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1.- Desarrolle el ejercicio indicando restricciones y puntos críticos y encontrando los intervalos de solución 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 >0 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) >0 (𝑥 − 3)(𝑥 − 3) Restricción: 𝑥−3≠0⇒𝑥 ≠3

Puntos críticos: 𝑥−3=0⇒𝑥 =3 𝑥−2=0⇒𝑥 =2

Tabla -∞ (𝒙 − 𝟑) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟑) (𝒙 − 𝟑) (𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟐) >𝟎 (𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟑)

𝑺𝒇 =] − ∞, 𝟐[ ∪ ]𝟑, +∞[

2 +

3 + -

+∞ + + + + +

2.- Desarrolle el ejercicio indicando restricciones y puntos críticos y encontrando los intervalos de solución

(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) >0 (𝑥 + 1)(𝑥 − 5)(𝑥 + 7) Restricción: 𝑥 + 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −1 𝑥−5≠0⇒𝑥 ≠5 𝑥 + 7 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −7 Puntos críticos: 𝑥−1=0⇒𝑥 =1 𝑥−3=0⇒𝑥 =3 𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 = −1 𝑥−5=0⇒𝑥 =5 𝑥 + 7 = 0 ⇒ 𝑥 = −7

Tabla: -∞ (𝒙 − 𝟏) (𝒙 − 𝟑) (𝒙 + 𝟏) (𝒙 − 𝟓) (𝒙 + 𝟕) (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟑) (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟓)(𝒙 + 𝟕)

-7 -

𝑺𝒇 =] − 𝟕, −𝟏[ ∪ ]𝟏, 𝟑[ ∪ ]𝟓, +∞[

-1 + +

1 + + -

3 + + + +

+∞

5 + + + + -

+ + + + + +

3.- Desarrolle el ejercicio indicando restricciones y puntos críticos y encontrando los intervalos de solución 𝑥 𝑥 ≤ 𝑥−4 𝑥+2 𝑥 𝑥 − ≤0 (𝑥 − 4) (𝑥 + 2) 𝑥(𝑥 + 2) − 𝑥(𝑥 − 4) ≤0 (𝑥 − 4)(𝑥 + 2) 𝑥 2 + 2𝑥 − 𝑥 2 + 4𝑥 ≤0 (𝑥 − 4)(𝑥 + 2) 6𝑥 ≤0 (𝑥 − 4)(𝑥 + 2) Restricción: 𝑥−4≠0⇒𝑥 ≠4 𝑥 + 2 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −2

Puntos críticos: 6𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 𝑥−4=0⇒𝑥 =4 𝑥 + 2 = 0 ⇒ 𝑥 = −2

Tabla: -∞ 𝟔𝒙 (𝒙 − 𝟒) (𝒙 + 𝟐) 𝟔𝒙 ≤𝟎 (𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟐)

𝑺𝒇 =] − ∞, −𝟐[ ∪ [𝟎, 𝟒[

-2 -

0 + +

+∞

4 + + -

+ + + +

4.- Desarrolle el ejercicio indicando restricciones y puntos críticos y encontrando los intervalos de solución 3𝑥 + 2 2𝑥 − 1 −1≥ 𝑥−1 𝑥+1 3𝑥 + 2 2𝑥 − 1 −1− ≥0 𝑥−1 𝑥+1 (3𝑥 + 2)(𝑥 + 1) − 1(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) − (2𝑥 − 1)(𝑥 − 1) (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 3𝑥 2 + 3𝑥 + 2𝑥 + 2 − 𝑥 2 + 𝑥 − 𝑥 − 1 − 2𝑥 2 − 2𝑥 − 𝑥 + 1 ≥0 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 8𝑥 + 2 ≥0 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) Restricción: 𝑥−1≠0⇒𝑥 ≠1 𝑥 + 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −1

Puntos críticos: 8𝑥 + 2 = 0 ⇒ 𝑥 = −

2 1 ⇒− 8 4

𝑥−1=0⇒𝑥 =1 𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 = −1 -∞ 𝟖𝒙 + 𝟐 (𝒙 − 𝟏) (𝒙 + 𝟏) 𝟖𝒙 + 𝟐 ≥𝟎 (𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏)

𝟏 𝑺𝒇 =] − 𝟏, − ] ∪ ]𝟏, +∞[ 𝟒

-1 -

-1/4 + +

+∞

1 + + -

+ + + +

5.- Lea y analice la siguiente situación, realizando los cálculos. Dado: 2𝑥 2 ≥ 2𝑥 + 1 𝑥−𝑎 𝑎∈𝑅 a) ¿Cuál es la restricción? Explique por qué se debe efectuar restricción.  

La restricción seria 𝒙 − 𝒂 ≠ 𝟎 ⇒ 𝒙 ≠ 𝒂 Se debe realizar la restricción para que encontrar los números que si se utilizan en la solución, estos generan que el ejercicio tenga denominador 0 y por lo tanto dicho ejercicio deje de existir.

b) Resolver la inecuación asumiendo un valor cualquiera positivo para (asumo que para a)  Ocuparemos el 3 2𝑥 2 − 2𝑥 − 1 ≥ 0 𝑥 − (+3) 2𝑥 2 − 2𝑥 − 1 ≥ 0 (𝑥 − 3) 2𝑥 2 − 2𝑥(𝑥 − 3) − 1(𝑥 − 3) ≥0 (𝑥 − 3) 2𝑥 2 − 2𝑥 2 + 6𝑥 − 𝑥 + 3 ≥0 (𝑥 − 3) 5𝑥 + 3 ≥0 (𝑥 − 3) Restricción: 𝑥−3≠0⇒𝑥 ≠3 Puntos críticos: 5𝑥 + 3 = 0 ⇒ 𝑥 = −

3 5

𝑥−3=0⇒𝑥 =3 Tabla: −∞ 𝟓𝒙 − 𝟑 (𝒙 − 𝟑) 𝟓𝒙 − 𝟑 ≥𝟎 (𝒙 − 𝟑)

𝟑 𝑺𝒇 =] − ∞, − ] ∪ ]𝟑, +∞[ 𝟓

-3/5 +

+∞

3 + -

+ + +

c) Resolver la inecuación para valores negativos de a  Ocuparemos el -3 2𝑥 2 − 2𝑥 + 1 ≥ 0 𝑥 − (−3) 2𝑥 2 − 2𝑥 − 1 ≥ 0 𝑥+3 2𝑥 2 − 2𝑥(𝑥 + 3) − 1(𝑥 + 3) ≥0 (𝑥 + 3) 2𝑥 2 − 2𝑥 2 − 6𝑥 − 𝑥 − 3 ≥0 (𝑥 + 3) −7𝑥 − 3 ≥0 (𝑥 + 3) Restricción: 𝑥 + 3 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −3 Puntos críticos: −7𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥 =

3 7

𝑥+3=0⇒𝑥−3 Tabla:

−∞ −𝟕𝒙 − 𝟑 (𝒙 + 𝟑) −𝟕𝒙 − 𝟑 ≥𝟎 (𝒙 + 𝟑)

-3 + -

+∞

3/7 + -

𝑺𝒇 = 𝑵𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝒖𝒏 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒂 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐

+ -