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Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Eléctrica

APUNTES EL42C

CONVERSION ELECTROMECANICA DE LA ENERGIA

VERSION OTOÑO 2003

0

Indice

4. Principios Básicos de Máquinas Eléctricas............................................................6 4.1 Introducción........................................................................................................................6 4.2 Motor Electrico...................................................................................................................8 4.2.1 Motor elemental de un enrollado................................................................................8 4.2.2 Motor de dos enrollados............................................................................................13 4.3 Generador Eléctrico..........................................................................................................20

1

INDICE DE FIGURAS ¡Error! No se encuentran elementos de tabla de ilustraciones.

2

INDICE DE TABLAS ¡Error! No se encuentran elementos de tabla de ilustraciones.

3

4. Principios Básicos de Máquinas Eléctricas 4.1 Introducción En los capítulos magnéticos

anteriores,

estáticos

en

se

han

tratado

general,

circuitos

incluyendo

los

transformadores. En dichos circuitos, cuando no se considera pérdidas, la variación de energía eléctrica en los terminales del

sistema

acumulada circuito

se

en

el

traduce campo

magnético

no

en

una

variación

magnético. es

estático,

Sin es

de

la

embargo, decir

energía

cuando

tiene

el

partes

móviles, habrá que considerar además la variación de energía mecánica.

En

este

capítulo

se

tratan

estos

circuitos

magnéticos no estáticos, que también se denominan máquinas elementales,

y

que

constituyen

la

base

de

las

máquinas

eléctricas rotatorias tradicionales y de cualquier dispositivo de conversión-electromecánica de la energía.

e cm = � id l

(4.1)

0 bien, la energía acumulada por unidad de volumen:

e cm = HdB vol �

(4.2)

Y queda representada gráficamente por el área indicada en las Fig. 4.1.

4

l

B e cm vol

ecm

e 'cm vol

e 'cm

i Fig. 4. 1. Energía y co-energía en el campo magnético

H

La co-energía e 'cm se define como el área complementaria de la energía (ver Fig. 4.1.). Es decir:

e 'cm = � l di

(4.3)

e 'cm = BdH vol �

(4.4)

O bien

Además, cuando el circuito magnético es lineal, es fácil encontrar que la energía y la co-energía son iguales. Es decir: 1 1 l2 e cm = e 'cm = l i = = Li 2 2 2 L

(4.5)

O bien

e cm e 'cm 1 1 B2 1 = = BH = = mH 2 vol vol 2 2 m 2

(4.6)

5

4.2 Motor Electrico 4.2.1 Motor elemental de un enrollado Si se considera un circuito magnético de un enrollado, sin pérdidas

y

estático,

cualquier

variación

de

la

energía

eléctrica en los terminales del enrollado se convertirá en una variación igual de la energía acumulada en el campo magnético: d e e1 = d e cm Sin

embargo,

si

(4.7) e1

circuito

magnético

tiene

partes

móvi1es, una parte de 1a variación de energ1a e1ectrica puede traducirse en una variación de energía mecánica; es decir: d e e1 = d e cm + d e mec

(4.8)

i) Maquinas de desp1azamiento lineal. La

variación

de

energía

mecánica

significará

un

desplazamiento de la parte móvi1 del circuito magnético, y por lo tanto un trabajo Además,

la

variación

Fdx rea1izado por la fuerza actuante. de

energía

eléctrica

vi � dt ,

se

puede

escribir también como id l . De esta manera, la expresión (4.8) queda: id l = d e cm + Fdx

(4.9)

La energía acumu1ada en e1 campo magnético, dependerá tanto del enlace de f1ujo l , como del desplazamiento x. Entonces considerando

e cm

como

una

función

de

dos

variables

independientes ( l , x), puede escribirse:

6

d e cm =

de cm de d l + cm dx dl dx

(4.10)

Igualando con d e cm de (4.9):

de cm de d l + cm dx = id l + Fdx dl dx

(4.11)

De donde se deducen dos ecuaciones al igualar los factores correspondientes de d l y dx :

i=

de cm dl

(4.12) x = cte .

Que es 1a relación conocida (4.1), para 1a energía acumu1ada en e1 campo en circuitos magnéticos estáticos (x = cte.).

F =-

de cm dx

(4.13) l = cte.

Relación que permite evaluar F a través de la variación de la energía acumulada en el campo con la posición, considerando flujo constante. Una expresión similar puede obtenerse empleando la coenergía, ya que por definición:

e 'cm = li - e cm

(4.14)

O sea d e 'cm = l di + id l - d e cm Reemplazando de: de (4.9), se obtiene:

7

d e 'cm = l di + Fdx

(4.15)

Así, considerando análogamente e 'cm

como función de las dos

variables independientes i, x,

d e 'cm =

de 'cm de 'cm di + dx di dx

(4.16)

Igualando coeficientes con (4.15) se obtienen las relaciones:

l=

Que

es

la

magnéticos

de 'cm di

(4.17) x = cte.

misma

relación

estáticos

F =-

de 'cm dx

(4.3),

válida

para

circuitos

y además: (4.18)

i = cte .

Gráficamente, puede apreciarse también que las expresiones (4.13) y (4.18) son iguales. En efecto, en la Fig. 4.2. se muestra

la

variación

de

la

curva

l -i

al

producirse

un

desplazamiento de x � x + Dx . De acuerdo a (4.13), el punto de operación

se

desplazar

a

de

A�B,

acumulada en +De cm = área(OAB ) , siendo F =

aumentando

la

energía

-área (OAB) . Y de acuerdo Dx

a la relación (4.18), el punto de operación se desplazar1a de A�C ,

disminuyendo

la

co-energía

evaluándose entonces la fuerza como F ' =

en

De 'cm = - área(OAC ) ,

y

- área(OAC ) . Como se ve, Dx

la diferencia entre F y F' es únicamente el área triangular ABC , la cual tiende a cero cuando Dx es infinitesimal.

8

l

x A

l = cte

B

x + Dx

C

i = cte

i

Fig. 4.2. Variación de la geometría en un circuito magnético

ii) Maquinas de desplazamiento rotatorio. Las

máquinas

rotatorias.

convencionales

En

estos

casos

tienen

será

más

las

partes

conveniente

móviles encontrar

expresiones para el torque en el eje de la misma, que para la fuerza

tangencial

sobre

la

parte

móvil.

En

este

caso,

la

variación de la energía mecánica de la ecuación (4.8) podrá expresarse como el trabajo efectuado por el torque, Tdq , siendo dq el desplazamiento angular de la pieza móvil. Así, en forma

análoga se encuentran las relaciones:

T =-

de cm dq

(4.19) l = cte.

O bien

T=

de 'cm dq

(4.20) i = cte.

Las expresiones deducidas para F y T son validas en general para

circuitos

magnéticos

no

lineales.

Para

circuitos

9

magnéticos lineales, como la energía y co-energía son iguales, pueden emplearse las relaciones, que resultan más prácticas.

de cm dx � e T = cm � q

(4.21)

F=

Así,

i = cte.

(4.22) i = cte .

considerando

que

e cm =

1 2 Li , 2

para

este

caso

de

un

enrollado:

F=

1 2� L Li 2 � x

(4.23)

1 � L F = i2 2 � q

(4.24)

Cabe destacar que las variables F y T son instantáneas, ya que i, y además la posición ( x ó q ), dependen de t. En el caso particular del torque, mas que el torque instantáneo interesara el torque medio (valor medio en el tiempo), siendo en general deseable que este tenga un valor no nulo, de modo que la rotación del eje sea en un solo sentido. El torque medio esta dado por: t

(4.25) 1 T (t ) dt � t 0 es el periodo de la función torque instantáneo

< T >= Donde t T(t).

4.2.2 Motor de dos enrollados En

10

que

sigue,

se

trataran

solo

maquinas

rotatorias

trabajando en la zona lineal del núcleo magnético. Las maquinas rotatorias mas elementales, tendrán usualmente dos enrollados, uno en la parte fija del circuito magnético

10

(denominado

estator)

y

otro

en

la

parte

en

el

campo

móvil

0

rotatoria

(denominada rotor). La

energía

circuito

acumulada

lineal

de

varios

enrollados,

magnético, se

mediante la relación matricial (equivalente a

puede

para

un

escribir

1 2 Li para el caso de 2

un enrollado): (4.26)

1 e cm = [i]T [ L][i ] 2 Para enrollados

e cm =

donde

L � 1 [ i1 i2 ] �L11 2 �21

L jj

son

(4.27)

L12 ��� i1 � �� L22 ��� i2

inductancias

propias,

y

L jk

inductancias

mutuas. De (4.27) teniendo en cuenta que L12 = L21 se obtiene

e cm =

(4.28)

1 1 L11i12 + L12i1i2 + L22i2 2 2 2

La co-energía e 'cm

tendría esta misma expresión ya que el

circuito magnético es lineal. Por otra parte, la variación de energía eléctrica de entrada en ambos enrollados es v1i1dt + v2i2 dt , o bien: d e e1 = i1d l1 + i2 d l2

(4.29)

Pero para circuitos lineales, l1 y l2 esta relacionados con i1 e i2 mediante:

l1 � � L � = �11 � � l2 � � L21 �

L12 ��� i1 � �� L22 ��� i2

(4.30)

Reemplazando (4.28) y (4.29) en (4.8), se tiene: 1 1 i1d ( L11i1 + L12i2 ) + i2 d ( L21i1 + L22i2 ) = d ( L11i12 + L12i1i2 + L22i2 2 ) + Tdq 2 2

(4.31)

11

Para desarrollar esta expresión, hay que tener en cuenta que como el circuito magnético no es estático, tanto las inductancias como las corrientes pueden variar y deberán incluirse sus diferenciales. Así, se obtiene 1 1 Tdq = i12 dL11 + i1i2 dL12 + i2 2 dL22 2 2

que coincide con d e cm i1 ,i2 = ctes. (ó d e 'cm i1 ,i2 =ctes . ) Luego: T=

� e cm � q

(4.32) i1 ,i2 = ctes .

Las relaciones anteriores se pueden generalizar para un motor de n enrollados trabajando en la zona lineal del núcleo magnético. En este caso, el torque instantáneo es: T=

� e cm � q

(4.33) i1 ,i2 ,...,in = ctes.

Con 1 e cm = [i]T [ L][i ] 2

(4.34)

1 � L T = [i ]T [ ][i] 2 � q

(4.35)

O sea

Como ejemplo ilustrativo, sea un motor como el de la Fig. 4.3., en que el estator se alimenta con una corriente alterna i1 = I m sin(w t ) , con w = 2p f , y el rotor con una corriente continua i2 = I cc , en el cual se desea calcular el torque medio o torque motriz de régimen permanente. Este motor se denomina sincrónico monofásico con rotor de polos salientes. El rotor se debe alimentar a través de un sistema de anillos rozantes. La bobina del estator, por simplicidad, se ha supuesto concentrada en un par de ranuras como se indica en la figura.

12

q

i1

i2

Fig. 4.3. Motor sincrónico monofásico con rotor de polos salientes. Para poder aplicar la ecuación (4.35), es necesario primero encontrar las inductancias en función de la posición: - Inductancia propia del estator: Cuando i2 = 0 , hay 2 posiciones particulares del rotor, una en la cual la reluctancia para el flujo producido por i1 es m1nima ( q = p / 2 ), y la otra para la cual esta es máxima ( q = 0 , q = p ). Así, como habrá un

L11

es inversamente proporcional a la reluctancia,

L11máximo

y

L11mínimo

para dichas posiciones. Si se supone

para L11 una variación sinusoidal, esta deberá ser de 1a forma: L11 = La - Lb cos(2q ) - Inductancia propia del rotor: Cuando i1 = 0 , 1a inductancia propia del rotor es independiente de 1a posición ya que 1a re1uctancia es 1a misma para cua1quier valor de 0 (despreciando 1a discontinuidad que significa 1as ranuras del estator). Luego L22 = cte. - Inductancia mutua:

13

Si i2 �0 , e1 f1ujo producido por e1 rotor que es en1azado por 1a bobina de estator es nu1o para q = 0 , q = p , y es máximo positivo y máximo negativo para q = 3p / 2 . Luego, si se supone una

para q = p / 2

variación sinusoidal: L12 = Lm sin(q ) Entonces, de acuerdo a (4.35): T=

1 2� L11 � L 1 � L i1 + i1i2 12 + i2 2 22 2 � q � q 2 � q

(4.36)

T = I b I m 2 sin(2q )sin 2 (w t ) + Lm I cc I m cos(q )sin(w t ) Si en régimen permanente 1a ve1ocidad angular del rotor es dq , puede expresarse q como: wr = dt (4.37) q = wrt - d donde - d

w r t = kp

es 1a posición del rotor respecto a1 estator para

(k entero, w r

constante ya que se trata de régimen

permanente). Luego, e1 torque instantáneo queda como: T (t ) = I b Im 2 sin(2(w r t - d )) sin 2 (w t ) + Lm I cc I m cos(w r t - d ) sin(w t ) Expresión que mediante transformaciones trigonométricas queda: 1 1 1 � � Lb I m 2 � sin(2(wr t - d )) - sin(2(w r t + w )t - d ) - sin 2 (2(w r t + w )t - d ) � 2 2 2 � � 1 .......... + Lm I cc I m [ sin((w r t + w )t - d ) + sin((w - w r )t + d ) ] 2 T (t ) =

El valor medio de T (t ) es entonces nulo, < T (t ) >= 0 , a menos que

w r = w , en cuyo caso: T (t ) =

Es

(4.38)

1 1 Lb I m 2 sin(2d ) + Lm I cc I m sin(d ) 4 2

decir,

el

torque

motriz

velocidad angular mecánica

wr

no

es

nulo

solo

cuando

la

coincide (esta "sincronizada")

14

con la velocidad angular eléctrica w , razón por la cual se denomina motor sincrónico. En

general,

un

motor

se

empleara

para

mover

una

carga

mecánica acoplada a su eje, la cual presentara cierto torque resistente TR . Si se conoce el torque resistente en función de la velocidad del eje TR , la velocidad de régimen permanece se encontrara con la intersección

de

TMotriz (w R )

y

TR (w R ) , ya que

cuando el torque acelerante, Tac = Tm - TR , es nulo, la velocidad será constante. En este caso particular, el torque motriz es no nulo solo para

w r = w ; por lo

torque

resistente,

tanto para cualquier característica de la

velocidad

de

régimen

permanente

será

w r = w (Ver Fig. 4.4).

T Tm

wr = w

TR

wr

Fig. 4.4. característica torque velocidad. Como se vera en el Capitulo 6, en los motores sincrónicos se acostumbra a trabajar con la característica torque-ángulo

(

d = " ángulo..de..torque " 0 ), que en el caso del motor monofásico, de acuerdo a (4.38), tiene la forma indicada en la Fig. 4.5. El

15

d

ángulo

de

operación,

do ,

depende

del

valor

del

torque

resistente para w r = w , y será mayor, mientras mayor sea TR . En particular, d = 0 para TR = 0 , o sea con el motor funcionando "en vac1o".

T

Tm (d )

TR

0

do

d

p

p 2

Fig. 4.5. Curva torque-ángulo 0. Otra caracter1stica particular del motor sincrónico monofásico es que aun cuando la corriente que alimenta al rotor sea nula, I cc = 0 , habrá un torque motriz dado por: Tm = Un

motor

(4.39)

1 Lb I m 2 sin(2d ) 4 de

estas

características

(con

rotor

de

polos

salientes, sin enrollado), se denomina motor de reluctancia. Por otra parte, si el rotor es cilíndrico como en la Fig. 4.6., significa que

L11 = cte. , o sea

Lb = 0 . Así, el torque motriz es

solamente:

16

Tm =

(4.40)

1 Lm I cc I m sin(d ) 2

q i1 i2

Fig. 4.6. Motor sincrónico monofásico de rotor cil1ndrico.

4.3 Generador Eléctrico En un generador eléctrico la salida es una variación de la energ1a

eléctrica,

producida

gracias

a

la

variación

de

energ1a mecánica en la entrada. Sin embargo, para que se produzca esta conversión electromecánicas de energ1a, como ya

se

ha

magnético.

dicho, En

desplazamiento

la

es Fig.

lineal.

imprescindible 4.7. En

se

la

que

muestra

Fig.

un

4.7.(a)

exista

campo

generador

de

el

es

campo

proporcionado por el imán permanente que constituye la pieza móvil,

de

modo

que

al

desplazarse

esta

var1a

el

flujo

enlazado por la bobina de la pieza fija, y se induce un voltaje en ella dado por la ley de Faraday. En la Fig. 4.7. (b),

el

campo

es

proporcionado

por

una

bobina

adicional

(bobina de campo) alimentada con corriente continua I c .

17

f()t

f (t)

N

F

Ic

F

V ()t

V ()t

S

Fig. 4.7. Generador Eléctrico. Los generadores usuales para aplicaciones de potencia son rotatorios y emplean bobina de campo, ya sea en el estator (como

en

la

Fig.

4.7)

0

en

el

rotor.

En

adelante

se

considerara solo estos generadores, en 10s cuales la entrada mecánica

es

proporcionada

por

el

torque

externo

de

una

maquina motriz (turbina) acoplada al eje.

Text

V ()t

Ic

Fig. 4.8. Generador rotatorio. En una bobina cualquiera, la re1acion entre e1 vo1taje en sus termina1es y e1 flujo en1azado por e1 mismo esta dado por

18

v=

dl . En e1 caso lineal en que l = Li , siendo L su inductancia dt

propia e i 1a corriente por 1a bobina, se tendrá:

v=

donde

(4.41)

d ( Li ) d (i ) d ( L) =L +i dt dt dt

dL �dL ��dq = � �� � dt �dq ��dt

� �, considera 1a variación de 1a inductancia �

con 1a posición. Para una maquina de dos enro11ados, se tendrá ana1ogamente: (4.42)

di1 di dL dL + L12 2 + i1 11 + i2 12 dt dt dt dt di di dL dL v2 = L22 1 + L22 2 + i1 21 + i2 22 dt dt dt dt v1 = L11

Así, si se trata de un generador en e1 cua1 1a bobina 2 se usa como enro1lado de campo,

i2 = I c

(corriente continua), e1

vo1taje generado en 1a bobina 1 en vacío ( i1 = 0 ) queda dado, de acuerdo a (4.42), por: v1 = I c

dL12 dL dq = I c � 12 � dt dq dt

(4.43)

es decir, se genera energ1a e1ectrica cuando posición,

y

a

1a

vez

se

esta

L12 var1a con 1a

proporcionando

una

ve1ocidad

dq a1 eje del rotor mediante 1a maquina motriz. w r = q&= dt Las re1aciones (4.41) y (4.42) se pueden escribir, para e1 caso general de varios enro11ados, en forma matricia1:

19

d [ i]

(4.44)

� L + q& [ i ] dt � q 0 bien, si se consideran las resistencias de 10s enro11ados:

[ v] = L

[ v] = - R [ i ] + L

d [ i]

(4.45)

� L + q& [ i ] dt � q

Siendo: R [ i] L

d [ i]

:

Ca1das de vo1taje en 1as resistencia, donde R es

:

matriz diagonal. Vo1tajes de transformación

dt

� L q& [ i ] � q

transformadores :

estáticos). Voltajes de generadores),

o

circuitos

generación en

que

(propios

es

1os

magnéticos

(propios

dq q&= dt

de

de

la

losa

velocidad

angular del rotor. Como

ejemplo,

se

puede

ana1izar

un

generador

sincrónico

monofásico con rotor de polos sa1ientes, como el de la Fig. 4.3, donde el rotor se hace girar a una velocidad q&= w r , el campo lo proporciona el rotor a1imentado desde una batería V, con una corriente continua I c . E1 vo1taje generado en vacó en e1 estator, en régimen permanente se puede entonces calcular con (4.45): � L11 � L11 � � � ��0 � R 0 ��0 � � L L ��� 0 � [ v1 ] = �01 R ��- I �+ �L11 L12 ���+ wr ��q �q ��I � 0 � L21 � L22 ��o � �� � 2� � c � �21 22 � � � q � q � �� � y como L11 = La - Lb cos(2q ) , L22 = cte. , L12 = L21 = Lm sin(q ) , se tiene: v1 = w r Lm I c cos(w r t - d ) vc = R2 I c Es decir se genera un voltaje a1terno de frecuencia angular eléctrica igual a la velocidad mecánica del rotor, w r = w , razón por la cual se denomina generador sincrónico. E1 ángulo d

vale

cero si i1 = 0 (vació).

20

Si 1a velocidad del eje se expresa en función de n [rpm]: 2p n 60 y la frecuencia angular en función de f [Hz] :

(4.46)

wr =

w = 2p f

(4.47)

La igualdad w r = w que se produce en 1a máquina sincrónica en régimen permanente es: (4.48)

n 60 Así, para generar un vo1taje de 50 [Hz], debe hacerse girar e1 rotor a 3000 [rpm]. No f =

obstante, 1a re1acion (4.48) es valida para una maquina de 2 polos (p=2) como la de la Fig. 4.9.(a).

q

V1

N

N S

S

N

S

V1

V1 p 2

p

3p 2

2p

5p q = w r t 2

p 2

p

3p 2

2p

5p 2

q = wr t

Fig. 4.8. Influencia del número de polos. Para una maquina de 4 polos (p = 4) como la de la Fig. 4.9. (b), en que el estator lo constituyen en este caso bobinas en serie (no es la única alternativa), una revolución completa del

21

rotor ( q : 0 � 2p ), significan dos ciclos para el voltaje. O sea,

w = 2w r . En general, se encontrara que para una maquina (motor o generador) de p polos, se cumple:

w=

P wr 2

(4.49)

f =

Pn 120

(4.50)

O bien

22