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• Javier Suarez

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Introducción. Aprender matemáticas, física y química "es muy difícil"; así se expresan la mayoría de estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación del porqué no aprenden las ciencias exactas los alumnos. Nuestra teoría es la siguiente: "Los alumnos no aprenden ciencias exactas, porque no saben relacionar las conocimientos que se proporcionan en la escuela (leyes, teoremas, formulas) con los problemas que se le presentan en la vida real". Otro problema grave es que el aprendizaje no es significativo. El presente trabajo pretende motivar a los estudiantes para que con ayuda de la "lógica matemática", él sea capaz de encontrar estos relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buena estructura cognitiva. Consideramos que si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento. La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica. La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos. El orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece la importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto de proposición. Se establece el significado y utilidad de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Más tarde abordamos las proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción y contingente, y proporcionamos una lista de las tautologías más importantes, así mismo explicamos a que se le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad. Para finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por contradicción, en donde incluye reglas de inferencia. En este trabajo se trata además de presentar las explicaciones con ejemplos que le sean familiares. Nuestro objetivo es que el alumno aprenda a realizar demostraciones formales por el método directo y el método por contradicción. Ya que la mayoría de los

libros comerciales únicamente se quedan en explicación y demostración de reglas de inferencia. Consideramos que sí el alumno aprende lógica matemática no tendrá problemas para aprender ciencias exacta y será capaz de programar computadoras, ya que un programa de computadora no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona establece para resolver n problema determinado. Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar al resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas de inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero definitivamente deberá llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones como alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia solución, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado. Desarrollo. La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad. Proposiciones y operaciones lógicas. Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo. p: La tierra es plana. q: -17 + 38 = 21 r: x > y-9 s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol. t: Hola ¿como estas? w: Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden. Conectivos lógicos y proposiciones compuestas. Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son: Operador and (y) Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù , un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica: Ejemplo. Sea el siguiente enunciado "El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería" Sean: p: El coche enciende. q: Tiene gasolina el tanque. r: Tiene corriente la batería. De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue: p=qÙr Su tabla de verdad es como sigue:

q

1

1

0

0

Donde. 1 = verdadero 0 = falso En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1 significa que la batería tiene corriente y p = q Ù r=1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen cero implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.

q

1

1

0

0

Operador Or (o) Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se eindica por medio de los siguientes símbolos: {Ú ,+,È }. Se conoce como las suma lógica. Ejemplo. Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase". Donde.

p: Entra al cine. q: Compra su boleto. r: Obtiene un pase.

q

1

1

0

0

Operador Not (no) Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {‘, Ø ,- }. Ejemplo.

Además de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor, cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas con verdad el resultado es falso. En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más complejos. Ejemplo

Sean las proposiciones: p: Hoy es domingo. q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje. r: Aprobaré el curso. El enunciado: "Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no aprobaré el curso". Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera: p Ù qÚ r Por otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not). Proposiciones condicionales. Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera: p ® q Se lee "Si p entonces q" Ejemplo. El candidato del PRI dice "Si salgo electo presidente de la República recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año". Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente: Sean p: Salió electo Presidente de la República. q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año. De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera. p®q Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:

p

1

1

0

0

La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente: Considere que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación del enunciado anterior. Cuando p=1; significa que salió electo, q=1 y recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p ® q =1; significa que el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=1 y q=0 significa que p ® q =0; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios. Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que p ® q =1. Proposición bicondicional. Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la siguiente manera: p « q Se lee "p si solo si q" Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional "Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez" Donde: p: Es buen estudiante. q: Tiene promedio de diez. por lo tanto su tabla de verdad es.

p

1

1

0

0

A partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier enunciado con conectores lógicos. Ejemplo. Sea el siguiente enunciado "Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado" Donde: p: Pago la luz. q: Me cortarán la corriente eléctrica. r: Me quedaré sin dinero. s: Pediré prestado. t: Pagar la deuda. w: soy desorganizado. (p’ ® q) Ù [ p ® (rÚ s) ] Ù [ (rÙ s) ® t’ ] « w Tablas de verdad. En estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de verdad. A continuación se presenta un ejemplo para la proposición [(p® q)Ú (q’Ù r) ] « (r® q).

p

q

r

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula. No de líneas = 2n Donde n = número de variables distintas. Es importante destacar a medida que se avanza en el contenido del material el alumno deberá participar activamente. Estos significa que cuando se esta definiendo proposiciones y características propias de ellas, además de los ejemplos que el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones diferentes, deberá entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se ven conectores lógicos, los alumnos deberán saber emplearlos en la representación de proposiciones más complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo que el maestro y los alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para el estudiante. Cuando se ven tablas de verdad el alumno deberá saber perfectamente bien el porque de cada uno de los resultados. En pocas palabras el conocimiento deberá ser significativo. Tautología y contradicción. Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.

p

q

0

0

0

1

1

0

1

1

Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre 1. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones. A continuación me permito citar una lista de las tautologías más conocidas y reglas de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales que obviamente el autor no consideró.. 1.- Doble negación. a). p''Ûp 2.- Leyes conmutativas. a). (pÚq)Û(qÚp) b). (pÙq)Û(qÙp) c). (p«q)Û(q«p) 3.- Leyes asociativas. a). [(pÚq)Úr]Û[pÚ(qÚr)] b. [(pÙq)Ùr]Û[pÙ(qÙr)] 4.- Leyes distributivas. a). [pÚ(qÙr)]Û[(pÚq)Ù(pÚr)] b. [pÙ(qÚr)]Û[(pÙq)Ú(pÙr)]

5.- Leyes de idempotencia. a). (pÚp)Ûp b). (pÙp)Ûp 6.- Leyes de Morgan a). (pÚq)'Û(p'Ùq') b). (pÙq)'Û(p'Úq') c). (pÚq)Û(p'Ùq')' b). (pÙq)Û(p'Úq')' 7.- Contrapositiva. a). (p®q)Û(q'®p') 8.- Implicación. a). (p®q)Û(p'Úq) b). (p®q)Û(pÙq')' c). (pÚq)Û(p'®q) d). (pÙq)Û(p®q')' e). [(p®r)Ù(q®r)]Û[(pÙq)®r] f). [(p®q)Ù(p®r)]Û[p®(qÙr)] 9.- Equivalencia a). (p«q)Û[(p®q)Ù(q®p)] 10.- Adición. a). pÞ(pÚq) 11.- Simplificación. a). (pÙq)Þp 12.- Absurdo a). (p®0)Þp'

13.- Modus ponens. a). [pÙ(p®q)]Þq 14.- Modus tollens. a). [(p®q)Ùq']Þp' 15.- Transitividad del « a). [(p«q)Ù(q«r)]Þ(p«r) 16.- Transitividad del ® a). [(p®q)Ù(q®r)]Þ(p®r) 17.- Mas implicaciones lógicas. a). (p®q)Þ[(pÚr)®(qÚs)] b). (p®q)Þ[(pÙr)®(qÙs)] c). (p®q)Þ[(q®r)®(p®r)] 18.- Dilemas constructivos. a). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÚr)®(qÚs)] b). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÙr)®(qÙs)] Contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es pÙ p’ . Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.

p

0

1

Si en el ejemplo anterior p: La puerta es verde.

La proposición pÙ p’ equivale a decir que "La puerta es verde y la puerta no es verde". Por lo tanto se esta contradiciendo o se dice que es una falacia. Una proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama contingente. Equivalencia lógica. Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p º q. Considero que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se puede observar que las columnas de (p® q) y (q’® p’) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p® q) º (q’® p’) Reglas de inferencia Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración. Ejemplo 1 ¿Es valido el siguiente argumento?. Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico. Si se hace usted rico, entonces será feliz. ____________________________________________________ \ Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz. Sea: p: Usted invierte en el mercado de valores. q: Se hará rico. r: Será feliz De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera: p®q q®r

______ \p®r Ejemplo 2. ¿Es valido el siguiente argumento?. Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso El ingreso se eleva. _________________________________________ \ Los impuestos bajan Solución: Sea p: Los impuestos bajan. q: El ingreso se eleva. p®q q _____ \p El aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta más al alumno y se deberá poner mucha atención para que el alumno aprenda a aplicar dicha regla. En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte en donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla aplicar para resolver un determinado problema. A continuación se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración. 19.- Adición 23.- Conjunción pp _______ q \ pÚ q _________ \pÙq

20.- Simplificación 24.- Modus pones pÙqp ____________ p® q \ p _________ \q 21.- Silogismo disyuntivo 25.- Modus tollens pÚ q p® q p’ q’ _________ ___________ \ q \ p’ 22.- Silogismo hipotético p® q q® r ________ p® r Métodos de demostración. Demostración por el método directo. Supóngase que p® q es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositvas, se dice que q se desprende lógicamente de p. Supóngase una implicación de la forma. (p1 Ù p2 Ù .......Ù pn) Þ q Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de p1,p2,......,pn. Se escribe. p1 p2 pn

___ \q Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,...... y pn también es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera. Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo. (p1 Ù p2 Ù .......Ù pn) Þ q Donde la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. "Demostrar el teorema", es demostrar que la implicación es una tautología. Note que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas. Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión. A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia. Sean p: Trabajo. q: Ahorro. r: Compraré una casa. s: Podré guardar el coche en mi casa. Analizar el siguiente argumento: "Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro". El enunciado anterior se puede representar como: p Ú q ® r; y r ® s; entonces s' ® q' Equivale también a probar el siguiente teorema: [(p Ú q) ® r] Ù [r ® s] Þ [s' ® q'] Como se trata de probar un teorema de la forma general:

p1 Ù p2 Ù......Ù pn Þ q Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos. A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas. 1.- (p Ù q) ® r Hipótesis 2.- r ® s Hipótesis 3.- q ® (q Ù p) Adición tautología 10 4.- q ® (p Ú q) 3; ley conmutativa, regla 2 5.- q ® r 4,1; silogismo hipotético, regla 22 6.- q ® s 5,2; regla 22 7.- s' ® q' 6; contrapositiva, regla 7. El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera. Es recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las primeras líneas son hipótesis, la línea 3 es una tautología conocida y de la línea 4 a 7 se obtuvieron aplicando reglas de inferencia. Se indica la regla de inferencia aplicada por medio del número de la derecha, y las líneas a las cuales se les aplicó dicha regla de inferencia por medio de los números de la izquierda. El ejemplo anterior es una demostración sencilla, pero puede ser tan complicada como sea necesario y el método debe funcionar. Demostración por contradicción. El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción. La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se indica [ p ® (p Ù r) ] Ù [ (q Ú s) ® t ] Ù (p Ú s) Þ t Demostración 1.- p ® (p Ù r) Hipótesis 2.- (q Ú s) ® t Hipótesis

3.- p Ú s Hipótesis 4.- t’ Negación de la conclusión 5.- (qÚ s)’ 2,4; Modus tollens, regla 25 6.- q’ Ù s’ 5; Ley de Morgan, 6ª 7.- q’ 6; Simplificación, regla 20 8.- s’ Ù q’ 6; Ley conmutativa, 2b 9.- s’ 8; Simplificación, regla 20 10.- sÚ p 3; Ley conmutativa, 2ª 11.- p 10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21 12.- q Ù r 11,1; Modus ponens, regla 24 13.- q 12; Simplificación, regla 29 14.- q Ù q’ 13,7; Conjunción, regla 23 15.- Contradicción. Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la conclusión. En este momento el alumno ya tiene los elementos para llevar a cabo demostraciones con el apoyo del maestro. Es conveniente plantear varios enunciados, para que el alumno los represente con simbología lógica en forma de teorema. Que ese mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la correspondiente demostración por los dos métodos antes mencionados. La forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la manera en que deberá realizar una factorización o una aplicación de una fórmula en cálculo diferencial o integral o la formula que debe aplicar para resolver un problema en física. Lo que debe aprender es a relacionar los distintos conocimientos para poder llegar a la solución. Es importante mencionar que el camino que debe seguir el alumno no es el mismo que el maestro siguió sino uno distinto pero que ambos llegan al resultado. Conclusiones. La idea principal de este trabajo es que el alumno aprenda el concepto de proposición, la forma en que se pueden formar proposiciones compuestas usando los conectores lógicos, representar enunciados por medio de simbología lógica, conocer los conceptos de tautología, equivalencia lógica, regla de inferencia. Realizar demostraciones de teoremas por medio del método directo y contradicción. Pero con problemas que le sean familiares e interesantes. Se trata de que en cada uno de los subtemas participe proponiendo sus propios ejemplo y que sobre todo al final de la unidad él tenga la habilidad, confianza e iniciativa para inferir posibles soluciones.

Todo enunciado puede ser planteado en términos de teoremas. Un teorema por lo general es resultado de un planteamiento de un problema, este planteamiento debe tener el siguiente formato. (p1 Ù p2 Ù .......Ù pn) Þ q Como se establece p1, p2 ,......,pn son hipótesis (o premisas) derivadas del mismo problema y que se consideran válidas. Pero además deberán conectarse con el operador And (Ù ), lo cual implica que p1 es cierta y (Ù ) p2 es verdad y (Ù )...... y pn también es cierta entonces (Þ ) la conclusión (q) es cierta. Para realizar la demostración formal del teorema se deberá partir de las hipótesis, y después obtener una serie de pasos que también deben ser válidos, ya que son producto de reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las hipótesis y reglas de inferencia pueden aparecer en una demostración formal, sino también tautologías conocidas. En el teorema anterior cada uno de los pasos p1, p2,...pn son escalones que deberán alcanzarse hasta llegar a la solución. Lo mismo ocurre con todo tipo de problemas que se nos presentan en la vida, antes de llegar a la solución debemos alcanzar ciertas metas (p1,p2,....pn) hasta llegar al objetivo o conclusión (q). Pero una vez que logramos el objetivo debemos plantearnos nuevos objetivos que nos permitirán superarnos. Dependiendo del área de interés al estudiante puede transportad dichos conocimientos, de tal manera que le auxilien para entender y resolver otro tipo de problemas. En el caso de computación cada línea de un programa se obtiene inconcientemente aplicando una regla de inferencia y por lo tanto cada instrucción tiene su orden en que debe de ir colocada, si se cambia esa línea seguramente el resultado ya no será igual. Pero hay tantas formas de resolver un problema por medio de un programa como alumnos distintos tenga un maestro. Una demostración formal equivale a relacionar esquemas para formar estructuras cognitivas. Sí el alumno sabe inferir soluciones lógicas, estará en condiciones de resolver todo tipo de problemas. Uno de los objetivos principales del constructivismo, es la construcción del conocimiento. El tema de "lógica matemática", se presta para que el alumno pueda realizar los relacionamientos entre las distintas proposiciones, esto permite crear nuevas formas de resolver problemas en distintas ramas: matemáticas, física, química pero también en las ciencias sociales y por su puesto cualquier problema de la vida real. Porque cada vez que nos enfrentamos a un problema, manipulamos la información por medio de reglas de inferencia que aunque no estén escritas debemos respetar. Cada vez que realizamos una actividad empleamos la lógica para realizarla, quizá algunos realicen dicha actividad por caminos más corto, otros realizan recorridos más largos, pero al fin de cuentas lo que importa es llegar al resultado. Si se le da la confianza al alumno para que cree e innove, su estructura cognitiva seguramente va a crecer.

PROPOSICIONES SIMPLES Y SENTIDO COMÚN. Una proposición es una aserción o enunciado expresado en lenguaje natural escrito o hablado, mediante una expresión declarativa; que puede ser cierta o falsa, pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática..

La proposición puede ser simple o compuesta y se denotan generalmente por las ultimas letras del alfabeto (p, q, r, s,…,z) Una proposición es simple, cuando no puede parirse en partes constitutivas que sean a su vez proposiciones. Como ejemplos de proposiciones simples podemos señalar, las siguientes: 

Esta lloviendo



Cometí una equivocación al matricular este curso

Las proposiciones simples deben ser enunciados simples del español, pero debemos recordar que el español usual es un lenguaje informal, o sea que es un lenguaje cuya gramática está sujeta a modificación de estilo y la manera en la cual una verdad puede ser expresada correctamente en algo que depende en mucho de la opinión de cada quien. Debe tenerse cuidado de emplear ambigüedades de las que surgen en la conversación ordinaria y cuidarse del lenguaje ambiguo que se usa deliberadamente en los discursos políticos. Para ilustrar la necesidad de definiciones cuidadosas, consideraremos la proposición "las ventas están bajas". Antes de que podamos determinar si esta proposición es verdadera o falsa, debemos precisar el significado de "baja"., definiendo que "baja" significa por ejemplo "menos del promedio diario". Sino tenemos definiciones precisas para todas nuestras palabras y frases, entonces tendremos sólo un lenguaje informal que puede dar lugar a ambigüedades. De ahora en adelante supondremos que todos los enunciados considerados son proposiciones y tomaremos en cuenta su contenido para determinar su validez, antes de poder determinar si son falsas o verdaderas. Por ejemplo, sea: 

p= la tierra es plana



q= -17+38= 21



r= x ≥ y-9



s= Herrera será campeón de béisbol en el presente campeonato.



t= Hola ¿cómo estás?



w= pásame el libro por favor

Obsérvese, que las proposiciones p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones válidas. La proposición r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor signado a las variables x y y en determinado momento. La proposición s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falso o verdadera se tendría que esperar a que termine el presente campeonato. Sin embargo las proposiciones t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un criterio de verdad (falso o verdadero), el primero, t, es un saludo y el otro, w, es una orden o solicitud.

PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LÓGICOS. Una proposición es compuesta si se puede partir en partes constitutivas que son a su vez proposiciones simples y están unidas por conectivos lógicos. Comenzamos por hacer abstracciones de ciertas propiedades del lenguaje informal. En particular hacemos abstracción de las propiedades lógicas de las conectivas con las cuales combinamos proposiciones simples para formar proposiciones compuestas. Tenemos que hacer reglas precisas sobre el modo como estas conectivas combinan proposiciones y, para construir un álgebra necesitamos tener una manera simbólica de representar las proposiciones simples y también las conectivas. No debemos olvidar que dentro de la esfera de la lógica tradicional, calcada sobre un gramaticismo un tanto confuso y discutible, el lenguaje corriente presenta ambigüedades. Por eso, en la lógica moderna se trata de simplificar y de purificar el lenguaje lógico de todo elemento que se preste a confusiones y de que, por la tanto, de lugar a malentendidos. Veamos por ejemplo, como ejemplo, lo siguiente: Si quisiéramos expresar en términos de lógica simbólica la siguiente expresión 

Lenguaje natural: "Pancho es un artista de cine y María se enojó"



Se traduciría en lenguaje simbólico en "p ^ q", en donde:

p = Pancho es un artista de cine q = María se enojo ^ = conjunción conectiva "y" Por lo pronto vamos a considerar las siguientes conectivas (conectores lógicos), signos de importancia para el manejo de las traducciones al simbolismo lógico, así como para la determinación de verdad o falsedad de las proposiciones. El término "conectivas" se refiere a ciertas conjunciones lógicas que gobiernan las distintas fórmulas lógicas. Recordemos lo siguiente, según Moisés Chong: "llamamos proposiciones coligativas a aquellas proposiciones compuestas, es decir, son proposiciones que consisten en la unión de dos o más proposiciones", Y así, como se vio en el ejemplo anterior, la unión de las proposiciones componentes se efectúa mediante las conjunciones. La característica fundamental de toda proposición coligativa es que su verdad depende de la verdad de las proposiciones coligadas. He aquí las conectivas más corrientes: a. La negación b. La conjunción c. La disyunción inclusiva d. La disyunción exclusiva

e. La condicional f. La bicondicional

CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLA DE VERDAD. A partir de los conectores u operadores lógicos, listado anteriormente, es posible formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones simples y conectadas entre sí por los conectores lógicos), sin embargo los criterios de verdad resultantes de los operadores lógicos están regidos por determinadas reglas de la lógica booleana que señalaremos a en forma posterior. Pero para ser más preciso es necesario tener en cuenta que las proposiciones simples están determinadas por condiciones dialécticas de tiempo y espacio. Por ejemplo si se señala "llueve y no tengo paraguas", al construir la tabla de verdad es necesario resolver ¿en dónde? y ¿cuándo? La afirmación "llueve" se entiende en que es en ese momento y ese lugar y con una simple mirada al cielo sabemos si es cierto o falso. Hechas estas observaciones pasamos a revisar las reglas específicas que rigen a cada conector lógico. 

LA NEGACIÓN

La negación se simboliza, generalmente por el signo "~". Este signo puede ser traducido en palabras, así: "no es el caso que" o, más brevemente, "no". A partir de la teoría de conjuntos, establecimos si un elemento pertenece o no a un conjunto y se señaló que si no es elemento del conjunto, entonces es elemento del conjunto complemento. Por tanto la negación se refiere al conjunto complemento. Se establece el siguiente principio para la negación lógica: la negación de un enunciado verdadero es falsa; la negación de un enunciado falso es verdadero. Lo que equivale a decir que la negación de la negación de una proposición verdadera es verdadera; y la negación de la negación de una proposición falsa es falsa. Además la conectiva no es la única de tipo singular del listado de conectores lógicos señalado anteriormente.

p

V

F



LA CONJUNCIÓN.

La conjunción es el operador correspondiente al término "y", siendo su símbolo más corriente el siguiente, "^", se le conoce como la multiplicación lógica. Expresado en el

lenguaje matemático, la conjunción está regida por la ley asociativa , "(pq)r" equivale a decir "pqr". Pero también es de carácter conmutativo: "pq" y "qp" son irrelevantes en su orden. La regla para establecer los criterios de verdad de la conectiva lógica conjunción es la siguiente: 

Una conjunción de enunciados en los cuales todos son verdaderos, es verdadera



Una conjunción de enunciados en donde no todos son verdaderos es falsa.



Lo que equivale a decir que basta que uno de sus componentes sea falsa para que toda la proposición sea falsa y sólo será verdadera en el caso de que ambos componentes lo sean.

La expresado anteriormente se resumen simbólicamente de la siguiente manera:

p

V

V

F

F

Ejemplo: Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente en la batería" Sean: p= tiene gasolina el tanque q = tiene corriente la batería r = el auto enciende = p ^ q

La conclusión resultante es que para que el auto encienda se debe tener gasolina en el tanque y corriente en la batería, sino se tiene una de estas dos condiciones el auto no arrancará. 

LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA

La disyunción inclusiva, llamada también, alternación, expresada ordinariamente mediante la palabra "o", simbólicamente se le representa por medio de la letra "v", colocada entre dos proposiciones. Sin embargo, la "o" en este caso no tiene carácter de encrucijada o de dilema, y se puede interpretar como " o uno u otro o ambos". Por ciertas analogías con el álgebra se le llama también suma lógica. La alternación posee, igualmente, la propiedad asociativa que consiste en la no importancia de la agrupación en relación con la verdad o la falsedad de una proposición dada. También es afectada por la ley conmutativa de que el orden de las alternativas no afecta a la alternación. La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente: 

Una disyunción inclusiva es verdadera cuando por lo menos una de sus alternativas es verdadera; solamente será falsa si las dos lo son.

La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue:

p

V

V

F

F

Ejemplo: Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra boleto u obtiene un pase" Sean: p= compra boleto

q = obtiene un pase r = una persona entra al cine = p v q La conclusión resultante es obvia, puesto que para entrar al cine es necesario tener por lo menos una de las dos condiciones: comprar un boleto o tener un pase, si se tiene ambas también se puede entrar, si no tengo ninguna de las dos alternativas entonces no se puede entrar al cine. 

LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

La disyunción exclusiva se simboliza pro el signo "v", corresponde a la expresión " o uno u otro, pero no ambos a la vez". Una de las propiedades de esta conectiva es la de ser conmutativa y la de poseer el carácter asociativo. Se puede mostrar la equivalencia de los esquemas proposicionales así como establecer que es inesencial la agrupación por la cual optemos. Ejemplos de expresiones afines a esta conectiva son " a menos que…" o "salvo que…" La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente: 

Una disyunción exclusiva es verdadera cuando una de sus alternativas es verdadera; y será falsa si las dos alternativas son falsas o verdaderas.

La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue:

p

V

V

F

F



LA CONDICIONAL

La condicional, expresada por la frase "si,… entonces", se simboliza mediante el signo "→" colocado entre las dos proposiciones.. La primera proposición lleva el nombre de antecedente y la segunda proposición la de consecuente. Algunos lógicos la denominan "proposición hipotética" o "proposición implicativa". La importancia de esta clase de

proposiciones es la de que la utiliza frecuentemente en el lenguaje de las ciencias, particularmente en la ciencia de la física y en la matemática. El condicional, según veremos, es una conectiva para la cual importa el orden de las cláusulas, esto es, se trata de un conector no conmutativo. En este caso el antecedente es una condición suficiente respecto del consecuente y el consecuente es una condición necesaria respecto del antecedente. La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente: 

La condicional será falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás caso será verdadera.

La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue:

p

V

V

F

F

Ejemplo: Si se tiene lo proposición "Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata", se observa que estamos diciendo es que la primera proposición "si el cuerpo se calienta" implica a la segunda proposición " entonces se dilata", pero no se afirma que el antecedente es verdadero, ni el consecuente es verdadero, puede ser que el cuerpo no se calentó y el cuerpo se dilato por causa de otros factores ajenos a la temperatura, un golpe 

LA BICONDICIONAL

La bicondicional, expresada por la frase "si y solo sí…", denotada por el signo"↔", significa una relación bidireccional en donde ambas proposiciones se necesitan entre sí. La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente: 

La conectiva bicondicional será verdadera solamente si y solo si las dos sentencias que la componen son a la vez verdaderas o si son ambas falsas.

La expresado anteriormente se resumen simbólicamente de la siguiente manera:

p

V

V

F

F

TRADUCIENDO DEL LENGUAJE NATURAL AL LENGUAJE SIMBÓLICO El analista económico para entender el mundo circundante (la sociedad y sus relaciones económicas) debe ser capaz de hacer abstracciones para encontrar las partes esenciales y sus relaciones a fin de poder tener indicios del porque del comportamiento. A continuación le presentaremos algunos ejemplos de traduccciónlógica: Ejemplo #1: Se tiene la siguiente proposición compuesta:"Hoy es domingo y tengo que estudiar estadística o no aprobare el curso" Al separar la proposición en sus partes esenciales se tiene lo siguiente: Sea p= Hoy es domingo q= tengo que estudiar estadística r= aprobare el curso, ~r = no aprobare el curso Lo que en lenguaje simbólico equivale a p ^ q v ~r Ejemplo #2:

Se tiene la siguiente frase: "Si no pago la luz, entonces me cortaran la corriente eléctrica. Y si pago la luz, entonces me quedare sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si y solo si soy desorganizado" Donde: 

p = pago la luz



q = me contarán la corriente eléctrica



r = me quedare sin dinero



s = pediré prestado



t = pagar la deuda



w = soy desorganizado

Lo que en lenguaje simbólico equivale a: (~p → q) ^ [ p → (r ^ s)] ↔ t

TABLAS DE VERDAD PARA PROPOSICIONES COMPLEJAS Se tiene el siguiente enunciado lógico (p v ~q) ^ r, encuentre su tabla de verdad: Obsérvese que en este caso aparecen involucrados en la proposición compleja tres proposiciones simples, p, q, y r. Para poder determinar la cantidad de criterios de verdad a considerar al construir la tabla, se aplica la siguiente fórmula: No. de líneas = 2n, donde n= número de variables distintas. Ejemplos: 1.

p

V

F

2. Se tiene una sola variable p, entonces n=1 y 21=2, luego:

3. Se tienen dos variables p y q, entonces n=2 y 22=4, luego: 4. 3- Se tienen tres variables p, q y r, entonces n=3 y 23=8, luego:

En el caso en consideración tenemos tres variable (p,q,r) y aplican las reglas algebraicas de solución de los paréntesis (de adentro hacia afuera) por tanto se resuelve de la siguiente manera

(p

V

V

V

V

F

F

F

F

1

Pasos utilizados al construir la tabla de verdad resultante:

1. Se anotaron los criterio de verdad elementales de cada variable 2. Se resolvió la negación de q (~q). 3. Se resolvió el paréntesis ( p v ~q) 4. Se resolvió la conectiva final "y" (^) Nota: obsérvese que la tabla final resultante esta en negritas en la columna denotada abajo 4.

LABORATORIO (Resolver y entregar en grupos de tres estudiantes, equivalen a nota de un parcial) Problema #1: Anote las siguientes expresiones expresadas en lenguaje natural en notación simbólica. 

Si usted invierte en el mercado de valores, se hará rico y entonces será feliz



Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso



Los precios de los artículos de primera necesidad están altos y encareciéndose



Pasare este curso, si y solo si, estudio y me esfuerzo al máximo



.Si asisto a clases, todos los días entonces aprobare y no fracasare en la vida.

Problema #2: Se tienen las siguientes proposiciones: p = los precios de los artículos de primera necesidad están altos q = están encareciéndose r = sobreviviré Traduzca al lenguaje natural las siguientes expresiones lógicas. 

p^q



~p → r



p ^ ~q



~p v ~q



(~p ^ ~q) ↔ r

Problema #3: Encuentre la tabla de verdad de las siguientes expresiones lógicas 

p → (q v r)



(p v r) ^ (p → q)



(p v q) ↔ (q v p)



p ^ ~p



(p → p) v (p → ~p)



( p ^ ~q) ^ r



[p → (q → r)] → [(p → q) → (p → r)]

La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo. El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor. Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento. Georg Cantor A propósito de la noción de conjunto, Dedekind dijo que se los imaginaba como un saco cerrado que contiene cosas... de las que no sabemos nada fuera de que existen y son totalmente determinadas. Algún tiempo después, Cantor dio a conocer su idea de conjunto: elevó su colosal figura, describió con el brazo erguido un gesto soberbio, y dijo con la mirada perdida: 'Me imagino un conjunto como un abismo'.

Notación

Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula:

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula:

De esta manera, si escribir:

es un conjunto, y

todos sus elementos, es común

para definir a tal conjunto . Esta notación empleada para definir al conjunto llama notación por extensión.

se

Para representar que un elemento pertenece a un conjunto , escribimos (léase " en ", " pertenece a " o bien " es un elemento de "). La negación de se escribe

(léase " no pertenece a

").

El conjunto universal, que representaremos como (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces es el conjunto de los números enteros; si hablamos de ciudades, es el conjunto de todas las ciudades. Todos los elementos posibles están en este conjunto:

Este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o puede darse por supuesto según el contexto que estemos tratando. Existe además, un único conjunto que no tiene elementos, al que se le llama conjunto vacío y que se denota por , esto es: . La característica importante de este conjunto es que todos los elementos posibles no están contenidos en él:

Por otro lado, si todos los elementos de un conjunto satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición p(x), con la indeterminada x, usamos la notación por comprensión, y se puede definir:

Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x, que cumplen la propiedad p(x)". El símbolo ":" se lee "que cumplen la propiedad" o "tal que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra .

Por ejemplo, el conjunto:

puede definirse por:

donde el símbolo

representa al conjunto de los números naturales.

Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, lo que se escribe A = B si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos:

[editar] Subconjuntos y Superconjuntos

Diagrama de Venn que muestra

Un conjunto A se dice que es subconjunto de otro B, si cada elemento de A es también elemento de B, y se denota . Es decir:

Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si A⊆B, se cumpla A = B. Si, siendo A un subconjunto de B, B tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto A, entonces decimos que es un subconjunto propio de B, lo que se representa por . Es decir

Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto A es subconjunto "impropio" de sí mismo. [mostrar]Demostración

Si A es un subconjunto de B, decimos también que B es un superconjunto de A, lo que se escribe . Así pues

y también que:

significando

que B es superconjunto propio de A.

La relación "ser subconjunto" ⊆ es una relación de orden entre conjuntos puesto que es reflexiva, transitiva y antisimétrica. Unión ∪

Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto unión de los dos, que se denota como el cual contiene todos los elementos de A y de B.

Esto siginifica que x∈A∪B si y sólo si x∈A ó x∈B. De manera más general, para cada conjunto S existe otro conjunto denotado como de manera que sus elementos son todos los elementos de algún elemento de S, .

De esta manera

es el caso especial donde

.

Ejemplo. Si tenemos los conjuntos

,

entonces:

[editar] Intersección ∩

Diagrama de Venn que ilustra

Los elementos comunes a A y B forman un conjunto denominado intersección de A y B, representado por . Es decir, es el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B:

Esto siginifica que x∈A∩B si y sólo si x∈A y x∈B.

Puede definirse también la intersección de una familia de conjuntos, similar al caso de la unión. Si dos conjuntos A y B son tales que se dice que A y B son conjuntos disjuntos.

de forma , entonces

Ejemplo. Si tenemos los conjuntos

,

entonces:

[editar] Partición

Dado un conjunto A, una familia de subconjuntos X={Ai} (con cada Ai⊆ A) se denomina una partición de A si la unión de todos ellos es A y son disjuntos dos a dos:

[editar] Diferencia

Diagramas de Venn que muestran A − B y B − A respectivamente.

Los elementos de un conjunto A que no se encuentran en otro conjunto B, forman otro conjunto llamado diferencia de A y B, representado por

. Es decir:

Esto significa que x∈A\B si y sólo si x∈A y x∉B. También se denota por A-B. Ejemplo. Dados los conjuntos

,

se tiene:

[editar] Complemento

Diagrama de Venn que ilustra el complemento de A, AC.

El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A.

El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares es el formado por los números impares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias. Ejemplo. Consideremos el universo de los números naturales {1,2,3,...}, y entendamos los puntos suspensivos "..." como "y todos los demás". Sean los conjuntos:

(los números impares).

Se tiene entonces:

(los números pares).

[editar] Diferencia simétrica

Diagrama de Venn que ilustra la diferencia simétrica de A y B, AΔB.

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B viene dada por los elementos que pertenecen a uno y sólo uno de los dos:

También se denota por

.

[editar] Álgebra de conjuntos

Sean

,

, y conjuntos cualesquiera y entonces:

un conjunto tal que

,

y

1. 2. 3. 4.

Elemento neutro de la unión

5.

Elemento neutro de la intersección

6. 7.

Propiedad conmutativa de la intersección

8.

Propiedad conmutativa de la unión

9.

Propiedad de Involución.

10.

Propiedad asociativa de la intersección

11.

Propiedad asociativa de la unión

12.

Propiedad distributiva de la intersección

13.

Ley de De Morgan

14.

Ley de De Morgan

15.

Propiedad distributiva de la unión

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33.

[editar] Producto cartesiano de conjuntos Artículo principal: Producto cartesiano

Un par ordenado de números y sólo si .

es tal si los pares

y

son uno mismo si

Dados dos conjuntos y , definimos al conjunto producto ( o producto cartesiano) de y (en ese orden), representado por , como el conjunto

Ejemplo Sean:

.

El producto de S por R será:

Y el producto se R por S :

Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de los componentes importa), Resulta que como norma general:

Y solo se da el caso:

[editar] Cuantificadores

Los cuantificadores sirven para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Tales cuantificadores son 

El cuantificador universal, representado por . Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe



El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con una propiedad. Se escribe

.

Se definen

[editar] Funciones Artículo principal: Función matemática

Sean y dos conjuntos. Un subconjunto de en , lo que se representa por

, se dice aplicación o función

siempre que se verifique  

Si

, el elemento se dice imagen de por , y el elemento se llama

antecedente de por . Sea una función de

. Se emplea la notación

por , y por tanto

para representar a la imagen

.

Sean las funciones

y

. Se define

,

y se dice que

es el producto de composición de las funciones y .

Sean

,

y

tres funciones. Entonces

. Para demostrar la igualdad tendremos que probar que tienen el mismo dominio, el mismo codominio, y que sus imágenes son iguales:

Hemos demostrado que los dominios son iguales.

También vemos que tienen el mismo codominio, sólo nos queda ver que :

Por lo tanto queda probado que:

Leyes lógicas Inversas