizan los valores de la variable independiente para los cuales la función esté definida. Aquí pueden presentarse tres casos muy notorios en los cuales es posible determinar los valores de x que tienen imagen. 1) La x hace parte del denominador en una fracción: Aquí se identifican los valores que anulan el denominador igualándolo a cero.

La x hace parte de un radical par: Para este caso el análisis radica en determinar los valores de x que hacen el radicando mayor que cero. La x está definida para cualquier valor: En este caso el dominio corresponde al conjunto de los reales. OBSERVACION: Para el caso del rango el procedimiento es similar, con la diferencia de que en este se despeja la variable x en función de la y, para luego hacer el análisis en dicha variable.

Ejemplo 1: Si f : R  R es una función definida por

f ( x) 

x 1 x  1 , halla dominio y rango.

Solución: Como f ( x)  y , entonces la expresión dada se transforma en

y

x 1 x  1 , en donde

puede observarse que la variable independiente se encuentra en el denominador y por simple inspección puede notarse que el único valor para x para el cual la función no está definida es x = 1, lo cual implica que el dominio son todos los reales excepto el 1, esto es,

D( f )   x  R / x 1 

y

y 1 x 1 x y  1 , en donde puede x  1 al despejar x se obtiene

Para el rango, en la expresión notarse que cumple con la misma restricción anterior, por lo tanto el rango será,

I ( f )   y  R / y 1 

2 Ejemplo 2. Dada la función f : R  R definida por f ( x)  x  9 , halla dominio y rango.

y  x 2  9 , en donde puede Solución: Al sustituir en la expresión f ( x)  y se obtiene notarse que los valores que negativo al radicando son todos los reales mayores que – 3 y menores que 3, esto es, D ( f )  R    3, 3

Para el rango hay que despejar la x, lo cual implica elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación

y  x 2  9 , obteniendo entonces y 2  x 2  9 , entonces despejando la variable x x

y2  9

se obtiene finalmente, en donde puede notarse que para cualquier valor de x la expresión estará definida, ya que la cantidad sub-radical siempre dará un número real mayor que cero, por lo tanto se puede afirmar que I ( f )  R .

TIPOS DE FUNCIONES

a) INYECTIVAS O UNO A UNO: Una función f : A  B se dice inyectiva si elementos distintos de B corresponden a elementos distintos de A, esto es, cada elemento de tiene imagen distinta en B. Ejemplo: Para f : R  R definida por f ( x)  x  1 , es claro que para valores distintos en la variable x, corresponden valores distintos en la variable dependiente. b) SOBRE O SOBREYECTIVA: Es toda función en donde el rango y el codominio coinciden, esto es, todo elemento del conjunto de llegada es imagen para algún elemento del dominio. Ejemplo: La función definida en el siguiente gráfico es sobre.

A………f………. B

Puede notarse que el conjunto B o de llegada es igual al conjunto

0

5

imagen de la función, es decir, en el conjunto de llegada no sobra

3

6

ningún elemento.

4

BIYECTIVA: Una función se dice biyectiva, si es uno a uno y sobre simultáneamente. La siguiente función es biyectiva.

A……f……..B

Ejemplo: La función mostrada en el gráfico siguiente es biyectiva. 2

0

5

7

9

4

FUNCION IDENTICA: Sea f : A  A una función que asigna a cada x A el mismo elemento, es decir, cada elemento de A es su propia imagen, entonces se afirma que f es idéntica y se nota por I D .

FUNCION CONSTANTE: Una función f de A en B se le llama constante si a cada elemento

x A se le asigna el mismo elemento c B , esto es, el conjunto de imágenes consta de un solo elemento.

A……….f……….B

Ejemplo: El siguiente gráfico ilustra una función constante. Aquí puede notarse que todos los elementos de A están Relacionados con el mismo elemento de B, por lo tanto las

a

2

b

3

c

relaciones son: f (2)  f (3)  f (5)  a

f : A  B es una función biyectiva, la función f 1 : B  A se le 1 llama inversa de f si para cada y B existe solamente un x A tal que f ( y )  x . FUNCION INVERSA: Si

Nota: De forma práctica, para calcular la inversa de una función real se reemplaza “x” por “y” y “y” por “x” para finalmente despejar en la expresión resultante la y. Ejemplo. Halla la inversa para la función f : R  R definida por f ( x)  2 x  5 Solución: Inicialmente puede observarse que la función es biyectiva, luego en f ( x)  2 x  5 se

f (x) por y obteniendo y  2 x  5 ; se intercambia x por y, entonces la expresión x 5 x5 y f 1 ( x)  2 , esto es, 2 es la inversa se transforma en x  2 y  5 , en donde reemplaza

pedida.

f : A  B y g : B  C funciones, se g o f : A  C definida por denomina función compuesta de f y g a la función  g o f  ( x)  g  f ( x) para cualquier elemento x de A. g) FUNCION PRODUCTO O COMPOSICION: Sean

Ejemplo 1: El siguiente gráfico ilustra la definición A………..f………….B………...g…………C

A…….

g o f ……C

1

5

a

1

a

2

6

b

2

b

3

7

c

3

c

Desde el punto de vista matemático, esto es, usando la definición las imágenes para los elementos de A pueden obtenerse de la siguiente forma.

 g o f  (1)  g  f (1)  g (6)  a : luego se tiene finalmente que la imagen de 1 es a,  g o f  (1)  a  g o f  (2)  g  f (2)  g (5)  c ; entonces la imagen de 2 es c en la compuesta,  g o f  (2)  c  g o f  (3)  g  f (3)  g (7)  b ; esto es, la imagen de 3 es b en la compuesta,  g o f  (3)  b f : N  N la función definida por f ( x)  5 x y g f y f g definida por g ( x)  x  4 , hallar: a) o b) o Ejemplo 2. Sea

Solución: a)

g o f  g  f ( x )   g (5 x )  5 x  4

b)

g : N  N otra función

f o g  f  g ( x)  f ( x  4)  5( x  4)  5 x  20

Aquí puede notarse a manera de conclusión que la composición de funciones no es conmutativa.

EVALUACION DE FUNCIONES Es una de las operaciones más comunes en las funciones, consiste en hallar el valor de la variable dependiente y, reemplazando la variable independiente x por un valor asignado y efectuando las operaciones indicadas para tales fines. 3 2 Ejemplo 1: Evaluar f ( x)  x  5 x  x  1 para

x  2

f ( 2)  ( 2)3  5( 2) 2  ( 2)  1   8  5  4  2  1  8  20  2  1 , lo anterior significa que cuando x   2 , entonces y   31 Solución: Al sustituir,

3 f  Ejemplo 2: Halla  2  en la función real f ( x)  2 x  4 3 3 f    2   4  3  4  1 2 Solución: Sustituyendo la x por el valor asignado se obtiene  2  GRAFICA DE FUNCIONES Las gráficas de las funciones son las mismas vistas para las relaciones, en esta sección solo se trabajarán en el plano cartesiano; para tales fines se sitúan en el plano los diversos puntos que resultan de evaluar la función, esto es, se ubican en el plano las parejas (x, y) producto de la evaluación de la función que se desea graficar.

f ( x)  2 x  4 y

Ejemplo: Graficar las funciones reales

g ( x)  x 2  1

Se construyen las respectivas tablas de valores producto de evaluar las funciones, que como ejemplo pueden tomarse; seguidamente se ubican los puntos en el plano y se unen con línea continua, obteniendo como resultado las siguientes gráficas. x f(x) g(x)

-3 - 10 8

-2 -8 3

-1 -6 0

0 -4 -1

1 -2 0

2 -0 3

f ( x)  2 x  4

g ( x)  x 2  1

4 y

4 y

2

2

x

0 -6

-4

-2

0

2

3 2 8

4

6

x

0 -6

-4

-2

-2

0

2

4

6

-2

-4

-4

TALLER N° 12: Usa la información vista para responder los interrogantes planteados y los ejercicios propuestos. Determina si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas, justificando tu espuesta 1.1 Toda relación es una función, pero no toda función es relación 1.2 Toda función es una relación, pero no toda relación es función 1.3 En toda función, conjunto de partida y dominio coinciden 1.4 Toda función inyectiva es también sobre

1.5 Toda función biyectiva tiene inversa

1.6 L a función constante puede ser 1 a 1

1.7 Una función inyectiva puede ser constante

2: Si A   a, b, c, d  y B  1,2,3 , determina en cada caso si la relación definida por el conjunto solución es o no función de A en B. 2.1 S1    a,1 , (a,2), (b,3), (c,3), ( d ,2) 2.3

2.2 S 2    a,1 , (b,2), (c,3), (d ,1)

S 3    a,3 , (b,3), (c,3), (c,2), (d ,2)

2.4 S 4    a,1 , (b,1), (c,1), (d ,1)

3: Construye la expresión matemática que mejor represente la función dada en cada caso. 3.1 Para cada número real se le asigna su cuadrado aumentado en tres mediante f. 3.2 A cada número real asignarle mediante la función f el número cinco 3.3 Para cada número real asignarle mediante la función su duplo disminuido en una unidad 3.4 Para cada número real positivo asignar por la función f su cuadrado y a los otros números reales el 7. 4: Si el conjunto A tiene cuatro elementos y B tiene dos elementos, ¿cuántas funciones distintas de A en B pueden construirse? 5. Si

A    2,  1, 0,1, 2

y

f es una función de A en R, esto es, f: A → R, definida por la

expresión f ( x)  x  1 , halla el conjunto I(f). 2

6: Identifica de las siguientes funciones las que sean inyectivas A cada departamento de Colombia se le asigna su capital A cada país del mundo asignarle su extensión territorial A cada país del mundo asignarle un régimen de gobierno A cada persona del mundo asignarle una edad

7)

Dadas

las

f ( x)  2 x  1 y

funciones

f : RR

g ( x)  x 2  2 , halla las funciones

g : RR

y

fo g

y

go f

definidas

por

g : R  R definidas f ( x)  2 x  3 8) Suponga que f : R  R y funciones biyectivas, halla la inversa para cada una. 9)

Dadas

f ( x)  2 x  3

las

y

f : RR

funciones

y

g : RR

y

g ( x)  x 3  5 son

definidas

por

g ( x)  x  5 , calcular.

3 f  9.1  2 

2

9.2

g   5

9.3 f  3 g (1)

10) Construye la representación gráfica para las funciones por las expresiones

f ( x )  2 x  1 y

9.4

f : RR y

f (6) g (1)

g : R  R definidas

g ( x)  1  x 2

LA FUNCION LINEAL INTRODUCCION: Por sus múltiples aplicaciones en administración, economía, geometría y muchas otras disciplinas, la función lineal es de las más importantes en el campo de la matemática; esta función cuya estructura matemática tiene como mayor exponente de la variable independiente el uno, y además presenta características que definen propiedades significativas en el desarrollo de problemas de oferta y demanda. En esta sección se dará el concepto de función lineal, se describirá su forma general e implicaciones en las gráficas, además se hará claridad sobre el concepto de pendiente para luego finalizar con las distintas formas de la ecuación de la recta y sus aplicaciones en la resolución de problemas significativos. DEFINICION: Sea f : R  R tal que f ( x)  mx  b , a esta función se le llama lineal porque su gráfica representa una recta en el plano. La expresión f ( x)  mx  b se le llama “forma explícita” de la recta, además m y b son números reales cualesquiera y a m se le conoce como pendiente de la recta. Ejemplos: Los siguientes son ejemplos de funciones lineales 1: f ( x)  2 x  3 ,en donde m  2

y b3

2: f ( x)  5 x  13 , en donde m  5

y b  1

GRAFICA DE LA FUNCION LINEAL Como se afirmó antes, su gráfica representa una recta en el plano y como tal, para su representación basta tomar dos puntos de ella para trazar dicha recta como lo establece un principio geométrico “dos puntos en el plano determinan una recta”; para tales fines lo más sencillo es tomar (0, b) como primer punto y para el segundo punto asígnesele un valor a la variable libre y encuentre el correspondiente para la variable dependiente.

Ejemplo 1: Graficar la función f ( x)  2 x  1 Solución: La representación gráfica de la recta es la que se muestra seguidamente 4 y

Aquí es claro que (0,  1) es el primer punto de acuerdo con lo establecido antes; para el segundo punto, tómese x = 2, entonces

2

-6

-4

-2

y  2  2  1  3 , por lo tanto el segundo punto es ( 2,3)

x

0 0

2

4

6

-2

Seguidamente se sitúan los puntos en el plano cartesiano y se unen mediante línea continua para formar la recta

-4

Ejemplo 2: Representar gráficamente la función f ( x)  2 x  1 Solución: La representación de dicha recta se muestra seguidamente. 4 y

El primer punto corresponde a (0, 1) y para el segundo tómese x = - 1,

y  2( 1)  1  2  1  3 , entonces entonces el segundo punto es (- 1, 3).

2

x

0 -6

-4

-2

0

-2

2

4

6

Seguidamente se sitúan dichos puntos en el plano como muestra el gráfico y se unen con línea continua para formar la recta que se muestra.

-4

ALGUNAS OBSERVACIONES 1: Si la pendiente es positiva como en el ejemplo1, la recta forma con el eje X positivo un ángulo agudo, esto es, menor de 90º. 2: Si la pendiente es negativa como en el ejemplo 2, la recta forma con el eje X positivo un ángulo obtuso, esto es, mayor de 90º.

3: El ángulo que la recta forma con el eje X positivo se le llama ángulo de inclinación de la recta 4: El número real b indica el punto donde la recta intersecta al eje Y

ECUACION LINEAL CON DOS VARIABLES Es toda ecuación de la forma ax  by  c  0 , en donde a, b y c son números reales cualesquiera Ejemplo: Las siguientes son ecuaciones lineales con dos variables

1: 2 x  3 y  1  0

2:

x

5 y 3 0 2

3:  3x  7 y  6

4 9 5 x y  5 7 4: 3

Un aspecto importante de las ecuaciones lineales en dos variables es que su representación gráfica es una recta, esto significa que toda ecuación de la forma

ax  by  c  0 se puede

transformar a la forma y  mx  b , es decir, es equivalente a la forma explícita de la ecuación de una recta; para verificar lo anterior se toma el siguiente ejemplo en donde se muestra la secuencia para tal fin. Ejemplo 1: Halla la forma explícita correspondiente a la ecuación  4 x  2 y  6  0

Solución: Aquí la idea es escribir la ecuación dada como una que tenga la forma y  mx  b , para esto sencillamente se despeja la variable y en función de x, entonces  4 x  2 y  6  0 se convierte en

m2

2 y  4x  6  y 

y b  3

4 6 x   2x  3  y  2x  3 2 2 . Aquí puede notarse que

Ejemplo 2: Convertir la ecuación 5 x  3 y  1  0 a la forma explícita.

5 1 x  y 3 3 Solución: Al despejar la variable y se obtiene , por 5 1 5 1 y  x m y b 3 3 , en donde puede notarse que 3 3 lo tanto, la forma explícita es 5x  3 y  1  0  5x  1  3 y 

PENDIENTE DE LA RECTA

La gráfica mostrada corresponde a la función

f ( x)  2 x , además  representa su ángulo de

4

2

inclinación.

En la figura se tiene que

y  42  2

y x , pero x  2 1  1

tan  

De forma general, si P ( x1 , y1 )

y Q( x 2 , y 2 ) , son puntos distintos de una misma recta, y y m 2 1 x 2  x1 . entonces la pendiente de la recta está dada por la fórmula

Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(1,2)

y Q(4, 8)

Solución: Para el caso se tiene que x1  1, x 2  4; y1  2; y 2  8 , entonces aplicando la

m fórmula dada se tiene

y 2  y1 8  2 6   2 x 2  x1 4  1 3 , por lo tanto m  2

Ejemplo 2: Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(7, 3)

y Q(3,  5)

Solución: Mediante descripción similar al ejemplo anterior, se tiene que la pendiente de la recta

m queda determinada por

y 2  y1  5  3  8 8 4 4     m x 2  x1  3  3  6 6 3 , por tanto, 3

TALLER N° 13: Usa la información tratada y tus propios conocimientos para responder los ejercicios 1: Traza la gráfica para cada una de las siguientes funciones lineales

1.1 f ( x)  2 x  2

1.2 f ( x )   x  4

1.3

f ( x) 

1 x 4

1.4 f ( x)  3 x  1

2: Transforma a la forma y  mx  b cada una de las siguientes ecuaciones lineales. 2.1) 3 x  3 y  12  0

2.2)  2 x  y  5  0

2.3)  4 x  2 y  10

2.4)  2 x  2 y  0

3: Calcula la pendiente de la recta que pasa por cada uno de los siguientes pares de puntos. 3.1) P (2, 3)

y Q(5, 78)

3.2) P (3, 0)

3.3 P (3,  2)

y Q(0, 3)

y Q(3, 2)

4: La pendiente de una recta es 3 y pasa por los puntos P(5, 6) y Q(4, y ) . Halla el valor de y.

5: Si la pendiente de una recta es – 5 y pasa por los puntos ( x, 2) de x.

y Q(7,  3) . Halla el valor

ECUACION DE LA RECTA Encontrar la ecuación de una recta es de los aspectos fundamentales en este tema, ya que permite resolver muchos problemas de aplicación de la matemática misma y de otras

disciplinas, es bueno precisar inicialmente que la expresión ax  by  c  0 , se le conoce como “ecuación general de la recta” y a la expresión y  mx  b se le conoce como forma normal de la recta, entonces la idea central aquí es cómo llegar a dichas fórmulas partiendo de determinadas condiciones; se estudiarán dos caminos relacionados entre si y conocidos como, “forma punto pendiente” y “ecuación de la recta conocido dos puntos de ella”, como se describen seguidamente. CASO 1: FORMA PUNTO PENDIENTE: Se trata de obtener una ecuación que tenga la forma normal, esto es, y  mx  b , para tal fin se supone conocido un punto de la recta P x1 , y1  tomado como inicial y su pendiente m; como

para calcular la pendiente se requieren dos puntos, tómese un punto final Q ( x, y ) desconocido,

m entonces la fórmula de la pendiente se convierte en

y  y1 x  x1

y transfórmese en

y  y1  m( x  x1 ) ; en la expresión anterior reemplazando los valores dados para el punto P y la pendiente m, se obtiene la ecuación de la forma y  mx  b al despejar la variable y. Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 5) y pendiente igual a 3.

P x1 , y1   (2, 5)

Solución: Aquí se conoce

reemplazando en la expresión efectuando operaciones

y m  3 , además tómese Q( x, y ) , entonces y  y1  m( x  x1 ) se tiene que y  5  3( x  2) , entonces y

despejando

y

se

transforma

en

y  5  3x  6  y  3x  6  5  3x  1 , esto es, y  3 x  1 que presenta la forma y  mx  b .

Ejemplo 2: Hallar la ecuación normal y general para la recta que pasa por el punto ( 3, - 2) y

2 cuya pendiente es igual a 5 .

Solución: Se conoce el punto inicial (3, - 2) y la pendiente

m

2 5 , y el punto final (x, y), luego

2 ( x  3)  5( y  2)  2( x  3) 5 esto 2 16 5 y  10  2 x  6  5 y  2 x  6  10  2 x  16  5 y  2 x  16  y  x  5 5 , la cual

reemplazando en y  y1  m( x  x1 ) se obtiene,

y  (2) 

es, presenta la forma normal.

Para encontrar la forma general se toma 5 y  10  2 x  6 , entonces efectuando transposición e igualando a cero se obtiene 2 x  5 y  6  10  0  2 x  5 y  16  0

CASO 2: CONOCIDOS DOS PUNTOS DE LA RECTA. Se trata nuevamente de obtener una ecuación que tenga la forma normal, esto es, y  mx  b , para tal fin ahora se suponen conocidos dos puntos de la recta, P  x1 , y1  y Q ( x 2 , y 2 ) , entonces el proceso consiste sencillamente en obtener inicialmente la pendiente de la recta mediante la

m fórmula conocida, esto es, inicial cualquiera de los dos.

y 2  y1 x 2  x1 y finalmente aplicar el caso 1 tomando como punto

Ejemplo 1: Encontrar la ecuación normal de la recta que pasa por los puntos P1, 2  y Q (4, 8)

m Solución: Como se dijo antes, se calcula la pendiente de la recta, entonces

8 2 6  2 4 1 3 ,

ahora, tomando P1, 2  como punto inicial y Q ( x, y ) como punto final desconocido, entonces

reemplazando en y  y1  m( x  x1 ) se obtiene y  2  2( x  1)  2 x  2  y  2 x  2  2  2 x , esto es, la forma normal es y  2 x

1 1 2 2  , y  ,  Ejemplo 2: Halla la ecuación general de la recta que pasa por los puntos  2 2   3 3  2 1 43 1  3 2  6  6  6 1 m 2 1 43 1 6  3 2 6 6 Solución: Al calcular la pendiente se obtiene , esto es m = 1, luego tomando el primer punto como inicial y (x, y) como punto final, se remplaza entonces en

y

1 1 1 1 1  1( x  )  x   y  x    x 2 2 2 2 2 , luego

la expresión y  y1  m( x  x1 ) , obteniendo la ecuación normal es: y  x y su ecuación general será x – y = 0

TALLER N° 14: Usa tu saber y lo aprendido en la sección anterior para responder el siguiente taller. 1: Encontrar la ecuación normal para la recta conocida su pendiente y un punto de ella.

1.1 (3, 2) y m = 5

1.2 (4, 6) y m = - 2

1.3 (- 1, - 2) y m = - 3

1.4

1, 2

y m

3 2

2: Hallar la ecuación general de la recta que pasa por la siguiente pareja de puntos

2.1 (2, 1) y (5, 6)

2.2 (2, 4) y (5, 7)

2.3 (5, 0) y 3, 7)

 3 1 1 2  ,  y  ,  2.4  2 2   3 3 

3) Escribe una ecuación que represente la función dada en cada uno de los siguientes casos 3.1 El costo por día C(x) por alquilar un vehículo es de $10.000 más $0.2 por kilómetro recorrido 3.2 El costo por día C(x) para fabricar x pares de zapatos, si los costos fijos son de $35.000 por día y los costos variables son de $ 5.000 por cada par de zapatos. 3.3 La superficie del círculo es  veces el cuadrado del radio. 3.4 El valor de x cantidad de artículos fabricados a $ 5000 cada uno

4.5 Actividades de Aprendizaje de la Unidad Acuerdos pedagógicos, discusión sobre Formato y forma para el desarrollo de los protocolos a elaborar en éste módulo de aprendizaje como estrategia fundamental de la metodología, guía de aprendizaje Nº 1 y realización de talleres.

4.5 Recursos Para el Aprendizaje Para el desarrollo de la unidad I y como forma de estimular y facilitar el aprendizaje de la competencia, serán utilizados los siguientes recursos: Recurso Tecnológicos: Plataforma virtual Moodle, Correos electrónicos, Google, calculadoras, Cámara Fotográfica.recursos en la red como CNICE

buscadores como

Recursos Didácticos: Guía de aprendizaje Nº1, Objetos virtuales de aprendizaje (OVAS) como Crucigramas, juegos didácticos, sopa de Letras, Mapas conceptuales, mapas de ideas, Videos Otros Recursos: Carpetas de evidencia de los CIPAS. La lectura complementaria de esta unidad se refiere al tema de conjuntos contenidos en el texto anexo y problemas de profundización en el mismo.

4.6 UNIDAD Nº 2 Competencia: Organiza, ordena, comprender e interpretar información presentada en formato gráfico utilizando procedimientos matemáticos.

4.6.1 PRESENTACION DE LA UNIDAD Con esta unidad se busca estimular el desarrollo del pensamiento aleatorio, métrico y espacial para profundizar en la actual filosofía de la matemática, la cual insiste no en los problemas de fundamentación como se daba anteriormente sino en aquellos cuya solución impliquen desarrollo para el entorno y para el educando en lo personal y profesional.

El conocimiento matemático actual del estudiante debe estar relacionado no solamente con sus percepciones e ideas previas sobre las matemáticas, sino también debe responder a una reflexión acerca del porqué y del para qué del aprendizaje mismo, siempre apuntando al diseño de situaciones problémicas acordes con el contexto, intereses y necesidades personales y profesionales del individuo. Lo anterior significa el cambio profundo que se ha dado en la matemática, no solo en su concepción sino también en los fines y objetivos.

CRITERIOS DE DESEMPEÑOS Y EVALUACION Para esta unidad se han seleccionado los siguientes criterios de desempeño a manera de resumen. Fundamenta su postura en argumentos congruentes y lógicos Emite juicios basados en la observación, análisis y síntesis, de acuerdo con los marcos de referencia propios de la disciplina. Participa en equipos de trabajo promoviendo el logro conjunto de los objetivos y asumiendo responsablemente las tareas que le corresponden Cuestiona lo establecido y plantea de manera fundamentada alternativas de mejora viables. Dirige eficazmente sus esfuerzos al logro de objetivos personales y profesionales. Promueve en el grupo el consenso y la colaboración más que la competición.

Los criterios de evaluación aquí relacionados son tomados partiendo de la temática objeto de estudio en ésta unidad y son tomados en sus distintos aspectos. CONCEPTUALES: Se evaluará mediante pruebas escritas con preguntas que impliquen comprensión, razonamiento, resolución de problemas y creatividad Las pruebas orales deben valorar el nivel de expresión del alumno para reorientar el proceso si es necesario * PROCEDIMENTALES: Los trabajos de investigación y resolución de problemas serán presentados en informes semi-estructurados *ACTITUDINALES: Se evaluará el nivel de participación voluntaria en los debates y plenarias

* PROCESO: Auto, coevalución y heteroevaluación

4.6.3 EVALUACION DIAGNOSTICA Es fundamental de acuerdo con las nuevas tendencias pedagógicas, conocer los pre-saberes de los estudiantes en la temática objeto de estudio para ser tomados como punto de partida y en muchos casos replantear los contenidos propuestos a desarrollar durante el tiempo que establecido en un curso determinado; las preguntas aquí propuestas son las siguientes: 1: ¿Qué entiendes por estadística? 2: ¿Para qué crees que sirve la estadística? 3: ¿Qué es una muestra? 4: ¿Qué entiendes por experimento aleatorio? 5: ¿Qué diferencia encuentras entre crecimiento y decrecimiento? 6: ¿Qué aspecto práctico conoces donde esté la idea de un límite? 7. ¿Puedes mencionar tres ramas de la matemática? 8: ¿Qué entiendes por incremento relativo? 9: ¿Qué entiendes por área? 10: ¿Puedes mencionar tres fórmulas para calcular áreas?

4.6.4 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD Guía Nº 2 para el aprendizaje de la unidad Organización de debates y discusiones grupales sobre temática acordada. Consultas a bases de datos sobre la temática objeto de estudio. Monitoreo y asesoría de los grupos de trabajo.

4.6.5 REFERENTES TEORICOS GENERALIDADES Y CONCEPTOS BÁSICOS EN ESTADISTICA INTRODUCCION A LA ESTADISTICA En términos generales, la estadística es la ciencia que se ocupa del estudio y la aplicación del conjunto de métodos necesarios para recoger, clasificar, representar y resumir los datos de un experimento aleatorio, así como para la realización de inferencias a partir del análisis de estos datos. Proporciona los procedimientos para evaluar la conformidad de la información empírica con los modelos teóricos propuestos que intentan explicar la realidad. En la actualidad la estadística está experimentando un importante avance, fruto de la disponibilidad de medios informáticos cada vez más avanzados que permiten el manejo de grandes volúmenes de datos, así como la aplicación de nuevos métodos. Para su estudio sólo se requiere una formación matemática básica, pues se incide en la interpretación y la aplicación de los métodos estadísticos más que en la formulación matemática de éstos; para su estudio la estadística se divide en Descriptiva e Inferencial, aquí solo será tratada la primera. ESTADISTICA DESCRIPTIVA

La estadística descriptiva es una disciplina que analiza una serie de datos para extraer conclusiones sobre el comportamiento de estas variables. Las variables pueden ser de dos tipos: Variables cualitativas o atributos: Son aquellas que no se pueden medir numéricamente. Ejemplo: Sexo, color de piel, nacionalidad, etc. Variables cuantitativas: Son aquellas susceptibles de medirse. Ejemplo: Edad, estatura, ingreso mensual, etc. Las variables también se pueden clasificar en: Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una sola característica. Ejemplo: Edad de los miembros de una familia. Variables bidimensionales: Son aquellas recogen información sobre dos características de la población. Ejemplo: Edad e ingresos semanales de los miembros de una familia Variables pluridimensionales: Son aquellas que tratan información sobre tres o más características. Ejemplo: Edad, estatura e ingresos semanales de una familia.

En cuanto a las variables cuantitativas, estas se clasifican en discretas y continuas: Discretas: Son aquellas que sólo pueden tomar valores enteros. Ejemplo: Número de integrantes de una familia.

Continuas: Son aquellas que pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo determinado Ejemplo: La edad actual de una persona puede ser un número determinado de años, meses y días.

Nota: En estadística es muy común e importante conocer con precisión algunos conceptos básicos como los relacionados seguidamente: Individuo: Es todo elemento del cual se pueda extraer información sobre el fenómeno objeto de estudio. Ejemplo: Si se estudia el ingreso semanal familiar, el padre es un individuo. Población: Es el conjunto de todas las personas, objetos, animales, etc.(individuos) de los cuales se extrae información según el fenómeno objeto de estudio. Ejemplo: Si lo que se estudia es el ingreso mensual de una determinada familia, la población son todos los miembros de esa familia.

Muestra: Es todo subconjunto tomado de la población. Ejemplo: Si se estudia el ingreso familiar mensual de una determinada familia, una muestra es lo que ganan el padre y la madre.

MEDIDAS DE POSICION CENTRAL Son aquellas que permiten información sobre la serie de datos objeto de estudio. Estas medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos y son de dos tipos:

a) Medidas de posición central: informan sobre los valores medios de la serie de datos, esto es, media aritmética, mediana y moda. b) Medidas de posición no centrales: Son aquellas que brindan informan sobre cómo se distribuye el resto de los valores de la serie, esto es, los cuantiles. a) Seguidamente se hace una breve descripción de las medidas de posición central 1.- Media: Corresponde al valor medio ponderado de la serie de objetos sobre los cuales se va a realizar el estudio. Existen fundamentalmente tres tipos de media a) Media aritmética: Su cálculo se obtiene multiplicando cada valor de la variable por el número de veces que se repite y la suma de estos productos se divide por el número total de datos de la muestra: Nota: Un aspecto importante de la media lo constituye el hecho de tener en cuenta todos los datos que intervienen en el estudio, sin embargo en muchos casos no refleja la verdadera situación del fenómeno objeto de estudio por estar influenciada por los valores extremos. 2.- Mediana: Corresponde al valor de la variable situada exactamente en el lugar que deja a ambos lados el 50% de los datos tomados para el estudio.

Presenta una dificultad por el hecho de tener en cuenta todos los datos que intervienen en el estudio. Ejemplo: Para los datos 2, 5.7, 8,9, la mediana corresponde al valor central, esto es el 7. 3.- Moda: Corresponde al valor que más se repite en un conjunto de datos. Ejemplo: En 2, 2, 3, 3, 3, 5, 6, 9, la moda corresponde al 3

Ejemplo: Aquí se presenta la tabla de distribución de frecuencias con los datos de la estatura de los alumnos de un determinado grupo de clases. Variable (Valor) x 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30

Frecuencias absolutas Simple Acumulada x x 1 1 4 5 4 9 2 11 1 12 2 14 3 17 3 20 4 24 3 27 3 30

Frecuencias relativas Simple Acumulada X x 3,3% 3,3% 13,3% 16,6% 13,3% 30,0% 6,6% 36,6% 3,3% 40,0% 6,6% 46,6% 10,0% 56,6% 10,0% 66,6% 13,3% 80,0% 10,0% 90,0% 10,0% 100,0%

Seguidamente se procede a calcular los valores de las distintas medidas de posición central: X

1.20 1  1.21 4  1.22  4  1.23  2  ...  1.30  3 30 , luego la media

1.- Media aritmética: corresponde a X  1.253 ; por tanto la estatura media de los alumnos del grupo es 1.253Cm

3.- Mediana: La mediana para este conjunto de datos corresponde a 1,26 cm, ya que por debajo y por arriba está el 50% de los datos. Para tal fin basta observar la columna de frecuencias relativas acumuladas.

4.- Moda: Puede notarse que hay tres valores de la variable que se repiten en 4 ocasiones, esto es, 1,21, 1,22 y 1,28, entonces es una distribución multimodal.

MEDIDAS DE DISPERSION

Son todas aquellas que estudian si los datos de una muestra se encuentran concentrados o dispersos. Existen varias medidas de dispersión, pero las más utilizadas son rango, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente de Pearson.

1.- Rango: Corresponde a la medida de la amplitud de los valores de la muestra y se calcula restando al mayor valor el menor. 2.- DESVIACION MEDIA: Corresponde a la media aritmética de los valores absolutos de las diferencias de los datos con respecto a la media aritmética ponderada de los datos. Su expresión xx F D n matemática corresponde a la fórmula mostrada, esto es, , en donde F corresponde a la frecuencia absoluta y n es el número de datos. 3: Varianza: Corresponde a la media aritmética ponderada del cuadrado de las desviaciones medias.

Su expresión matemática es

S2 





2

 xx F n

.

Una característica importante de la varianza lo constituye el hecho de ser siempre mayor que cero, lo cual significa que en la medida en que se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la variable con respecto a la media (alrededor). 4.- Desviación típica: Corresponde a la raíz cuadrada de la varianza. 5.- Coeficiente de variación de Pearson: Corresponde al cociente entre la desviación típica y la media. Ejemplo: Tomando los datos del ejercicio anterior, calcular las medidas de dispersión. 1.- Rango: Corresponde a la diferencia entre el mayor valor de la muestra (1,30) y el menor valor (1,20). Entonces el rango de esta muestra es 1.30 – 1.20 = 10 cm. 2.- Varianza: Se toma la media obtenida en el ejercicio anterior, esto es, 1,253. Entonces aplicando la fórmula vista se tiene





2

 xx F

(1.20  1.253) 2 1  (1.21  1.253) 2  4  ...  (1.30  1.253) 2  3 n 30 , por lo tanto se 2 tiene que S  0.0010 S2 



3.- Desviación típica: Como corresponde a la raíz cuadrada de la varianza, entonces aplicando la 2 fórmula se tiene que Dt  S  0.0010  0.0320

4.- Coeficiente de variación de Pearson: Corresponde al cociente entre la desviación típica y la 0.0320 Cp   0.0255 1.253 media de la muestra, por tanto , esto es, corresponde al 2.55%. Un hecho importante del coeficiente de variación de Pearson es que al ser un porcentaje permite comparar el nivel de dispersión de dos muestras. Esto no ocurre con la desviación típica, ya que viene expresada en las mismas unidas que los datos de la serie.

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD Antes de iniciar la probabilidad propiamente dicha de forma formal, es saludable establecer algunas definiciones muy útiles para el estudio del mismo, como las que aparecen a continuación. 1. Experimentos aleatorios: Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento a pesar de haberlo realizado en similares condiciones. 2: ESPACIO MUESTRAL: Se le llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Se suele representar por las letras E, S y Ω.

Ejemplo: Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E   c, s simplificada puede escribirse como

E   cara, sello

que deforma

3. SUCESOS: Son los elementos de un espacio muestral y se representan por letras minúsculas 4: EVENTOS: Es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral . Para designar cualquier suceso, también llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas.

.TIPOS DE ESPACIOS MUESTRALES Podemos diferenciar con claridad entre dos tipos de espacios muestrales: discretos y continuos. Discretos: Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales o eventos es finito o infinito numerable. Continuos: Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales o eventos es infinito incontable.

Ejercicio de espacio muestral El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos está dado por En el ejemplo anterior, pueden mencionarse como subconjuntos de   entre otros : Salir múltiplo de 5, esto es,

B   2,3,5,7, 11

E   5, 10

, Salir número primo, el cual está formado por

y salir mayor o igual que 10, es ,

C   10,11,12

 

TIPOS DE SUCESOS A: Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del experimento. B: Sucesos compuestos son los que están formados por dos o más resultados del experimento, es decir, por dos o más sucesos elementales. C: Suceso seguro es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral. D: Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por   .

ACTIVIDAD Nº1 Usa la información tratada y tu saber previo para encontrar el espacio muestral. 1: Considere el experimento de lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior. 2: Lanzar dos monedas al aire y observar las caras superiores. 3: Lanzar un par de dados y sumar los números obtenidos en sus caras superiores 4:Un experimento consiste en interrogar a tres mujeres si lavan su ropa con el jabón marca X 5: Un experimento consiste en lanzar simultáneamente un dado y una moneda y anotar lo mostrado en sus caras superiores

6: Lanzar un par de dados y anotar cuando la suma de sus caras superiores sea par 7: Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. 8: Extraer tres bolas del mismo color 9: Extraer al menos una bola blanca 10. Extraer una sola bola negra 11. Un estudiante responde al azar a cuatro preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio. 12: Escriba el suceso responder “falso” a una sola pregunta.

13: Escriba el suceso responder “verdadero” al menos a 3 preguntas 14: Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a cuatro personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de votar por Mockus en la segunda vuelta. Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando la letra "s" para las respuestas afirmativas y "n" para las negativas. 15: Si se lanzan tres monedas al mismo tiempo, ¿cuál es el espacio muestral de los resultados posibles?

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

Definición: La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles. Si indicamos la probabilidad del seceso A por p(A),

p ( A)  podemos expresar esta definición como:

número de casos favorables al suceso A número total de casos posibles

Ejercicios: Considere el experimento aleatorio de lanzar un dado, se pide la probabilidad de obtener: a) Número impar

b) Número primo

c) Múltiplo de 3.

d) Múltiplo de 5.

Solución: Primero se forma el espacio muestral del experimento, esto es, E ={ 1,2,3,4,5,6}; puede notarse que el número de casos posibles es 6. Seguidamente se forman los sucesos cuya probabilidad nos piden: 3 1  6 2 a) A= " obtener impar" = {1,3,5}; por tanto se tiene que 3 1 p( B)   6 2 b) B= " obtener número primo" = {2,3,5}, luego se tiene que p ( A) 

c) C= " obtener múltiplo de 3" = {3, 6}, entonces aplicando la fórmula se tiene que d) D ="obtener múltiplo de 5 " = {5}, por tanto aplicando la fórmula anterior

p(C ) 

p ( D) 

2 1  6 3

1 6

PROPIEDADES 1. la probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula, esto es, p(A) ≥ 0 2. la probabilidad del suceso cierto es igual a la unidad, esto es, p(E) =1

3. la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos

EJERCICIOS: Usa lo visto anteriormente para resolver EL siguiente taller. 1: C onsidere el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos datos y anotar la suma de los puntos de las caras superiores. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Obtener suma de igual a 8 .

b) Obtener suma menor o igual a 4

2: Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

Dos caras.

b ) Dos sellos

c ) Dos caras y un sello

3: Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4. 4 : S e lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos.

Se pide: 4.1 La probabilidad de que salga el 7. 4 . 2 La probabilidad de que el número obtenido sea par. 4 . 3 La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres. 5 : Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que: 5 . 1 Salga 6 en todos.

5.2 Los puntos obtenidos sumen 7.

6 : Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga: 6 . 1 Un número par.

6.2 Un múltiplo de tres.

6.3 Mayor que cuatro.

7 Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar,

encuentra la probabilidad de que: 7 . 1 Sea roja. amarilla.

7.4 No sea roja.

7.2 Sea verde.

7.3 Sea

7.5 No sea amarilla.

8: Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES INTRODUCCION. El concepto de límite reviste fundamental importancia en el cálculo, hasta tal punto que es precisamente lo que lo hace diferente del álgebra, por tal motivo el lector debe procurar interiorizarlo de forma intuitiva, cosa que, no es muy compleja hacerla; el propósito aquí es

introducir al lector en este concepto, sus propiedades, mecánica en general y aplicaciones en el campo de la administración que contribuyan al propósito general del curso, esto es, estimular en el estudiante el pensamiento de tipo matemático capacitándolo en la habilidad de desarrollar competencias interpretativas, argumentativas y propositivas.

CONCEPTO DE LÍMITE Seguramente en muchas ocasiones se haya tenido que enfrentar a situaciones en donde tenga que acercarse todo lo posible a algo sin poder o querer tocarlo, esto es, al acercarnos lo más que se pueda a algo es un utilizar el importante concepto matemático llamado “límite”. El análisis intuitivo anterior, interesa ahora hacerlo en funciones reales, esto es, describir lo que le sucede a una función f(x) cuando la variable independiente x se acerca lo máximo posible a un valor constante c por izquierda o por derecha, lo cual permite hacer una primera aproximación al concepto de límite de la siguiente forma.

Idea intuitiva: Si f(x) se acerca cada vez más a un número L a medida que x se aproxime cada vez más a un valor c por izquierda o por derecha, entonces se afirma que L es el límite de f(x) cuando x se aproxima a c.

lim f ( x )  L

Simbólicamente: x  c

, cuya lectura es, límite cuando x tiende a c de f(x) es igual a L

lim f ( x)  5

Ejemplo: Si f ( x)  x  1 , la expresión x  2 , significa que en la medida en que x se aproxime cada vez más a 2 por izquierda o por derecha, el valor de f(x) es cada vez más próximo a 5 como puede verse en la siguiente tabla. 2

x f(x)

1.5 3.25

1.6 3.56

1.7 3.89

1.8 4.24

1.9 4.61

lim f ( x)  L

DEFINICION FORMAL: x  c

1.98 4.92

1.999 4.996

2 5

2.001 5.004

2.01 5.04

2.1 5.4

2.3 6.29

2.4 6.76

, si y solo si, para todo número positivo  arbitrariamente

0  x  c  0  f ( x)  L   pequeño, existe otro número positivo  tal que si , entonces . Lo anterior significa que el límite de f(x) a medida que x se acerca a c es L, si la diferencia entre los números f(x) y L puede llegar a ser tan pequeño como se desee, tomando x lo suficientemente próximo a c. CALCULO DE LIMITES Para el éxito en el propósito de esta sección, es preciso describir algunos aspectos generales muy importantes en los límites.

1: En muchos casos

lim f ( x) xc

, no coincide con f(c), esto significa que f no está definida en c.

2: El límite describe lo que le ocurre a la función para valores de x muy próximos a c. 3: No siempre existe el límite de una función en un punto c 4: El límite de f(x) en c es independiente de la orientación del acercamiento, esto es, debe ser el mismo para valores x  c 5: La expresión aproxima a c.

lim f ( x)  L xc

o c x .

significa que la imagen de f en x tiende a L a medida que x se

Seguidamente se procede al cálculo de límites, para lo cual existen dos formas básicas; mediante la definición y usando ciertas reglas o propiedades, las cuales serán enunciadas aquí sin demostración, ya que los fines u objetivos propuestos implican hacer énfasis en la mecánica misma y en la aplicación a problemas propios de la carrera. Por fines prácticos, los límites serán calculados de la segunda forma, esto es, usando las siguientes propiedades. 1: Si f(x) = k, 2: Si f(x) = x,

lim f ( x)  lim k  k xc

xc

, esto es, el límite de una constante es igual a la constante.

lim f ( x )  lim x  c x c

x c

3: Si k es una constante,

, el límite de una función idéntica es igual a la constante

lim kf ( x )  k lim f ( x) xc

xc

, esto significa que la constante sale del límite.

n lim  f ( x )   lim f ( x )  x  c  4: Si n es un número real, entonces x  c

lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x )  lim g ( x)

xc xc 5: x  c la suma( diferencia) de los límites.

lim  f ( x) . g ( x )  lim f ( x) . lim g ( x)

6: x  c límites.

x c

f ( x)  f ( x )  lim xc lim   x  c g ( x)  g ( x)   lim x c

7: límites.

x c

si

, esto es, el límite de una suma(diferencia) es igual a

, el límite de un producto es igual al producto de los

lim g ( x)  0 xc

n

, el límite de un cociente es igual al cociente de los

A: METODO DIRECTO: Si f(c) está definido, en este caso el proceso consiste en hallar f(c), para lo cual se aplican las reglas literalmente reemplazando la variable por la constante c y efectuando las operaciones indicadas. Ejemplo 1: Si

f ( x) f ( x)  5 x 3 , calcular lim x2

Solución: Aplicando la propiedad 3,

lim 5 x 3  5 lim x 3 x2

lim 5 x  5 lim x  5 2  5  8  40 3

x2

3

x2

y luego usando la propiedad 4 se obtiene

3

x2

Ejemplo 2: Calcular

lim 4 x 2  5 x  7

x  3

Solución: Aquí puede notarse con claridad que es necesario aplicar las propiedades 5, 4, 3 y 1

lim 4 x 2  5 x  7  4(3) 2  5(3)  7  4  9  15  7  36  15  7  36  22  14

x  3

x 2  6x  2 Ejemplo 3. Resolver x 1 3x  1 lim

x 2  6 x  2 12  6  1  2 1  6  2 x 2  6 x  2 lim 3 x 1 lim     x 1 3x  1 lim 3x  1 3 1  1 3 1 2

Solución: este ejercicio se utilizaron cociente.

x 1 ; es claro que en varias de las propiedades enunciadas antes, iniciando por el

Los límites correspondientes al método directo son aquellas funciones en las cuales su gráfica no tiene interrupciones, como se muestra en la figura 1.

Figura 1

f(x)

Aquí puede notarse que la gráfica de la función mostrada no se interrumpe en su recorrido, por lo tanto calcular el límite en un punto c, será posible, esto es, corresponde al primer método.

METODO INDIRECTO: Si f (c) no está definida, en este caso el proceso consiste en modificar algebraicamente (si es posible) la expresión dada hasta obtener otra función equivalente en la cual pueda aplicarse el método directo; al método indirecto se presenta generalmente en

f ( x)  funciones racionales, es decir, de la forma siguientes caso.

f ( x) 

g ( x) h( x) y además pueden presentarse los

g ( x) lim h( x)  0 y lim g ( x)  0 h( x) , con x  c xc , entonces el límite de f no existe, esto es,

Si no hay forma de modificar la expresión original para aplicar el método directo

x6 Ejemplo: Calcular si es posible x 1 x  1 lim

Solución:

Aquí

puede

notarse

que

g ( x)  x  6

y

h( x )  x  1 ,

además

lim x  6  1  6  5  0 x 1

y

lim x  1  1  1  0 x 1

f ( x) 

, entonces por lo expresado antes, el límite de f(x) no existe.

g ( x) lim h( x)  lim g ( x)  0 h( x ) , con x  c xc , en este caso, el límite de f(x) puede o no existir y

Si para ello modificar algebraicamente la expresión original conduce en muchos casos a otra expresión equivalente donde es posible aplicar el método directo.

x2  9 Ejemplo. Calcular x  3 x  3 lim

Solución: Si se intenta aplicar el método directo puede notarse que conduce a una expresión no

x 2  9 32  9 9  9 0    3  2 3  3 0 , lo cual no corresponde a ninguna forma definida, esto es, x  3 x  3 lim

determinada ya que la división por cero no existe; ahora modificando algebraicamente la

x2  9  x  3 x  3  lim ( x  3)  3  3  6  lim x 3 x 3 x3 expresión se tiene, x  3 x  3 . lim

lim g ( x )

y

lim h( x)

xc Si f(x) = g(x) – h(x) y además x  c no existen, entonces combinar las dos funciones para formar una sola en muchos casos conduce a una nueva expresión en donde pueda ser posible la resolución del límite.

1   x lim    x 1  x 1 x 1 Ejemplo: Calcular Solución: Al efectuar las operaciones, teniendo en cuenta que se refiere a sustracción de

1   x  x 1 lim    lim  11    lim x 1 x 1 x  1 x 1 x  1 x  1     fracciones con igual denominador se obtiene,

El método anterior, desde el punto de vista gráfico corresponde a funciones en las cuales se presentan interrupciones como muestran las gráficas 2A. y 2B

Gráfica 2A 4

.

y

2

x

0 -6

-4

-2

0

2

-2

-4

c

4

6

En la gráfica 2A puede notarse que cuando x se acerca a 2 por la derecha, la Gráfica imagen 2Bcrece indefinidamente, mientras que cuando se acerca por la izquierda, la gráfica desciende indefinidamente. En la gráfica 2B se aprecia que para c no existe imagen ya que la función tiene un hueco o interrupción para cuando x = c.

TALLER N° 2: Usa la información tratada para la resolución de los ejercicios planteados

lim x  x

x 1 x2 x  3 2)

lim x 2  9

x 1 6) x  0 x

2

1)

5)

x2

x4

x2 1 3) x  1 x  1

lim

lim

7)

x5

8)

2 x 2  14 x 10) x  7 x  7

( x  2) 2  4 x 11) x  0

20 x 2  15 x lim 5x 13) x  0

x3 1 lim 14) x 1 x  1

x2  6 lim 15) x   6 x  6

x3 lim h  5 5  x 17)

x ( x 2  1) lim x 18) x  0

lim

lim

lim 49

x2  x  2 9) x  2 x  2 lim

2x 2 x  3 3 4) x 1 x  4

lim

x 2  9 x  20 2 12) x  4 x  3 x  4

lim

19)





lim x 2  1 1  2 x 

x  1

lim ( h 2  5)

h  5

lim

16)

2

20)

lim

x 1

x 1 x 1

lim (1  5 x 3 ) x0

será el precio estimado dentro de 5 meses y cuál su decrecimiento?

CONTINUIDAD DE FUNCIONES De forma muy general se puede afirmar que una función continua es aquella cuya representación gráfica es una curva que no presenta huecos ni es segmentada, esto es, su gráfica es ininterrumpida; este tipo de funciones presenta algunas características especiales que las resaltan de las discontinuas y las hace objeto especial de estudio, para tales fines y de forma más rigurosa pueden definirse de la siguiente forma. DEFINICIÖN: Si f es una función, se afirma que es continua en un punto c si cumple las siguientes propiedades. 1) f(c) está definida plenamente

2)

lim f ( x ) x c

existe

3)

lim f ( x)  f (c) x c

Los gráficos siguientes representan funciones, corresponda

continuas

g(x)

f(x)

o discontinuidad según el

h(x)

p(x)

Gráficamente es claro que las funciones f y g son continuas, mientras que h y discontinuas

p son

2 Ejemplo 1: Determine si f ( x)  x  1 es continua o no en x = 3 2 Solución: Es claro que f(3) está definido y para el caso se tiene que f (3)  3  1  9  1  8

Además

lim f ( x )  lim x 2  1  3 2  1  9  1  8  f (3) x3

Ejemplo 2: Si

x 3

f ( x) 

x2 x 2  4 , determinar si es continua o discontinua en x = 2

x2 2 Solución: Cuidadosamente puede notarse que f(2) no está definida y además x  2 x  4 no lim

existe ya que al reemplazar la variable por 2 en el numerador da distinto de cero, mientras que en el denominador da cero; por lo tanto f no es continua en x = 2.

LIMITES CON INFINITOS En esta sección serán tratados aquellos casos de funciones que crecen o decrecen indefinidamente cuando la variable independiente(x) se aproxima a un determinado valor c, esto es, los valores de f(x) muy grandes o muy pequeños, lo cual es común notar como

lim f ( x )   o lim f ( x)    x c

xc

El símbolo  que se lee infinito, en ningún caso representa un número, ni significa que el límite existe, solamente expresa una forma particular de decir que el límite en el punto c no existe.

Ejemplo 1: En

f ( x) 

simboliza como

lim

x0

3 x 2 , es claro que f(x) crece indefinidamente cuando x se a cero, lo cual se

3  x2 y como además puede notarse en la gráfica 1, 4

y

2

x

0 -6

-4

-2

0

2

4

6

-2

La gráfica muestra que cuando x se aproxima a cero, por izquierda o por derecha, los valores de la función crecen indefinidamente, por esta razón se afirma que el límite tiende a infinito, lo cual se simboliza por la expresión

-4

lim f ( x)   x0

De lo expuesto anteriormente se infiere la siguiente definición: Si f es una función definida por izquierda y por derecha de un punto

lim f ( x)  

c(excepto posiblemente en c), entonces x  c significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes eligiendo valores para x muy cercanos a c. De forma

lim f ( x)   

análoga se puede hablar de x  c para indicar que los valores de f(x) arbitrariamente cuando se escoge x muy próximo a c por izquierda o por derecha.

lim

x4

decrecen

2 2 lim x  4 x  4 . Solución: Es claro que la expresión x  4 significa que x se

Ejemplo: Encontrar aproxima a 4 por la izquierda, esto es, los valores de x son menores que 4, por lo tanto, x – 4

2 será un número negativo muy pequeño, lo cual conduce a que x  4 sea un número negativo muy grande en valor absoluto y esto significa que el límite tiende a infinito, lo cual se nota como

lim

x4

2  x4

Seguidamente serán tratados otros casos similares a los anteriores, con la diferencia de que ahora quien crece o decrece indefinidamente será la variable independiente x, y se desea saber lo que ocurre con los valores de la función en tales circunstancias, esto es, se analizarán límites de funciones que tengan la forma

lim f ( x )

x

.

En el cálculo de límites que involucran infinitos es muy común encontrarse con las llamadas formas indeterminadas, esto es, funciones que no están definidas en un punto y que a manera de resumen se pueden señalar como aparece seguidamente.

 

0 0



0 

1

00

f ( x) 

0 1 x 2 cunado x crece

Ejemplo 1: Describir lo que ocurre con los valores de la función indefinidamente. La gráfica muestra que cuando x crece indefinidamente, la curva tiende a tocar el 4 y eje X, esto es, los valores de la función tienden a cero, por lo tanto, dicha situación

1 0 2 puede ser expresada como x   x lim

2

x

0 -6

-4

-2

0

2

-2

-4

4

6

De forma similar se puede afirmar que cuando x decrece indefinidamente, los valores de f(x) tienden a cero, luego

1 0 x x2 . lim

k 0 n De lo anterior se infiere de forma general, que para n  0 , x   x y lim

k 0 x xn para k lim

un real cualquiera distinto de cero. Después de lo dicho anteriormente, se presentan algunos ejemplos que muestran la forma sugerida para tratar las indeterminaciones que puedan presentarse cuando se trata de resolver un límite aplicando el método directo inicialmente.

0 Caso 1: Indeterminación de la forma 0 : Esto ocurre cuando en el numerador y el denominador existe algún factor que se anula, esto es, se hace cero y generalmente presenta la forma x – c, en donde c es una constante; para poder calcular el límite hay que eliminar dicho factor(si es posible) mediante la factorización en muchos casos.

x2  x  2 0 Ejemplo 1: Calcular x 1 x  1 lim

Solución: Aquí puede notarse que al intentar resolver el límite de forma directa se obtiene la

0 forma 0 , además el denominador tiene la forma x – c, por tanto hay que eliminar dicho factor, ( x  2)( x  1) lim  lim x  2  1  2  3 x 1 x 1 para lo cual al factorizar el numerador se obtiene x 1   : Esta indeterminación se da cuando x crece Caso 2: Indeterminación de la forma P ( x) f ( x)  m Qn ( x ) , con m y n indefinidamente y la función es racional, esto es, presenta la forma los grados de los polinomios P y Q respectivamente. Para este caso, el proceso consiste en dividir cada término del numerador y del denominador por la variable con mayor exponente y luego hacer uso de la conclusión anterior la cual establece que para n  0 ,

lim

x

k 0 xn y

lim

x

k 0 xn para k  0 un real cualquiera.

3x 2  5 x  3 2 .Ejemplo 1: Calcular x   2 x  x lim

Solución: Es claro que al reemplazar de forma directa, se presenta la indeterminación 3 mencionada, luego dividiendo cada término del numerador y denominador por x se obtiene la

3x 2 5 x 3 5 3  2  2 3  2 3x  5 x  3 x  lim x x  300  3 lim  lim x 2 x 2 x x   x   1 20 2 2x  x 2x x 2  2 2 x x x siguiente expresión. 2

Ejemplo 2: Calcular

lim

x 

5x  1 2x 2  7x

2 Solución: Aplicando el procedimiento descrito, aquí se divide por x cada término del numerador y denominador, obteniendo

5x 1 5 1  2  2 2 5x  1 x x x x  00  0 0 lim 2  lim  lim 2 x  2x  7x x   2x 20 2 7x x 2  7  2 2 x x x

Ejemplo 3. Hallar

3x 2  5 x  2x  x lim

Solución: Se divide numerador y denominador

por

x2 ,

3x 2 5 5  2 3 2 2 2 3x  5 x  lim x  30  3   lim  lim x x  2x  7 x  2x x  2 7 7 00 0  2  2 2 x x x x entonces se obtiene . Caso    : Este tipo de límites se presenta generalmente en las funciones polinómicas, y para cuando la variable independiente se encuentra haciendo parte de radicales. Para el caso de polinomios, es claro que estos límites son indefinidos ya que pueden adquirir

cualquiera de las formas:      k    k   k       entre otras, las cuales no están definidas por que como se afirmó antes,  no es un número, es decir, no se puede operar con el, por lo tanto en el cálculo de este tipo de límites basta tomar el término de mayor grado en el polinomio, en cuyo caso el resultado será  o   dependiendo del signo del coeficiente numérico de dicho término.

Ejemplo: Calcular

lim (7  5 x 2  4 x 3  3 x 4 )

x

Solución: Es claro que al intentar resolver de forma directa, el límite no está definido por tomar

lim (7  5 x 2  4 x 3  3 x 4 )  lim (3x 4 )   

x

las formas enunciadas anteriormente, luego no es otra cosa que decir que la función crece indefinidamente.

x

, que

En la otra forma mencionada antes, la variable independiente se encuentra haciendo parte de algún radical y tiene como proceso de resolución, multiplicar y dividir la expresión dada por la conjugada (la misma expresión con signo cambiado entre sus dos términos) de dicha expresión, lo cual en muchos casos permite eliminar la indeterminación y resolver el límite de forma directa que es precisamente lo que se busca.

Ejemplo:

lim 9 x 2  2 x  3 x

x 

lim 9 x  2 x  3x  lim 2

x 

lim 9 x 2  2 x  3 x 

x 

Solución: Se multiplica y divide por la conjugada, entonces

( 9 x  2 x  3x )( 9 x 2  2 x  3 x) 2

x

9 x 2  2 x  3x

9x  2x  9x 2

2

9 x  2 x  3x 2

 lim

x

2x 9 x  2  3x 2

,

entonces

 lim

x

2x x 2 9x 2 x 3x  2  2 x , en donde se x x

aplicó el caso anterior de límites infinitos, dividiendo por x todos los términos, por lo tanto

lim 9 x 2  2 x  3x  lim

x 

x 

2 9

2 3 x



2 9 3



2 2 1   33 6 3

TALLER (N° 3) GENERAL: Usa la teoría tratada para dar solución a los ejercicios y problemas planteados a continuación. 1: Enumere los valores de la variable independiente x para los cuales la función no es continua

x2 1 f ( x)  x3 1.1 2 1.4 f ( x)  x  8 x  3

f ( x)  1.2

x 3  3x ( x  2)( x  5)

1.5 f ( x)  8 x  3

1.3

1.6

f ( x) 

x 2  3x  1 x

f ( x) 

3x 2  7 5

2: Pruebe la validez o no de los siguientes límites

4 x 2  5x 2 2 2.1 x   1  2 x

x2 1 1  2 8 2.2 x   7  2 x  8 x

lim

lim

3: Calcula si es posible cada uno de los siguientes límites, en caso contrario justifica tu respuesta.

x 1

x9 2 3.1 x  1 x  81

x2 3 3.2 x  0 x  8

3.3

x3  8 3.4 x  2 x  2

x2 1 2 3.5 x  1 x  x

x2  4 2 3.6 x  2 3 x  6 x

5 x

x 2  3x 3.8 x  2 x  1

x2  x  2 3.9 x 1 1  x

1   lim  2  3  x0 3x   3.11

x2  2 2 3.12 x  0 x  2 x

lim

lim

lim 3.7

x4

5 x

 1 1 lim  2   x 1 x x  3.10

lim

lim

lim

lim

x0

3 x 2

lim

lim

lim

1   x 1 lim    x2 x  2 x 2  3.13

3.14

lim

x0

3  3 x x

lim 3.15

x4

x4 x 2

LA DERIVACION

INTRODUCCION El cálculo diferencial conjuntamente con el integral forman una de las ramas de la matemática más importantes, ya que en un mundo cambiante como el nuestro, es fundamental desarrollar métodos matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar dichos cambios, que es el firme propósito del cálculo diferencial, esto es, por esta razón al cálculo diferencial se le conoce actualmente como “la matemática de los cambios”. El cálculo diferencial es una asignatura tradicional y fundamental en los planes de estudios a nivel universitario en los diferentes programas o carreras, y en la historia de la matemática se resalta a Gottfried Wilhelm Leibniz, filósofo y matemático alemán junto con Isaac Newton, físico, matemático y astrónomo inglés, quien trabajando de forma independiente llegó también al cálculo diferencial y por tales motivos son considerados como los pioneros del cálculo diferencial.

dy A Leibniz se debe entre otras cosas el nombre de cálculo diferencial y la notación dx , mientras que Newton basado en el estudio del movimiento llegó al importante concepto de derivada. Para su estudio el cálculo diferencial puede ser introducido por dos caminos distintos, mediante la consideración de la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado de su dominio usando el concepto de límite y mediante el enfoque de razones de cambio, que según la historia, el cálculo diferencial inicialmente desarrolló una noción intuitiva de la razón de cambio y después se formalizó lo que es el límite y la continuidad; esto significa que este enfoque determinó su origen y objetivos iniciales. Aquí se asume este segundo enfoque, porque permite describir el cambio relativo de una magnitud con respecto a otra y llegar así a muchos problemas significativos para los estudiantes de administración.

RAZON DE CAMBIO Por razón de cambio se entiende la medida en que una variable cambia con respecto a otra, esto es, si dos magnitudes (variables) están conectadas mediante una relación funcional, es posible estudiar el cambio relativo de una de las magnitudes con respecto a la otra y para tales

fines se precisa seguidamente lo que se conoce como cambio o incremento de una variable o función, razón de cambio promedio o tasa de cambio promedio y razón de cambio instantáneo.

f ( x1 )  y1

y  f (x) , con

x 2 valores de su dominio, tal que f ( x 2 )  y 2 son las imágenes bajo f de x1 y x 2 respectivamente, entonces.

Definición: Dada una función

y

x1

y

x 2 , esto es, x 2  x1 , se le llama incremento de x, el cual se representa por x , es decir, x  x 2  x1 , lo que significa la El cambio en la variable independiente x cuando pasa de

x1

a

diferencia entre un valor final respecto a uno inicial.

El cambio (real) en los valores de la función (imágenes), al pasar de y1

a

y 2 está dado por

la diferencia y 2  y1 , que se le denomina incremento de la función y se simboliza por

y  y 2  y1  f ( x 2 )  f ( x1 ) .

y f ( x  x )  f ( x) x El cociente x , esto es, se le llama razón de cambio promedio o tasa de cambio promedio de y respecto a x, dónde x1  x y x 2  x  x . lim

f ( x  x)  f ( x) x se le llama razón de cambio instantáneo de f en x, o

x  0 La expresión pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en (x, f(x)).

El siguiente gráfico permite visualizar el cambio en la variable independiente x y en la dependiente y.

Aquí puede verse el cambio en x, de un valor

f ( x  x) f(x)

f

inicial a uno final, esto es, x  x 2  x1 y el cambio que experimenta la función al pasar de un valor inicial x a un valor final x  x , en donde se x sea lo puede inferir que cuando suficientemente pequeño, entonces el valor de f(x) se aproximará lo suficiente a f ( x  x)

x x

x  x

Ejemplo 1: Dada la función f ( x)  2 x  1 y supóngase que x cambia de 3 a 3.25, hallar Incremento de la función (cambio real); Razón de cambio promedio y instantáneo

Razón de cambio

x  3, x  0.25 y x  x  3.25 , por lo tanto usando y  f ( x  x)  f ( x)  f (3.25)  f (3)  2  3.25  1  (2  3  1)  6.5  1  6  1 , esto es, el incremento o cambio real de la función es y  0.5 . Solución: a) Los datos del ejercicio plantean que

b) La razón de cambio promedio se obtiene por medio de la

expresión matemática

y f ( x  x)  f ( x) 2  3.25  1  (2  3  1) y 6.5  1  6  1 0.5     2 x x 0.25 0.25 0.25 , entonces x , lo

cual significa que el cambio de la variable dependiente con respecto a la independiente, es el doble, esto es, están en la relación de 2 a 1.

f ( x  x)  f ( x ) 2( x  x)  1  (2 x  1)  lim x  0 x x c) La razón de cambio instantáneo será x  0 , 2( x  x)  1  (2 x  1) 2 x  2x  1  2 x  1 2x lim  lim  lim  lim 2  2 x  0  x  0  x  0 x x x x  0 luego lim

Ejemplo 2: La ecuación C ( x)  500000  15000 x determina el costo de producir x unidades de cierta maquinaria en una empresa. ¿Cuál es el aumento en los costos al incrementar la producción de 800 a 1000 unidades?

¿Cuál es la razón de cambio promedio o tasa de cambio promedio del costo con respecto al número de unidades producidas?

x  800, x  200 y x  x  1000 , por lo tanto aplicando y  f ( x  x)  f ( x)  f (1000)  f (800)  500000  15000 1000  500000  15000  800 , esto

Solución: a) Aquí se tiene que

es, y  15000000  12000000  3000000 , se obtiene que y  3.000.000 , lo cual significa que el aumento en los costos de producción al pasar de 800 a 1000 unidades es $ 3.000.000.

y f ( x  x)  f ( x ) 3.000.000    15000 x 200 Aplicando la expresión vista anteriormente, x , esto y  15000 es, x es la razón de cambio Lo anterior significa que los costos con respecto al cambio en las unidades producidas se han incrementado en $ 15000 Ejemplo 3: El costo total para un fabricante de bolígrafos está conformado por costos indirectos fijos de $ 200, más $ 50 de costos de producción por cada unidad. Expresar el costo total como una función de la cantidad de unidades producidas Encontrar el costo promedio cuando la producción pasa de 150 a 100 unidades fabricadas Solución: a) Si x representa el número de unidades producidas y C(x) indica el costo total correspondiente, entonces costo total = (costo por unidad)(número de unidades) + costos indirectos, además como, 50 = costo por unidad; x = número de unidades y 200 = costos indirectos, entonces la función de costo total estará dada por C ( x)  50 x  200

b) La tasa de cambio o razón de cambio promedio del costo con respecto al número de unidades producidas es cambio o

C C ( x  x )  C ( x ) C (150)  C (100)   x x 100  150 , por lo tanto la tasa de razón

de

cambio

C 50(150)  200  (50 * 100  200) 7500  200  5000  200 2500      50 x  50  50  50 .

es

Observación: El signo menos en la respuesta indica una disminución en los costos de producción al disminuir el número de unidades fabricadas.

TALLER N° 4: Usa la información tratada, tus conocimientos y tu capacidad investigativa para responder los ejercicios y problemas propuestos.

1: Encuentra el incremento de la función y la tasa de cambio en cada uno de los casos propuestos 2 1.1 f ( x)  x  4 x  10 , si x pasa de 6 a 8 3a5

1.3

1.5

1.2

f ( x)  x 3  4 x 2  2 x  7 , si x pasa de

f ( x) 

3x  7 5 , si x pasa de – 1 a 1

1.4

f ( x) 

x 1 x  1 , si x pasa 1 a 3

4 3 1.6 f ( x)  x  2 x , si x pasa de 2 a 3

f ( x) 

x2 x  1 , si x pasa de 0 a 2

2: Resuelve los problemas planteados e interpreta los resultados obtenidos

x( p ) 

5000  40 p 150 relaciona el número de unidades vendidas x de

2.1 La ecuación de oferta cierto artículo, a un precio p por unidad.

¿Cuál es el cambio en las ventas al incrementar el precio de $ 50 a $ 57.50?.

5000  150 x 40 2.2 La ecuación de demanda , relaciona el número de tarjetas vendidas I  px con el precio p; si el ingreso está dado por , en donde p es el precio unitario y x el P( x ) 

número de tarjetas vendidas, encuentra la tasa de cambio promedio del ingreso al incrementarse el número de tarjetas vendidas de 15 a 20.

p ( x)  1000  x , determina la relación entre el precio y el número de artículos que se venden en una fábrica, cuya ecuación de costos es C ( x)  10.000.000  150 x . 2.3 La ecuación

Si la producción se incrementa de 40.000 a 48.400 unidades, hallar. a) Incremento en los costos. b) Incremento en los ingresos. c) Incremento en la utilidad. d) Tasas de cambio para el costo, ingreso y utilidad. Recuerde: utilidad = ingresos - costos

3: El precio de cierto pan integral aumenta según la ecuación número de meses después de uno referencial.

P(t )  2t  86 , donde t es el

Si el primero de enero el precio era de $ 100, ¿cuál será el precio del pan el 30 de abril del mismo año

4. Un fabricante puede vender cierto producto a $ 110 la unidad. El costo total equivale a costos indirectos fijos de $ 7500 más costos de producción de $ 60 por unidad. a) ¿Cuántas unidades debe vender para alcanzar el equilibrio? b) ¿Cuál es la utilidad o la pérdida del fabricante si vende 100 unidades? c) ¿Cuántas unidades debe vender para obtener una utilidad de $ 1250?

LA DERIVADA Después de hablar de razones de cambio de una variable con respecto a otra, el objetivo de esta sección se centra en proporcionar las herramientas adecuadas para calcular la derivada de una función en un punto de su dominio; para tal propósito, anteriormente se definió la razón de cambio instantáneo, que en la práctica se conoce como “derivada de una función”, esto es, su definición formal es. Sea

f(x) una función cualquiera, la derivada de f con respecto a x, se define como

f ( x  x)  f ( x) lim x  0 x , siempre que exista el límite.

Desde el punto de vista meramente simbólico, la derivada tiene entre otras las siguientes representaciones:

Ejemplo 1: Si

f ( x ) ;

Dxf ;

df ; dx

dy ; dx

f ( x)  4 x  10 , hallar f (x)

y

Solución: Aquí el proceso consiste en hallar el límite cuando x tiende a cero de la razón de cambio promedio, para lo cual se utiliza la fórmula vista en secciones anteriores, esto es,

f ( x  x )  f ( x) 4( x  x)  10  (4 x  10) 4 x  4x  10  4 x  10  lim  lim  x  0  x  0 x x x , 4x f ( x)  lim  lim 4  4  x  0 x x  0 luego , entonces se tiene que f ( x )  4 f ( x )  lim

x  0

2  Ejemplo 2: Dada la función f ( x)  x , hallar f (5)

( x  x) 2  x 2 x 2  2 xx  (x) 2  x 2 2 xx  (x) 2  lim  lim x  0 x  0 x  0 x x x Solución: , luego (2 x  x )x f ( x)  lim  lim 2 x  x  2 x  0  2 x x  0 x  0 f ( x)  2 x , x se tiene , por lo tanto   entonces como se pide para un valor específico, f (5)  2  5  10 , es decir, f (5)  10 f ( x)  lim

Se estableció antes que, mediante el enfoque de razón de cambio, la derivada de una función en un punto de su dominio corresponde a la razón de cambio instantáneo, ahora, desde el punto de vista geométrico la derivada de una función representa la recta tangente a la función en un punto determinado, lo cual se ilustra en el siguiente gráfico.

f/x) Q

p

Aquí se ha construido un conjunto de rectas secantes a la gráfica de la función f(x), con la similitud de que todas pasan por el punto P. Suponga que el punto Q se mueve a lo largo de la curva aproximándose cada vez más a P, entonces la última recta construida con doble flecha corresponde a la recta tangente a la curva en el punto P, a la ecuación de dicha recta se le conoce como “derivada de f en el punto P”

ALGEBRA DE DERIVADAS El uso de la definición para calcular derivadas tiene algunas dificultades, pues en muchos casos la resolución del límite resultaría tediosa; para fortuna tales dificultades pueden obviarse aplicando algunas propiedades que permiten calcular las derivadas de forma rápida y

relativamente fácil, siempre y cuando se haga un buen uso de ellas. En resumen las principales propiedades son las siguientes.

1: DERIVADA DE LA FUNCION CONSTANTE: La derivada de una función constante es igual a

 cero, esto es, si f(x) = c, entonces f ( x)  0 Ejemplo: Dada la función anteriormente se tiene

f(x) = 4, entonces aplicando la definición de derivada vista

f ( x )  lim

x  0

f ( x  x)  f ( x) 44 0  lim  lim 0 x  0 x x  0 x x

n 2: DERIVADA DE LA POTENCIA: Si f ( x)  x es una función diferenciable y n un número real n 1  cualquiera, entonces f ( x)  nx . 2  Ejemplo 1: Dada la función f ( x)  x , entonces f ( x)  2 x 1

dy 3 2  x Ejemplo 2: Si f ( x)  x , entonces dx 2 ; aquí puede observarse que el nuevo exponente 1 3 3 1 32 1 1     2 , corresponde a restar 1 al exponente original, esto es, 2 2 1 2 2 3 2

3: DERIVADA DEL MULTIPLO CONSTANTE DE UNA FUNCION: Si f(x) = cg(x), es una función derivable, en donde c es un número real cualquiera, entonces

f ( x)  cg ( x) .

3 2 2  Ejemplo: Dada la función f ( x)  5 x , entonces f ( x)  5  3 x  15 x

4: DERIVADA DE LA SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES: Si f(x) y g(x) son funciones derivables en un punto x de su dominio, entonces la derivada de la suma( o diferencia) de ellas es igual a la suma(diferencia) de las derivadas, esto es, si

d  f ( x)  g ( x)   d  f ( x)   d  g ( x)  dx dx dx . 3 2  Ejemplo: Dada la función f ( x)  5 x  x  8 , halla f (x)

Solución: Lo que afirma la propiedad literalmente es que se debe derivar cada término de la 2 2  función teniendo en cuenta los casos anteriores, entonces f ( x)  5  3 x  2 x  0  15 x  2 x

5: REGLA DEL PRODUCTO DE FUNCIONES: Si f(x) = g(x)h(x), con g y h funciones derivables

   en el mismo punto x de su dominio, entonces f ( x)  f ( x)  g ( x )  f ( x )  g ( x) f ( x)  ( x 3  4)(5 x  3) , calcula f (x)

Ejemplo: Si

Solución: Aquí comparando el ejercicio dado con la fórmula, puede notarse con facilidad que las funciones g y h

son,

g ( x)  x 3  4

y h( x)  5 x  3 respectivamente, además

g ( x)  3 x 2 y h ( x )  5 entonces f ( x)  ( x 3  4)  5  3 x 2 (5 x  3)  5 x 3  20  15 x 3  9 x 2  20 x 3  9 x 2  20 g ( x) h( x) , con g y h funciones derivables en el mismo 6: DERIVADA DEL COCIENTE: Si h( x)  g ( x)  g ( x)  h ( x) f ( x )   h( x )  2 punto x de su dominio y h( x )  0 , entonces f ( x) 

Ejemplo:

g ( x)  x 2  3 f ( x)  tanto,

f ( x ) 

x2  3 x 3 calcula f (x) : Solución: Comparando con la fórmula se tiene que y h( x)  x 3 respectivamente, además g ( x)  2 x y h ( x)  3 x 2 , por lo

f ( x) 

x 3  2 x  ( x 2  3)3 x 2 2 x 4  3 x 4  9 x 2  x3 2 x6 , luego

 

2 x 4  3 x 4  9 x 2  x 4  9 x 2  x 2 ( x 2  9) ( x 2  9) ( x 2  9)      f ( x )   x6 x6 x2x4 x 4 , esto es, x4

TALLER N° 4: Usa las propiedades vistas para calcular la derivada de la función en cada caso. 1) Calcula la derivada en cada caso y simplifica si es posible

4 2 5 4 3 2 1.1) f ( x)  5 x  7 x  8 x  1 1.2) g ( x )  2 x  7 x  8 x  10 x  4 x  6

1.4) f ( x)  2 x ( x  8) 2

1.7) f (t )  ( 2t  3)(3t  4)

1.5) f (t )  (t  1)( 2t  1)

5 4 3 2 3 1.8) g ( x)  4 x  5 x  8 x  12 x  4 x  6 x

3x 2 f ( x)  8 1.3)

1.6)

h( x ) 

3 2x  4

t2 f (t )  t 1 1.9)

1.10)

f (t ) 

(t  2)(t  3) 6

1.11) g ( x)  (2 x  7)( x  8)( x  4)

2 1.13) h( x )  x (3x  1)

1.14)

 2) Si f(3) = 4; g(3) = 2; f (3)   6  2.1  f  g  (3)

f ( x) 

y

1 6 3 5 5 4 x  x  x 1 3 5 4

h( x ) 

x2 2

1.15) g ( x) 

x

1.12)

g (3)  5 , hallar los siguientes números.

 2.2  g  f  (3)

 2.3  f  g  (3)

f   g  (3) 2.4  

3) Calcula la derivada para cada función en el punto dado 2 3.1 f ( x)  2 x( x  5 x  2) para x = 2 3 3.3 h( x )  5  6 x  2 x

3.5 g ( x )  20

para x = - 2

para x = 40

2 3.2 g ( x)  3 x  4 x  6 para x = 0 4 3.4 f (t )  2(13  t ) para t = - 5 2 3.6 h( x)  ( x  3x )( 4 x  5) para x = - 2

2 4) Con la función g ( x)  x  4 x  12 , hallar

d g 4.1 dx

4.2 Primero factoriza la expresión y después deriva como un producto

Compara los resultados obtenidos en 4.1 y 4.2, ¿qué observas?

REGLA DE LA CADENA Esta es una regla usada para funciones compuestas, esto es, si f es una función que depende de la variable u, cuya notación es f = f(u) y esta a su vez depende de la variable x, es decir, u =

df df du   u(x), entonces la derivada de f con respecto a x se calcula mediante la expresión dx du dx    o también por su equivalente f ( x)  f (u )  u ( x ) . Se puede interpretar la regla de la cadena como una generalización de la derivada de una potencia cuando la base es un polinomio, en cuyo caso aplicando la simple regla de la potencia no es suficiente.





5

2  Ejemplo 1: Si f ( x)  x  2 , hallar f (x)

2 Solución: Aquí es preciso señalar que u  x  2 , por lo tanto la función



f ( x)  x 2  2



5

se

  transforma en f ( x)  u ; ahora al aplicar la regla se tiene f ( x)  5u  u ( x)  5( x  2)  2 x , 5

4

2

4

2 4  en donde 2x corresponde a la derivada de u, por lo tanto f ( x)  10 x( x  2) . 2 2  Ejemplo 2: Calcular f (x) para f ( x)  3u  5u  7 , en donde u  x  8 x 2  Solución: Aplicando la regla de la cadena se tiene que f ( x)  6u  5  0  6( x  8 x)  5 , por 2  tanto se tiene que f ( x)  6 x  48 x  5

TALLER N° 5: Usa la regla de la cadena y las reglas vistas en las secciones anteriores para hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones.



2 1: f ( x)  3x  5 x

3: f ( x) 

7:

3

3 2 2 2: f ( x)  (2 x  5 x  9 x  7)



2 4: f ( x)  5 x 3 x  5 x



3

3

3x

f ( x)   9:

3

x3  3

 x2  3   f ( x)   x  1   5: f ( x) 



x2  4 4 ( x  2) 2

4.6.6 RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE

4.5 Recursos Para el Aprendizaje

6:

f ( x)  4  5 x 2  7 x  1

8: f ( x)   2 x  7 

10: f ( x) 

3

3

x 1 

x 1

Para el desarrollo de la unidad II y como forma de estimular y facilitar el aprendizaje de la competencia, serán utilizados los siguientes recursos:

Recurso Tecnológicos: Plataforma virtual Moodle, Correos electrónicos, Google, calculadoras, Cámara Fotográfica.recursos en la red como CNICE

buscadores como

Recursos Didácticos: Guía de aprendizaje Nº2,

Otros Recursos: Carpetas de evidencia de los CIPAS.

REVISTAS DIGITALES "EDUTEC". http://www.uib.es/depart/gte/revelec.html Contexto Educativo. http://contexto-educativo.com.ar

Nuevas Tecnologías. http://www.quadernsdigitals.net Novedades Educativas. http://www.noveduc.com.ar/501.HTM "International Journal of Educational Technology". http://www.outreach.uiuc.edu/ijet "EDUCAUSE". http://www.educause.edu "JIME"JournalofInteractiveMediainEducation. http://www-jime.open.ac.uk/current.html

Interactive Educational Multimedia. http://www.ub.es/multimedia/iem/

PORTALES EDUCATIVOS http://www.universia.net ;

http://nalejandria.com

http://www.maseducativa.com ; http://www.ensenet.com

http://www.educaweb.com ; http://www.uned.es/catedraunesco-ead/educacion.htm http://www.indexnet.santillana.es/

Las lecturas complementarias y de profundización de esta unidad se refieren a los temas tratados contenidos en el texto anexo y bibliografía sugerida.