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• Dianita Laguna

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Unidad Didáctica: 3

Nombre: graficando funciones

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Contenido: Identidades trigonométricas

Hola muchachos, en esta guía estaremos desarrollando el tema de identidades trigonométricas. Recuerdo que las fotos que envíen se logren ver claramente (tomar fotos de frente) y al que le quede fácil puede enviarlas en WORD, PDF O POWER POINT.

Identidades trigonométricas Una identidad es una igualdad entre dos expresiones. Ej: 12=7+5 Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene funciones trigonométricas y que se cumple para todo valor de la variable donde está definida la función. Las identidades FUndamentales son aquellas que se deducen directamente de las funciones: Seno, coseno, tangente. Las identidades recíprocas de las funciones seno, coseno y tangente en un ángulo en posición normal son: cosecante, secante, cotangente.

Halllamos todas las razones trigonométricas.

id entidades recíprocas

Recordemos conceptos muy importantes Si se tiene un ángulo en posición normal (extraído de una circunferencia unitaria. ¿qué es una circunferencia unitaria?

_

Identidades que son razón entre dos funciones

Ejemplo: Determinar el valor de la función trigonométrica del ángulo b en cada caso: 1. En este caso hallamos sen β, por lo que utilizamos el concepto de función inversa de seno

Actividad 1. Determina el valor de la función trigonométrica que se indica en cada caso, utilizando la relación dada y las funciones recíprocas.

2.

3. Calcular el valor de todas las funciones trigonométricas para un ángulo ϕ, si se sabe que 𝑠𝑒𝑛 ϕ = −

4

5

y cos ϕ =

3

5

2. Halla el valor de todas las razones trigonométricas para el ángulo β, sabiendo que tan 𝛽 = −

Identidades pitagóricas

Las identidades pitagóricas se deducen a partir de la aplicación del teorema de Pitágoras, en el triángulo rectángulo generado por un ángulo en posición normal, que se ubica en el círculo unitario. Las tres identidades pitagóricas básicas son: 1. 2. 3.

3 5

A continuación, se muestran algunas expresiones que se puede obtener a partir de operaciones algebraicas de las identidades pitagóricas y el uso de algunas relaciones de funciones trigonométricas para sustituir otras funciones dadas. 

Identidades que se obtienen a partir de la identidad 𝒔𝒆𝒏𝟐 ∝ +𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝= 𝟏

 𝒔𝒆𝒏𝟐 ∝= 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝  𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝= 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐 ∝

A partir de estas identidades, se pueden deducir identidades para sen a y cos a extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros de cada igualdad.

 𝑠𝑒𝑛 ∝= √1 − 𝑐𝑜𝑠2 ∝  𝑐𝑜𝑠 ∝= √1 − 𝑠𝑒𝑛2 ∝ 

Identidades que se obtienen a partir de la identidad 𝒕𝒂𝒏𝟐 ∝ +𝟏 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 ∝

 𝒕𝒂𝒏𝟐 ∝= 𝒔𝒆𝒄𝟐 ∝ −𝟏  𝒔𝒆𝒄𝟐 ∝= 𝒕𝒂𝒏𝟐 ∝ −𝟏

Si se extrae la raíz cuadrada se puede obtener

 𝑡𝑎𝑛 ∝= √𝑠𝑒𝑐2 ∝ −1  𝑠𝑒𝑐 ∝= √𝑡𝑎𝑛2 ∝ −1 

Identidades que se obtienen a partir de la identidad 𝒄𝒐𝒕𝟐 ∝ +𝟏 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 ∝

 𝒄𝒐𝒕𝟐 ∝= 𝒄𝒔𝒄𝟐 ∝ −𝟏  𝒄𝒔𝒄𝟐 ∝= 𝒄𝒐𝒕𝟐 ∝ −𝟏

Extraemos la reiz cuadrada y se obtiene.:

𝑐𝑠𝑐 ∝= √𝑐𝑜𝑡2 ∝ −1  𝑐𝑜𝑡 ∝= √𝑐𝑠𝑐2 ∝ −1 

Una vez haya leído e interiorizado estas identidades, pasamos a los ejemplos, en los cuales vamos a utilizar la mayoría de estas identidades. Observe detenidamente cada ejemplo y de inmediato vaya observando esta hoja para que vea cada razón trigonométrica por quién fue reemplazada.

Ejemplo 1:

¿qué hacer? Reemplazo: y 𝑠𝑒𝑛𝛿

1

𝑡𝑎𝑛𝛿 𝑐𝑠𝑐𝛿 = 𝑐𝑜𝑠𝛿 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛿 Multiplicamos fracciones 𝑠𝑒𝑛𝛿 1 𝑠𝑒𝑛𝛿

𝑐𝑜𝑠𝛿

∗

𝑠𝑒𝑛𝛿

=

𝑐𝑜𝑠𝛿∗𝑠𝑒𝑛𝛿

=

1 𝑐𝑜𝑠𝛿

Como pudieron ver en el primer ejemplo, para poder desarrollar los ejercicios según en los términos que quieren que los escriba, debo utilizar las identidades trigonométricas. Importante Una vez esté eSTUDIANdo los ejemplos, lo invito a QUe vaya observando la hoja anterior (donde se encUENtran todas las identidades QUe se van a UTILIZar JUNTo con esta QUe es donde van a estar los ejemplo y así se da cUENta de cada reemplazo.

Ejemplo 2:

Reemplzamos a sec x y csc x por y

=

𝒔𝒆𝒏𝒙 𝟏

+ 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙

Ejemplo 3: Demostrar 𝒔𝒆𝒏𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒄𝒙 = 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒄𝒙 = 𝒕𝒂𝒏𝒙 siempre debemos empezar desde donde hay más operaciones. Debemos empezar desde aquí Para llegar acá 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐𝑥 Tan x

1 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥

Ejemplo 4: Demostrar

𝑐𝑜𝑠𝑥

= 𝑠𝑒𝑛𝑥

se reemplaza 𝑐𝑜𝑡𝑥 =

𝑐𝑜𝑡𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥

Ejemplo 5: Demostrar 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙 ∗ 𝒄𝒔𝒄𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙

𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙 ∗

𝟏

𝒔𝒆𝒏𝒙

= 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 +

𝒔𝒆𝒏𝒙

= 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙

𝒔𝒆𝒏𝒙

Al buscarla en las identidades trigonométricas hay una identidad 𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥

Actividad. 1. Escribe en los términos según se te indique

en términos de sen x 2. Relaciona las expresiones de la columna de la izquierda con su equivalente en la columna de la derecha.

3. Demuestre (siempre utilice las hojas donde se encuentren las identidades trigonométricas

a. 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝟏 b. Cosx*cscx=cotx c. Cscβ*tanβ=secβ d. 𝒕𝒂𝒏∝ − 𝒔𝒆𝒄 ∝= 𝟎 e. f.

𝒔𝒆𝒏∝ 𝒔𝒆𝒄∝

𝒕𝒂𝒏∝∗𝒄𝒐𝒕∝ 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙+𝒄𝒐𝒕𝒙

= 𝒔𝒆𝒏 ∝ = 𝒔𝒆𝒏𝒙

g. 𝑐𝑜𝑠𝜽 ∗ 𝑠𝑒𝑐 = 1 h. tan𝜽*cos𝜽*csc𝜽 = 1