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CONTROL Y GUIADO - 2020    TRABAJO PRÁCTICO N° 11:   UBICACIÓN DE POLOS POR REALIMENTACIÓN DE  TADOS        MILENA LAMONEGA - NRO. DE ALUMNA: 61855/9 

29/11/20   

   

 

 

   

Alumna: MILENA LAMONEGA

Control y Guiado (A1023)

Nº : 61855/9

TRABAJO PRÁCTICO Nº 11: UBICACIÓN DE POLOS POR REALIMENTACIÓN DE ESTADOS

Fecha: 29/11/2020

 

INFORME TÉCNICO  ➔ OBJETIVO    En el siguiente informe se busca diseñar un regulador por ubicación de polos mediante  realimentación de estados;   Un sistema de control para vuelo estacionario de un helicóptero Westland Lynx que alivie  la carga de trabajo del piloto al mantener una condición de vuelo estacionario bajo la  acción de perturbaciones atmosféricas.     

➔ INTRODUCCIÓN  La técnica de diseño de controladores mediante la realimentación de estado consiste en  realimentar las variables de estado a la entrada mediante una matriz de ganancia “K” cuyos  coeficientes son constantes.  La realimentación de estado permite el diseño de sistemas de control mediante la  ubicación o asignación de polos. Esto es, los polos del sistema en lazo cerrado se ubican en  la posición deseada según las condiciones de diseño, de modo que las condiciones  transitorias sean llevadas a cero de forma preestablecida.  La realimentación de los estados puede mover los polos pero no tiene ningún efecto sobre  los ceros.  La forma de ubicar los polos de lazo cerrado en la posición deseada es mediante una  matriz de realimentación de estado. Inicialmente, las ecuaciones de estado se aplican a la  planta en vez de al sistema en lazo cerrado, de modo que las matrices A, B, C y D se utilizan  para describir un modelo de planta lineal e invariante con el tiempo: 

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➔ MODELO  El modelo de estados es: 

  (Ref. Sigurd Skogestad and Ian Postlethwaite. “Multivariable Feedback Control – Analysis  and Design”. New York, Wiley, 2001.)  El modelo de estados para describir la dinámica del proceso a controlar puede escribirse  como:    donde Bv corresponde a al lazo abierto considerando las perturbaciones atmosféricas.  Dado que las perturbaciones atmosféricas sólo actúan sobre algunas de las variables de  estado, el vector “v” es: 

 

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  Un control por realimentación de estados es aquel en el cual el vector de control “u” surge  de un mapeo estático del vector de estados “x”. En el caso lineal:    donde K es la denominada “matriz de realimentación de estados”. Se obtiene la dinámica  de lazo cerrado:    La dinámica de lazo cerrado queda definida por la matriz:    Para utilizar este método, es necesario determinar si la planta es controlable y observable.  La condición necesaria y suficiente para que el sistema admita que sus polos en lazo  cerrado se puedan ubicar en cualquier posición del plano s, es que el sistema sea  completamente controlable.  Si la planta no es controlable, no podrá convertirse en controlable mediante la  realimentación de los estados.  La controlabilidad tiene que ver con la posibilidad de llevar al sistema de cualquier estado  inicial a cualquier estado final en tiempo finito, no importando qué trayectoria siga, o que  entrada se use. 

  Si la matriz de controlabilidad tiene un rango finito, el sistema es controlable, y si el rango  coincide con el número de variables de estado, el sistema es totalmente controlable.  Mediante las funciones MATLAB Cc=ctrb(A,B), se encuentra la matriz de observabilidad y  rank (Cc) , se encuentra el rango: 

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  Se demuestra que el sistema es completamente controlable.  El concepto de observabilidad es dual al de controlabilidad, e investiga la posibilidad de  estimar el estado del sistema a partir del conocimiento de la salida.  

  Mediante las funciones MATLAB Ob=obsv(A,C), se encuentra la matriz de observabilidad y  rank (Ob) , se encuentra el rango: 

  Se demuestra que el sistema es completamente observable.   

➔ DESARROLLO 

En primer lugar se va a considerar el diseño de sistemas de control del tipo regulador.   Esto es, en el diseño se asumirá que el sistema no tiene entrada de referencia, o si la tiene  ésta no varía. El objetivo del control es que, dado un sistema en unas condiciones de  funcionamiento, se desea mantenerlo en ellas, de modo que las posibles perturbaciones a  las que se vea sometido no deben sacarlo de regulación (el error que puedan ocasionar las  perturbaciones ha de ser llevado a cero en un tiempo razonable).         Para realizar el diseño, se analiza el sistema y sus polos dominantes: 

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    El sistema de control debe responder más rápido que el sistema, además se debe  considerar ruido de medición blanco gaussiano con densidad espectral 0.01°/√Hz para los  ángulos y 0.01°/s/√Hz para las velocidades angulares, ambos en la banda de los 10 a  100Hz; y con densidad 0,01 m/s/√Hz para el variómetro.  El ruido de medición se puede representar como un ruido blanco. Por lo cual analizamos  las densidades de potencia de la función de estudio a la entrada F y la función de estudio a  la salida S.  Donde: φ es la PSD (densidad espectral de potencia) 

  Ruido por la medición de ángulo. 

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  Ruido por medición de las velocidades angulares. 

  Ruido por la medición del variómetro. 

  Para elegir la ubicación de los polos se tiene en cuenta la ubicación de los polos  dominantes de la planta a lazo abierto y el ancho de banda del ruido blanco.  Requerimientos:  - Polos más rápidos que los polos de la planta a lazo abierto.  - Se encuentren por debajo del ancho de banda del ruido, 10-100 [Hz], para evitar  interferencias.  Además se tienen en cuenta los requerimientos que determinan parámetros de  desempeño del lazo cerrado, como por ejemplo:  -

seguimiento óptimo de referencias.  estabilidad frente a perturbaciones.  error nulo en estado estacionario (ganancia 1 a frecuencia 0).  amortiguamiento óptimo para evitar oscilaciones del sistema.  sin sobrepasos. 

Se elige un filtro de Bessel, de grado 8 y un ancho de banda de 2.5  La ubicación satisface la siguiente igualdad:    Para la construcción de la matriz, se utiliza el comando place (A,B,polos1) en MATLAB.    

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  La definición de la señal de control exige la hipótesis restrictiva que todas las variables de  estado puedan ser medidas directamente.  Esta restricción se supera mediante un observador de estados.  Es aconsejable ubicar los polos del observador en función de los polos dominantes de lazo  cerrado del sistema a estimar. Así, con objeto de que el error decaiga rápidamente, el  observador se hace de dos a cuatro veces más rápido que el sistema en lazo cerrado.  Como regla práctica se suele utilizar ubicar los polos del observador entre el doble y el  cuádruplo de la distancia al eje imaginario correspondiente a los polos dominantes del  sistema en lazo cerrado.  Se elige el mismo filtro de Bessel, de grado 8, pero con un ancho de banda mayor.  La ubicación satisface la siguiente igualdad:    Para la construcción de la matriz, se utiliza el comando place (A’,C’,polos2) en MATLAB.    

➔ RESULTADOS  Se obtienen las matrices del controlador y del observador, respectivamente: 

   

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    Realizada la síntesis del controlador y del observador de estado como un sistema aislado,  se observan los efectos de su adición al sistema de control en lazo cerrado.  Se pueden asociar en un solo estado, teniendo en cuenta la variable de estado “x” y el error  “e”: 

       

➔ CONCLUSIÓN  El diseño de la ubicación de polos para la planta es independiente del diseño del  observador, lo cual permite dividir el proceso de diseño en dos etapas separadas, primero  se determina la matriz de ganancia de realimentación K para obtener la ubicación de polos  deseada para la planta, y a continuación se determina la matriz Ko para la ubicación de  polos deseada del observador.    Se observa cómo mejora el sistema mediante el comando initial (ss,xo) en MATLAB  Frente a una variación de 1° en las condiciones iniciales:    9

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  LAZO ABIERTO 

    LAZO CERRADO con controlador y observador: 

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  En promedio el tiempo de establecimiento es de 3- 3.5 segundos. 

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