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• Franklin Caceres Chambi

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CONDENSADOR VARIABLE I. 

OBJETIVOS determinación de la capacitancia de un condensador.

o



Encontrar la permitividad del vacío

 

Encontrar el coeficiente dieléctrico K para varios materiales dieléctricos. Encontrar el coeficiente dieléctrico y la capacitancia resultante de colocar tres dieléctricos en serie. Interpretación de los efectos de borde en un condensador de placas paralelas. FUNDAMENTO TEORICO

 II.

El capacitor o condensador es uno de los elementos eléctricos de mayor uso en la ingeniería, aunque su principio de funcionamiento se basa en el simple hecho de almacenar carga eléctrica, su ámbito de aplicación es bastante extenso, desde micro circuitos a electrónica de potencia. En el presente experimento se estudiará al condensador de láminas conductoras y paralelas, cuya disposición se muestra en la figura 1. La capacitancia “C “es la capacidad de almacenar carga eléctrica y ésta es inversamente proporcional a la separación “d “de las placas. En el experimento, se dispondrá de un condensador de laboratorio como el mostrado en la figura 3, en el que pueda regularse el valor de “d” o distancia de separación, de manera de obtener un condensador variable. También se estudiará la influencia del medio “  ” interpuesto entre dichas placas, específicamente se probará con aire y papel. CAPACIDAD O CAPACITANCIA DE UN CONDENSADOR: Dos superficies conductoras se dice que se encuentran en situación de influencia total (placas a y b en la figura 1), cuando todas las líneas de campo eléctrico que parten de una van a parar a la otra. En este caso se dice que las dos superficies forman un condensador. La carga representada por “ Q “ en las dos superficies es la misma, aunque de signo opuesto, y es proporcional a la diferencia de potencial entre las superficies:

Cuando la carga se mide en Culombios [C], y la tensión o diferencia de potencial entre las placas a y b está en Voltios [V], la capacidad está en Faradios [F]. En la mayoría de las situaciones

practicas la capacidad es muy pequeña, por lo que se emplean submultiplos como el micro Faradio [  F ] o el nano Faradio [ nF ]. CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR PLANO: Cuando se tienen dos superficies metálicas, de área A, separadas una distancia d (mucho menor que las dimensiones de las placas), puede admitirse que aproximadamente, el campo eléctrico va de la placa a hacia b (placa a con carga positiva, placa b con carga negativa) en la dirección ox (figura 1), perpendicular a las placas. Si suponemos la placa inferior a una tensión VO y la superior a tierra, el problema eléctrico se reduce a resolver la ecuación de Laplace para el potencial electrostático con las correspondientes condiciones de contorno:

Conocido el campo, la carga se calcula por aplicación de la Ley de Gauss:

EFECTOS DE BORDE: La ecuación (7), es una aproximación válida cuando la distancia entre las placas es mucho menor que su diámetro. Esta aproximación desprecia los llamados efectos de borde (figura 2a) debido a la deformación de las líneas de campo en la periferia de las placas (figura 2b). El valor exacto de estos efectos depende de cada caso concreto y normalmente requiere resolver la ecuación de Laplace por métodos numéricos. Dos propiedades, no obstante, son generalmente aplicables:  

Aumentan la capacidad del sistema. Son proporcionalmente más importantes a medida que la distancia entre placas aumenta.

DIELÉCTRICO DEL CONDENSADOR: El material insertado en el interior de las dos placas es conocido como dieléctrico y éste define el valor de la “  ” (permitividad absoluta del medio). En cambio, si el espacio entre las dos placas está vacío, se tiene “  o ” (permitividad del vacío), cuyo valor es: 8.85*1012 C 2 N m 2  entonces resulta más conveniente expresar la permitividad de un dieléctrico en función a la permitividad del vacío. Es decir:

  K 0

8 Donde K es el coeficiente dieléctrico, entonces K = 1 para el vacío, en cambio

para el aire atmosférico vale 1,00059, prácticamente iguales, sin embargo otros dieléctrico como el vidrio y el papel tienen coeficientes eléctricos K = 4 a 10. Por lo tanto, la capacitancia de un condensador será mayor si el dieléctrico es un material como vidrio o papel que simplemente aire.

De contarse con un capacímetro (instrumento empleado para encontrar la capacitancia de un condensador), para determinar los valores de “C ” y conocido el diámetro “D “ de las placas del condensador de placas paralelas, es posible determinar la permitividad del medio “  “

Si se conectan varios dieléctricos en serie uno junto a otro entre dos placas (como un sándwich), se obtiene el mismo efecto:

III. 

MATERIAL Y EQUIPO Condensador didáctico con características:

Placa planas de aluminio. Máxima variación superficie ±0,2[mm]. Soportes de aislamiento acrílico. Regulación de “d “ 1 a 116 [mm].

Capacitancia de 2,3 a 280 [pF]. Paralelismo entre placas. Cable con capacitancia despreciable. (figura 3).   

Capacímetro calibrado. Vernier o nonio Placa dieléctrica

Resma de papel. Otras placas (dieléctricos) de espesor constante y material conocido. Nota: las dimensiones del dieléctrico deben ser mayores que la de las placas.

IV.

PROSEDIMIENTO

 Medir el diámetro de las placas del condensador. MEDIDA DE LAS VARIABLES CON EL DIELÉCTRICO AIRE (ASUMIDO VACÍO)  Medida de la capacidad en función de la distancia y obtención de a) b) c) d)

0

Conectar el cable a los bornes de la placa y del capacímetro. Con ayuda del vernier, fíjese la distancia entre las placas en el condensador en 0,5 [mm]. Encienda el capacímetro en máxima sensibilidad y mídase el valor de la capacidad. Para distancias de 0,5 [mm] a 3,0 [mm] con intervalos no mayores a 0,5 [mm], hállese la capacidad. Antes de cada medida espérese a que el capacímetro marque un valor estacionario.

INFLUENCIA DE LOS EFECTOS DE BORDE a) Mídase la capacidad para las distancias desde 4,0 [mm] a 15 [mm], en intervalos de 1 [mm], añádase a la lista los valores para d = 1 [mm] y 3 [mm], ya obtenidos en el procedimiento anterior MEDIDA DE LAS VARIABLES CON EL DIELÉCTRICO ESCOGIDO a) Selección del dieléctrico, si no se dispondría de láminas de espesor especificado, podría emplear resmas de papel tamaño carta o mayor. b) Introducir el dieléctrico entre las placas (espesor menor a 1 [mm]). c) Ajustar con mucho cuidado el dieléctrico entre las placas del condensador evitando de dejar espacios de aire entre ellas (tampoco proceda a comprimir en exceso al dieléctrico pues de este modo se descalibra el regulador de distancia del condensador). d) Mídase la capacidad del sistema. e) Repita el proceso con al menos otros dos materiales (dieléctricos). f) Coloque los tres materiales juntos (cara con cara) y colóquelos en el condensador obteniendo así el equivalente a tres capacitores en serie.

NOTA: Todas las mediciones de capacidad con el capacímetro, deben realizarse con el capacitor o condensador desconectado a cualquier fuente de alimentación y verificar que el mismo esté descargado, pues el capacímetro cuenta con su propia fuente de voltaje de CA para cargar al condensador V.

ANALICIS DE DATOS

De los siguientes datos: Medida directa: Diámetro de la placa del condensador: D  19.69 cm  196.9 mm Variables:

MEDIDA DE LA CAPACIDAD EN FUNCIÓN DE LA DISTANCIA Y OBTENCIÓN DE  0 (0,5 a 3mm) n número de medición Variable independiente Distancia di (mm) Variable dependiente Capacidad Ci (pF) Yi Indirecta

1

2

3

4

5

6

0.5

1

1.5

2

2.5

3

109.3

91.6

74.9

68.2

64.2

60.2

INFLUENCIA DE LOS EFECTOS DE BORDE (4 a 15mm) n número de medición Variable independiente Distancia di (mm) Variable dependiente Capacidad Ci (pF) Yi Indirecta

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

54.7

46.8

43.5

40.2

38.2

36.4

34.9

33.7

32.7

31.7

31.1

30.4

DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DIELÉCTRICO Dieléctrico 1

Dieléctrico 2

Dieléctrico 3

Dieléctrico eq.

material

Acrílico

Baquilita

Cartón Prensado

Espesor dieléctrico

1.7 mm

2.8 mm

2.9 mm

6.9 mm

Capacidad medida

171.6 pF

266.0 pF

139.3 pF

100.1 pF

A. PRIMERO CALCULAMOS

0

Para calcular se debe realizar una regresión lineal de la siguiente formula

1 4  * d  Y  Bd  Y  BX c K  0 D 2 Donde :

Y

1 c

B

4 K  0 D 2

Linealizando para hallar una relación Y  d mediante análisis de regresión lineal tenemos;

9.000 8.000 7.000 6.000 5.000 4.000

y = 2,6155e0,3657x R² = 0,9944

3.000 2.000

1.000 0.000 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Analizando coeficiente de correlación n

r

n

n

i 1

i 1

N  XY   X  Y i 1

    N X 2  X   i 1  i 1   n

n

2

  n 2  n 2   *  N Y   Y     i 1  i 1    

r  0.9831  lineal r  0.9944  potencial  Podemos concluir que los valores medidos están gobernados por EXPONENCIAL Linealizamos N

X

Y

Y1  log Y

X * Y1

X2

1 2 3 4 5 6

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 10,5

109.3 91.6 74.9 68.2 64.2 60.2 468.4

0,49485 0,58503 0,63827 0,74473 0,82391 0,88606 4,17284

0,24743 0,58503 0,95741 1,48945 2,05977 2,65817 7,99726

0,25 1 2,25 4 6,25 9 22,75

 Donde

Haciendo regresión lineal con una calculadora científica: A=7.47𝐸 − 6

B=0.0001329

r=0.9999

𝑖 = 7.47E − 6 + 0.0001329 ∗ 𝑉

𝑟 = 0.9999  Para el segundo circuito:

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 S

Y1  log Y

Y

X 0.500 5.400 5.900 6.400 6.900 7.300 7.800 8.400 8.900 57.500

109.300 0.440 0.500 0.570 0.600 0.630 0.670 0.700 0.790 114.200

0.250 29.160 34.810 40.960 47.610 53.290 60.840 70.560 79.210 416.690

X * Y1 54.650 2.376 2.950 3.648 4.140 4.599 5.226 5.880 7.031 90.500

X2 11946.490 0.194 0.250 0.325 0.360 0.397 0.449 0.490 0.624 11949.578

Haciendo regresión con una calculadora científica tenemos: A=3.75E-6

B=0.0001327

𝑖 = 3.75E − 6 + 0.0001327 ∗ 𝑉 𝑟 = 0.9998 1) En el mismo gráfico, representar la línea ajustada con los datos obtenidos del primer circuito. Tomando a la ecuación ajustada: 7.47E − 6 + 0.0001329 ∗ 𝑉

El gráfico (c) se encuentra al finalizar los cálculos.

2) En el mismo gráfico, representar la línea ajustada con los datos obtenidos del segundo circuito. Tomando a la ecuación ajustada: 𝑖 = 3.75E − 6 + 0.0001327 ∗ 𝑉 Gráfico (d) se encuentra al finalizar los cálculos.

i [A]

GRAFICO i vs. V

3.00E-03 2.50E-03 2.00E-03 1.50E-03 1.00E-03 5.00E-04

0.00E+00 0

5

10

15

20

25

V [V] 1.1. VALIDACIÓN DE LA HIPÓTESIS 1.1.1. ERROR DE LA ESTIMACIÓN Se empleara el estadístico de Student: 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =

|𝑎 − 0| 𝑠𝑎

Donde: ∑ 𝑉𝑖2 𝑠𝑎 = 𝑠𝑡/𝑉 ∗ √ ; 𝑠𝑏 = 𝑛 ∑ 𝑉𝑖2 − (∑ 𝑉𝑖 )2

𝑠𝑡/𝑉 √∑ 𝑉𝑖2 − 1 (∑ 𝑉𝑖 )2 𝑛

∑[(𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑉𝑖 ) − 𝑖]2 ∑ 𝑒𝑖2 𝑠𝑡/𝑉 = √ =√ 𝑛−2 𝑛−2 Como el análisis de colas se busca en tablas: t de tablas 𝑡𝛼,𝑛−2 2

Para no rechazar Ho, debe cumplirse: 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠 De lo contrario se rechaza Ho es decir no es válida la ecuación de la ley de Ohm porque el 𝛼 procedimiento presento error sistemático. Se sugiere emplear una significancia 2 = 0,005 (dos colas).

𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠 = 𝑡0.005;7 = 3.4995

En la primera ecuación linealizada: 𝑖 = 7.47E − 6 + 0.0001329 ∗ 𝑉  Para el corte en la ordenada: 1) Formulación de la hipótesis: Hipótesis nula: a=0 Hipótesis alternativa: a≠0 2) Selección del estadístico: Se empleará el estadístico t de Student. 3)

Cálculo del estadístico: Siendo: 𝑒𝑖 = (7.47E − 6 + 0.0001329 ∗ 𝑉𝑖 ) − ii n 1 2 3 4 5 6 7 8 S

Vi [V] i i [A] 6.08 8.10E-04 8.00 1.07E-03 10.00 1.34E-03 12.00 1.60E-03 14.00 1.87E-03 16.00 2.14E-03 18.00 2.41E-03 20.00 2.68E-03 104.080 1.39E-02

ei 36.966 64.000 100.000 144.000 196.000 256.000 324.000 400.000 1520.966

st/V = √

4.92E-03 8.56E-03 1.34E-02 1.92E-02 2.62E-02 3.42E-02 4.34E-02 5.36E-02 2.03E-01

6.56E-07 1.14E-06 1.80E-06 2.56E-06 3.50E-06 4.58E-06 5.81E-06 7.18E-06 2.72E-05

0.5161700 0.6906300 0.8723600 1.0541000 1.2358300 1.4175600 1.5992900 1.7810200 9.1669600

0.26643147 0.4769698 0.76101197 1.11112681 1.52727579 2.00947635 2.5577285 3.17203224 11.8820529

11.882 = 1.4072 8−2

1520.97 sa = 1.4072 ∗ √ = 1.5043 8 ∗ 1520.97 − (104.1)2 |(7.47E − 6) − 0| 1.5043 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = 4.9657𝐸 − 6

t calc = 4)

Decisión: 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 = 3.4995 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 < 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎

Entonces se acepta la hipótesis nula, por lo tanto el valor de “a” (corte en la ordenada), es cero.  Para la pendiente: G=

1 1 = = 0.0001339 R 7470

1)

2)

3)

Formulación de la hipótesis: Hipótesis nula: b=G Hipótesis alternativa: b≠G Selección del estadístico: Se empleará el estadístico t de Student. Cálculo del estadístico: 1.4072

𝑠𝑏 =

= 0.1091 1 √1520.97 − (104.1)2 8 |0.0001329 − 0.0001339| t calc = 0.1091 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = 9.1659

4)

Decisión: 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 = 3.4995 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 < 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎

Entonces se acepta la hipótesis nula, por lo tanto el valor de “b” (pendiente), coincide con G=

1 1 = = 0.0001339 R 7470

En la segunda ecuación linealizada: 𝑖 = 3.75E − 6 + 0.0001327 ∗ 𝑉  Para el corte en la ordenada: 1) Formulación de la hipótesis: Hipótesis nula: a=0 Hipótesis alternativa: a≠0 2) Selección del estadístico: Se empleará el estadístico t de Student. 3) Cálculo del estadístico: Siendo: 𝑒𝑖 = (3.75E − 6 + 0.0001327) − ii

Y  Ae Bx log Y  log A  BX log e Y1  A1  B1 X B1  A1 

N  XY1   X  Y1 N  X 2   X 

Y  B  X 1

N

B1  B * loge  B 

2



(6 * 7,99726)  (10,5* 4,17284) (6 * 22,75)  10,5 

2

 0.1588

 412.5722 B1  B  0.3657 log e

Entonces nos quedaría

B

4 K  0 D

2

 0 

4 B K D 2

  o  8.98*105  nF mm 

B. HACIENDO LO MISMO PARA LA INFLUENCIA DE EFECTOS DE BORDE REALIZANDO EL GRAFICO CON RESPECTO A LA TABLA DE DATOS 25.00000

20.00000

15.00000

10.00000

y = 5,3212x0,5152 R² = 0,9944

5.00000

0.00000 0

2

4

6

8

10

12

14

16

Donde se verifica que es potencial y el valor de B es de acuerdo con la grafica ajustada

B

4 K  0 D

2

 0 

CONCLUSION:

4 B K D

2

  o  6.37 *105  nF mm 

Verificamos que a la medida de la permitividad del vacío

0

la medida vario en mucha

proporsion y esto se devio a los ejectos de borde originados que en el experimento no se evitaron

C. DETERMINACION DEL COEFICIENTE DIELECTRICO

K

Se empleara la siguiente formula:

4C d  o  D2

Realizando para cada dieléctrico Y remplazando datos obtenidos en el experimento  Para el carton

K

4C d 4 0.242 1.3   K c  0.115 2  o  D 8.98*105  196.92

K

4C d 4 0.228 1.8   K1  0.150 2  o  D 8.98*105  196.92

 Para le plástico 1

 Para le plástico 2 acrilico

K

4C d 4 0.275 0.8   K 2  0.08 2  o  D 8.98*105  196.92

PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DIELECTRICO DE LOS TRES OBJETOS SE REALIZA LO SIGUIENTE:

K equi 

1  0.04 1 1 1   K C K1 K 2

Después por ultimo hallaremos capacitancia equivalente:

Cequiteorico  

1  Cequi (teorico)  0.082 1 1 1   CC C1 C2

Donde la capacidad medido en el experimento fue Cequi (experimental)  0.163 CONCLUSION: en este caso al calcular los coeficientes dieléctricos los resultados que nos dieron fue un valor muy pequeño por tanto es algo ilógico y también en el coeficiente dieléctrico equivalente no nos dio lo mismo el teórico que el practico

VI. CUESTIONARIO 1. Los efectos de borde, ¿aumentan o disminuyen la capacidad?. Justifíquese a partir de los datos experimentales. ¿Por qué puede ser complicado calcular teóricamente la influencia de los bordes? Los ejectos de borde asen que disminuyan la permitividad 2. Supóngase que debido a la holgura del sistema, existe una capa de aire de 0,1 [mm] de espesor entre cada placa metálica y el dieléctrico empleado. ¿En qué forma afecta esto a los resultados? ¿se obtendría una permitividad del dieléctrico mayor o menor a la correcta? En el experimento la capacitancia esta en función de la distancia por lo tanto si ay esa holgura este aumentaría la separación entre placas y este tiende a aumentar la permisividad 3. Según la ecuación 6, un capacitor de placas circulares (como el del experimento) tendrá la misma capacitancia que uno con placas cuadradas. Sin embargo, debido a los efectos de borde tendrán diferente valor de capacitancia, indique cuál registrará mayor capacitancia, explique. Ya que en el experimento es una placa sircular si ponemos una placa cuadrada este afectaría en una gran magnitud los efectos de borde ya que las lines de campo se dispersan 4. Averigüe si la reducción de la presión atmosférica debida a la altitud, influye en el resultado si afectaría porque en la altura ay menos aire como la ciudad de la paz que se encuentra en una altura considerable por lo tanto el coefisiente dieléctrico es mucho menor en la altura 5. Averigüe el coeficiente dieléctrico teórico de los materiales escogidos y encuentre la diferencia porcentual. 6. Como los condensadores no dejan circular corriente continua. Entonces, ¿en que principio se basan los capacímetros para medir la capacidad de un condensador.

Solo el capasitor tiene la función de realizar el almacenamiento de corriente pero no tama en cuenta la polaridad para si circular a grandes tenciones y asi almacenar la corriente 7. ¿Qué consideraciones debe realizar si el dieléctrico tiene un área inferior que el de las placas? 8. ¿Por qué no se puede emplear un material conductor como dieléctrico? Porque este entraría en contacto con la otra placa y por tanto se repelerían abria un corto circuito a causa no se almacenaría energia 9. Teóricamente se obtendría el mismo valor si se empleara un condensador de placas cuadradas en vez de circulares, siempre y cuando tengan la misma área, ¿qué sucedería experimentalmente? 10. Explique el principio de operación de un sensor de proximidad capacitivo.

VII. CONCLUSION  En el experimento se vio que al calcular la permitividad del vacío esta permitividad no nos dio un valor que se esperaba tal ves por las conversiones que se debieron hacer en el procedimiento pero nos dio un valor casi parecido pero en este caso tal ves afecto los efectos de borde que no se pueden evitar  También para sacar los coeficientes dieléctricos se realizaron el procedimiento correcto para la determinación pero el resultado que nos dio en los cálculos nos dio algo ilógico ya que comparando con la permitividad del vasio K=1 no es algo incoherente nuestro resultado tal ves por la permitividad  o  Pero en conclusión los resultados no dieron como esperábamos pero se entendido todo el procedimiento y manejo de equipos de de este experimento. VIII. BIBLIOGRAFIA o

Ing. René Delgado Laboratorio de Física Básica II

o

Ing. René Delgado Análisis de Errores y gráficas.

o

Soria Manuel Manual para el tratamiento de datos en física experimental