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• Christopher Andrés Corcuera Zabarburú

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Universidad Diego Portales Facultad de Ingeniería. Instituto de Ciencias Básicas

Asignatura: Cálculo III

Laboratorio N° 4, Funciones Reales de varias variables. Introducción. En este laboratorio graficaremos funciones de variable real, estudiaremos sus curvas de nivel y sus dominios de definición.

Ejercicios Resueltos: 1. Grafique el paraboloide z = x 2 + y 2 y el cono elíptico z 2 = x 2 + 3 y 2 a. Determine sus curvas de nivel y grafíquelas.

Solución. Para el paraboloide z = x 2 + y 2 . Escribimos la ecuación en el editor de funciones 3D (figura 1). En la figura 2 se obtiene la gráfica. Para que aparezcan los ejes coordenados, una vez graficada la superficie, oprimimos la tecla “=”. Si volvemos a oprimir esta tecla, obtenemos los ejes en forma de caja (figura 3).

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Las curvas de nivel se obtienen tomando valores constantes para z, es decir las curvas están definidas por la ecuación z = c , donde c es una constante arbitraria positiva. Una visualización desde “arriba” de la gráfica (figura 4) sugiere que las curvas de nivel son circunferencias.

Figura 4

Figura 5

Las curvas de nivel son circunferencias de radio x2 + y 2 =

Figura 6 c cuyas ecuaciones están dadas por:

( c ) . Para graficar las curvas de nivel de una manera efectiva, vamos a 2

emplear la siguiente parametrización de la circunferencia: x = c cos ( t ) y = c sen ( t ) La figura 5 muestra las curvas de nivel para c = 1, 4 . En la figura 6 se grafican más curvas para c = 1, 4,9,16 . Para el cono elíptico z 2 = x 2 + 3 y 2 La representación gráfica 3D en la calculadora tiene varias limitaciones, en particular solo es posible graficar una sola función y esta debe estar dada de manera explícita. Es decir, solo se grafican funciones dadas en la forma z = f ( x, y ) . En el caso del cono debemos despejar la variable z para obtener z = ± x 2 + 3 y 2 . El signo positivo indica la parte superior del cono mientras que el negativo su parte inferior. Vamos a representar solamente su parte superior. En el editor de funciones escribimos z = x 2 + 3 y 2 (figura 7). En la figura 8 se muestra la gráfica de la parte superior del cono elíptico. Una “visualización z” en el menú “Zoom” (figura 9) permite sugerir que las curvas de nivel son elipses. Efectivamente, tomando z = c tenemos: x2 y2 =1 c2 = x2 + 3 y2 ⇒ 2 + c ⎛ c ⎞2 ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝

Figura 7

Figura 8

Figura 9

Para graficar las curvas de nivel tomamos la siguiente parametrización de las elipses: x = c ⋅ cos ( t )

c ⋅ sen ( t ) 3 La figura 10 muestra las curvas de nivel para c = 1, 2 , mientras que la figura 11 muestra las curvas de nivel para c = 1, 2,3, 4,5, 6 . y=

Figura 10

Figura 11

2. Grafique y determine el dominio de las siguientes funciones: a. z = x + y b. z = ln ( 9 − x 2 − 9 y 2 )

Solución

Figura 12

La figura 12 muestra la gráfica de la función z = x + y . Su dominio está definido por la condición x + y ≥ 0 . O de otra manera, y ≥ − x . Esta desigualdad se representa en la figura 13.

Figura 14

Figura 13

La figura 14 muestra la grafica de la función definido

por

la

condición

Figura 15

z = ln ( 9 − x 2 − 9 y 2 ) . El dominio está

9 − x2 − 9 y 2 > 0 ,

o

escrito

de

2

otra

manera

x + y 2 < 1 , es decir el dominio lo constituye el interior de una elipse con 2 3 semieje mayor 3 y semieje menor 1. Para representar el dominio despejamos la variable y , x2 + 9 y 2 < 9 ⇒

− 1−

x2 x2 < y < − 1 . La figura 15 muestra el dominio para esta función. 32 32