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UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Dpto. de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas y Controladores

Conversión de Energía Eléctrica

Máquinas Eléctricas Rotativas Introducción a la Teoría General

Prof.: José Manuel Aller Castro Valle de Sartenejas, Octubre 2004

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Indice

Indice........................................................................................................ iii Prefacio.................................................................................................... ix Capítulo 1 Conceptos Básicos ..............................................................................1 Capítulo 2 Principios Básicos de Conversión Electromecánica ............................9 2.1 2.2 2.3

El convertidor electromecánico elemental ....................................... 9 Curvas características del convertidor electromecánico elemental....................................................................................... 14 Balance energético del convertidor electromecánico elemental .... 18

Capítulo 3 Teoría Básica de los Convertidores Electromecánicos de Energía .....21 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Energía y coenergía en el campo magnético................................. 21 Balance energético ........................................................................ 32 Ecuaciones internas de la máquina eléctrica ................................. 38 Ecuaciones de potencia eléctrica y mecánica................................ 42 Generalización de las ecuaciones internas de la máquina ............ 44

Capítulo 4 Circuitos Acoplados Magnéticamente..................................................51 4.1 4.2 4.3 4.4

Definiciones básicas ...................................................................... 51 Ecuaciones de tensión................................................................... 54 Coeficientes de acoplamiento y dispersión .................................... 54 El transformador como circuito acoplado....................................... 56

Capítulo 5 Principios Básicos de las Máquinas Eléctricas Rotativas ....................65 5.1 Características comunes................................................................... 65 5.2 Representación de los campos mediante devanados ortogonales ... 68 5.3 Máquinas con múltiples pares de polos. ............................................ 70

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Capítulo 6 La Máquina Generalizada ................................................................... 73 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11

Características comunes de las máquinas eléctricas..................... 73 La matriz de resistencias................................................................ 75 La matriz de inductancias............................................................... 75 Matriz de torque ............................................................................. 77 Cálculo del torque eléctrico ............................................................ 77 La máquina sincrónica ................................................................... 80 La máquina de inducción................................................................ 80 La Máquina de corriente continua .................................................. 81 Cálculo del torque a partir de las fuerzas magnetomotrices........... 82 El campo magnético rotatorio......................................................... 86 La máquina trifásica ....................................................................... 87

Capítulo 7 Transformación de Coordenadas........................................................ 91 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

Conceptos generales sobre transformación de coordenadas ........ 91 Estudio de la transformación .......................................................... 93 Matriz de resistencias en coordenadas abdq ................................. 95 Matriz de inductancias en coordenadas abdq ................................ 96 Matrices de generación en coordenadas abdq............................... 96 Ecuaciones generales de la máquina en coordenadas abdq ......... 97

Capítulo 8 Máquinas de Conmutador................................................................... 99 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Introducción.................................................................................... 99 Ecuaciones de las máquinas de conmutador ............................... 109 Características de operación de las diferentes conexiones.......... 111 Control de velocidad..................................................................... 119 Valores nominales y bases del sistema adimensional de unidades....................................................................................... 122 8.6 Reacción de armadura ................................................................. 123 8.7 Saturación de la máquina de corriente continua .......................... 125 8.8 La conmutación ............................................................................ 127 8.9 Pérdidas en las máquinas de corriente continua.......................... 132 8.10 Controladores electrónicos de velocidad...................................... 135 8.11 Máquinas especiales de corriente continua.................................. 141

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Capítulo 9 Principios Básicos de la Máquina de Inducción ...................................145 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 9.16 9.17 9.18 9.19

La máquina de inducción ............................................................. 145 Campo magnético rotatorio en máquinas con “m” fases.............. 146 Fuerza electromotriz inducida ...................................................... 150 Factor de paso de la bobina ........................................................ 152 Fuerza electromotriz en una bobina del estator ........................... 153 Fuerza electromotriz en el rotor ................................................... 154 El deslizamiento en la máquina de inducción .............................. 156 Equilibrio entre las fuerzas magnetomotrices del estator y del rotor........................................................................................ 157 Impedancia del circuito rotórico ................................................... 158 Circuito equivalente de la máquina de inducción ......................... 161 Ecuaciones de la máquina de inducción ...................................... 164 Característica torque eléctrico - deslizamiento ............................ 167 Punto de operación de la máquina .............................................. 171 El punto de operación nominal..................................................... 174 Sistema en por unidad ................................................................. 176 Ensayos para la determinación de los parámetros del circuito equivalente................................................................................... 179 Técnicas de estimación paramétrica aplicadas al circuito equivalente................................................................................... 183 Diagramas fasoriales de la máquina de inducción....................... 190 Características normalizadas de la máquina. Factor Q de calidad. ................................................................................... 194

Capítulo 10 El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción ...........................199 10.1 10.2 10.3 10.4

Introducción ................................................................................. 199 Lugar geométrico de la corriente del rotor ................................... 199 Potencia aparente, activa y reactiva en el diagrama de círculo ... 202 Balance de potencias para un punto de operación en el diagrama ............................................................................. 203 10.5 Recta del deslizamiento............................................................... 206 10.6 Torque máximo y potencia mecánica máxima ............................. 207 10.7 Lugar geométrico de la corriente del estator................................ 208 10.8 Construcción del diagrama de círculo.......................................... 211 10.9 Diagrama de círculo aproximado ................................................. 213 10.10 Modos de operación de la máquina en el diagrama de círculo .......................................................................................... 215

-v-

Capítulo 11 Operación de las Máquinas de Inducción ........................................... 217 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7

Introducción.................................................................................. 217 Arranque de motores de inducción............................................... 217 El rotor de jaula de ardilla............................................................. 220 Corriente de arranque .................................................................. 224 Régimen desequilibrado de las máquinas de inducción............... 228 Armónicas temporales en la máquina de inducción ..................... 240 Armónicas espaciales en la máquina de inducción ...................... 248

Capítulo 12 La Máquina de Inducción Bifásica....................................................... 253 12.1 Introducción.................................................................................. 253 12.2 Las componentes simétricas generalizadas................................. 254 12.3 Operación desequilibrada de la máquina bifásica de inducción ................................................................................. 257 12.4 La máquina monofásica de inducción .......................................... 259 12.5 Arranque de motores monofásicos de inducción.......................... 263

Capítulo 13 Análisis Transitorio de la Máquina de Inducción ................................. 271 13.1 Introducción.................................................................................. 271 13.2 Modelo de la máquina de inducción en fasores espaciales.......... 273 13.3 Régimen permanente de la máquina de inducción en fasores espaciales................................................................... 277 13.4 Transformación a variables de campo orientado.......................... 281 13.5 Control tensión-frecuencia de la máquina de inducción ............... 290 13.6 Controladores de torque y velocidad por campo orientado .......... 295 Capítulo 14 La Máquina Sincrónica en Régimen Permanente ............................... 301 14.1 Introducción.................................................................................. 301 14.2 Ecuaciones de la máquina sincrónica en coordenadas primitivas ...................................................................................... 305 14.3 Transformación a coordenadas dq0............................................. 310 14.4 Régimen permanente de la máquina sincrónica .......................... 320 14.5 Diagrama fasorial de la máquina sincrónica................................. 322 14.6 Potencia y torque eléctrico de la máquina sincrónica................... 326 14.7 Convenciones de la máquina sincrónica ...................................... 331 14.8 Valores nominales de la máquina sincrónica ............................... 333 14.9 Lugares geométricos de la máquina sincrónica ........................... 337 14.10 Circuito equivalente de la máquina sincrónica.............................. 343 - vi -

14.11 Curvas en “V” de la máquina sincrónica ...................................... 345 14.12 Medición de las reactancias permanentes de la máquina sincrónica .................................................................................................... 347 14.13 Análisis de la máquina sincrónica considerando la saturación................................................................................ 350 14.14 La máquina sincrónica en el sistema eléctrico............................ 359 Capítulo 15 Régimen Transitorio de la Máquina Sincrónica ...................................363 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10 15.11

Introducción ................................................................................. 363 Ecuaciones diferenciales de la máquina sincrónica..................... 364 Transitorios electromagnéticos de la máquina sincrónica............ 366 Cortocircuito brusco de la máquina sincrónica............................. 371 Interpretación física de las inductancias transitorias.................... 375 Tensión de armadura en circuito abierto...................................... 376 Sistema adimensional de unidades en la máquina sincrónica..................................................................................... 378 Análisis transitorio con resistencias ............................................. 383 Constantes de tiempo en circuitos acoplados magnéticamente ......................................................................... 388 Análisis transitorio aproximado ................................................... 391 Pequeñas oscilaciones de la máquina sincrónica ....................... 394

15.12 Efecto del enrollado amortiguador durante el período transitorio ..................................................................................... 399 15.13 Análisis subtransitorio aproximado............................................... 406 15.14 Determinación de las inductancias transitorias y subtransitorias.............................................................................. 408 15.15 Régimen desequilibrado de la máquina sincrónica ...................... 411 15.16 Estabilidad de la máquina sincrónica ........................................... 413 15.17 Diagrama de bloques de la máquina sincrónica........................... 422 Bibliografía .............................................................................................. 425 Problemas del Capítulo 2 ....................................................................... 433 Problemas del Capítulo 3 ....................................................................... 445 Problemas del Capítulo 4 ....................................................................... 449 Problemas del Capítulo 6 ....................................................................... 451 Problemas del Capítulo 7 ....................................................................... 453 Problemas del Capítulo 8 ....................................................................... 455 Problemas del Capítulo 9 ....................................................................... 461 Problemas del Capítulo 10 ..................................................................... 467

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Problemas del Capítulo 11......................................................................473 Problemas del Capítulo 12......................................................................475 Problemas del Capítulo 13......................................................................479 Problemas del Capítulo 14......................................................................483 Problemas del Capítulo 15......................................................................487

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Prefacio

En los últimos veinte años, en el Departamento de Conversión y Transporte de Energía de la Universidad Simón Bolívar se ha venido desarrollando un método moderno y sistemático para la docencia de los cursos de Conversión de Energía Eléctrica. Este método, fundamentado en las valiosas ideas aportadas originalmente por el Profesor Gastón Pesse Vidal después de más de 40 años de fructífera labor universitaria, amplía la visión de los ingenieros electricistas del próximo siglo, facilitando la incorporación de los nuevos desarrollos en electrónica y en particular de las nuevas técnicas para el control electrónico de potencia. A diferencia de los métodos clásicos, el método que se desarrolla en este trabajo permite el análisis de las diferentes máquinas eléctricas mediante una estructura general, donde las diferencias se establecen tan solo a partir de las fuentes de alimentación de los convertidores electromecánicos. Durante el curso se utiliza ampliamente el álgebra matricial con la finalidad de simplificar las operaciones matemáticas necesarias para el análisis permanente y transitorio de las máquinas eléctricas, pero sin descuidar en ningún momento la visión física de los fenómenos involucrados. Los cursos de conversión de energía eléctrica tienen por objeto dotar al futuro ingeniero electricista del basamento teórico conceptual mínimo, que le permita comprender y analizar los diferentes principios, problemas y condiciones de operación de las máquinas eléctricas convencionales, así como su interacción dentro del sistema eléctrico de potencia. Estos cursos no están orientados hacia el diseño o construcción de los convertidores electromagnéticos, aun cuando en algunos casos se desarrollan ideas muy generales que podrían servir de pie a cursos posteriores que enfrenten estos objetivos. En la actualidad estamos formando al ingeniero electricista que desarrollará su actividad en el siglo XXI. El perfil profesional de este ingeniero sufrirá probablemente grandes cambios con referencia a las necesidades actuales. Cada día el desarrollo tecnológico universal, e incluso el de las naciones con tecnologías más atrasadas,

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aumentará paulatinamente. Es necesario preparar a las nuevas generaciones para que puedan afrontar estos retos. Por esta razón debemos incorporar nuevas herramientas y conceptos que flexibilicen el conocimiento de las tecnologías en continua evolución. Para cumplir con este cometido es indispensable romper con los antiguos esquemas conceptuales que eran válidos cuando las máquinas eléctricas cumplian una función mucho más restringida. La investigación metódica y las continuas asesorías profesionales han permitido el desarrollo de esta visión actualizada y moderna de las máquinas eléctricas, dentro de los alcances y limitaciones impuestos por el nivel académico a quien van dirigidos estos cursos. La necesidad permanente de actualizar conocimientos, y la definición constante de nuevas metas y objetivos hacen indispensable la revisión periódica de este material. Con este espíritu ha sido concebido. Tengo la esperanza de que este trabajo simplifique un poco la difícil labor del docente en esta área, y el aun más complejo proceso de aprendizaje a los estudiantes de Ingeniería Eléctrica. El estudio de esta materia requiere una fuerte conceptualidad física y matemática. Muchos de los fenómenos deben interpretarse espacial y geométricamente. Estos aspectos complican la comprensión de muchos temas del curso y por este motivo he intentado utilizar el mayor número posible de ilustraciones, gráficos y diagramas durante su desarrollo. Finalmente quiero agradecer y dedicar estos apuntes a los innumerables colaboradores que he tenido durante todos estos años, y muy especialmente a las generaciones de ingenieros electricistas que permanente, entusiasta y desinteresadamente han participado en la revisión y discusión de los diferentes temas.

Prof. José Manuel Aller Castro

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Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller

Capítulo 1: Conceptos Básicos La energía es uno de los conceptos más importantes en el estudio de las máquinas eléctricas. La energía es la capacidad de realizar un trabajo. La energía se presenta en la naturaleza en diferentes formas. El objetivo de las máquinas eléctricas consiste en convertir la energía de una forma en otra. En los tres cursos de máquinas eléctricas se estudiarán los principios básicos de la conversión de la energía eléctrica. A continuación presenta un resumen de las densidades de energía que pueden ser almacenadas en diversos procesos físicos: 1. 2. 3. 4. 5.

Gravitación (100 m) ………………………………………… Energía Cinética (5000 rpm) ……………………………… Campo Magnético (2 Wb/m2) ……………………………… Campo Eléctrico (6.5 MV/m) ………………………… Batería de plomo ácido Pb®PbO2 ………………………

0.0098 0.053 0.0016 0.006 0.16

MJ/kg MJ/kg MJ/litro MJ/litro MJ/kg

6. 7.

Calor de reacción del combustible fósil ………………… Calor de recombinación H + H ® H2………………………

44.0 216.0

MJ/kg MJ/kg

8. 9.

Energía de Ionización ……………………………………… Fisión U235……………………………………………………

990.0 MJ/kmol 83000 MJ/kg

10. Fusión Deuterio+Tritio® He+17.6 MeV……………………

340000 MJ/kg

Se puede observar que los sistemas eléctricos y magnéticos no son buenos acumuladores de energía porque las máximas densidades de energía que se pueden obtener con los materiales existentes en la actualidad, son relativamente pequeñas al compararse con la energía por unidad de peso que puede ser almacenada en una batería o en los combustibles fósiles. Por esta razón es necesario realizar la conversión electromecánica de la energía para obtener energía eléctrica en grandes cantidades. La conversión electromecánica de energía permite transmitir, consumir, modificar o transformar la energía electromagnética de una forma en otra, pero no es posible almacenarla en cantidades importantes. El segundo concepto físico importante en los fenómenos de conversión de energía es la fuerza. La fuerza en un sistema físico se manifiesta mediante la presencia de interacciones entre la materia. Aún cuando parece que las fuerzas pueden ser de muy diferentes formas y tipos, se conocen en la actualidad sólo cuatro fuerzas: Capítulo 1: Conceptos Básicos

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1. 2. 3. 4.

Interacciones gravitacionales entre masas (gravitones) Interacciones eléctricas entre las cargas (electrón-protón-fotón). Interacciones nucleares débiles (bosones intermedios). Interacciones nucleares fuertes (protón-neutrón-pión).

Si se asocia a las fuerzas nucleares fuertes de cohesión protón-protón por intercambio de piones entre protones y neutrones el valor unitario, las interacciones nucleares débiles de las partículas nucleares con rareza se encuentran en el orden de 10-14. Las fuerzas gravitacionales se encuentran, en la misma base de comparación, en el orden de 10-37. Las fuerzas de atracción y repulsión de cargas eléctricas por intercambio de fotones están en el rango de 10-2. El tercer concepto básico es el de campo. La palabra campo posee la interpretación geométrica de extensión, superficie o espacio. Sin embargo, en física el concepto de campo consiste en la descripción del espacio donde se produce algún tipo de fuerzas. El campo gravitatorio es la zona del espacio donde una masa ejerce su influencia atrayendo a otras masas. El campo eléctrico se define exactamente igual, pero considerando las interacciones entre las cargas eléctricas. El campo magnético se define a través de las fuerzas entre dipolos magnéticos. La medición de un campo se realiza colocando en un punto del espacio una partícula de prueba (masa, carga o dipolo magnético) y se mide la fuerza ejercida sobre ella. El cociente entre la fuerza en dicho punto y la magnitud de interés de la partícula es la intensidad del campo en el punto. Por ejemplo, si en un punto en la superficie de la tierra se mide la fuerza de atracción gravitatoria sobre la masa de prueba m, el dinamómetro indicará F = m.g, donde g es la aceleración de gravedad en el punto donde se realiza la medida, y su dirección apunta hacia el centro de la tierra. El campo gravitatorio es el cociente entre la fuerza y la masa. En otras palabras la aceleración de gravedad en cada punto determina el valor de la intensidad del campo gravitatorio. De igual forma, el campo eléctrico es el cociente entre la fuerza eléctrica sobre una partícula cargada, y el valor de la carga de esa partícula E = F/q. Para el fenómeno eléctrico se plantea una ecuación de equilibrio de fuerzas en función del campo eléctrico E y el campo magnético B de un sistema dado. Esta ecuación de equilibrio se conoce como relación de Lorenz: F=q(E +v x B)

donde: Capítulo 1: Conceptos Básicos

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1.1

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F q E v B

es el vector de la fuerza resultante sobre la partícula cargada. es la carga eléctrica de la partícula. es la intensidad de campo eléctrico. es la velocidad de la partícula. es la densidad de campo magnético. -

E

-

-

-

-

-

+

1

+

+

+

+

+

-

-

-

-

E2 q

+

+

+

+

+

Carga eléctrica en un campo eléctrico Fig. -1-

En la ecuación 1.1 todas las cantidades vectoriales deben estar referidas a un sistema de referencia único. Además, el campo eléctrico E y el campo magnético B deben ser producidos externamente a la carga q. Para que ocurra una interacción electromagnética sobre la carga q es necesaria la existencia de otras cargas. La figura -1- ilustra esta idea. En el punto que ocupa la carga q, el campo eléctrico E1 se debe a las otras cargas presentes en el sistema y no a si misma. En estas condiciones existe una interacción eléctrica entre la carga puntual q y el campo eléctrico E1 producido por las cargas distribuidas en las dos placas. En un convertidor electromagnético de energía es necesario analizar el mecanismo de creación de campo eléctrico E y magnético B. Para este fin se recurre a las ecuaciones de Maxwell y a las condiciones de contorno impuestas por el equipo. Para determinar la solución del campo electromagnético, se parte de las siguientes premisas: 1.

Las partículas eléctricas q se desplazan en campos eléctricos E y magnéticos B. Capítulo 1: Conceptos Básicos

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2.

Estos campos son producidos externamente a las cargas, por otras partículas cargadas.

Con las premisas anteriores, las leyes de Maxwell expresadas en su forma diferencial para un punto cualquiera del espacio son: Ñ x E = - ¶B ¶t

1.2

Ñ x H = J + ¶D ¶t

1.3

Ñ× B=0

1.4

Ñ× D =r

1.5

y las relaciones constitutivas debidas al medio material: B=mH

1.6

D =eE

1.7

J=sE

1.8

donde m, e y s pueden ser tensores que dependen del tipo de material y orientación, pero que en los casos más simples son cantidades escalares. Las ecuaciones 1.2 a 1.5 se pueden escribir en forma integral:

l

l

E.dl = -

H .d l =

d B.d s dt s

J.d s +

s

s

d D.d s dt s

1.9

1.10

B.d s = 0

1.11

rvd v D.d s = s v

1.12

En general, cuando se analizan casos prácticos de los convertidores electromecánicos de energía, la variación de la densidad del campo eléctrico D con Capítulo 1: Conceptos Básicos

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respecto al tiempo es despreciable comparada con la densidad de corriente J. Este término representa las corrientes capacitivas debidas a las variaciones del campo eléctrico y se conoce como corrientes de desplazamiento. Las corrientes de desplazamiento son importantes cuando el campo eléctrico es muy intenso - alta tensión - o cuando su variación es muy rápida - alta frecuencia -. Ninguna de estas condiciones es frecuente en las máquinas eléctricas convencionales en condiciones normales de operación. Para resolver las ecuaciones de Maxwell en un problema concreto, se define en primer lugar que las corrientes son las variables independientes. A partir de ellas se calcula el campo magnético B con las ecuaciones 1.3 y 1.4, el campo eléctrico E de la ecuación 1.2 y las fuerzas electromotrices por integración lineal del campo eléctrico en la trayectoria de interés. Las condiciones de contorno del sistema físico relacionan las fuerzas electromotrices con las corrientes que han sido previamente consideradas como variables independientes. Este proceso de cálculo se utilizará en el próximo capítulo para obtener el modelo de un sistema electromecánico simple, pero es totalmente general. La ecuación 1.5 no se utiliza en este análisis ya que se supone que en el medio no se encuentran disponibles cargas libres, es decir la densidad de carga r es cero. y

w

Sistema I

Sistema II

E

B1

2

E

1

u conductor

v v

conductor

x

Efecto del cambio del sistema de referencia sobre el campo eléctrico Fig. -2-

En la figura -2- se ilustran un par de conductores idénticos. El primero se desplaza a una velocidad v diferente de cero, en la presencia de los campos E1 y B1. Capítulo 1: Conceptos Básicos

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El segundo conductor es idéntico al primero pero el observador se mueve a la misma velocidad v y considera por esta razón que el conductor está en reposo. En esta condición el observador detecta el campo E2. Si se introduce una partícula en cada uno de los conductores anteriores cuya carga es q1, en el primer sistema la fuerza sobre la partícula, de acuerdo con la relación de Lorenz 1.1, es:

F =q (E +vxB ) 1

1

1

1

1.13

Si la velocidad es constante, las fuerza F1 es nula y de la ecuación 1.13 se deduce: E =-vxB 1

1

1.14

En el sistema II, como la velocidad relativa es cero, el observador sólo puede atribuir la fuerza actuante sobre la partícula q1 al campo eléctrico E2: F E = q2 2 1

1.15

Como los conductores son idénticos en los dos sistemas, a excepción de su sistema de referencia, se puede establecer la transformación de Lorenz mediante las expresiones 1.13 y 1.15, debido a que F1 = F2: E =E +vxB 2

1

1

1.16

La ecuación 1.16 permite calcular el campo eléctrico equivalente de un sistema de referencia solidario a los conductores del convertidor electromecánico de energía, conociendo vectorialmente el campo eléctrico y el campo magnético, del sistema fijo y externo al conductor. En la figura -3- se ha esquematizado un segmento conductor al cual se le aplica entre sus extremos el campo eléctrico E. El circuito se encuentra inmerso en un campo magnético uniforme B. La densidad de corriente J que circula por el conductor depende de la superposición de los campos eléctricos aplicados sobre él y de la conductividad s del material, según la relación constitutiva 1.8, también conocida como ley de Ohm: Capítulo 1: Conceptos Básicos

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J=sE =s(E

E

+E

aplicada

inducida

)

1.17

B J

aplicada

v

Conductividad s Conductor en movimiento en presencia de campos eléctricos y magnéticos Fig. -3-

El campo eléctrico producido por el movimiento del conductor a la velocidad v en un campo magnético B se calcula según la ecuación 1.14, y por lo tanto la expresión 1.17 queda: J=s(E

-vxB)

aplicada

1.18

La expresión anterior determina la densidad de corriente J por el conductor. Una vez conocida la densidad de corriente se puede evaluar el campo eléctrico o magnético en cualquier punto del espacio utilizando las ecuaciones de Maxwell 1.2 a 1.5. Conocidos los campos se pueden evaluar las fuerzas sobre cualquier partícula eléctrica cargada o sobre cualquier dipolo magnético. De esta forma queda resuelto el problema de la conversión electromecánica de la energía. En el siguiente capítulo se aplicarán estos principios para analizar el comportamiento del convertidores electromágnético más simple, un conductor rectilíneo que se desplaza perpendicularmente a un campo magnético uniforme. En el capítulo 3 se desarrollan los métodos de balance energético que simplifican el análisis de los convertidores electromagnéticos más complejos. El capítulo 4 analiza el acoplamiento existente entre las bobinas de un circuito magnético. En el capítulo 5 se discuten las características básicas de las máquinas eléctricas rotativas. El capítulo 6 formula matemáticamente las ecuaciones que rigen el comportamiento dinámico de Capítulo 1: Conceptos Básicos

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las máquinas eléctricas rotativas en coordenadas primitivas. En el capítulo 7 se transforman las ecuaciones en coordenadas primitivas al sistemas de coordenadas dq, obteniendo de esta forma las ecuaciones de la máquina eléctrica generalizada. El capítulo 8 analiza en detalle la máquina de corriente continua utilizando las ecuaciones de la máquina eléctrica generalizada y discute los principales detalles constructivos de esta máquina. En el capítulo 9 se desarrolla el análisis de la máquina de inducción mediante el circuito equivalente. El capítulo 10 analiza la máquina de inducción desde el punto de vista del diagrama de círculo. En el capítulo 11 se discuten los principales problemas operativos de la máquina de inducción. El capítulo 12 analiza el comportamiento de la máquina monofásica y bifásica de inducción. El capítulo 13 se dedica al tratamiento de los transitorios electromecánicos de la máquina de inducción incorporando la técnica de los fasores espaciales y de la transformación a variables de campo orientado. En el capítulo 14 se desarrollan las ecuaciones de la máquina sincrónica y se particularizan para el régimen permanente. Finalmente en el capítulo 15 se desarrolla el análisis transitorio electromagnético y electromecánico de la máquina sincrónica.

Capítulo 1: Conceptos Básicos

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Capítulo 2: Principios Básicos de Conversión Electromecánica 2.1

El convertidor electromecánico elemental

En general las máquinas eléctricas tienen por finalidad transformar la energía mecánica en energía eléctrica y viceversa. Cuando la conversión es de energía mecánica en energía eléctrica se dice que la máquina está funcionando como generador y en el caso contrario opera como motor. Tal vez la máquina eléctrica más simple es la que se representa en la figura -4-. Conductor

e dl x=0

E B

x=l

v

Máquina eléctrica elemental Fig. -4-

En la figura -4-, el conductor longitudinal se mueve en el interior de un campo magnético B. Las variables de este sistema son: E e B

el campo eléctrico. la fuerza electromotriz. la densidad de flujo magnético.

v

la velocidad del conductor lineal.

Los parámetros anteriores se relacionan a partir de la ecuación 1.16, considerando que no existe campo eléctrico externo: E= v

x

B

2.1 Si en la ecuación 2.1, se supone que el campo magnético B es uniforme en todos los puntos del conductor y la velocidad v es constante, la fuerza electromotriz e de todo el conductor es: l

e=

ò0 E× dl

Capítulo 2: Principios Básicos de Conversión Electromecánica

-9-

2.2

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Si al conductor anterior se le conecta una resistencia entre sus extremos, circularán cargas por el conductor y se producirá una corriente de valor: e R

i =

2.3

fe

Conductor

e dl x=0

E B

i

f

x=l

v

m

R

i

Corriente circulando por un conductor Fig. -5-

En el conductor de la figura -5- se produce una fuerza Fe, que se opone al movimiento. Esta fuerza puede calcularse a partir de la relación de Lorenz 1.1, expresada como función de la corriente i por el conductor: Fe = l . i

x

B

2.4 La fuerza calculada en la expresión anterior muestra que el sistema se opone a la extracción de energía. Para obtener energía, es necesario forzar el movimiento del conductor. Si no actúa ninguna otra fuerza que mantenga el movimiento, y si la velocidad es diferente de cero, el sistema tendrá un movimiento retardado de aceleración negativa. El conductor convertirá la energía que estaba inicialmente almacenada en su masa, en pérdidas en la resistencia R del circuito externo. En estas condiciones, la velocidad decae exponencialmente a cero. Para mantener una velocidad constante en el conductor de la figura -5-, es necesario aplicar una fuerza externa al conductor que se oponga a Fe. Esta fuerza es de origen mecánico y se denomina Fm. En la figura se observa el equilibrio de fuerzas necesario para mantener constante la velocidad v del conductor.

Capítulo 2: Principios Básicos de Conversión Electromecánica

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El sistema mecánico entrega potencia al sistema eléctrico para mantener la velocidad v, la potencia mecánica instantánea entregada por el sistema externo se calcula mediante la relación siguiente: Pm = F m . v

2.5

y la potencia eléctrica instantánea en el conductor es: Pe = e . i

2.6 Si se realiza un balance de potencia, considerando que las cantidades vectoriales son ortogonales entre si, se obtiene el siguiente resultado: Pm = Fm . v = Fe . v = l . i . B . v = i . E . l = = i . e = Pe

2.7 La ecuación 2.7 demuestra que la conversión de energía mecánica en energía eléctrica ha sido completa, en el proceso no hay pérdidas debido a que la potencia disipada en la resistencia del circuito es externa a la máquina. fm

Conductor

e dl x=0

E B

fe

x=l

v R

i -

V

i

+

Conductor alimentado por una fuente de tensión V Fig. -6-

Añadiendo una fuente de tensión al conductor anterior con el conductor inicialmente en reposo, tal como se ilustra en la figura -6-, la fuente de tensión V hace circular una corriente i por el circuito. Esta corriente produce, según la ecuación 2.4 una fuerza eléctrica Fe. Si no actúa ninguna otra fuerza sobre el conductor, este comienza a moverse con aceleración.

Capítulo 2: Principios Básicos de Conversión Electromecánica

- 11 -

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Cuando el conductor se mueve en un campo magnético, se origina a su vez un campo eléctrico E. Como se puede apreciar en la figura -6-, la fuente de tensión produce una corriente que se opone al campo eléctrico E inducido por el movimiento. La corriente se puede calcular como: i = V - e R

2.8 De esta forma, en la medida que aumenta la fuerza electromotriz e inducida por el movimiento del conductor, disminuye la corriente en el circuito. Al decrecer la corriente, se reduce la fuerza eléctrica sobre el conductor. El proceso continúa hasta que la fuerza eléctrica Fe se hace cero. En esta condición la tensión aplicada por la batería V es igual a la fuerza electromotriz e, inducida por el movimiento del conductor en el campo magnético y la corriente i se anula. La velocidad del conductor en que la fuerza eléctrica es cero, debido al equilibrio entre la tensión aplicada y la fuerza electromotriz inducida por el movimiento, se define como velocidad sincrónica del conductor. En esta situación: e = V = l . vs . B

2.9

donde vs es la velocidad sincrónica y se calcula de la expresión anterior como: vs =

V l .B

2.10 Una vez que el conductor alcanza la velocidad sincrónica (V = e ; i = 0), si se aplica una fuerza resistente al conductor, el sistema comienza a retardarse y la fuerza electromotriz inducida e disminuye, aumenta la corriente en el conductor debido a que la tensión V de la batería supera a la fuerza electromotriz e. La aceleración o retardo del sistema se puede calcular aplicando convenientemente la segunda ley de Newton: a =

dv 1 = dt M

åF

=

Fe + Fm M

donde:

SF Fm

es la sumatoria de fuerzas aplicadas. es la fuerza eléctrica sobre el conductor. es la fuerza mecánica resistente.

M

es la masa del conductor.

Fe

Capítulo 2: Principios Básicos de Conversión Electromecánica

- 12 -

2.11

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Cuando la fuerza mecánica Fm equilibra a la fuerza eléctrica Fe, la aceleración es cero y en ese instante se cumple que:

Fe = Fm = l . B . i = l . B .

V - B.l .v 0 R

2.12 De la ecuación 2.12 se obtiene la velocidad de operación v0 en función de la fuerza mecánica resistente: V v0 =

F m.R l .B l .B

2.13 La velocidad v0 corresponde a la operación de la máquina cuando las fuerzas eléctricas y mecánicas sobre el conductor están en equilibrio. Si en este momento se elimina la fuerza resistente Fm, el conductor se acelera en la dirección de la fuerza eléctrica Fe hasta alcanzar nuevamente la velocidad sincrónica. La exposición anterior permite resumir en seis ecuaciones los principios que rigen la conversión electromecánica de energía: E= v

x

B

2.14

f = i

x

B

2.15

l

e=

ò0 E× dl = E× l = v× B× l

2.16

l

F=

ò0 f× dl = f× l = i× B× l V - e i = R

dv dt

=

Fa M

=

1 M

2.17 2.18

Fe + Fm

2.19 En el sistema de ecuaciones representado por las expresiones 2.14 a 2.19 se destacan los siguientes puntos: 1.-

La ecuación 2.16 calcula una variable eléctrica (e) en función de una variable mecánica (v) y el campo (B). Capítulo 2: Principios Básicos de Conversión Electromecánica

- 13 -

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2.-

La ecuación 2.17 determina una variable mecánica (F) en función de una variable eléctrica (i) y el campo (B).

3.-

Las ecuaciones 2.16 y 2.17 dependen del conductor y del campo en el cual está inmerso, por esta razón son las ecuaciones de la máquina eléctrica.

4.-

Las ecuaciones 2.18 y 2.19 representan las relaciones entre el conductor -máquina eléctrica- y el resto del universo. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de ligazón, ecuaciones de borde o ecuaciones de frontera.

2.2

Curvas características del convertidor electromecánico elemental

Para representar la curva característica de la fuerza eléctrica sobre el conductor en función de la velocidad, se puede utilizar la ecuación 2.12: V-e V - v .B.l = l .B. F e = l . B . i = l .B. R R

l .B l .B.V = R R

2

v

2.20

La ecuación 2.20 representa a la fuerza eléctrica Fe como una recta en función de la velocidad v del conductor. Cuando el conductor se encuentra en reposo ( v=0 ), la fuerza eléctrica es igual al término independiente en velocidad. Si la fuerza eléctrica es cero, la velocidad corresponde a la velocidad sincrónica de la máquina. Si se opone una fuerza constante de valor conocido, como se observa en la figura -7-, se determina un punto de equilibrio v0 en la intersección de las características eléctrica y mecánica. En este caso v0 corresponde a la velocidad en la cual la fuerza eléctrica Fe equilibra a la fuerza mecánica Fm, y constituye un punto de equilibrio estable debido a que cualquier perturbación en la velocidad mecánica del sistema tenderá a ser restituida a las condiciones previas por las fuerzas actuantes sobre el conductor. Esta intersección es un punto de operación de régimen permanente para la máquina. En la figura -7- se han marcado dos zonas (1) y (2). En la zona (1), si la máquina arranca en contra de una fuerza mecánica resistente constante, se acelera hasta alcanzar el punto de operación permanente o punto de equilibrio v0 -intersección de las características-. Esto ocurre debido a que esta zona de operación, la fuerza eléctrica Fe, siempre es superior a la fuerza mecánica Fm. Capítulo 2: Principios Básicos de Conversión Electromecánica

- 14 -

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F

e

F

m

l .B.V R

Punto de operación

Fuerza acelerante

F

F = cte. m

1 m

Fue rza retardadora

2 v

0

vs =

V B.l

v

Curva Característica de la Máquina Fig. -7-

Si el sistema se encuentra originalmente en vacío, es decir, operando a velocidad sincrónica, sin carga mecánica y repentinamente se añade una fuerza mecánica resistente, la fuerza eléctrica es inferior a la mecánica y ocurre un proceso de retardo en la zona (2) de la figura -7-. La velocidad disminuye desde la sincrónica hasta la velocidad de operación v0, en el punto de equilibrio. La fuerza mecánica Fm, depende en general, para un accionamiento físico, de la velocidad del conductor. En la figura -8- se muestra la curva característica de la máquina eléctrica anterior, pero sometida a una fuerza mecánica dependiente de la velocidad. En este caso, al igual que en el anterior, v0 es un punto de equilibrio estable ya que si se aumenta un diferencial la velocidad del conductor por encima de v0, se origina una fuerza retardadora que hace regresar el conductor a la anterior condición de operación. Por el contrario, si la velocidad del conductor disminuye en un diferencial, se produce una fuerza acelerante que incrementa la velocidad del conductor hasta alcanzar el punto de equilibrio en v0.

Capítulo 2: Principios Básicos de Conversión Electromecánica

- 15 -

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F

e

l .B.V R

Fm

Punto de operación

v

0

vs =

v

V B.l

Fuerza mecánica variable con la velocidad Fig. -8-

Al producirse un cambio en la tensión de la batería que alimenta al convertidor, la velocidad sincrónica de la máquina también varía, debido a que esta velocidad se determina cuando existe equilibrio entre la tensión de la batería y la fuerza electromotriz inducida en el conductor. Es posible definir en la figura -9- una familia de curvas de acuerdo a como se varíe la tensión de la fuente. Mediante la variación de la tensión de la batería se puede controlar la velocidad de operación de la máquina. F

e

V

Fm

v

v

0

s

Efecto de la variación de la tensión de alimentación al convertidor Fig. -9Capítulo 2: Principios Básicos de Conversión Electromecánica

- 16 -

v

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También se puede controlar la máquina elemental variando la densidad de flujo magnético B. La variación del campo produce un cambio en la pendiente de la curva característica de la máquina, ya que como se observa en la ecuación 2.20, esta variación altera la pendiente de la característica de forma cuadrática y el punto de corte en el eje de la fuerza - v=0 -, de forma lineal. En la figura -10- se ilustra esta situación y como es posible cambiar el punto de operación de la máquina mediante variaciones del campo magnético B. Fe

l .B2 .V

B2 > B 1

R

Fm

l .B1 .V R

v

01

v

v

s2

02

v

s1

v

Efecto de la variación del campo B del convertidor Fig. -10-

De los dos métodos analizados para controlar el punto de operación de la máquina, la variación del campo magnético tiene un problema, debido a que si el campo se reduce demasiado, la velocidad sincrónica aumenta considerablemente y se puede producir un fenómeno denominado embalamiento. El embalamiento es una aceleración súbita debida a la pérdida del campo en una máquina eléctrica sin carga. Si la velocidad sube a niveles peligrosos, puede ocurrir deterioro de la máquina por fallas eléctricas y mecánicas. En las máquinas eléctricas rotativas este problema es muy grave como se observa del siguiente ejemplo:

Capítulo 2: Principios Básicos de Conversión Electromecánica

- 17 -

Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller Una máquina de 3600 rpm con un radio de 50 cm gira a una velocidad angular de:

w=

n f

x

2p = 377

[r ad / s]

La aceleración centrípeta que aparece sobre los conductores de la periferia del rotor de la máquina se calculan como:

ac = w

2

x

r = 7 10 61

2

[m / s ]

Esta aceleración es aproximadamente 7252 veces superior a la de gravedad, por lo tanto sobre cada gramo de material en la periferia aparece una fuerza de 7 kg tratando de mover el material conductor de sus ranuras. Como la aceleración varía con el cuadrado de la velocidad angular, si se duplica la velocidad angular, la aceleración aumenta cuatro veces.

2.3

Balance energético del convertidor electromecánico elemental

En el balance de potencias desarrollado en la ecuación 2.7 se llegó a la conclusión de que todo el proceso es conservativo en base a que la potencia eléctrica desarrollada por la máquina es igual a la potencia mecánica entregada por el sistema externo. Fe Freno 3

Fm1

Fm3 1

Motor

Fm2

v v

s

2

Generador

Modos de operación del convertidor Fig. -11-

Capítulo 2: Principios Básicos de Conversión Electromecánica

- 18 -

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En general, todas las máquinas eléctricas son reversibles y su funcionamiento depende del sentido en que se transmite la potencia. Si la energía fluye del sistema eléctrico al mecánico, la máquina funciona como motor. Si el flujo de energía es del sistema mecánico al eléctrico, el convertidor es un generador. Cuando el sistema eléctrico y mecánico inyectan energía a la máquina, y esta energía se consume totalmente como pérdidas en el interior de la misma, se denomina freno a esta condición. La máquina se puede alimentar indistintamente con energía eléctrica o con energía mecánica. En las figura -11- se presenta un gráfico de la característica fuerza-velocidad de la máquina analizada anteriormente, con los diferentes modos de operación posibles para este convertidor. En la figura -12- se muestra un esquema donde se realiza el balance energético de la máquina en las tres condiciones de operación posibles, motor, generador y freno. Pele

Pmec

G en e rador 2

Motor 1

perdidas Pmec

Pele Pmec

Freno 3

perdidas Pele

perdidas

Modos de operación del convertidor Fig. -12-

En la zona -1-, la velocidad del conductor es menor que la velocidad sincrónica, la fuerza electromotriz inducida es menor que la tensión aplicada externamente y la corriente tiene signo contrario a la fuerza electromotriz. En estas condiciones el conductor se desplaza en el mismo sentido de la fuerza eléctrica, es decir, esta fuerza realiza trabajo positivo y por lo tanto se está transformando energía eléctrica en mecánica. La máquina está actuando como un motor. En esta zona se satisfacen las siguientes condiciones: Capítulo 2: Principios Básicos de Conversión Electromecánica

- 19 -

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e>0 e0 En la zona -2-, la velocidad del conductor es mayor que la velocidad sincrónica y la fuerza electromotriz es mayor que la tensión aplicada, por esta razón la corriente y la fuerza eléctrica invierten su sentido. Para encontrar un punto de equilibrio la fuerza mecánica también debe invertir su sentido original. La fuerza mecánica ahora está entregando energía y el sistema se comporta como un generador. Las condiciones que imperan en esta zona de trabajo son: e>0 e>V i

8.61 En la ecuación 8.61 la integración en el diferencial de corriente di, es cero ya que en el régimen cuasiestacionario la corriente en i(0) es igual a la corriente en i(T). De la ecuación 8.60 y 8.61 se determina que: tc V T = V d = R + Gw R + Gw T T 8.62 En la ecuación 8.62 d es la razón de conducción que se calcula como el tiempo durante el cual el tiristor Th conduce, dividido entre el período total del chopper.

Capítulo 8: Máquinas de Conmutador

- 138 -

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En la máquina de tracción existe una exigencia de torque mecánico sobre el eje, esto determina la corriente necesaria y como la tensión de la fuente y la velocidad de la máquina también están determinados, se obtiene el ángulo d de conducción para la condición de tracción especificada. Un troceador de tensión permite también la posibilidad de frenado regenerativo, es decir, convertir la energía cinética almacenada en la masa del vagón, en energía eléctrica para devolverla a la red. Para obtener esta posibilidad es suficiente con invertir la conexión de armadura de la máquina. Para realizar el cambio, se invierte la fuerza electromotriz E de la máquina. En la figura 104 se muestra un diagrama del circuito utilizado para el frenado regenerativo de los motores. DF I

I

La

Th

+

I

I

I D

v o

V

-

I

I I

E I

T, w I

I

A Circuito troceador para frenado regenerativo Fig. -104-

En el circuito de la figura 104, cuando el tiristor conduce, se produce un cortocircuito de la fuerza electromotriz sobre la inductancia de alisamiento La. Durante este tiempo la corriente aumenta de acuerdo con la ecuación: E = La d i dt

8.63 La inductancia de alisamiento acumula energía en el campo magnético durante el tiempo en el cual el tiristor mantiene la conducción. Cuando el tiristor interrumpe la circulación de la corriente, la inductancia de alisamiento fuerza a que la corriente de la armadura se mantenga circulando y el único camino posible es a través del diodo de frenado DF hacia la fuente. En esta condición la red recibe energía y la corriente

tiende a decrecer. Durante el proceso, la corriente de armadura y la corriente de campo no se han alterado, solamente se ha invertido el sentido de la fuerza electromotriz y por lo tanto el torque sobre el eje de la máquina es ahora de frenado Capítulo 8: Máquinas de Conmutador

- 139 -

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con lo cual se reduce la velocidad y el vehículo se detiene. Si se desea reiniciar la tracción, es suficiente con conectar el interruptor A de la figura 104. Si en lugar de una fuente de tensión se conecta una resistencia, la energía cinética almacenada en la inercia del sistema, se entrega como pérdidas en esta resistencia y el proceso se denomina frenado reostático. El frenado reostático se utiliza frecuentemente en los sistemas de tracción eléctrica ya que muchas fuentes de corriente continua no son reversibles, no pueden absorber potencia. Cuando un sistema no es capaz de absorber la potencia del frenado se dice que la red eléctrica no es receptiva. Aun cuando un sistema no sea receptivo, como en la red existen cargas frenando y acelerando simultáneamente, siempre existe una cierta receptividad que puede ser aprovechada. Mediante el troceador de tensión es posible acelerar o frenar una máquina, pero cuando el dispositivo se satura porque alcanza el ángulo máximo de conducción, es posible continuar ajustando las características de tracción de una máquina de corriente continua con excitación serie mediante el debilitamiento de la corriente de campo. Esto se consigue conectando resistencias en paralelo con el campo serie. Al disminuir la corriente de campo, aumenta la corriente de armadura y se puede ajustar el torque ya que la corriente de armadura se incrementa en una proporción mayor que la disminución de la corriente del campo, debido a que la resistencia del circuito de armadura es pequeña. En la figura 105 se muestra la curva característica torquevelocidad de un motor serie con el campo debilitado. T

límite por corriente máxima

T max

campo debilitado

control por campo

w límite por velocidad máxima Característica torque-velocidad motor serie campo debilitado Fig. -105-

Capítulo 8: Máquinas de Conmutador

- 140 -

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8.11

Máquinas especiales de corriente continua

La posibilidad de colocar dos juegos de escobillas en una máquina de corriente continua, una en el eje d y otra en el eje q permite el estudio y fabricación de algunas máquinas especiales. Estas máquinas se pueden utilizar como transductores o servomecanismo en los procesos de control. También se pueden contruir fuentes de corriente o amplificadores de gran ganancia. El estudio de estos convertidores se puede realizar mediante la transformación a coordenadas abdq. La familia de máquinas con doble juego de escobillas se denominan las metadinas o metadinamos. El prefijo griego meta- indica algo que va más allá y por lo tanto las metadinas o metadinamos son algo más que dinamos o generadores convencionales de corriente continua. De la familia de las metadinas se estudiaran en esta sección dos representantes a manera de ejemplo, el primero será la metadina transformador que permite convertir una tensión constante en una corriente constante y el segundo ejemplo será la amplidina o amplificador rotativo, muy utilizada hasta hace unos años como excitatriz de las máquinas sincrónicas, debido a su elevada ganancia y gran velocidad de respuesta. La metadina transformador es un máquina de campo cruzado (d,q) que no posee devanados en el estator. En la figura 106 se muestra un diagrama de la máquina en consideración. id d

q

v

iq

vq Metadina Transformador Fig. -106-

Capítulo 8: Máquinas de Conmutador

- 141 -

d

q

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Las ecuaciones que rigen el comportamiento de esta metadina son: .

é dù é d d ê ú=ê . ë v q û ë - q Gdq

ù éid ù ê ú ú Rq + L q p û ëiq û

R +L p

v

Te

=

( G

dq

qG

dq

- G

) i iq = 0 d

dq

8.64

Como la máquina es totalmente simétrica en el eje d y en el eje q y se asume un acoplamiento perfecto, es decir, se desprecia el flujo de dispersión: R = Rq = R d L = Lq = G = L d dq

8.65

En régimen permanente y de acuerdo con las ecuaciones 8.64 y 8.65 se obtiene:

éV d ù é R ê ú=ê . ëV q û ë- q L

.

éI d ù úê ú R û Iq ë û

q Lù

8.66 Si se alimenta el eje d con una fuente de tensión V y se coloca una carga resistiva en el eje q se obtienen las siguientes ligazones: V =V d

V q = - Rc a r g a I q

8.67 Sustituyendo las condiciones 8.67 en el sistema de ecuaciones 8.66 se obtiene después de algunas manipulaciones algebraicas:

é ê ú=ê . ë 0 û ë- qL éV ù

R

.

ù éI d ù úê ú R+Rc a r g a û ëI q û qL

8.68 Si la resistencia R de los devanados d y q es muy pequeña, se puede despreciar las caídas resistivas en estos devanados: .

V @ q L Iq Capítulo 8: Máquinas de Conmutador

- 142 -

8.69

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De la ecuación 8.69 se puede despejar la corriente Iq: I q @ .V qL

8.70 La ecuación 8.70 indica que si se desprecian las caídas en las resistencias de los devanados de armadura, la metadina transformador convierte la tensión V aplicada en el eje d en una corriente constante en el eje q. La corriente del eje cuadratura depende sólo de la velocidad de la máquina. La amplidina posee un devanado de compensación de la reacción de armadura que se diseña para reducir el valor de las inductancias propias y mutuas. De esta forma se incrementa la velocidad de respuesta en los procesos transitorios. La ganancia de corriente de armadura a tensión de campo también es muy grande en las amplidinas. La configuración típica de una amplidina se ilustra en la figura 107. Las ecuaciones de tensión para una amplidina son:

éùé êúê ëûë v

R +L p b

b

vc

L p bc

=

v

.

0

L

Rc +L c p

0

Lq c p

d

cd

p

qb

d

i

Rq +L q p

dq

q v

d

q, b

v =0 d

vq

vc

iq v

Circuito de una amplidina Fig. -107Capítulo 8: Máquinas de Conmutador

- 143 -

i v

b

d

iq

d

id

b

ic

dq

- qG

ùé ù úê ú ûë û i

qG

.

Lq c p

p

qb

.

R +L p

qG

bd

L

bc

.

qG

d

vq

L p

b

b

8.71

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Para la amplidina que se está analizando se cumple: v = 0 ; v = v q - v c ; ic = - iq = i d

8.72

Sustituyendo las condiciones 8.72 en el sistema de ecuaciones 8.71 se obtiene: v

é bù ê ú= ëv û

é ê( L ë

R +L p b

(L - L

b

bc

bq

)p

ù éi ù úêë i úû û b

.2

bq

- L ) p +q

G

dq

.G

bd

R +L p

bc

d

d

.2

G

Rc +Rq +( L c +L q - 2 L c q ) p +q

dq

(G

dq

-G

R +L p d

d

dc

8.73

La amplidina se diseña de tal forma que: L - L bc

bq

@0

;

L c + L q - 2 L c q @ 0 ; Gd q - Gd c @ 0

Con las condiciones 8.74 el sistema 8.73 queda: R +L p b b v

é ù é ê ú=ê ëv û ë b

.2

q

G

G

d q bd

0

b

c

R +L p d

ù éi ù ú êë i úû R +R û

d

q

En régimen permanente el operador p tiende a cero y se obtiene: G G . 2 d q bd V =q i + (Rc + Rq ) i R b d

V i = b

R

8.74

8.75

8.76

b b

8.77 De las ecuaciones 8.76 y 8.77 se puede observar que a velocidades altas la ganancia V/Vb aumenta considerablemente. Es importante destacar que la velocidad de respuesta a una perturbación es muy alta ya que las únicas inductancias involucradas son las de campo y la de armadura del eje d, ya que las otras inductancias han sido eliminadas mediante el diseño apropiado de la bobina de compensación de la reacción de armadura. Por estas razones la amplidina se utilizó frecuentemente como excitatriz de las máquinas sincrónicas, pero en la actualidad ha perdido vigencia debido a las excitatrices estáticas basadas en puentes rectificadores controlados. Capítulo 8: Máquinas de Conmutador

- 144 -

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Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción 9.1

La máquina de inducción

En el capítulo 7 se analizaron las ecuaciones en coordenadas generalizadas de las máquinas eléctricas rotativas convencionales, una de las máquinas analizadas fue la máquina de inducción. En una máquina de inducción convencional toda la energía eléctrica fluye hacia o desde el estator. Los flujos producidos por las corrientes del estator generan un campo magnético rotatorio que corta a los conductores del rotor, y de esta forma se obtiene sobre ellos fuerza electromotriz inducida que es utilizada para forzar corrientes en los ejes d y q del rotor. Al interactuar el campo magnético rotatorio del estator con el campo magnético rotatorio originado por las corrientes que circulan en el rotor se produce el torque eléctrico. El fenómeno descrito, similar a la operación de un transformador, ha permitido la construcción de una máquina de gran difusión industrial debido a que por su sencillez, esta máquina resulta económica y robusta.

ia

a,d

va

q

id

b,q

Rotor iq ib

Estator vb

Modelo en coordenadas abdq de la máquina de inducción Fig. - 95 -

La máquina de inducción se excita con corriente alterna en el estator, de esta forma se produce el campo magnético rotatorio. Este campo posee una amplitud constante en el tiempo, pero varía en el espacio. La velocidad de giro del campo magnético rotatorio está definida por la frecuencia de las corrientes inyectadas en el estator de la máquina. Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 145 -

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Para que una máquina de inducción produzca torque eléctrico medio diferente de cero, tal y como se ha discutido en el capítulo 6, es necesario que se cumpla la siguiente condición:

wm = wr ± we

9.1 Si la máquina no cumple con la condición impuesta en la ecuación 9.1, el torque medio en un giro completo del rotor será cero y no podrá, por lo tanto, transformar energía en régimen permanente. La máquina de inducción se utiliza como generador sólo en contadas ocasiones, porque la operación en este régimen no es eficiente en comparación con otras alternativas. Sin embargo, la máquina de inducción puede regresar energía a la red durante cortos períodos de tiempo en algunos accionamientos convencionales. En particular puede generar cuando se utilizan en sistemas de tracción tales como ascensores u otras cargas similares, con la finalidad de producir un frenado regenerativo. En el pasado era frecuente utilizar esta máquina como convertidor de frecuencia, para lo cual es necesario tener acceso a los devanados del rotor mediante anillos deslizantes. La máquina de inducción se utiliza ampliamente como motor en la industria. Se la consigue en un rango muy amplio de frecuencias que van desde fracciones de kW, hasta las decenas de MW. En potencias mayores a los 10 ó 20 MW es difícil encontrar este tipo de máquina debido a que su principio de operación requiere un nivel importante de pérdidas en el circuito rotórico, factor que incide negativamente en el rendimiento de la máquina. 9.2

Campo magnético rotatorio en máquinas con “m” fases

Debido a que el sistema eléctrico industrial utiliza fuentes trifásicas de energía, la máquina de inducción se construye normalmente con tres devanados. Estos enrollados se distribuyen en el interior de la máquina desfasados espacialmente 120°. Además las bobinas se distribuyen por las ranuras del material ferromagnético para que la distribución de la fuerza magnetomotriz en el entrehierro resulte aproximadamente sinusoidal. En cada una de las tres bobinas desfasadas espacialmente, se inyectan corrientes alternas sinusoidales desfasadas en el tiempo 120° unas de otras. Cada bobina produce un campo magnético estático en el espacio. La amplitud de este campo se encuentra en la dirección del eje magnético de la bobina y varía sinusoidalmente en el tiempo. La combinación de los campos pulsantes producidos Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 146 -

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por las tres corrientes desfasadas temporalmente, circulando por las tres bobinas desfasadas espacialmente, se traduce en un campo magnético distribuido sinusoidalmente en el espacio, que rota a la velocidad de variación de las corrientes en el tiempo.

Fa

ia

Norte Fr

Campo Magnético

q

ib

Fc Sur

Fb

ic

Distribución sinusoidal del campo magnético rotatorio Fig. - 96 -

La fuerza magnetomotriz de cada fase es proporcional al número de vueltas de la bobina y a la corriente que circula por ella. Cada eje produce de esta forma un campo fijo en el espacio, pero cuya amplitud varía en el tiempo. La distribución espacial de estos tres campos Fa, Fb y Fc es sinusoidal. Las magnitudes de estas fuerzas magnetomotrices también varían sinusoidalmente en el tiempo, con un desfasaje de 120°, debido a la variación temporal de las corrientes. La fuerza magnetomotriz en un punto a del entrehierro, en un instante dado, producida por la corriente ia que circula por la fase “a” de la máquina es:

Fa(a,t) = k . Na. ia(t). cos a d

9.2 En esta ecuación, kd es un coeficiente adimensional denominado constante de distribución del devanado. este coeficiente se relaciona con que la distribución real de la fuerza magnetomotriz no es completamente sinusoidal y kd es la proporción de fuerza magnetomotriz de primera armónica - fundamental - con respecto a la fuerza magnetomotriz máxima Na.iamax. Donde Na es el número de vueltas de la bobina “a” y a es el ángulo medido en el sentido de las agujas del reloj, entre el eje magnético de la fase “a” y un punto cualquiera en el entrehierro de la máquina.

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 147 -

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Considerando que el ángulo b define el desfasaje de la corriente inyectada en la bobina “a” de la máquina, esta corriente viene dada por la expresión genérica: ia(t) = 2 Ia cos(wt-b)

9.3 Sustituyendo la ecuación 9.3 en la 9.2, y realizando la misma operación en las otras bobinas de la máquina, se puede calcular la fuerza magnetomotriz de cada una de las tres fases: Fa (a, t) = k Na 2 Ia cos (wt-b) cos (a) d 9.4 Fb (a , t) = k Nb 2 Ib cos (wt-b- 2p ) cos (a - 2 p ) d 3 3

9.5

Fc (a , t) = k Nc 2 Ic cos (wt-b- 4 p ) cos (a - 4 p ) d 3 3

9.6 Superponiendo las ecuaciones 9.4, 9.5 y 9.6 se calcula la fuerza magnetomotriz resultante F R : c

F (a , t) = Fa(a , t) + F (a , t) + Fc(a , t) = R

b

å F i(a, t) i=a

6.7 Considerando que las tres corrientes inyectadas a la máquina son iguales en valor efectivo I, y que los tres devanados poseen el mismo número de vueltas N, se puede escribir la ecuación 6.7, en función de las fuerzas electromotrices de las tres fases, así: F (a, t) = 2 I N k R

d

[ cos(wt-b) cos(a)+ 2p 2p ) cos(a - )+ 3 3 4p 4p cos(wt-b - ) cos(a - ) ] 3 3

cos(wt-b -

Para simplificar trigonométrica:

la

expresión

anterior

se

puede

9.8 utilizar la identidad

cos A . cos B º 1 [ cos (A+B) + cos (A-B) ] 2

9.9 Utilizando esta última identidad en la ecuación 9.8 se obtiene, después de simplificar la suma de los tres cosenos desfasados 120° entre ellos: F (a, t) = R

3 2 k . N. I cos(wt - b - a) d 2

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 148 -

9.10

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Si en lugar de tres bobinas se dispone de un sistema con m fases, desfasadas espacialmente unas de otras 2p/m radianes, al excitar este sistema con m corrientes sinusoidales desfasadas temporalmente el mismo ángulo de 2p/m radianes, se obtiene la fuerza magnetomotriz siguiente: F (a, t) = T

m k N 2 I cos (wt - b - a) 2 d

9.11 La ecuación 9.11 carece de sentido si m=1 ó si m=2, debido a que en estos casos particulares, la fuerza electromotriz está orientada en una sola dirección y no se puede formar por esta razón el campo magnético rotatorio. El campo que se origina en esta condición es pulsante. Cuando m=4, la fase “a” y “c” se encuentran enfrentadas, de igual forma que las fases “b” y “d”, además las corrientes están desfasadas 90° en esta condición y por lo tanto las fases “a” y “c” producen flujos iguales y en la misma dirección. Lo mismo ocurre entre las otras dos fases. De esta forma se observa que el sistema tetrafásico degenera en un caso especial en el cual existen dos bobinas a 90° en el espacio, que se alimentan mediante corrientes desfasadas 90° en el tiempo. En muchas ocasiones al sistema tetrafásico, donde se excitan sólo dos bobinas (fases “a” y “b”) se le conoce como sistema bifásico. ia

ia

m=4 m =2

ib id = - i b ic = - ia

ib = - i a Comparación entre máquinas bifásicas y tetrafásicas Fig. -97 -

Para el resto de los casos, es decir para los valores de m mayores que dos; la ecuación 9.11 se cumple con toda rigurosidad.

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 149 -

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Cuando se fija el tiempo en la expresión 9.11, por ejemplo t = t1, se obtiene una variación sinusoidal del campo en el espacio. Es decir, al variar el ángulo a los valores de la fuerza magnetomotriz dependen sinusoidalmente de la posición: F (a,t ) = T

1

m k N 2 I cos (wt - b - a) 1 2 d

9.12 La amplitud de la fuerza magnetomotriz está ubicada en la posición angular donde se anula el argumento de la función coseno:

a = b - wt

1

9.13 Si por el contrario, transcurre el tiempo, y se observa lo que ocurre en un determinado punto del entrehierro, por ejemplo en el punto a = a1, la fuerza magnetomotriz en este punto varía sinusoidalmente en el tiempo con la velocidad angular w: m F (a , t ) = k N 2 I cos (wt - b - a ) T 1 1 2 d 9.14 9.3

Fuerza electromotriz inducida

Aplicando la ley circuital de Ampère a la máquina, se obtiene:

ò

H(a ,t ). dl = FR (a ,t ) Þ H(a , t) =

FR (a , t) 2g

9.15

En esta expresión, H(a, t) es la intensidad del campo magnético en el entrehierro, y g es el espesor del entrehierro de la máquina. Conocida la intensidad del campo magnético H(a, t) de 9.15, se calcula la densidad de campo B(a, t) mediante la siguiente relación constitutiva: B(a , t) = mo . H (a , t)

9.16 La fuerza electromotriz inducida sobre los conductores de una máquina con simetría cilíndrica es: e = ( v x B ).l

9.17

donde: e v l

es la fuerza electromotriz inducida sobre un conductor. es la velocidad tangencial con la cual el campo magnético cota al conductor. es la longitud del conductor.

Como la máquina es cilíndrica, el campo y la velocidad tangencial son perpendiculares entre si, por esta razón la expresión 9.17 queda: Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 150 -

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e = v.B.l

9.18 La velocidad angular del campo, también llamada velocidad de fase es igual a la frecuencia angular de las corrientes como se mencionó anteriormente. La velocidad de fase se determina observando la velocidad que es necesario imprimir a un observador en el entrehierro, de tal forma que el mismo no detecte cambios en la magnitud del campo. Para esto es suficiente con hacer constante el argumento en la expresión 9.11: wt - b - a = constante 9.19 Derivando esta expresión con respecto al tiempo, y recordando que el ángulo b tiene un valor fijo, se obtiene: w - da = 0 Þ da = w dt dt 9.20 F (a , t ) R

1

da = w dt t=t

1

0

a

da = w dt Distribución espacial de la fuerza magnetomotriz en el instante t =t1 Fig. -98-

La expresión 9.20 demuestra que la velocidad de fase de la onda de fuerza magnetomotriz es igual a la frecuencia angular de las corrientes inyectadas en las bobinas de la máquina. La velocidad tangencial con la cual son cortados los conductores viene dada por la siguiente relación: v =w.r T

9.21 Sustituyendo en la ecuación 9.18 las ecuaciones 9.14, 9.15 y 9.21, se obtiene:

e(a, t) = w. r. l .

mo 2g

. k . N. d

m . 2 I. cos(wt - b - a) 2

9.22 Esta expresión permite determinar la fuerza electromotriz que se produce en el interior de la máquina en la dirección de los conductores. Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 151 -

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9.4

Factor de paso de la bobina

En una máquina, la situación ideal para obtener la máxima fuerza electromotriz en las bobinas, consiste en colocar los conductores de retorno a 180° eléctricos de los conductores entrantes. Sin embargo, en las máquinas convencionales es habitual reducir el contenido armónico de la fuerza magnetomotriz controlando el ángulo de paso de la bobina. Este fenómeno se analizará detalladamente en capítulos posteriores, pero su efecto sobre la generación de la fuerza electromotriz inducida se tiene en cuenta para el desarrollo del modelo de la máquina de inducción en este capítulo. ret orno de bobina

bobina

X b ob in a

ab atim ie nto li ne al

e1

1 80 ° e

18 0°e

e2

180°-g

reto rn o d e b ob in a

g

ret orno de bobina c on pas o ac ortado

a cor tami en to d e p aso e = e 1 - e2 Acortamiento de paso en las bobinas de la máquina Fig. - 99 -

Para calcular la fuerza electromotriz total en una bobina con paso acortado en un ángulo g, se utiliza la expresión 9.22. La amplitud de esta función es constante para una máquina dada, excitada con una corriente cuyo valor efectivo y frecuencia son fijas. Si se define, tal como se muestra en la figura - 99 -, e1 como la fuerza electromotriz inducida en los conductores de entrada de la bobina y e2 en los retornos, la fuerza electromotriz total sobre la bobina es: e(a , t) = e (a , t) - e (a + p - g, t) = 1

1

1

2

m = wrl o k N 2g d m = 2wrl o k 2g d

1

m 2I 2

[cos(wt-b-a 1) - cos(wt-b-a 1-p-g) ] =

m 2 I cos (wt-b-a + g ) cos g 1 2 2 2

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 152 -

9.23

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La expresión anterior se puede representar graficamente haciendo uso de la composición fasorial de las fuerzas electromotrices inducidas sobre los conductores de la máquina, figura -100-.

g 2

E1 - E2

E1 -E 2 E2

g

Diagrama fasorial de las fuerzas electromotrices en la máquina Fig. -100 -

En el desarrollo anterior se deduce que el factor de paso es el coeficiente que reduce la fuerza electromotriz, debido a que los devanados no se encuentran diametralmente opuestos. El factor de paso se define matemáticamente como: k p = co s

g 2

9.24

La fuerza electromotriz para una bobina con paso acortado es:

m g e (a, t) = 2 w r l o N 2 I m k kp cos(wt - b - a + ) 2g 2 d 2 9.5

9.25

Fuerza electromotriz en una bobina del estator

En la expresión anterior, 2.r.l es el área de proyección de la máquina, y el valor del flujo máximo que atraviesa esta área será: fmax = A . Bmax = 2 r l

mo k N 2 I d

2g

m 2

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 153 -

9.26

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El valor de la fuerza electromotriz en una espira del estator se puede escribir a partir de las ecuaciones 9.25 y 9.26 de la siguiente forma: e (a , t) = w kp fmax cos (wt - b - a +

g ) 2

9.27 La expresión anterior permite determinar la fuerza electromotriz inducida sobre una espira por una fuerza magnetomotriz desarrollada a partir de una bobina con N vueltas, factor de distribución kd y factor de paso kp. Para obtener la fuerza electromotriz total que aparece sobre todas las N vueltas distribuidas y acortadas en la periferia de la máquina, es necesario multiplicar la ecuación 9.27 por el número de vueltas equivalente de la bobina completa. Este número de vueltas equivalente tiene que tener en cuenta el acortamiento de paso y el factor de distribución. Por esta razón la fuerza electromotriz inducida sobre toda la bobina es:

m g 2 e (a , t) = 2 w r l o m 2 I (N k kp ) cos (wt - b - a + ) d 2g 2 2

3.28 El valor efectivo de la fuerza electromotriz en una bobina del estator, debido al campo magnético rotatorio producido por todas las bobinas del estator es: m 2 Ee = m w r l go I (Ne k kpe ) de 2

3.29 El subíndice “e” de la expresión anterior se refiere a cualquiera de las m bobinas en estator de la máquina. 9.6

Fuerza electromotriz en el rotor

Como el rotor de la máquina puede girar con respecto al estator, el campo magnético rotatorio que este produce en el estator corta a las bobinas o conductores del rotor con una velocidad diferente a como lo hace con las propias bobinas del estator. El campo magnético rotatorio gira espacialmente a una velocidad angular igual a la velocidad angular temporal de las corrientes inyectadas en el estator de la máquina. Esta velocidad es independiente de la velocidad mecánica del rotor. Entre el campo magnético producido en el estator y en el rotor de la máquina se establece una velocidad relativa, esta velocidad se denomina velocidad angular de deslizamiento y se puede definir manteniendo el sentido horario en la definición de los ángulos y de las velocidades, como:

w = w e - wr d

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 154 -

9.30

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En régimen permanente, es decir cuando el eje de la máquina gira a una velocidad constante, la posición del rotor medida a partir de un sistema fijo en el estator se puede expresar por: a e = a r + wr t + de

9.31

donde: ae

es la posición en el rotor medida en el sistema de referencia del estator. es la posición en el rotor medida en el sistema de referencia del rotor. es la velocidad mecánica del rotor. es el ángulo entre el rotor y el estator en el instante inicial (t = 0 ).

ar wr de

La fuerza electromotriz inducida sobre una espira del rotor localizada en la posición ar del sistema fijo en el rotor es: e r (a r , t ) =

me

rlw

2

mo N e k kpe 2 I cos (w t - b - a r - d e ) d g de d

Eje magnético de la fase a del estator

9.32

B ae Estator ve = we.r

g

vr = wr.r Rotor wrt+de

ar

Eje magnético de la fase a del ro tor

Sistemas de referencia del estator y del rotor Fig. -101-

Si la bobina del rotor tiene Nr vueltas, factor de distribución kdr y factor de paso kpr, el valor efectivo de la fuerza electromotriz en esa bobina es: Er =

me 2

mo w r l g Ne k kpe Nr k kpr I d de dr

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 155 -

9.33

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Dividiendo las ecuaciones 9.29 y 9.33 se obtiene la relación de transformación entre las fuerzas electromotrices del estator y el rotor, debidas al campo magnético rotatorio producido por las corrientes que circulan en el estator: Ee Er

=

we N e k

k

de pe

w Nr k kpr d dr

1 = w

d

we

N*e

* 1 Ne = s N* N*r r

9.34 En esta relación de transformación, s es la velocidad de deslizamiento en por unidad de la velocidad del campo magnético rotatorio (“slip” en inglés), N*e es el número de vueltas equivalentes del estator y N*r es el número de vueltas equivalentes de las bobinas del rotor. Es importante destacar que esta relación es independiente del número de fases de la máquina. Incluso no es necesario que el número de fases de estator me, debe ser igual al número de fases del rotor mr. El número de pares de polos en ambos sistemas si debe coincidir para permitir la existencia de torque medio diferente de cero, tal y como se analizó en el capítulo 5. 9.7

El deslizamiento en la máquina de inducción

El deslizamiento de una máquina de inducción, se define como la velocidad relativa entre el campo magnético producido por las corrientes inyectadas en el estator y la velocidad mecánica del rotor, en por unidad de la velocidad del campo: w w -w w s = wd = ew r = 1 - w r e e e

9.35 Si la máquina se encuentra detenida, la velocidad del eje mecánico es cero (wr=0), y de 9.35 se obtiene que el deslizamiento en esta condición es uno (s=1). Cuando el rotor de la máquina gira a la velocidad del campo, el deslizamiento es cero (s=0). En general a la velocidad del campo se le denomina velocidad sincrónica de la máquina, y el deslizamiento mide cuan cerca se encuentra la máquina de esta velocidad. Si el rotor de la máquina gira a una velocidad mayor que la sincrónica, el deslizamiento se hace negativo. Cuando se conocen todos los parámetros del modelo de una máquina de inducción y la fuente de alimentación, el deslizamiento determina el punto de operación. Por esta razón se utiliza esta variable para definir el estado de la máquina. La ecuación 9.34 indica que la fuerza electromotriz que se origina en el rotor de una máquina de inducción depende de la fuerza electromotriz del estator, de la relación de transformación entre los devanados del rotor y del estator, y del Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

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deslizamiento. Si el rotor de la máquina está detenido, esta expresión es similar a lo que sucede en un transformador con un primario de N*e vueltas y un secundario con N*r . Como el rotor puede girar a cualquier velocidad, el campo magnético rotatorio producido por el estator induce fuerza electromotriz en el rotor proporcional a la diferencia entre la velocidad de este campo y la velocidad mecánica del propio rotor. Por este motivo la fuerza electromotriz del rotor producida por el campo magnético rotatorio depende directamente del deslizamiento. 9.8

Equilibrio entre las fuerzas magnetomotrices del estator y del rotor

La aparición de fuerza electromotriz inducida en el rotor de la máquina de inducción, es capaz de hacer circular corriente por sus bobinas, siempre y cuando estos devanados estén, en cortocircuito o con una carga conectada entre sus terminales. Debido a que las fuerzas electromotrices se encuentran desfasadas en el tiempo producen corrientes que también están desfasadas en el tiempo, y que al circular por devanados desfasados en el espacio, producen un nuevo campo magnético rotatorio en el rotor. Este campo gira con respecto al rotor con la velocidad angular de deslizamiento wd. Como el rotor gira a la velocidad mecánica wr, con respecto a un sistema de referencia fijo en el estator, el campo producido por las bobinas del rotor gira a la velocidad sincrónica para un observador en el entrehierro. La iteracción entre los dos campos, actuando como imanes giratorios sincronizados, es la encargada de producir el torque eléctrico de la máquina de inducción. Si estos dos campo rotantes no girasen a la misma velocidad, el torque medio sería cero al concluir una revolución completa de un campo sobre el otro. Si el entrehierro de la máquina de inducción es lo suficientemente pequeño como para considerar que la fuerza magnetomotriz necesaria para magnetizar el sistema es despreciable, se cumple en forma aproximada que: F = Fe + Fr @ 0 M

9.36 Tanto la fuerza magnetomotriz del estator, como la del rotor giran a la misma velocidad en el entrehierro y poseen una distribución espacial sinusoidal, por este motivo es posible representarlas fasorialmente. Partiendo de la expresión aproximada 9.36, se establece: F = M

me 2

Ne k

de

kpe I e +

mr 2

Nr k kpr I r @ 0 dr

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 157 -

9.37

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donde las corrientes Ie e Ir son corriente fasoriales que mantienen el ángulo de fase necesario entre las fuerzas magnetomotrices del estator y del rotor respectivamente. De la expresión 9.37 se determina la relación de transformación entre los módulos de las corrientes del estator y rotor de la máquina: Ie = -

mr N*r mr Ir = I * me r Ne k kpe me N de e Nr k

k

dr pr

9.38 Según la expresión 9.38, la corriente en el estator de la máquina equilibra aproximadamente la fuerza magnetomotriz producida por las corrientes del rotor. Es interesante destacar que esta relación es independiente del deslizamiento, debido a que en el entrehierro los dos campos giran a la misma velocidad sea cual sea la velocidad del rotor. También es necesario indicar que la relación de transformación para las corrientes depende del número de fases del rotor y del estator. En cambio, la relación entre las fuerzas electromotrices del estator y rotor depende del deslizamiento y es independiente de la relación entre el número de fases en ambos sistemas. 9.9

Impedancia del circuito rotórico

En la sección 9.7 se desarrolló la relación 9.34, para la transformación de las fuerzas electromotrices del estator y el rotor de la máquina de inducción. En la sección 9.8 se obtuvo la transformación de las corrientes estatóricas y rotóricas a partir de un balance de fuerzas magnetomotrices. Con estas dos transformaciones se puede determinar la relación de transformación entre impedancias en el rotor y en el estator. Una impedancia en el rotor reflejada hacia el estator se puede evaluar mediante la relación de transformación siguiente: * 1 Ne E s N* r r

N* 2 ( e) Ee N*r me Er 1 N*e 2 me ' Zr = = = s × mr × Ir = s ( N* ) mr Zr Ie N*r mr r Ir m * N e e

9.39 El signo menos de la expresión 9.39 desaparece dentro de la impedancia Zr, debido a que las dos corrientes, la del estator y la del rotor entran hacia las bobinas y por esta razón si se conecta en el rotor una impedancia, la corriente del rotor tiene una referencia contraria a la definición de una impedancia.

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

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Ie Ee

N*e

Z'r Estator

Ir

N* r

Er

s me

mr

Zr = -

Er Ir

Rotor

Esquema del reflejo de la impedancia del rotor hacia el estator Fig. -102 -

Los conductores del rotor ofrecen una resistencia eléctrica a la circulación de la corriente. Además, cuando la corriente circula por estos conductores, se establecen enlaces de flujo que magnetizan la máquina acoplando el rotor con el estator, y una fracción de estos enlaces recorre un camino de fuga o dispersión. Las corrientes del rotor varían con la velocidad angular de deslizamiento wd, y por esta razón la reactancia de fuga del rotor es proporcional a esta frecuencia. Estator Lm Ie Entrehierro Ir Lr Rotor

Inductancias de magnetización y de dispersión del rotor Fig. -103 -

La reactancia y resistencia del circuito del rotor de la máquina de inducción pueden ser modelados de la siguiente forma: Zr = Rr + j w Lr = Rr + j s we Lr d

9.40 La reactancia de dispersión y la resistencia de los conductores limitan la circulación de corriente, por esta razón en el modelo de impedancia de la ecuación 9.40 se considera que estos dos parámetros deben estar conectados en serie. Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

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Si se refiere la impedancia definida en 9.40 del rotor al estator mediante la relación de transformación de impedancias 9.39 se obtiene el siguiente resultado: Z'r

* R'r R'r 1 Ne 2 me ' = ( ) [ Rr + j s we Lr ] = + j we Lr = + j X'r s N* mr s s r

9.41

donde: R'r = (

N*e 2 me ) × Rr mr N*r

N*e 2 ' Lr = ( ) × N*r

9.42

me × Lr mr

9.43 La expresión 9.41 indica que desde el punto de vista del estator, la reactancia inductiva del rotor es constante, pero la resistencia del circuito varía con el deslizamiento de la máquina. Cuando el rotor de la máquina de inducción gira a la velocidad sincrónica, el deslizamiento es cero y la impedancia del rotor referida al estator tiende al infinito. Por una impedancia infinita no pueden circular corrientes si las fuentes son finitas, en estas condiciones el rotor se comporta como un circuito abierto. Este fenómeno tiene una explicación física muy simple, si el rotor de la máquina gira mecánicamente a la misma velocidad del campo magnético rotatorio, no se producen cortes de los conductores por el flujo, no se inducen fuerzas electromotrices en las bobinas del rotor y por tanto no circulan corrientes por estos devanados. Todo esto es, desde el punto de vista circuital, similar a una topología de circuito abierto. Por otra parte, si la máquina está detenida, el deslizamiento es unitario y el rotor se refleja en el estator con una resistencia de las bobinas y una reactancia de dispersión, semejante al reflejo que produce un transformador ordinario en la condición de cortocircuito. En este caso la explicación física es tan simple como antes, debido a que si el rotor de la máquina está detenido, la máquina se comporta exactamente igual a un transformador, el primario es el estator y el secundario es el rotor. Entre estos dos sistemas no hay movimiento relativo y como las bobinas del rotor están generalmente en cortocircuito, el comportamiento de la máquina de inducción en este caso no difiere de un transformador cortocircuitado en el secundario.

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 160 -

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9.10 Circuito equivalente de la máquina de inducción Generalmente las bobinas o conductores del rotor de una máquina de inducción se encuentran en cortocircuito. En muchas ocasiones no se tienen acceso al circuito rotórico y resulta conveniente reflejar la impedancia del rotor hacia el estator de la máquina. En el estator existen me fases, pero como la máquina trabaja en un sistema equilibrado de corrientes y tensiones, es suficiente representar lo que sucede en una fase de estator de la máquina. El rotor posee en el caso más general, un número diferente de fases que el estator. Sin embargo al reflejar la impedancia del rotor en el lado del estator, el circuito equivalente de la máquina queda definido según el número de fases del estator. Rr wd Lr Ie N*e N *r Ee

Z 'r

Er

s E sta tor

me

mr

Ir

Vr = 0

Rotor

Representación esquemática de una fase de la máquina Fig. - 104 -

La máquina de inducción, según se analizó en las secciones anteriores, se comporta como un transformador que posee una relación de transformación diferente para las fuerzas electromotrices y para las corrientes. En la relación de transformación para las fuerzas electromotrices entra en juego el concepto de deslizamiento, y en la relación de transformación para las corrientes se debe considerar el número de fases del estator y rotor de la máquina. El modelo circuital considerado en la figura -104-, y desarrollado hasta el momento, no considera la necesidad de magnetizar la máquina. Sin embargo en la situación real la presencia de un entrehierro de algunos milímetros de espesor, requiere un fuerte consumo de corriente de excitación para que el flujo pueda atravesarlo. Esta corriente puede ser representada colocando una inductancia de magnetización en paralelo con el circuito del estator, tal como se modela en el circuito equivalente de los transformadores convencionales. Esta inductancia de magnetización se añade en el circuito del estator debido a que es normalmente en este eje eléctrico por donde se alimenta la máquina de inducción.

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

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Al igual que en el circuito del rotor, las bobinas del estator tienen resistencia y reactancia de dispersión. Por este motivo, en el circuito equivalente que modela la máquina de inducción, se incluye una resistencia y una reactancia en serie, por donde circula la corriente inyectada en las bobinas del estator. Las corrientes del estator varían en el tiempo con la velocidad sincrónica y por lo tanto la reactancia de fuga depende directamente de la inductancia de dispersión de las bobinas estatóricas y de la velocidad sincrónica.

Ve

Re

we Le

Ie

Im

I* e

Rr

wd Lr

Ir

w eL m

s mr N*r

me N*e

E stator

Vr = 0

Er

Ee

Roto r

Modelo menos idealizado de la máquina de inducción Fig. -105-

Al conectar la reactancia de magnetización, la corriente del estator se divide en dos partes, una alimenta al transformador ideal y se denomina en la figura -105- como I*e , y por la rama de magnetización circula la corriente Im. La corriente I*e satisface las hipótesis impuestas inicialmente para una máquina sin magnetización. La corriente de magnetización es considerablemente grande cuando se la compara con la de un transformador de igual potencia, debido a que en la máquina el entrehierro representa un obstáculo importante al paso del flujo. we Le

Re

we L 'r

Im

Ie Ve

weL m

I*e Ee

I'r

R' r s

Circuito equivalente de la máquina referido al estator Fig. -106-

El circuito equivalente de la máquina se obtiene refiriendo el circuito del lado rotórico al lado del estator de la máquina. En este circuito equivalente es habitual Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

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colocar una resistencia en paralelo con la reactancia de magnetización con la finalidad de representar las pérdidas en el hierro de la máquina. Estas pérdidas son debidas al flujo principal de la máquina y este flujo produce la fuerza electromotriz del estator. La resistencia total del rotor referida al estator, depende inversamente del deslizamiento. Cuando es necesario hacer un balance de pérdidas en la máquina resulta conveniente separar esta resistencia en dos partes: una representa las pérdidas en los conductores del rotor, y la diferencia representa la potencia que sale o entra del eje mecánico de la máquina. La separación de la resistencia total del rotor referida al estator en estas dos componentes es: é ù R 'r '+ ê 1 - s ú R' = R r ë s û r s

we L e

Re

we L'r

Im

Ie Ve

Ee

Rm

9.44 R'r

I*e w eL m

I'r

R'r éê 1 - s ùú ë s û Ca rg a

Circuito equivalente completo de la máquina de inducción Fig. - 107 -

Desde el punto de vista eléctrico, el comportamiento de la máquina depende del deslizamiento, de la tensión aplicada en el estator y de los parámetros del circuito equivalente. Una vez que se conocen los parámetros del modelo, el deslizamiento del rotor y la fuente de alimentación, se pueden determinar las corrientes que circulan por la máquina. El análisis circuital de la máquina de inducción es semejante al de un transformador con una carga resistiva variable. Esta carga depende exclusivamente del deslizamiento del rotor. A pesar de las similitudes entre el modelo de un transformador y el modelo circuital de la máquina de inducción, existen algunas diferencias importantes que es necesario destacar: a.-

La reluctancia del circuito magnético de la máquina de inducción es mucho más grande que la reluctancia de magnetización de un transformador. Esto se debe principalmente a la presencia de entrehierro en la máquina. La corriente de Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

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excitación de una máquina es considerablemente mayor que la de un transformador de igual potencia. Esta corriente puede alcanzar entre un 30% y un 50% de la corriente nominal de la máquina, contrastando con el 0.5% a 1.0% en un transformador convencional. b.-

Al ser tan grande la reluctancia de magnetización, se incrementa considerablemente los enlaces de dispersión. Por esta razón las reactancias de dispersión de la máquina son mayores que las reactancias de un transformador de similar potencia. Cada una de las reactancias de dispersión de la máquina pueden superar el 10%, en comparación con un transformador donde se encuentran entre el 1% y el 6% aproximadamente. 9.11 Ecuaciones de la máquina de inducción

Del modelo circuital de la máquina de inducción mostrado en la figura -107-, se pueden extraer varias relaciones de gran utilidad para determinar el comportamiento de la máquina en diferentes condiciones de operación. Algunas de estas relaciones son: a.-

Potencia de pérdidas en el rotor:

Todas las pérdidas eléctricas del rotor se encuentran principalmente en las resistencias de las bobinas del rotor. Como la máquina posee me fases en el estator, estas pérdidas se pueden calcular mediante la siguiente ecuación: 2

Ppr = me (I*e ) . R'r b.-

9.45

Potencia de pérdidas en el estator:

Los conductores del estator poseen resistencia, y por esta razón en estos devanados se producen pérdidas. También en el hierro de la máquina se producen pérdidas por histéresis del material magnético y por inducción de corrientes parásitas. Todas estas pérdidas se pueden calcular mediante la siguiente relación: 2

Ppe = P

pRe

+P

pFe

=

2 me ( Ie

Re +

Ee Rm

)

9.46 La fuerza electromotriz Ee se puede calcular a partir de la corriente del estator, mediante la siguiente ecuación fasorial: E e = V e - (Re + j Xe ). Ie Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 164 -

9.47

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c.-

Potencia mecánica en el eje del rotor:

De la potencia que entra a la máquina por los ejes eléctricos del estator, una parte se consume en los devanados de estator y otra porción en las pérdidas del hierro. El resto de la potencia de entrada atraviesa el entrehierro de la máquina y llega al circuito del rotor. En este circuito se pierde otra porción en las resistencias de los conductores. Finalmente la diferencia entre la potencia que entró por el estator y todas las pérdidas, se encuentra disponible en el eje del rotor como potencia mecánica. Este razonamiento permite calcular la potencia en el eje mediante la siguiente relación: ' 2 Rr 2 * P =P - P = me ( Ie ) [ - R'r ] = me ( I*e ) R'r [ 1 - s ] s s eje rotor pr

9.48 La ecuación 9.48 demuestra que la potencia mecánica disponible en el eje es igual a la potencia que se consume en la resistencia de carga representada en la figura -107 -. La potencia mecánica útil puede ser menor a la calculada por la expresión anterior debido a que existen pérdidas de tipo mecánico tales como la fricción y la refrigeración de la máquina mediante ventiladores acoplados al eje mecánico, que reducen la potencia disponible en el eje. d.-

Torque eléctrico:

El torque eléctrico de la máquina se puede calcular a partir del cociente entre la potencia mecánica disponible en el eje, y la velocidad mecánica del rotor. De esta forma se obtiene el siguiente resultado: P me m (1-s) Protor eje 2 2 * ) R' ) = = w Te = w = we ( I*e ) R'r ( 1-s (I r s s we (1-s) e r r e

9.49 La ecuación anterior permite calcular el torque eléctrico por dos vías diferentes: mediante la potencia mecánica disponible en el eje y la velocidad mecánica del rotor, o con la potencia eléctrica que atraviesa el entrehierro y la velocidad sincrónica. El torque eléctrico se produce en la interacción entre las fuerzas magnetomotrices del estator y rotor tal como se ha estudiado en el capítulo 5. Estas fuerzas magnetomotrices giran a la velocidad sincrónica y por esta razón el torque eléctrico se puede calcular a partir de la potencia transferida al rotor y la velocidad del campo magnético rotatorio, como se demuestra en la ecuación 9.46.

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 165 -

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we L e

Re

we L'r

Im

Ie Ve

Ee

Rm

I*e

R'r éêë 1 - s ùúû s

weL m

P Te = w r

Pe

R'r

e

Carga

Pr

Peje

Te =

Peje wr

Cálculo del torque eléctrico mediante el circuito equivalente de la máquina Fig. - 108 –

e.-

Cálculo de la corriente del rotor referida al estator:

Para calcular la potencia en el eje y el torque eléctrico, es necesario evaluar la corriente del rotor referida al estator, I*e. Un método simple para determinar esta corriente consiste en realizar un equivalente de Thèvenin visto desde el rotor hacia la fuente del estator. Ze we Le

Re

we L' r

Im Ve

I*e

Ie Rm

R'r

ù

R'r éêë 1 - s úû s

w eL m

Carga

Thèvenin

Zm

Equivalente de Thèvenin para la determinación de I*e Fig. -109 -

La tensión de Thèvenin en el circuito de la figura -109 - se determina mediante un divisor de tensión entre la impedancia serie del estator Ze, y la impedancia de magnetización Zm : Zm V = V Th Zm + Ze e 9.50 La impedancia de Thèvenin del circuito es el resultado del paralelo entre Ze y Zm, en serie con la reactancia de dispersión del rotor: Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 166 -

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Z

Th

=

Ze × Zm Ze + Zm

RTh

+ j X'r = R

Th

XTh

+jX

Th

9.51

R'r

I* e

é

ù

R'r ê 1 - s ú ë s û

VTh

Carga

Equivalente de Thèvenin del circuito Fig. -110 -

La corriente I*e se obtiene a partir del circuito mostrado en la figura -110-: V

I *e =

Th

R' + sr Th

Z

9.52

En las ecuaciones 9.48 y 9.49 se requiere el módulo de la corriente I*e: V

I*e = X

2 Th

Th

R' 2 + ( R + sr ) Th

9.53 Sustituyendo la expresión 9.53 en las ecuaciones 9.48 y 9.49, se determina la potencia en el eje y el torque eléctrico en función de los parámetros de la máquina, la tensión de Thèvenin y el deslizamiento del rotor: P

V

eje

2 Th

= me R'r ( 1-s s ) 2 R'r 2 X +(R + s ) Th Th

R' m Te = w e × sr × e

9.54

2 V Th

X

2 Th

R' 2 + ( R + sr ) Th

9.55

9.12 Característica torque eléctrico - deslizamiento La ecuación 9.55 determina el torque eléctrico de la máquina de inducción. Si la tensión de alimentación Ve tiene una amplitud constante, la tensión de Thèvenin también tendrá su magnitud constante, debido a que las impedancias del estator y de Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 167 -

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magnetización son independientes del deslizamiento del rotor. Si se excluye el deslizamiento, todos los términos de la ecuación 9.55 son constantes para una máquina dada, mientras que la frecuencia de la red sea constante. Para comprender el comportamiento funcional de esta característica, resulta conveniente realizar aproximaciones asintóticas de la ecuación 9.55 con respecto a valores extremos del deslizamiento. Cuando el deslizamiento es cero, la velocidad angular del eje rotor es igual a la velocidad del campo magnético rotatorio, en esta condición el flujo no corta los conductores del rotor, no se produce fuerza electromotriz en estas bobinas, no circula corriente, y por esta razón no se produce torque eléctrico medio. Para deslizamientos muy pequeños, pero diferentes de cero, el término R’r / s es mucho mayor que la resistencia y que la reactancia de Thèvenin. En estas condiciones es posible despreciar en el denominador de la expresión 9.55, la resistencia y la reactancia de Thèvenin:

Te @

me × V

2

Th × s we × R'r

; si, s®0

9.56 En el intervalo de deslizamientos, para los cuales es válida la expresión 9.56, el comportamiento de la característica torque-deslizamiento es lineal. En la práctica, la ecuación 9.56 es de gran utilidad debido a que en los puntos de operación normales o de régimen permanente, los deslizamientos de la máquina son en general lo suficientemente pequeños como para satisfacer la aproximación anterior con mucha precisión. Cuando los deslizamientos son grandes, el término R’r / s es despreciable y la característica torque-deslizamiento se aproxima a: me R'r Te @ w × × s e

V X

2 Th

2

2 2 +R Th Th

me VTh R'r = w × × ; si s ® ± ¥ s 2 e Z Th

9.57 La ecuación anterior indica una variación hiperbólica del torque eléctrico a medida que el deslizamiento aumenta. En valores negativos del deslizamiento, la aproximación anterior es igualmente válida, sin embargo en este caso el torque eléctrico es negativo.

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 168 -

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Te Ta s

Tmax

T a 1/ s Te(s)

wr

2we -1

-1.5

we

-0.5

sTmax 0.5

0

0 1

1.5

s

Tas

T a 1/ s

Característica Torque eléctrico-deslizamiento de una máquina de inducción Fig. - 111 -

En el gráfico de la figura -111- se ha destacado un punto importante de la característica torque eléctrico-deslizamiento, este punto corresponde al torque máximo de la máquina. El torque eléctrico es máximo cuando la potencia que atraviesa el entrehierro es máxima, esto se debe a que la velocidad sincrónica depende de la frecuencia de las corrientes inyectadas en el estator, y por lo tanto es constante. Para calcular la potencia máxima que puede atravesar el entrehierro se aplica el principio de máxima transferencia de potencia al equivalente de Thèvenin de la figura - 110 -. La máxima transferencia de potencia ocurre cuando la impedancia de la carga se iguala a la impedancia del equivalente de Thèvenin. En este circuito la carga es puramente resistiva, mientras que la impedancia de Thèvenin es fuertemente inductiva, en este caso para transferir la máxima potencia es necesario que los módulos de las impedancias se igualen: s

R'r

=

2 2 +R Th Th

X

Tmax

9.58 Despreciando en la ecuación anterior la resistencia de Thèvenin, que en general es muy pequeña en comparación con la reactancia, y reemplazando esta expresión en la ecuación 9.55 se puede calcular el torque eléctrico máximo que produce la máquina de inducción:

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 169 -

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Tmax @

me 2we

×

2 Th

V X

Th

9.59 El deslizamiento que produce el torque máximo se calcula de la expresión 9.58: R'r s = Tmax

X

2 2 +R Th Th

9.60 Al examinar la ecuación 9.55 se observa que la característica torquedeslizamiento no es completamente simétrica con respecto al origen. El denominador de esta ecuación no es indiferente al signo del deslizamiento. Si la resistencia de Thèvenin es nula o despreciable, la característica es simétrica. El deslizamiento es la variable que define el punto de operación de la máquina de inducción. Conocido este dato se puede determinar las corrientes, el torque eléctrico, las potencias de entrada o salida, las pérdidas, el factor de potencia y el rendimiento de la máquina. En las máquinas con rotor devanado es posible incluir resistencia en serie con el circuito del rotor. Esta posibilidad se puede utilizar para reducir las corrientes durante el arranque o para incrementar sustancialmente la magnitud del torque eléctrico durante este proceso. Incluso es posible añadir suficiente resistencia como para permitir que la máquina arranque con el torque máximo: S

Tmax

=

R'r + R'

adicional

2 Th

2 Th

X +R

= 1

Þ R'

adicional

=

2 Th

2 - R'r Th

X +R

9.61 La magnitud del torque máximo no es afectada por la variación de la resistencia del rotor, pero la característica torque-deslizamiento se modifica considerablemente como se observa en la figura -112 -.

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 170 -

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Te Tmax

-1

-0.5

R'r

0 sT

max

R'r + R'

ad.

s 0.5

1

Efecto de la variación de la resistencia del rotor en la característica Te.vs.s Fig. -112 -

9.13 Punto de operación de la máquina La característica torque eléctrico-deslizamiento analizada en la sección anterior, indica el valor del torque eléctrico para cualquier deslizamiento. Para definir el deslizamiento de operación de la máquina es necesario conocer la característica de la carga mecánica. El punto de operación del sistema formado por la máquina eléctrica y la carga mecánica está definido por la intersección de las dos características. La característica torque mecánico-velocidad de una bomba depende cuadráticamente con la velocidad. Esta característica se puede representar en función del deslizamiento de la máquina de inducción de la siguiente forma: 2

Tm = k w2r + k wr + k = k (1-s) w2e + k (1-s) we + k 1 2 3 1 2 3

9.62

El punto de operación de la máquina se obtiene en el deslizamiento que iguala el torque eléctrico con el torque mecánico: Tm(sop ) = Te (sop )

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 171 -

9.63

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Te Te Te = Tm

Tm

sop 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

s

Punto de operación de la máquina eléctrica con carga mecánica en el eje Fig. -113-

Según la ecuación 9.55, el torque eléctrico de la máquina de inducción depende del cuadrado de la tensión de Thèvenin. Este hecho puede utilizarse para controlar el punto de operación de la máquina variando la tensión de alimentación. T Ve T e1

0.9Ve

1 2

T e2

0.8Ve

3

T e3 Tm

s1

0

0.1

s2

0.2

s3

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Ajuste del punto de operación por variación de la tensión de alimentación Fig. - 114-

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 172 -

1

s

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En la figura -114- se observa que la reducción de la tensión de alimentación afecta fuertemente el torque eléctrico de la máquina en todo el rango de deslizamientos. Si la tensión se reduce durante el proceso de arranque de la máquina, el torque eléctrico puede no ser suficiente para acelerar la máquina hasta el punto final de operación. Para que la máquina pueda acelerar, el torque eléctrico debe ser mayor que el torque de la carga. Si esta diferencia es muy pequeña, la máquina demora mucho tiempo para alcanzar el punto de operación permanente: Te - Tm = T

acel.

=J

dwr dt

9.64 La ecuación 9.64 determina el proceso dinámico de arranque de la máquina de inducción. En la medida que el torque eléctrico supera al torque mecánico, se incrementa la velocidad del rotor. Cuando estos torques se igualan en el punto de operación, la aceleración se anula y la máquina eléctrica acciona a la carga a esa velocidad. Si varía la carga o la tensión de la red, la máquina se acelera o frena hasta alcanzar el nuevo equilibrio. Algunos puntos de intersección de las características de torque eléctrico y mecánico no son estables. Si al aumentar la carga mecánica disminuye el torque eléctrico, o al disminuir la carga mecánica, aumenta el torque producido por la máquina, el punto de operación es inestable y a la menor perturbación, la máquina se detendrá o buscará un punto de operación estable. T Máquina arranca y opera Máquina opera, pero no arranca Punto de operación inestable

Tm

Puntos de operación estable Máquina ni opera, ni arranca

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Puntos de operación estables e inestables de la característica torque-deslizamiento Fig. -115-

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 173 -

s

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9.14 El punto de operación nominal La corriente nominal de una máquina está determinada por la clase de aislamiento de sus bobinas, las pérdidas generadas por esta corriente, y el sistema de refrigeración encargado de disipar al medio ambiente estas pérdidas. Los materiales aislantes que recubren los conductores de las bobinas se degradan más rápidamente en relación directa con la temperatura, a este fenómeno se lo conoce como envejecimiento. El calor generado por pérdidas resistivas en los conductores crece con el cuadrado de la corriente que circula por las bobinas. La temperatura en el interior de la máquina, y más concretamente en el aislamiento de las bobinas, está determinado por la capacidad de la máquina para transmitir el calor al medio ambiente. Esta capacidad se conoce como impedancia térmica y depende de la geometría de la máquina, de los materiales y del sistema de enfriamiento. La corriente nominal por lo tanto, es aquella corriente que al circular por las bobinas, produce pérdidas que incrementan la temperatura interior de la máquina hasta el valor máximo. Con el valor máximo de la temperatura interior, el envejecimiento del material del aislamiento es tan lento que permite alcanzar a la máquina su período de vida útil (20 a 40 años), sin que se produzcan fallas en el mismo. Mediante la ecuación 9.52 se puede determinar la corriente en el estator de la máquina en función del deslizamiento. Este cálculo se realiza de la siguiente forma: E e = I*e (

Im =

Ee Zm

=

R'r + j X'r ) s

I *e

R'r ( + j X'r ) s Zm

R'r R'r (Z m+ + j X'r ) + j X'r ) s s V = Ve I e = I m + I *e = Th R'r R'r Zm ( Z + ) (Z m+ Z e )(Z + ) Th s Th s

9.65

9.66

( Z m+

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 174 -

9.67

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I Ie(S=1) Ie

I* e

Ien

-1.5

-1

-0.5

-sn 0 sn

0.5

1

1.5

s

Corriente del estator y del rotor referida al estator en función del deslizamiento Fig. -116-

La corriente nominal define el deslizamiento nominal de la máquina como se muestra en la figura -116-. Al quedar definido el deslizamiento nominal, también se define el torque eléctrico nominal de la máquina y la potencia nominal en el eje. Una vez que es conocida la temperatura máxima de operación, el sistema de enfriamiento determina la corriente nominal, y esta a su vez el valor del deslizamiento que produce esa corriente a una tensión determinada. Definido el deslizamiento nominal, también quedan definidos el torque eléctrico nominal y la potencia nominal en el eje. La tensión nominal de la máquina tiene relación con las pérdidas en el hierro y con la magnitud de la corriente de magnetización. Cuando se aplica la tensión nominal a las bobinas del estator, el flujo producido en el entrehierro no debe exceder los valores máximos de la densidad de campo magnético Bmax que tolera el material sin incrementar drásticamente las pérdidas en el hierro. Si la densidad de campo magnético supera este valor, las pérdidas en el hierro crecen rápidamente, aumenta la corriente de magnetización debido a la saturación del material y se incrementa la temperatura interior de la máquina por encima del valor máximo de diseño. Los valores nominales de la máquina no implican en forma alguna que la máquina debe funcionar siempre en esta condición. Estos valores son simplemente una referencia que indica un punto de operación en el cual la máquina puede mantenerse en régimen permanente durante todo el período de vida útil para el que Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 175 -

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fue diseñada. Exceder estos valores, incrementa las pérdidas y la temperatura interior de la máquina, pero si la temperatura previa es inferior a la temperatura máxima de diseño, la inercia térmica de los materiales retarda el incremento de temperatura. Durante este tiempo es posible operar la máquina por encima de sus puntos nominales sin reducir su vida útil. Incluso es posible tolerar un pequeño incremento de la temperatura sobre la temperatura máxima sin reducir significativamente la vida útil de la máquina. En el arranque, las corrientes pueden alcanzar de tres a seis veces el valor nominal, y esto produce un incremento de las pérdidas con el cuadrado de este valor. Las pérdidas pueden crecer de nueve a treinta y seis veces su valor en el punto nominal. Si esta situación se mantiene indefinidamente, la temperatura se incrementará muy rápidamente y se envejecerá el aislamiento. El tiempo de arranque depende de la inercia conectada al eje de la máquina, y de la diferencia entre el torque eléctrico y el torque mecánico de la carga. Cuando el arranque es lento, o se realiza múltiples veces, la temperatura máxima se puede exceder. Si esto ocurre frecuentemente, indica que la especificación nominal de la máquina está por debajo de los requerimientos de la carga. En estas condiciones es posible que durante los períodos de operación en régimen permanente, la máquina opere por debajo de su especificación nominal, y sin embargo la temperatura interior exceda la máxima permitida. Por esta razón es muy importante el ciclo de carga, aceleración y frenado a que está sometida una máquina, en su especificación definitiva. 9.15 Sistema en por unidad Resulta conveniente utilizar el sistema de valores en por unidad en la representación de la máquina de inducción. Al representar las magnitudes, parámetros y ecuaciones en un sistema adimensional de unidades, se simplifican y visualizan mucho mejor los cálculos y condiciones de operación de la máquina. Además, en por unidad los parámetros del circuito equivalente varían levemente con el nivel de potencia y tamaño de la máquina, diferenciándose una de otra principalmente por sus características constructivas. Resulta ventajoso indicar cuantas veces es mayor la corriente de arranque con respecto a la corriente nominal, que utilizar directamente la información en unidades físicas. Para definir las bases del sistema en por unidad de un sistema eléctrico es necesario especificar la potencia base y la tensión base. En los transformadores, es Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 176 -

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necesario definir una tensión base en un lado del transformador, y utilizar la relación del número de vueltas del equipo para definir la base de tensión del otro lado. Los transformadores, las líneas de transmisión y las grandes máquinas poseen rendimientos muy altos. Estos elementos del sistema no tienen diferencias importantes entre las potencias de entrada y salida. Las máquinas de inducción utilizadas industrialmente, tienen un rendimiento sustancialmente menor y por tanto existe una diferencia considerable entre la potencia de entrada y salida. Por esta razón es necesario definir cual de las posibles potencias que se pueden escoger resulta más conveniente. Esto por supuesto depende de la aplicación y del enfoque preferido por el analista. En general, entre las infinitas posibilidades existentes son tres las potencias base más utilizadas: a.- La potencia aparente nominal del estator.(SB = Sn) b.- La potencia activa nominal del estator.(SB = Pne) c.- La potencia mecánica nominal en el eje mecánico de la máquina.(SB = Pneje) La tensión base presenta menos problemas en su especificación y es utilizada habitualmente como base la tensión nominal línea a línea, especificada en la placa de la máquina. (VB = Vn). Las demás bases deben calcularse partiendo de estas dos definiciones SB y VB. A continuación se analiza cada uno de estos sistemas: a.-

SB = Sn

y

VB = Vn

En este caso la corriente base debe calcularse a partir de la definición de potencia aparente en un sistema trifásico balanceado:

S = 3 V × I B

B

B

S

Þ I = B

B

3 V

9.68 La impedancia base del sistema se calcula monofásicamente debido a que el circuito equivalente representa una fase de la máquina, de esta forma a partir de la tensión base y la corriente base, se obtiene: V V B

Z = B

I

B

B

3

3 S

B

=

=

B

2 B

V S

B

3V

9.69 Según este sistema en por unidad, la tensión, corriente del estator y potencia aparente serán 1.0 en p.u. cuando la máquina esté operando en el punto nominal. La B

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 177 -

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potencia activa en el estator tendrá el mismo valor del factor de potencia nominal. La potencia en el eje tendrá como valor el producto del factor de potencia nominal por el rendimiento del punto nominal de operación. Cuando se desea controlar que la corriente del estator no exceda el valor nominal, este sistema es conveniente. b.-

SB = Pen

y

VB = Vn

En este caso las expresiones 9.68 y 9.69 determinan la base de las corrientes e impedancias del sistema. Cuando la máquina se encuentra en su punto de operación nominal, la tensión y la potencia activa del estator son 1.0 en por unidad respectivamente. La potencia aparente y la corriente del estator en por unidad valen el inverso del factor de potencia nominal. La potencia mecánica en el eje, en por unidad es igual, en este sistema, al rendimiento del punto nominal. Como la potencia activa nominal en el estator no es una limitación operativa de la máquina, este sistema no tiene mucha utilidad práctica. c.-

SB = Pneje

y

VB = Vn

Igual que en los dos sistemas en por unidad anteriores, las expresiones 9.68 y 9.69, determinan la base de las corrientes e impedancias del sistema. Cuando la máquina se encuentra operando en su punto de operación nominal, la tensión y potencia en el eje del rotor son 1.0 en por unidad. La potencia aparente y la corriente del estator en las condiciones nominales son iguales al producto del inverso del factor de potencia nominal por el rendimiento en el punto nominal. Este sistema tiene utilidad cuando se desea analizar la potencia de accionamiento de la carga mecánica. Los sistemas electromecánicos necesitan además del cálculo de potencias, tensiones, corrientes e impedancias, el cálculo de torques y velocidades. Como el torque y la velocidad están relacionados por la potencia, es necesario definir una base adicional. En general se escoge la velocidad angular sincrónica del campo magnético rotatorio como base y de esta forma queda determinado el torque base: S S S P = T × w Þ T = w B = wB = B B 2p fe e B

9.70 Si la máquina posee más de un par de polos, el torque base se calcula como el torque definido en la ecuación 9.70, dividido por el número de pares de polos. Si la potencia base es la potencia del eje mecánico, el torque para la condición de operación nominal es 1.0. Cuando se define como base la potencia aparente de Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 178 -

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entrada, el torque es igual al producto del rendimiento nominal por el factor de potencia nominal. Si la base de potencia es la potencia activa nominal del estator, en el punto de operación nominal el torque es igual al rendimiento de la máquina en ese punto. 9.16 Ensayos para la determinación de los parámetros del circuito equivalente El circuito equivalente de la máquina de inducción está definido por seis parámetros o elementos circuitales, tres resistencias que modelan las pérdidas y tres reactancias que representan los flujos de dispersión y magnetización de la máquina. El circuito equivalente de la máquina de inducción es igual al de un transformador trifásico y por lo tanto la metodología utilizada en la determinación de los parámetros de este circuito puede ser utilizada en este caso, con algunas variaciones. Las variaciones se deben fundamentalmente a la presencia del entrehierro. En los transformadores, la corriente de magnetización es muy pequeña en comparación con la corriente nominal, por esta razón se puede despreciar esta rama cuando se desea identificar las reactancias de dispersión. En la máquina de inducción esta aproximación es más difícil de sostener. Además, en un transformador generalmente se dispone de acceso a sus circuitos primario y secundario. En la mayoría de las máquinas de inducción este acceso no es posible, debido a que el rotor está en cortocircuito. Para identificar los parámetros de un transformador, se realizan los ensayos de vacío y cortocircuito. El primero con la finalidad de obtener la reactancia y resistencia de magnetización y el segundo para determinar las reactancias de dispersión y resistencias de los conductores. La separación de la resistencia del primario y secundario se puede realizar midiendo la caída de tensión al inyectar corriente continua por una de sus bobinas. La separación entre las reactancias de dispersión se obtiene repartiendo proporcionalmente a la reactancia de dispersión total, la reluctancia del camino magnético en cada bobina. Esto conduce a que en por unidad, las dos reactancias de dispersión del modelo T del transformador son aproximadamente iguales y en valores físicos difieren en la relación de vueltas al cuadrado. En la máquina de inducción no sucede lo mismo porque las ranuras y los caminos magnéticos de las bobinas del estator y rotor pueden ser diferentes. En la máquina de inducción también se pueden realizar estos ensayos, a continuación se describen los más importantes: Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 179 -

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a.-

Ensayo de vacío:

En esta prueba se hace girar la máquina a velocidad sincrónica, preferiblemente por un accionamiento externo. De esta forma el deslizamiento es cero y por el circuito del rotor no circulan corrientes. La máquina se alimenta a frecuencia y tensión nominal en el estator y se miden con la mayor precisión posible las corrientes por las fases, tensiones de línea y potencia activa de entrada. Como el circuito es fuertemente inductivo es conveniente durante el ensayo utilizar vatímetros especiales para medir bajos factores de potencia. Estos instrumentos son vatímetros normales que permiten una deflexión de la aguja unas cinco veces mayor que la de un vatímetro convencional para la misma potencia.

R

+ + W1 -

Ia IR

x y z

V

IS VVW

RPM

U

VUV S

M.I. 3f

M.C.C Va

W

Ic

T

+ W2 +

+

IT Montaje experimental para el ensayo de vacío Fig. -117-

La tensión en la rama de magnetización es aproximadamente igual a la tensión de alimentación, debido a que las corrientes de magnetización, aun cuando son entre una tercera parte y la mitad de la corriente nominal, no producen una caída significativa en la rama serie del modelo. Con esta simplificación, la resistencia y reactancia de magnetización se obtienen mediante los siguientes cálculos: S o = 3 Vo Io

9.71

Po = P + P

9.72

1

Qo =

2

2

2

S o - Po

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 180 -

9.73

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Rm @ Xm @

Vo Po

9.74

2 Vo

Qo

9.75

Los órdenes de magnitud habituales son los siguientes: Io @ 0.2 ~ 0.3 p.u. Zm @ 2.0 ~ 3.0 p.u. Xm @ 2.0 ~ 3.0 p.u. Rm @ 50 ~ 100 p.u.

b.-

Prueba de rotor bloqueado o ensayo de cortocircuito:

Para realizar este ensayo es necesario bloquear el rotor de la máquina de inducción. Cuando el rotor está detenido, el deslizamiento es uno. El circuito equivalente en estas condiciones es semejante al de un transformador en cortocircuito. En la identificación de parámetros del transformador se puede despreciar la rama de magnetización, porque la corriente de cortocircuito es mucho mayor que la corriente de magnetización. La tensión de la rama de magnetización se deprime prácticamente a la mitad de la tensión de vacío y esto reduce aún más la corriente que circula por ella. En el transformador, la influencia de la rama de magnetización durante el ensayo es prácticamente despreciable. En la máquina de inducción la corriente de rotor bloqueado puede alcanzar entre tres y seis veces la corriente nominal. La corriente de vacío está comprendida entre la tercera parte y la mitad de la corriente nominal. Durante la prueba de rotor bloqueado la tensión de la rama de magnetización se deprime más o menos a la mitad, y por esta razón la corriente de la máquina durante este ensayo puede alcanzar a ser entre seis y dieciocho veces mayor que la corriente de magnetización. Desde un punto de vista práctico es posible despreciar esta rama en la estimación de los parámetros, sin embargo la aproximación no es tan precisa como cuando se aplica en el ensayo de cortocircuito de un transformador.

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 181 -

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El esquema de medida es similar al ilustrado en la figura -117-, pero en lugar de hacer girar la máquina de inducción a velocidad sincrónica, es necesario bloquear mecánicamente el rotor. Como el circuito equivalente en este ensayo también es muy inductivo, deben utilizarse vatímetros de bajo factor de potencia para mejorar la precisión de la medida. En la práctica este ensayo no se realiza a valores nominales de tensión, para evitar un calentamiento excesivo debido al incremento de las pérdidas con el cuadrado de la corriente y a la falta de ventilación por estar detenido el rotor. Por otra parte, es necesario utilizar una tensión suficientemente grande como para que el circuito magnético esté operando en la zona lineal. Aun cuando el ensayo a rotor bloqueado se realice con cierta rapidez, la resistencia de las bobinas cambia apreciablemente con la temperatura y es necesario corregir las medidas. Para este fin se miden las resistencias del estator cuando la máquina está a temperatura ambiente, antes de comenzar el ensayo. Esta medida se realiza inyectando corriente continua en la bobina y midiendo la caída de tensión. La corriente inyectada debe ser menor a un décimo de la corriente nominal para que el calentamiento sea despreciable. Posteriormente se efectúa el ensayo a rotor bloqueado e inmediatamente después de terminar estas medidas, se realiza una nueva medida de las resistencias del estator, por el mismo método descrito. Las dos medidas de resistencia y el conocimiento del material utilizado en el bobinado de la máquina permiten deducir la temperatura alcanzada por la máquina durante el ensayo. Si la máquina está bobinada con cobre recocido en frío, la ecuación que determina la variación de la resistencia en función de las temperaturas es la siguiente: R

T

2

R

=

T

234.5 + T (°C) 2

234.5 + T (°C) 1

9.77 Para determinar los parámetros de la rama serie del circuito equivalente de la máquina de las medidas de potencia, tensión y corriente se utiliza el siguiente procedimiento: S cc = 3 Icc× Vcc 9.77 1

Qcc =

2

2

S cc - Pcc

R @ Re + R'r = T

Pcc 2

3 Icc

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 182 -

9.78

9.79

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X @ Xe + X'r = T

Qcc 2

3 Icc

9.80 Las resistencias se pueden corregir desde la temperatura de la prueba, a la temperatura nominal de operación. Como además se conoce la resistencia del estator por una medida directa, la resistencia del rotor referida al estator se calcula por diferencia: R'r = R - Re T 9.81 Con las medidas realizadas, no es posible realizar una separación de las reactancias de fuga del estator y rotor, la práctica más habitual consiste en dividirlas por igual en las dos ramas. Sin embargo es necesario recordar que los caminos de fuga del estator y del rotor son diferentes. Estos caminos dependen principalmente de la forma de la ranura, y esta forma puede diferir mucho. Los órdenes de magnitud habituales en este ensayo son los siguientes: Icc @ 3.0 ~ 6.0 p.u. Re @ 0.01~ 0.02 p.u. R'r @ 0.02~ 0.06 p.u. Xe @ 0.10 ~ 0.20 p.u. X'r @ 0.10 ~ 0.20 p.u.

9.17 Técnicas de estimación paramétrica aplicadas al circuito equivalente En la sección anterior se ha presentado una técnica simplificada para determinar los parámetros del circuito equivalente de la máquina de inducción. Esta técnica se ha adaptado de la estimación de parámetros en transformadores. En los dos ensayos descritos, se realiza la medida de la impedancia equivalente de la máquina en dos condiciones de operación diferentes, deslizamiento cero y uno. Además se realiza una medida directa de la resistencia del estator. Conocida la resistencia del estator, sólo resta por determinar cinco parámetros. Cada uno de los ensayos permite establecer dos ecuaciones, una para la parte real y otra para la parte imaginaria de la impedancia de entrada. En total se dispone de cuatro ecuaciones y cinco parámetros por determinar.

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 183 -

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El problema matemático está indeterminado. La solución obtenida con tan escasa información, además de utilizar simplificaciones más o menos razonables, debe considerar una separación artificial de las reactancias de dispersión. Este problema se resuelve realizando ensayos adicionales a diferentes deslizamientos. Si se realizan varios ensayos, se obtiene un sistema con un mayor número de ecuaciones (dos por cada ensayo). Como los parámetros que se están determinando son siempre cinco, se tienen más ecuaciones que incógnitas. El sistema de ecuaciones obtenido está sobre determinado. Las medidas realizadas en los ensayos incluyen errores de apreciación del observador y precisión en los instrumentos. Además, los parámetros de la máquina varían en la práctica dependiendo de variables tales como el grado de saturación, la temperatura y el efecto pelicular entre otras. En esta situación resulta de gran utilidad la técnica de estimación paramétrica por el método de los mínimos cuadrados. Del circuito equivalente de la máquina de inducción se puede determinar la impedancia de entrada en función de los parámetros de la máquina, la frecuencia de alimentación y el deslizamiento del rotor. Esta función de impedancia del estator tiene la siguiente forma: Z r× Z m Z (Re , Le , Rm, L m, R'r, L'r, s, we ) = Z e + ent. Zr + Zm 9.82 donde: Z e = Re + j we L e 9.83

R' Z r = sr + j we L 'r Zm =

9.84

j we Lm Rm Rm + j we Lm

9.85 Utilizando el modelo de impedancia de entrada de la máquina, efectuando n ensayos con una precisión determinada, y variando la velocidad del rotor o la frecuencia de alimentación, el problema que se debe resolver es: Minimizar Y: n

Y=

å i=1

é Z m(si, wi) - Z c(si, wi) ù é Z m(si, wi) - Z c(si, wi) ù ê ú× ê ú s Z m(s , w ) s Z m(s , w ) i ë û ë û i i i i i

donde: Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 184 -

T*

9.86

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Zm(si) Zc(si) si wi si i n

es la i-ésima impedancia medida en los ensayos. es la i-ésima impedancia calculada mediante el modelo. es deslizamiento de la i-ésima medida. es la frecuencia de la i-ésima medida. es el factor de ponderación debido a la precisión de la medida i. es el número correspondiente a cada una de las medidas realizadas y, es el número total de medidas.

La ecuación 9.86 se puede escribir matricialmente como: T

Y = f . f*

9.87

donde: T

f = [ f (x , s , w ) f (x , s , w ) ¼ fn (x, s , w ) ] 1

i

ei

2

i

ei

i

y i

ei

i

i

9.88

Z m(s , w ) - Z c(x, s , w ) i

f (x, s , w ) = f (Re , Xe , Rm, Xm, R'r, X'r, s , w ) = i

ei

ei

i

ei

Z m(s , w )× s

ei

i

ei

i

9.89 Considerando que la ecuación 9.89 no es lineal en el caso general, las derivadas primeras de la función de costos Y con respecto a cada una de las variables de estado [x] del modelo se calculan de la siguiente forma: é ê ë

T ¶Y ùú = g(x) = 2 A(x) f(x) ¶x û

9.90

donde la matriz A(x) definida en la ecuación 9.90 es la matriz Jacobiana del vector de errores ponderados f(x). La matriz Jacobiana es de dimensión nxm, donde n es el número de medidas y m el número total de variables de estado o parámetros del modelo. El incremento de los parámetros que minimiza la función de costos 9.87, utilizando el método de Gauss-Newton es de esta forma: é ê ë

k T

k

Dx = - A(x ) . A(x )

ù ú û

-1

k T

A(x ) f(xk )

9.91 y el vector de variables de estado o parámetros del modelo en la iteración k+1 se calcula como: x k+ 1 =

xk + D x

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 185 -

9.92

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Si en la iteración k, el módulo del vector Dx es menor que un cierto error e especificado, el problema converge al mínimo local más cercano de la función de costos Y. Este método presenta ciertos problemas de convergencia, en particular cuando el peso de las segundas derivadas en la matriz Hessiana es importante. Para garantizar la convergencia del método es recomendable modificar la ecuación 9.92 de la siguiente forma:

x

k+1

k

= x + a . Dx

9.93

Sustituyendo la ecuación 9.93 en el vector de errores ponderados f(xk+1) se puede obtener mediante la ecuación 9.90 una función de costos para la iteración k+1 en función de las variables de estado obtenidas en la iteración k, y el parámetro unidimensional a: Y(x

k+1

k

k

T

k

) = Y(x +a.Dx) = f(x +a.Dx) . f(x +a.Dx) = Y(a)

9.94 Para obtener el nuevo vector de corrección a.Dx, es necesario determinar el valor del parámetro a que minimiza la función de costos. Una vez obtenido el valor de las variables de estado que minimizan la función de costos en la iteración k+1 se prosigue el cálculo determinando una nueva dirección mediante la ecuación 9.94 y un nuevo proceso de búsqueda del mínimo. Cuando el módulo del vector de dirección es inferior a la precisión requerida en los cálculos, termina el proceso de minimización con la mejor estimación de los parámetros del modelo. Uno de los inconvenientes que presenta el método de Gauss-Newton modificado es la necesidad de encontrar un valor inicial para las variables de estado. La función de costos Y, puede tener múltiples mínimos locales. La mejor solución para el modelo es aquella que produce el menor de los mínimos locales. Los valores de arranque pueden ser generados mediante una estimación inicial de tipo determinístico que puede ser realizada mediante los métodos tradicionales simplificados analizados en las dos secciones anteriores. De todas formas, el método de Gauss-Newton requiere de un valor inicial cercano a la solución para garantizar la convergencia a la solución óptima.

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 186 -

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Lectura de: - Nº de medidas 'n' - deslizamiento si - frecuencia w ei - impedancia Zmi

k= 0 Cálculo de los valores iniciales del vector x k

Evaluación de A

k=k+1 no

k

T

g (x ) = 2 A f

k>k max

T H (x k) @ 2 A A

-1

Dxk = - H g

k+1

x

k

si

k

= x + a Dx

si no Fin

¿Otra Solución?

si

¿| Dx | < e?

no

Obtención de a que min. Y (x + a Dx) búsqueda lineal

Diagrama de flujo del método de minimización de Gauss-Newton Fig. -118-

Si se desea asegurar la convergencia del método, es conveniente limitar la corrección máxima a Dxk para que ninguno de los parámetros de la máquina definidos en el vector xk pueda aumentar o disminuir en más de un cincuenta por ciento. Esto puede reducir la velocidad del algoritmo, pero asegura que los parámetros han de ser siempre positivos y evita divergencias debido a la no linealidad del modelo. El método de Gauss-Newton es muy eficiente para la determinación de los parámetros cuando la función de costos se define por mínimos cuadrados. Otros métodos de optimización no lineal también pueden obtener soluciones con más o menos dificultad. Como ejemplo se presenta a continuación el listado de un algoritmo realizado en el entorno de programación MATLAB 3.5. Este programa permite realizar una manipulación matricial y vectorial muy simple con números complejos. Además Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

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incluye una amplia librería matemática que facilita la solución rápida de complejos problemas prácticos. En este ejemplo se realiza la estimación de los parámetros del modelo de una máquina de inducción, que son previamente conocidos. Con estos parámetros se evalúan las impedancias de entrada de la máquina para las condiciones de la prueba de vacío, carga y rotor bloqueado. Por el método convencional y aproximado se realiza una estimación inicial de los parámetros. Se utiliza un programa de la librería del entorno denominado ‘fmins’ que utiliza la modificación al método Simplex de Nelder-Meade. %************************************************************ % Estimación de los parámetros de una máquina de inducción % mediante la técnica de los mínimos cuadrados. %************************************************************ % programa parámetros. % Para este ejemplo se utilizó el circuito equivalente para % determinar la impedancia de entrada para tres deslizamientos % diferentes: vacío (s=0), carga (s=0.03) y rotor bloqueado (s=1) % Los parámetros del circuito equivalente de esta máquina son: % % %

Re = .02 p.u. Xe = .10 p.u. Rm = 50. p.u. Xm = 3.0 p.u. Xr = .15 p.u. Rr = .03 p.u.

% Los ensayos realizados dieron los siguientes resultados: % Zmedida(s=0) = .199350+j3.0892 p.u. % Zmedida(s=0.03) = .833740+j.49141 p.u. % Zmedida(s=1) = .047603+j.24296 p.u. % Re = .02 p.u. (Medida directa) % Utilizando el método aproximado se consiguen los siguientes % valores de arranque. % Xeo = .12 p.u. Rmo = 48.0 p.u. % Xmo = 3.3 p.u. Xro =.12 p.u. % Rro = .0276 p.u. % Estos valores se cargan en el vector de arranque x0: x0 = [.12 48. 3.3 .0276 .12]; % Finalmente se llama a la rutina ’fmins’ que calcula los valores % de los parámetros x que minimizan la función de costo. % El error relativo especificado para la convergencia es 0.001 x = fmins('costo', x0, 0.001); % En el vector x se han cargado los parámetros óptimos de la % estimación. La solución es: Refin Xefin Rmfin Xmfin Rrfin Xrfin

= = = = = =

0.02 x(1) x(2) x(3) x(4) x(5)

% Fin del cálculo paramétrico. %************************************************************

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 188 -

Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller function Fi = costo(x) %************************************************************ % Evaluación de la función de costos por mínimos cuadrados. % Fi = Sumatoria(errores relativos)^2 % Deslizamientos correspondientes a los ensayos de vacío, % carga y rotor bloqueado. s = [1e-10 .03 1.]; Re Xe Rm Xm Rr Xr

= = = = = =

0.02; x(1); x(2); x(3); x(4); x(5);

% % % % % %

Medición directa de la resistencia estator Reactancia de dispersión del estator Resistencia de magnetización Reactancia de magnetización Resistencia del rotor referida al estator Reactancia dispersión rotor referida al estator

% Vector fila de las impedancias de entrada medidas en los % ensayos. Zmedida = [1.9935e-01-3.0892e+00*i 8.3374e-01-4.9141e-01*i 4.7603e-02-2.4296e-01*i]'; % Evaluación de las impedancias calculadas mediante la estimación % de los parámetros del modelo. Ze = Re+j*Xe; Zm = (Rm*j*Xm)/(Rm+j*Xm); Zth = Ze*Zm/(Ze+Zm)+j*Xr; Ve = 1.00; Vth = Zm*Ve/(Zm+Ze); Ir = Vth./(Zth+Rr./s); Ee = Ir.*(Rr./s+j*Xr); Im = Ee./Zm; Ie = Im+Ir; Zcalculada=Ve./Ie;

% % % % % % % % % %

Impedancia estator Impedancia magnetización Impedancia de Thevenin Tensión del estator Tensión de Thevenin Corriente del rotor referida Tensión rama magnetizante Corriente de magnetización Corriente del estator Impedancia de entrada calculada

% Cálculo del error relativo entre las medidas y el modelo error = (Zmedida-Zcalculada)./Zmedida; % Cálculo de la función de costo por mínimos cuadrados Fi = error*error'; % Fin de la función 'costo' %************************************************************ % Resultados obtenidos al ejecutar el programa ... %************************************************************ »parámetros Refin Xefin Rmfin Xmfin Rrfin Xrfin »

= 0.0200 = 0.0999 = 50.0014 = 3.0000 = 0.0300 = 0.1501

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

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En la siguiente tabla se presenta una comparación entre los resultados de los dos métodos: Parámetro

Método Aproximado

Estimación MATLAB

Exacto

Re Xe Rm Xm R’r X’r

0.0200

0.0200

0.0200

0.1200

0.0999

0.1000

48.000

50.0014

50.000

3.3000

3.0000

3.0000

0.0276

0.0300

0.0300

0.1200

0.1501

0.1500

9.18 Diagramas fasoriales de la máquina de inducción En la figura -119- se representa el circuito equivalente de la máquina de inducción, indicando las corrientes y las tensiones en cada uno de sus elementos. VRe

VXe

VX'r

VR'r

Re

Xe

X'r

R'r

Im

Ie Ve

Ee

Imr Rm

I*e

Imx Xm

Vc

ù

R'r éêë 1 - s úû s Carga

Circuito equivalente de la máquina identificando las tensiones en cada elemento Fig. -119-

La carga en el circuito equivalente de la máquina de inducción es puramente resistiva. Por esta razón la tensión sobre la carga Vc, se encuentra en fase con la corriente del rotor referida al estator I*e. La carga de la máquina en condiciones normales de operación es cercana a 1.0 en p.u, alrededor del punto nominal. Dependiendo del valor del deslizamiento, la máquina puede operar en tres condiciones básicas: como motor, como generador y en la condición de freno. La operación como motor requiere que el deslizamiento cumpla con las siguientes condiciones: 1.-

El deslizamiento debe ser positivo para que el torque eléctrico sea de accionamiento, [s ≥ 0]. Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 190 -

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2.-

La resistencia de carga tiene que ser positiva para que la máquina entregue potencia en el eje mecánico, [(1-s)/s ≥ 0].

Estas dos condiciones definen un intervalo del deslizamiento en el cual la máquina de inducción opera como motor, accionando la carga mecánica: 0 ≤ s ≤ 1 (Motor)

9.95

En la figura -120- se representa el diagrama fasorial de una máquina de inducción en la condición motor, cerca del punto nominal de operación.

VX e Ve VRe Ee VX ¢r

je

I mr

*

Ie

VC VR ¢r

Ie I mx

0 £ s £1 (Motor )

Im

Diagrama fasorial de la máquina de inducción en la condición motor Fig. -120-

Con el rotor en reposo, durante el proceso de arranque (s=1), la reactancia de fuga del rotor X’r es varias veces mayor que la resistencia del rotor R’r; el circuito es en este caso fuertemente inductivo. En la figura -121- se representa el diagrama fasorial de la máquina de inducción en esta condición (s=1).

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 191 -

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La operación como generador requiere que la máquina entregue potencia por el estator. La energía entra por el eje mecánico, atraviesa el entrehierro y llega al estator. En el circuito equivalente este fenómeno se modela cuando la resistencia de carga es negativa. Una resistencia negativa en lugar de consumir potencia, la genera. La potencia generada por esta resistencia proviene del accionamiento mecánico externo. Cuando el deslizamiento del rotor es negativo (s < 0) la resistencia que modela la carga es negativa también. Un deslizamiento negativo implica que la velocidad del rotor es mayor que la velocidad sincrónica, en estas condiciones el campo magnético rotatorio que se produce en el rotor adelanta al campo magnético rotatorio del estator, el torque eléctrico se invierte de sentido y la potencia fluye desde el rotor hacia el estator. En la figura -122- se puede apreciar el diagrama fasorial de una máquina de inducción en la condición de generación (s < 0). El ángulo entre la tensión y la corriente del estator es mayor de 90°.

Ve VXe

I mr Im I mx

VRe

Ee VX ¢r

VR ¢r

je

s =1 arranque

I*e

VC

Ie

Diagrama fasorial de la máquina con el rotor en reposo (s=1) Fig. -121-

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 192 -

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I* e Ie

VR ¢r

VC

I mr

I mx

VX ¢r

Ee

Im

Ve s 1). Para esta condición la resistencia de carga es negativa. Por otra parte, la suma de la resistencia de carga con la resistencia del rotor es positiva. En estas condiciones la máquina consume potencia tanto de la fuente como del eje mecánico. Toda esta potencia se disipa como pérdidas en las resistencias pasivas del circuito equivalente. En esta condición la máquina opera como freno (s > 1). En este caso la máquina utiliza potencia eléctrica de la fuente para openerse al sentido del movimiento. Estos puntos de operación pueden utilizarse para frenar un motor, consumiendo para este fin la energía cinética acumulada en la carga mecánica. Durante el funcionamiento como freno la máquina disipa internamente mucha energía y esto ocasiona un calentamiento importante, por esta razón este tipo de operación tan solo debe utilizarse durante cortos períodos de tiempo. En la figura -123- está representado el diagrama fasorial de la máquina de inducción en la condición de freno. Im

Ie

I mx VR ¢r

I* e VX ¢r E e

je

I mr

VC

VRe

VXe

Ve

s >1 freno

Diagrama fasorial de la máquina de inducción en la condición de freno Fig. -123-

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 193 -

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Para que la máquina de inducción opere en la condición de freno, es necesario que se invierta el sentido de giro del campo magnético rotatorio con respecto a la velocidad del rotor. Esto se puede lograr invirtiendo la conexión de dos fases del estator, el sentido de giro del campo se invierte y la máquina entra en la condición de freno. El torque eléctrico que produce la máquina tiene sentido contrario al movimiento del rotor, y la carga mecánica disminuye su velocidad. Cuando el rotor se detiene, se desconecta la máquina de la red y culmina el proceso de frenado. En la figura -124- se presenta un diagrama Torque eléctrico-deslizamiento. En este diagrama se han representado las diferentes condiciones de operación discutidas anteriormente. Te Te wr wr

2we -1

wr > 0 GENERADOR

MOTOR FRENO

Pe > 0

we

0

Pe < 0

Pe < 0

0 Te

1

Te

wr

wr

wr > 0

wr < 0

s

Modos de operación de la máquina de inducción Fig. -124-

9.19 Características normalizadas de la máquina. Factor Q de calidad. El gráfico torque eléctrico-deslizamiento de la máquina de inducción es una función que puede ser normalizada con respecto al torque eléctrico máximo y a su deslizamiento correspondiente. La característica de torque eléctrico - deslizamiento normalizada tiene gran utilidad cuando es necesario determinar las características de una máquina a la cual no se le conocen sus parámetros. Este conocimiento resulta conveniente durante el proceso de diseño o especificación de un accionamiento. La expresión 9.55 determina el torque eléctrico en función del deslizamiento, y el torque máximo se calcula a partir de la ecuación 9.58 como:

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 194 -

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m Tmax = w e e

V

2 Th 2 Th

2[R +

2 Th

R +X

Th

]

9.96 Dividiendo la característica del torque eléctrico-deslizamiento 9.55 por la expresión anterior se obtiene el resultado siguiente: Te Tmax

=

2 Th

2[R +

R +X

Th

2 ] Th

R'r 2 2 X + (R + ) Th Th s

R'r × s

9.97 Definiendo el factor de calidad Q de la máquina de inducción como el cociente entre la impedancia y la resistencia de Thèvenin: Q=

X

Th

R

Th

9.98 e introduciendo la definición 9.98 y la expresión 9.58 en la ecuación del torque normalizado 9.97 se obtiene el siguiente resultado: Te Tmax

1+

= 1+

2

1+ Q s

Tmax 1 s [ ] + s 2 sT max

2

1+ Q

9.99 La expresión anterior determina el torque eléctrico de una máquina de inducción conociendo solamente el torque eléctrico máximo, el deslizamiento correspondiente al torque eléctrico máximo, el factor de calidad de las bobinas y el deslizamiento de interés. El factor de calidad de las bobinas es un valor característico de la máquina y no varía en un rango demasiado amplio. En la práctica el rango del factor de calidad Q está comprendido entre 3.0 y 10 aproximadamente. El deslizamiento correspondiente al torque eléctrico máximo tiene incidencia directa sobre el rendimiento del punto nominal, cuanto menor es este deslizamiento; mayor es el rendimiento. Sin embargo, una máquina con deslizamiento de torque máximo muy pequeño produce un torque de arranque reducido. El torque máximo, puede corregir esta situación. En algunas ocasiones la expresión 9.99 se simplifica considerando que el factor de calidad Q de la máquina tiende a infinito. Esto es una buena aproximación en máquinas muy grandes, donde la resistencia de Thèvenin es muy pequeña Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 195 -

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comparada con la reactancia de dispersión, que no se varía practicamente en por unidad, con el tamaño o potencia de la máquina. La expresión que se obtiene en esta condición es: Te 2 = ; cuando Q ® ¥ s Tmax Tmax s + s s Tmax 9.100 Una expresión semejante a la 9.99 se obtiene para la corriente del rotor referida al estator cuando se normaliza por el valor de esta corriente y del deslizamiento correspondiente al torque máximo: 1.0

Q =0

0.9

Q =1

0.8

Q =2

0.7

Q =5

0.6

Te

0.5

Tmax

0.4 0.3 0.2

Q®

0.1

1

0.1

10

s

s

Tmax

Gráfico del torque eléctrico normalizado Fig. -125-

I*e I*

= 2

1+

s

Tmax

Tmax

s

+ [ 1+ (

2

s

1+ Q

Tmax 2

s

) ]

2

1+ Q

9.101

Cuando el factor de calidad Q tiende a infinito, la expresión 9.101 tiende a: I*e I* Tmax

=

s 1+(

2 Tmax 2

s

; cuando Q ® ¥

)

En la figura -126- se han representado las dos últimas expresiones. Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 196 -

9.102

Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller 2

Q =0 1.8

Q =1 1.6

Q =2 1.4

I*e I*e

Tmax

1.2 1

Q =5 0.8

Q® 0.6 0.4 0.2 0

0.1

1

Corriente del rotor normalizada Fig. -126-

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 197 -

10

s

s

Tmax

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Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

- 198 -

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Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción 10.1

Introducción

En el capítulo 9 se desarrolló un modelo circuital de la máquina de inducción. El circuito equivalente de la máquina, de igual forma que el modelo del transformador es una herramienta cómoda y eficiente para la evaluación del comportamiento de estos equipos. Estos modelos en el pasado tenían un inconveniente debido a la necesidad de utilizar frecuentes operaciones con fasores o números complejos. Los lugares geométricos permiten reducir el número de engorrosas operaciones con esta aritmética y visualizar en un sólo gráfico gran cantidad de información sobre el comportamiento de la máquina de inducción. Con las calculadoras y computadores modernos, se han eliminado completamente estas dificultades y podría parecer innecesario el uso del diagrama de círculo, sin embargo la posibilidad de visualizar en el mismo diagrama las corrientes, deslizamientos, torques y potencias le brinda a esta herramienta un enorme poder para el aprendizaje de las relaciones causa-efecto en esta máquina. En la actualidad no se pretende analizar cuantitativamente la máquina de inducción mediante la construcción geométrica de sus diagramas de círculo, pero sí poder interpretar cualitativamente las principales características de la máquina, y como estas son afectadas por variaciones en los parámetros o en la fuente de alimentación. En este capítulo se explican métodos para la construcción del diagrama de círculo a partir de los parámetros del circuito equivalente o de ensayos directos sobre la máquina. También se incluye el procedimiento para obtener el circuito equivalente a partir del diagrama de círculo de la máquina de inducción. 10.2

Lugar geométrico de la corriente del rotor

El diagrama de círculo de la máquina de inducción es el lugar geométrico del fasor corriente del estator, utilizando como parámetro el deslizamiento. En estricta teoría, el lugar geométrico de las corrientes del estator no es exactamente un círculo, aun cuando la diferencia con esta figura es muy reducida en la práctica. El lugar geométrico de la corriente del rotor referida al estator si representa matemáticamente un círculo cuando se representa en el plano este fasor para todos los posibles deslizamientos de la máquina de inducción.

Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción

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De la figura -110- del capítulo 9, se obtuvo en la ecuación 9.52 la expresión del fasor corriente del rotor referida al estator. Esta ecuación se puede expresar de la siguiente forma: V

I*e = Z

Th

R'r Th s +

∠0°

V

=

R + Th

Th R'r

s

=

+jX

Th

V

Th

∠ 0°

| Z(s) | ∠ ϕ*e(s)

V

Th

=

[

]

⋅ sen ϕ*e (s) ∠ - ϕ*e (s) X

Th

10.1 La expresión 10.1 se expresa en coordenadas cartesianas de la siguiente forma:

I*e = Ier + j I = ei

V X

Th

[ sen (ϕ*e ) cos (ϕ*e ) - j sen2 (ϕ*e ) ]

Th

10.2

Multiplicando la corriente I*e por su conjugada se obtiene: ⎪ ⎪ ⎪

⎪ I *e ⎪⎪

2

2 2 = Ier + I = ei

2 Th 2

V

sen2 [ϕ*e (s)]

X

Th

10.3

Ademas, de la parte imaginaria de la expresión 10.2 se deduce que: I =ei

V

Th

X

Th

I ⋅ X Th sen2 [ϕ*e (s)] ⇒ sen2 [ϕ*e (s)] = - ei V Th

10.4 Sustituyendo este resultado en la ecuación 10.3 y completando los cuadrados correspondientes, se obtiene: V

V

2 2 2 2 Ier + I = - Th I ⇒ Ier + I + Th I + ei ei ei X ei X Th

⇒

2 Ier +

Th

[I + ei

V

Th

2X

2

] = [

Th

V

Th

2X

2 Th

V

2 Th

4X

=

2 Th

V

2 Th

⇒

4X

2

]

Th

10.5 La expresión 10.5 es la ecuación de un círculo centrado en el punto (0,VTh/2XTh) y cuyo radio vale VTh/2XTh. En el origen de coordenadas de la figura -127-, el deslizamiento de la máquina de inducción corresponde a la condición de vacío (s=0). Para este deslizamiento el modelo de carga resistiva que representa la potencia transferida al eje, tiende a infinito y la corriente que circula por el rotor es cero.

Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción

- 200 -

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jIei o

Ier

(Eje Imaginario)

- Ier

VTh

(Eje Real)

ϕ*e(s)

-j

Iei

I *e

V

Th

2X

Th

V

Th

2X

Th

V - j Th XTh - jIei

Ier ) * e(s ϕ 2 Ier +

S

[I + ei

V

Th

2X

V

2

] =[

Th

2

Th

]

2X

Th

Lugar geométrico de la corriente del rotor referida al estator Fig. -127-

El punto diametralmente opuesto al de vacío corresponde a la máxima corriente del rotor referida al estator. La máxima corriente se obtiene cuando la máquina opera en un deslizamiento para el cual la parte resistiva de la impedancia se anula. En esta condición la impedancia es igual a la reactancia de Thèvenin:

Z (s

I*emax

)=R + s Th

R'r

+jX

I*emax

Th

=jX

Th

⇒ s

I*emax

=-

R'r R

Th

10.6 En el deslizamiento correspondiente al rotor bloqueado (s=1), la reactancia de Thèvenin es bastante más grande que la suma de la resistencia de Thèvenin y la resistencia de la carga. En este deslizamiento, la corriente del rotor referida al estator es, en magnitud muy parecida a la corriente máxima y su ángulo también es cercana, pero inferior a 90°. Para los deslizamientos positivos, el fasor corriente en la figura -127- debe estar en el cuarto cuadrante del diagrama. En este cuadrante las potencias activas y reactivas consumidas por la máquina son positivas. En el tercer cuadrante, la potencia Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción

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reactiva es negativa, pero la potencia activa es positiva en este caso. Todos los puntos de operación del lugar geométrico de la corriente del rotor consumen potencia reactiva inductiva. Esto se explica por la necesidad de alimentar desde el estator las fuerzas magnetomotrices de la máquina. 10.3 Potencia aparente, activa y reactiva en el diagrama de círculo Para determinar la potencia activa o reactiva en el diagrama de círculo es necesario trazar un segmento paralelo al eje real o imaginario respectivamente. Estos segmentos nacen en el corte con los ejes coordenados ortogonales y finalizan en el punto de operación deseado. Estos segmentos son proporcionales a cada una de las potencias activa o reactiva, y la constante de proporcionalidad que permite el cálculo cuantitativo es el valor de la tensión de Thèvenin. La potencia aparente, por otra parte, es proporcional al módulo de la corriente del rotor referido al estator.

Eje Real

VTh ⎪ ⎪ ⎪

⎪ I *e ⎪⎪ α S

R

ϕ*

I*e s=1

B

e ⎪ ⎪ ⎪

⎪ I *e ⎪⎪ α S

⎪ ⎪ ⎪

R

⎪ I*e ⎪⎪ cos ϕ* α P e

R

s

A s=0

⎪ ⎪ ⎪

I*e

⎪ ⎪ ⎪

sen ϕ*e α Q

I*emax

C

-j

R

V

Th

X

Th

Segmentos representativos de la potencia activa, reactiva y aparente Fig. -128Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción

- 202 -

=-

R'r R

Th

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De acuerdo con los puntos A, B y C definidos en la figura -128- las potencias aparente, activa y reactiva, para un punto cualquiera del círculo se calculan de la siguiente forma: ⎪ * ⎪ S = 3 V ⋅ ⎪⎪ I e ⎪⎪ = 3 V . AB α AB R Th Th 10.7 P =

3V

⎪ ⎪ ⎪

I*e ⎪⎪ cos ϕ* = 3 V . BC α BC e

Q =

3V

⎪ ⎪ ⎪

I *e ⎪⎪ sen ϕ* = 3 V e

R

R

Th

Th

⎪

Th

⎪

Th

10.8

. AC α AC

10.9 Las expresiones 10.7, 10.8 y 10.9 permiten calcular la potencia activa, reactiva o aparente de cualquier punto de operación de la máquina de inducción, midiendo la longitud del segmento correspondiente AB , BC ó AC. 10.4 Balance de potencias para un punto de operación en el diagrama El segmento BC de la figura -128- es proporcional a la potencia que entra a la máquina para el deslizamiento de rotor bloqueado (s=1). En esta condición de operación, toda la potencia que atraviesa el entrehierro se disipa en la resistencia del rotor y en la resistencia de Thèvenin. En cualquier otro punto de operación, el segmento BC es proporcional a la suma de las potencias disipadas en la resistencia de Thèvenin, en la resistencia del rotor y en la resistencia equivalente de la carga. De este análisis se pueden obtener las siguientes expresiones: 2

= me ⋅ [ I*e ] ⋅ R'r

P

R'r

* ]2 ⋅ R P = m ⋅ [ I e e Th Th ' 2 P = me⋅ [ I*e ] ⋅ R'r 1-s s eje

10.10

10.11

10.12 De las expresiones 10.10, 10.11 y 10.12 se pueden deducir las siguientes relaciones: P ' R'r Rr = P R Th Th 10.13

P

eje

P

Th

=

R'r R

Th

1-s s

Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción

- 203 -

10.14

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P

eje

P

R'r

= 1-s s

10.15 Las expresiones anteriores indican que las potencias se encuentran relacionadas entre sí en la misma proporción que las resistencias donde se disipan. Estas pérdidas pueden ser representadas en el diagrama de círculo. Para este fin es necesario determinar el punto correspondiente al deslizamiento infinito (s=±∞). En este punto todas la potencia se disipa en la resistencia de Thèvenin. Con el rotor bloqueado (s=1) la potencia se reparte entre la resistencia del rotor y la resistencia de Thèvenin en la proporción de estas resistencias, según se demuestra en la ecuación 10.13. VT h

sx

A

Eje de la pot encia m ecánic a E

ϕ* (s ) e x

Peje(sx ) PR'r(s=1)

ϕ* (s=1) e

F

B C

Eje del t orque H

PR'r(sx) PTh(s=1)

PTh(sx) O

s=1

D

G

s=±∞ PT h(s=±∞)

I J

-j

Balance de Potencias en el diagrama de círculo Fig. -131-

De la semejanza de los triángulos ∆OBD y ∆OEG en la figura -131- se establecen las siguientes proporciones:

BD = OD = OA ⋅ sen ϕ*e (sx) EG OG OE ⋅ sen ϕ*e (s=1) OA = OJ ⋅ sen ϕ*e (sx) OE = OJ ⋅ sen ϕ*e (s=1)

10.16 10.17

10.18 Sustituyendo las relaciones 10.17 y 10.18 en la proporción 10.16, reemplazando cada segmento que representa una corriente en el diagrama por su correspondiente valor, y multiplicando el numerador y el denominador por la Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción

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resistencia de Thèvenin más la resistencia del rotor referida al estator, se obtiene el siguiente resultado: 2 2 P (s ) * (s ) ]2 [ I*e (sx) ] ⋅ [ R + R'r ] ⎡ OA ⎤ [ I Th+R'r x BD = ⎢ e x Th ⎥ = = = 2 2 ⎣ OE ⎦ P (s=1) EG * * [ Ie (s=1) ] [ Ie (s=1) ] ⋅ [ R + R'r ] Th+R'r Th

10.19 Mediante la expresión anterior se demuestra que la proporción entre los segmentos BD y EG del diagrama de círculo es igual a la relación entre las potencias de pérdidas en los conductores de la máquina en las dos condiciones de operación indicadas. En la condición de rotor bloqueado, toda la potencia se consume en pérdidas en la resistencia de Thèvenin y en la resistencia del rotor. En cualquier otro deslizamiento, el segmento BD es proporcional a estas mismas pérdidas. De igual forma se demuestra que el segmento CD es proporcional a las pérdidas en la resistencia de Thèvenin. Como resumen se indica la proporcionalidad de los diferentes segmentos del diagrama de círculo para un deslizamiento determinado: AD CD BD BD AB AC

es proporcional a la potencia de entrada al circuito equivalente. es proporcional a las pérdidas en la resistencia de Thèvenin. es proporcional a las pérdidas en la resistencia del rotor. es proporcional a las pérdidas totales del circuito equivalente. es proporcional a la potencia en el eje de la máquina. es proporcional a la potencia que atraviesa el entrehierro y por lo tanto al torque eléctrico producido por la máquina.

La recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto (s=1) se denomina eje de la potencia mecánica, debido a que cualquier segmento paralelo al eje real, con un extremo en un punto de operación localizado sobre el círculo y su otro extremo sobre este eje, es proporcional a la potencia en el eje de la máquina. De igual forma, la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto correspondiente a deslizamiento (s=±∞) se denomina eje del torque eléctrico.

Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción

- 205 -

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10.5

Recta del deslizamiento

Para determinar el deslizamiento de un punto del diagrama de círculo es posible utilizar diferentes metodologías. La forma más simple puede ser despejar el deslizamiento de la expresión 10.15: sx =

P ' (sx) Rr

P

eje

(sx) + P ' (sx) Rr

=

BC = BC AB + BC AC

10.20 Este método tiene dos inconvenientes principales. El primero de ellos consiste en la dificultad práctica para medir deslizamientos cercanos a cero, en este caso el segmento BC es muy pequeño, y la precisión de la medida es reducida. En segundo lugar el procedimiento no es muy gráfico debido a que es necesario realizar operaciones aritméticas para cada punto de operación, reduciendo las ventajas del diagrama de círculo. Por estos dos motivos se han desarrollado varios sistemas para la calibración de los deslizamientos de la máquina en el diagrama de círculo, tal vez uno de los más utilizados es el que se describe a continuación y se lo denomina en la literatura la recta del deslizamiento. El método de la recta de deslizamiento se fundamenta en trazar en el diagrama de círculo, una recta paralela al eje del torque eléctrico o eje del deslizamiento infinito (s=±∞). Esta recta se traza a una distancia arbitraria de este eje, pero con la condición de que el eje de la potencia mecánica (s=1) la corte en un punto dentro del área de trabajo. Esta construcción se muestra en la figura -130-. En esta figura, la proporción entre el segmento AB y AJ determina el deslizamiento del punto de operación considerado. Si al segmento AJ se le asigna un valor unitario, automáticamente el segmento AB indica el valor del deslizamiento. Para demostrar esta aseveración se utiliza la semejanza existente entre los triángulos ∆OCE y ∆OAB de la figura -130-. Como se observa en la figura, los triángulos ∆OCE y ∆OAB son semejantes, y por este motivo: CE = OA EO AB 10.21 Los triángulos ∆ODE y ∆OAJ también son semejantes, y se puede establecer la siguiente proporción: DE = OA EO JA 10.22

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VTh

sx

C

J

Recta del deslizamiento

A

s =0

B

s=1 G

s=1

H D

s=±∞

E

O

F

I

-j

Recta del deslizamiento Fig. -130-

Dividiendo la relación de segmentos 10.22 por la 10.21 se obtiene lo siguiente: P ' Rr DE = AB = = sx P +P ' CE AJ eje Rr

10.23 La recta del deslizamiento se normaliza con respecto al segmento AJ y posteriormente se calibra este segmento. Si se desea conocer el deslizamiento de un punto cualquiera del diagrama, es suficiente con trazar una recta que una el origen de coordenadas con el punto de interés sobre el círculo. La intersección de esta recta auxiliar sobre la recta del deslizamiento, previamente calibrada, indica directamente el valor del deslizamiento del punto de operación. 10.6 Torque máximo y potencia mecánica máxima Los torques y potencias mecánicas, se obtienen a partir del diagrama, trazando rectas paralelas al eje real que comienzan en el punto de operación y culminan en los ejes del torque eléctrico (s=±∞) o de la potencia mecánica respectivamente. Para determinar el punto del diagrama de círculo donde se obtiene el torque o la potencia mecánica máxima, es necesario encontrar las rectas tangentes al círculo y paralelas a los ejes de torque y potencia.

Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción

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VTh

sPma x

sTma x s=1

A

s=o

sPmax

s=1

sT max αTmax α Peje max

s=±∞

s=o

-j Puntos de potencia mecánica máxima y torque eléctrico máximo Fig. -131-

10.7

Lugar geométrico de la corriente del estator

El diagrama de círculo analizado en las secciones anteriores representa tan solo el lugar geométrico de las corrientes del rotor referidas al estator. Se ha visto tanto en el circuito equivalente, como en el diagrama de círculo, que esta corriente suministra una gran cantidad de información sobre la operación de la máquina. Por otra parte, la máquina se alimenta por el estator, y esta corriente es la que el usuario puede medir. Para obtener el lugar geométrico de la corriente del estator es necesario sumar fasorialmente a la corriente del rotor referida al estator, la corriente de magnetización. Este lugar geométrico no es en estricta teoría un círculo, debido a que la corriente de magnetización también depende del deslizamiento. Sin embargo, la corriente de magnetización es prácticamente constante para un rango muy amplio del deslizamiento. De esta forma se puede utilizar para la contrución del diagrama de círculo completo un circuito equivalente en el cual la corriente del rotor se modela mediante el equivalente de Thèvenin que se ha venido utilizando, pero que en paralelo con la tensión de Thèvenin se añade la rama de magnetización. En la figura -132- se muestra este circuito y el diagrma de círculo que se obtiene cuando se suman la corriente de magnetización y la corriente del rotor.

Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción

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RTh

XTh

Imx

I* e

Ie

R' r

Im VTh

Im r Rm

VT h

R' r ⎡⎢ 1 - s ⎤⎥ ⎣ s ⎦ Carga

Xm

C

sx

J

Recta del deslizamiento

A

s=0

s=1 H

B

s=1

Peje

I* e D

Ie Imr

Im s= 0

Imx

E

PR'r

F

PTh

G

PRm

I

s=± ∞

J

-j

V Th X Th Diagrama de círculo de la corriente del estator y el circuito equivalente simplificado Fig. -132-

En la figura -132- el segmento FG representa las pérdidas en el hierro de la máquina. Es necesario recordar que los equivalentes de Thèvenin no son conservativos en potencia porque la potencia no es una característica lineal del circuito. Por esta razón la resistencia de Thèvenin no incluye la información sobre las pérdidas en el hierro. El circuito de la figura -132- tiene un comportamiento respecto a las potencias muy parecido al modelo clásico.

Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción

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VTh Ve

I

e

Circuito Equivalente Completo Circuito Equivalente Thèvenin

R e = 0.01 pu Xe = 0.10 pu

R' r = 0.03 pu X' r = 0.10 pu

Eje -j

Rm = 50.0 pu Xm = 3.0 pu

1.0 p.u.

Comparación entre el circuito Thèvenin y el modelo circuital completo Fig. -133-

En la figura -133- se presenta una comparación entre los lugares geométricos de la corriente del estator utilizando el circuito de Thèvenin y el modelo clásico de la máquina de inducción. Es necesario recordar que en el modelo clásico la corriente del estator no es un círculo exacto, pero se aproxima muy estrechamente para casi todos los deslizamientos. Estos dos diagramas se obtuvieron mediante un algoritmo en el entorno de programación MATLAB 3.5. En la figura se observa que para deslizamientos cercanos al punto nominal, la correspondencia entre los dos circuitos es prácticamente perfecta. Sin embargo, cuando los delizamientos son grandes los errores se acrecientan. Esto se debe a que a grandes valores del deslizamiento, la corriente es varias veces su valor nominal y produce caídas importantes en las reactancias de dispersión. Por esta razón, la tensión en la rama magnetizante es menor y la corriente de magnetización también es más pequeña. El circuito equivalente reducido por Thèvenin considera que la tensión de Thèvenin alimenta a la rama de magnetización para todos los deslizamientos, y por esta razón este modelo Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción

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determina corrientes ligeramente mayores que el circuito clásico. La diferencia entre los dos diagramas no excede en la práctica la mitad de la corriente de vacío de la máquina, debido a que la reactancias de dispersión del estator y rotor son aproximadamente iguales. Con estas corrientes circulando por las bobinas del estator y rotor de la máquina, la tensión en la rama de magnetización se deprime aproximadamente a la mitad, y la corriente de magnetización por esta razón se reduce en la misma proporción. 10.8

Construcción del diagrama de círculo

La construcción del diagrama de círculo completo de la máquina de inducción se puede realizar a partir del conocimiento de los parámetros del circuito equivalente, o mediante ensayos sobre la máquina en diferentes condiciones de operación. Geométrica y analíticamente, un círculo está definido por la posición de su centro y la longitud de su radio. También se puede trazar un círculo a partir de tres puntos localizados sobre el círculo, en este caso es suficiente con trazar las bisectrices entre dos cualquiera de estos puntos, y la intersección de estas bisectrices es el centro del círculo. El radio se obtiene midiendo la distancia desde el centro del círculo a uno cualquiera de los tres puntos iniciales. Otra posibilidad para trazar un círculo, consiste en conocer dos puntos del cículo y una recta que pase através de un diámetro del círculo. Para trazar el diagrama de círculo de la máquina de inducción a partir del circuito equivalente, se puede utilizar el procedimiento que se describe a continuación: 1.-

Se traza un círculo de diámetro VTh/XTh.

Se escoge una escala de

corriente que permita que el círculo pueda ser dibujado en el papel. 2.-

Se calcula el factor de potencia de la corriente del rotor referida al estator para la condición de rotor bloqueado cos ϕ*e(s=1). Se traza con este ángulo el eje de la potencia mecánica. Es conveniente medir este ángulo mediante relaciones triangulares y no con transportadores que producen grandes errores de medida.

3.-

Dividiendo el segmento comprendido entre el punto del diagrama s=1, paralelo al eje real y que finaliza en el eje imaginario, en la proporción existente entre la resistencia de Thèvenin RTh y la resistencia del rotor Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción

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referida al estator R’r, se traza el eje del torque eléctrico uniendo este punto con el origen de coordenadas. 4.-

Se traza la recta del deslizamiento paralela al eje del torque eléctrico, de tal forma que intersecte al eje de la potencia mecánica dentro de la hoja de papel. Posteriormente se calibra esta recta dividiendola en tantas partes iguales como sea necesario.

5.-

Se suma al diagrama anterior el fasor de la corriente de magnetización Im, consiguiendo de esta forma el lugar geométrico de las corrientes del estator.

6.-

Una vez realizados todos los pasos anteriores, se pueden calcular el torque eléctrico, la potencia de entrada, el rendimiento y la corriente para cada uno de los posibles puntos de operación de la máquina. La escala de potencia se obtiene multiplicando la escala de corriente por 3 VTh. La escala de torque se determina dividiendo la escala de potencia, entre la velocidad sincrónica de la máquina.

El otro método para trazar el diagrama de círculo, consiste en representar en el papel de dibujo tres puntos conocidos del diagrama. Estos tres puntos pueden ser cualquiera de los infinitos puntos posibles. Es muy frecuente disponer del punto correspondiente a la condición vacío (s=0), el punto de operación nominal (s=sn) y el punto de arranque o de rotor bloqueado (s=1). Los puntos anteriores pueden ser determinados mediante ensayos similares a los descritos en la sección 9.17 del capítulo 9. En la práctica, si uno de los puntos corresponde a la condición de operación en vacío, con sólo otro punto se puede trazar el círculo. Esto se debe al hecho de que el diámetro del círculo correspondiente al deslizamiento de la condición de vacío es paralelo al eje imaginario. Como se conoce este punto, con otro punto cualquiera se puede determinar el centro del círculo. En la figura -134- se presenta una construcción geométrica con estas características.

Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción

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Eje Re al

sx

V

Th

2X

Th

Ie

bisectriz diámetro

s=o

C

Im

-j

Construcción del diagrama de círculo a partir del punto de vacío y un punto cualquiera Fig. -134-

10.9

Diagrama de círculo aproximado

Cuando se traspasa la rama de magnetización delante de la resistencia y reactancia de dispersión del estator se obtiene un circuito equivalente aproximado, semejante al circuito de Thèvenin. Este circuito se puede determinar de una forma más simple y los resultados obtenidos con él no difieren significativamente del modelo clásico de la máquina. Re

Ie Im Ve

Imr Rm

Xe

X' r I*e

Imx

R'r

⎡

⎤

R'r ⎢⎣ 1 - s ⎥⎦ s Carga

Xm

Circuito equivalente aproximado de la máquina de inducción Fig. -135-

Existen varias hipótesis que alejan los diversos modelos de la máquina de inducción de la realidad. Algunos de estos factores son: la variación de los parámetros con la frecuencia, la distorsión del campo por las ranuras, el contenido armónico Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción

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espacial del campo en el entrehierro, la saturación del circuito magnético y las asimetrías de la máquina o de la fuente, entre otras. Todos estos factores evitan que los modelos coincidan con la realidad. Esto por si solo justifica realizar ciertas aproximaciones en la medida que éstas permitan simplificar el problema. El circuito aproximado, simplifica el cálculo de la tensión e impedancia de Thèvenin. En su lugar se utiliza directamente la tensión de alimentación, y la resistencia y reactancia de dispersión de la máquina. En la figura -135- se ha representado el circuito equivalente aproximado de la máquina, y en la figura -136- se presenta una comparación de los resultados obtenidos para una máquina típica con los tres modelos.

VTh Ve

Circuito Equivalente Aproximado

I

e

Circuito Equivalente Completo Circuito Equivalente Thèvenin

R e = 0.01 pu Xe = 0.10 pu

R' r = 0.03 pu X' r = 0.10 pu

Eje -j

Rm = 50.0 pu Xm = 3.0 pu

1.0 p.u.

Comparación entre los tres modelos circuitales de la máquina de inducción Fig. -138-

Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción

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10.10

Modos de operación de la máquina en el diagrama de círculo

En el capítulo 9, sección 9.20 se analizaron los tres modos de operación de la máquina de inducción: Motor, generador y freno. El diagrama de círculo contiene toda la información referente a estos tres modos de operación, pero como durante el desarrollo se hace especial énfasis en los puntos de operación como motor, es necesaria una discusión sobre el método de análisis para las condiciones de generador y freno. La idea fundamental que permite utilizar la información del diagrama de círculo en todo el rango de deslizamiento, consiste en que además de medir la longitud de los segmentos, se debe interpretar su signo. Si un segmento representa potencia eléctrica de entrada y está por debajo del eje imaginario, esta potencia es negativa y la máquina entrega potencia eléctrica a la red. Si al determinar un deslizamiento su recta calibrada correspondiente, el punto aparece a la izquierda del origen, es una indicación de que la máquina opera con deslizamiento negativo. Recta del deslizamiento

VTh

s =1 s

s< 0

s

Gen.

0 P

s =0

R'r

P

P

Fe

Te< 0

eje

s

Eje de potencia mecánica

Fe

Fre.

Fre.

Gen.