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• Julio Cortex Alvarex

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CONDENSADOR VARIABLE NOMBRE: Univ. Christian Eynar Quispe Blanco GRUPO: ``K`` CARRERA: Ing. INDUSTRIAL DOCENTE: Ing. Rene Delgado Salguero FECHA DE REALIZACION: 16/11/18 FECHA DE ENTREGA: 23/11/18

OBJETIVO  Validar la ecuación (9) para la determinación de la capacitancia de un condensador.  Encontrar la permitividad del vacío  Encontrar el coeficiente dieléctrico K para varios materiales dieléctricos.  Encontrar el coeficiente dieléctrico y la capacitancia resultante de colocar tres dieléctricos en serie.  Interpretación de los efectos de borde en un condensador de placas paralelas.

FUNDAMENTO TEORICO CONDENSADOR VARIABLE El capacitor o condensador es uno de los elementos eléctricos de mayor uso en la ingeniería, aunque su principio de funcionamiento se basa en el simple hecho de almacenar carga eléctrica, su ámbito de aplicación es bastante extenso, desde micro circuitos a electrónica de potencia. En el presente experimento se estudiará al condensador de láminas conductoras y paralelas, cuya disposición se muestra en la figura 1. La capacitancia “C “es la capacidad de almacenar carga eléctrica y ésta es inversamente proporcional a la separación “d “de las placas. En el experimento, se dispondrá de un condensador de laboratorio como el mostrado en la figura 3, en el que pueda regularse el valor de “d” o distancia de separación, de manera de obtener un condensador variable. También se estudiará la influencia del medio “𝜀” interpuesto entre dichas placas, específicamente se probará con aire y papel.

CAPACIDAD O CAPACITANCIA DE UN CONDENSADOR: Dos superficies conductoras se dice que se encuentran en situación de influencia total (placas a y b en la figura 1), cuando todas las líneas de campo eléctrico que parten de una van a parar a la otra. En este caso se dice que las dos superficies forman un condensador. La carga representada por “Q “en las dos superficies es la misma, aunque de signo opuesto, y es proporcional a la diferencia de potencial entre las superficies: 𝑄𝑎 = 𝐶(𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 ) … … … … (1) 𝑄𝑎 = −𝑄𝑏 = 𝐶(𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 ) … … … … (2) Cuando la carga se mide en Culombios [C], y la tensión o diferencia de potencial entre las placas a y b está en Voltios [V], la capacidad está en Faradios [F]. En la mayoría de las situaciones prácticas la capacidad es muy pequeña, por lo que se emplean submúltiplos como el micro Faradio [μF] o el nano Faradio [nF]. CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR PLANO: Cuando se tienen dos superficies metálicas, de área A, separadas una distancia d (mucho menor que las dimensiones de las placas), puede admitirse que aproximadamente, el campo eléctrico va de la placa a hacia b (placa a con carga positiva, placa b con carga negativa) en la dirección ox (figura 1), perpendicular a las placas. Si suponemos la placa inferior a una tensión V0 y la superior a tierra, el problema eléctrico se reduce a resolver la ecuación de Laplace para el potencial electrostático con las correspondientes condiciones de contorno: 𝑑2 ∅

∇2 ∅ = 𝑑𝑥 2 = 0 ∅(𝑥) =

∅(0) = 𝑉0 𝑦 ∅(𝑑) = 0

Siendo solución:

𝑉0 𝑉0 (𝑑 − 𝑥) → 𝐸 = −∇∅ = 𝑖 … … … … (3) 𝑑 𝑑

Conocido el campo, la carga se calcula por aplicación de la ley de Gauss: 𝑄 = 𝜀 ∮ 𝐸 𝑑𝐴 … … … … (4) Reemplazando (3) en (4) 𝑄 = 𝜀∮

𝑉0 𝜀 𝐴 𝑉0 𝑑𝐴 ∗ cos 0º = … … … … (5) 𝑑 𝑑 𝑄

Al reemplazar en la ecuación de definición (1) 𝐶 = 𝑉

0

da: 𝐶 =

𝜀𝐴 𝑑

… … … … (6)

cuando la placa es circular se tiene: 𝐶=

𝜋𝜀𝐷2 "𝑙𝑒𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟" 4𝑑

EFECTOS DE BORDE: La ecuación (7), es una aproximación válida cuando la distancia entre las placas es mucho menor que su diámetro. Esta aproximación desprecia los llamados efectos de borde (figura 2 a) debido a la deformación de las líneas de campo en la periferia de

las placas (figura 2 b). El valor exacto de estos efectos depende de cada caso concreto y normalmente requiere resolver la ecuación de Laplace por métodos numéricos. Dos propiedades, no obstante, son generalmente aplicables: Aumentan la capacidad del sistema. Son proporcionalmente más importantes a medida que la distancia entre placas aumenta.

DIELÉCTRICO DEL CONDENSADOR: El material insertado en el interior de las dos placas es conocido como dieléctrico y éste define el valor de 𝜀 (permitividad absoluta del medio). En cambio, si el espacio entre las dos placas está vacío, se tiene permitividad del vacío 𝜀0 cuyo valor es: 8.85 ∗ 10−12 [C2/N m2], entonces resulta más conveniente expresar la permitividad de un dieléctrico en función a la permitividad del vacío. Es decir: 𝜀 = 𝐾𝜀0 donde K es el coeficiente dieléctrico, entonces K = 1 para el vacío, en cambio para el aire atmosférico vale 1,00059, prácticamente iguales, sin embargo otros dieléctrico como el vidrio y el papel tienen coeficientes eléctricos K = 4 a 10. Por lo tanto, la capacitancia de un condensador será mayor si el dieléctrico es un material como vidrio o papel que simplemente aire. Entonces la ecuación (7) quedaría así: 𝐾 𝜋 𝜀0 𝐷2 … … … … (9) 4𝑑 La ecuación (9) se puede expresar de la siguiente manera: 𝐶=

1 1 1 (10)𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜: (11)𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: =[ ] ∗ 𝑑 … … 𝑌 = 𝐵 ∗ 𝑑 … … 𝑌 = … … … (12) 𝐶 𝐾𝜀0 𝜋 𝐷2 𝐶 𝐵=

1 … … … (13) 𝐾𝜀0 𝜋 𝐷2

CONEXIÓN DE CAPACITORES EN SERIE: Si se conecta capacitores en serie, uno tras otro, la capacitancia resultante o equivalente viene dada por: 1 𝐶𝑒𝑞𝑢

=

1 1 1 1 + + + ⋯……+ 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶𝑛

De n capacitores conectados en serie. MATERIALES Y MONTAJE  Condensador didáctico con características: Placas planas de aluminio. Máxima variación superficie ±0,2 [mm]. Soportes de aislamiento acrílico. Regulación de “d “1 a 116 [mm]. Capacitancia de 2,3 a 280 [pF]. Paralelismo entre placas. Cable con capacitancia despreciable. (Figura 3).

 Capacímetro calibrado.  Vernier o nonio  Placa dieléctrica. Resma de papel. Otras placas (dieléctricos) de espesor constante y material conocido. Nota: las dimensiones del dieléctrico deben ser mayores que la de las placas.

PROCEDIMIENTO MEDIDA DE LAS CONSTANTES Medir el diámetro de las placas del condensador. MEDIDA DE LA CAPACIDAD EN FUNCIÓN DE LA DISTANCIA Y OBTENCIÓN DE 𝜀0 Conectar el cable a los bornes de la placa y del capacímetro. Con ayuda del vernier, fíjese la distancia entre las placas en el condensador en 0,5 [mm]. Encienda el capacímetro en máxima sensibilidad y mídase el valor de la capacidad. Para distancias de 0,5 [mm] a 3,0 [mm] con intervalos no mayores a 0,5 [mm], hállese la capacidad. Antes de cada medida espérese a que el capacímetro marque un valor estacionario. INFLUENCIA DE LOS EFECTOS DE BORDE Mídase la capacidad para las distancias desde 4,0 [mm] a 15 [mm], en intervalos de 1 [mm], añádase a la lista los valores para d = 1 [mm] y 3 [mm], ya obtenidos en el procedimiento anterior. MEDIDA DE LAS VARIABLES CON EL DIELÉCTRICO ESCOGIDO Selección del dieléctrico, si no se dispondría de láminas de espesor especificado, podría emplear resmas de papel tamaño carta o mayor. Introducir el dieléctrico entre las placas (espesor menor a 1 [mm]). Ajustar con mucho cuidado el dieléctrico entre las placas del condensador evitando de dejar espacios de aire entre ellas (tampoco proceda a comprimir en exceso al dieléctrico pues de este modo se des calibra el regulador de distancia del condensador). Mídase la capacidad del sistema. Repita el proceso con al menos otros dos materiales (dieléctricos).

Coloque los tres materiales juntos (cara con cara) y colóquelos en el condensador obteniendo así el equivalente a tres capacitores en serie. Guía de Experimentos Física Básica II 95 NOTA: Todas las mediciones de capacidad con el capacímetro, deben realizarse con el capacitor o condensador desconectado a cualquier fuente de alimentación y verificar que el mismo esté descargado, pues el capacímetro cuenta con su propia fuente de voltaje de CA para cargar al condensador. ANÁLISIS DE DATOS Con los datos obtenidos en la primera parte del experimento se determinó:

1

2

3

4

5

6

d[mm]

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Y [pF]-1

104,5

75,2

67,1

53,8

46,4

42,4

1

Y ¡= C , para cada d¡ que se presenta en el siguiente gráfico: ¡

grafica de Y vs d. la regresión lineal en la forma: y = a + bx o Y = Bd con N = 7 donde:

Nº 1 2 3 4 5 6 7

d [mm] =X 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Y [1/Nf] =Y 104,5 104,5 104,5 104,5 104,5 104,5 104,5

7 3,5 38,6

A=

n n n 2 ∑n i=1 X ∗∑i=1 Y− ∑i=1 X∗∑i=1(X∗Y) 2 n 2 n ∑n i=1 X −(∑i=1 X)

;

B=

n n n ∑n i=1(X∗Y)− ∑i=1 Y∗ ∑i=1 X 2

n 2 n ∑n i=1 X −(∑i=1 X)

Reemplazando datos tenemos: A=

(35)∗(74.26)−(14)∗(175.665) 7∗(35)−(14)2

= 0,0073y

B=

7∗(175.665)−(74.26)∗(14) 7∗(35)−(14)2

n n n ∑n i=1(X∗Y)− ∑i=1 X∗ ∑i=1 Y

r=

2 2 n n n 2 2 √[n ∑n i=1 X −(∑i=1 X) ][n ∑i=1 Y −(∑i=1 Y) ]

r=

7∗(161,024)−(14)∗(70,147) √[7(35)−(14)2 ]∗[7(765,050)−(70,147)2 ]

= 0,9926

Luego la ecuación de recta queda de la siguiente manera: Y = 0,0073+0,0055d Calculo de ε0exp: 4

ε0exp. = B∗π∗D2 Dónde:

B = 0,0055d

B =0,0055d *10-12 En metros =0, 0055d ∗ 10 − 15 D = 14,93,0 [cm] =0,1493 (m) 4

ε0exp. = (0,0055d ∗10−15 )∗π∗(0,1493)2 = 2,596-12 [C2/Nm2] ε0exp. 2,596-12 [C2/Nm2] Para los datos obtenidos en la segunda parte: El grafico resulta de la siguiente manera:

= 0,0055

Con los datos se obtiene la regresión lineal en la forma: y = a + bx donde: Nº

A=

d=X

1

4

2

5

3

6

4

7

5

8

6

9

7

10

8

11

9

12

10

13

11

14

n n n 2 ∑n i=1 X ∗∑i=1 Y− ∑i=1 X∗∑i=1(X∗Y) 2

n 2 n ∑n i=1 X −(∑i=1 X)

; B=

Y 0,026 0,029 0,034 0,037 0,041 0,042 0,045 0,048 0,05 0,052 0,055

n n n ∑n i=1(X∗Y)− ∑i=1 Y∗ ∑i=1 X

Reemplazando datos tenemos: A= B=

(815)∗(270,25)−(89)∗(2333,97) 12∗(815)−(89)2 12∗(2333,97)−(270,25)∗(89) 12∗(815)−(89)2

r=

= 0,0163

= 0,0028

n n n ∑n i=1(X∗Y)− ∑i=1 X∗ ∑i=1 Y

2 2 n n n 2 2 √[n ∑n i=1 X −(∑i=1 X) ][n ∑i=1 Y −(∑i=1 Y) ]

r=

12∗(2333,97)−(89)∗(270,25) √[12(815)−(89)2 ]∗[12(6794,334)−(270,25)2 ]

2

n 2 n ∑n i=1 X −(∑i=1 X)

=0.9855

Luego la ecuación de recta queda de la siguiente manera: Y =0,0163+ 0,0028*d

o

Y = Bd con N = 14

Se calcula el coeficiente dieléctrico en la siguiente ecuación, para cada dieléctrico empleado. K=ε

4Cd oexp

π D2

Se obtienen experimentalmente los siguientes datos para los dieléctricos: dieléctrico 1

dieléctrico 2

dieléctrico 3

material

baquelita

acrílico

madera

espesor dieléctrico d [mm]

1,85

1,70

2,60

capacidad medida C [Pf]

152,9

113,2

102,1

ε0exp. = 2,596-12 [C2/Nm2] D = 14,93[cm] = 0,1493 (m)

Dónde:

En donde se toma en cuenta que p = 10-12 y que 103 [mm] = 1 [m] Para la baquelita KPVC =

4 (0,1529∗10−9 )∗(1,85∗10−3 ) (2,596−12 ) π (0,1493)2

= K baquelita = 6,22

Para el acrílico KMICA =

4 (0,1021∗10−9 )∗(1,7∗10−3 ) (2,596−12 ) π (0,1493)2

= K acrílico = 3,82

Para la madera KCARTON =

4 (0,1072∗10−9 )∗(2.6∗10−3 ) (2,596−12 ) π (0,1493)2

= K madera = 6,13

Dieléctrico equivalente

6,05 69,2

CUESTIONARIO

1) los efectos de borde, ¿aumentan o disminuyen la capacidad?, justifique a partir de los datos experimentales, ¿Por qué puede ser complicado calcular teóricamente la influencia de los bordes? Disminuyen la capacidad de almacenar energía debido a que la capacitancia es inversamente proporcional a la distancia y a menudo que se alejen las placas se disminuye su capacidad de almacenamiento, y es complicado calcular teóricamente los efectos de borde debido a que no es indetectable en el experimento o la fórmula aplicada. 2) supóngase que debido a la holgura del sistema, existe una capa de aire de 0,1 [mm] de espesor entre cada placa metálica y el dieléctrico empleado. ¿en qué forma afecta esto a los resultados? ¿se obtendría una permitividad del dieléctrico mayor o menor a la correcta? Si existe dicha capa de aire junto al dieléctrico es probable que afecte a la capacidad debido a que tanto el dieléctrico como el vacío tienen su propio espesor y coeficiente dieléctrico. 3) según la ecuación 6, un capacitor de placas circulares (como el del experimento) tendrá la misma capacitancia que uno con placas cuadradas. sin embargo, debido a los efectos de borde tendrá diferente valor de capacitancia, indique cual registrará mayor capacitancia, explique. si ambas placas tienen la misma área no afecta en gran medida a la capacitancia, a menos que la periferia del otro par de placas sea mayor así este tendrá mayor efecto de borde. 4) averigüe si la reducción de la presión atmosférica debido a la altitud, influye en el resultado de 𝜀. No debido a que la permitividad del vacío tiene su propio valor y el coeficiente del dieléctrico tiene su propio valor especifico. 5) Averigüe el coeficiente dieléctrico teórico del material escogido y encuentre la diferencia porcentual. 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 4,6 𝑏𝑎𝑞𝑢𝑒𝑙𝑖𝑡𝑎 → ∗ 100 = 73,95% 6,22 6) como los condensadores no dejan circular corriente continua. entonces, ¿en qué principio se basan los capacimetros para medir la capacidad de un condensador?

Se basan en la capacidad de almacenar la carga eléctrica en los condensadores medidos por su área, distancia de separación y permitividad del vacío. 7) ¿Qué consideraciones debe realizar si el dieléctrico tiene un área inferior que el de las placas? Se considera también el área vacía porque tanto el dieléctrico como el vacio tienen su propia capacidad. 8) ¿Por qué no se puede emplear un material conductor como dieléctrico? Es debido a que este no almacenaría carga eléctrica debido a su conductividad. 9) teóricamente se obtendría el mismo valor si se empleara un condensador de placas cuadradas en vez de circulares, siempre y cuando tengan la misma área, ¿Qué sucedería experimentalmente? Experimentalmente si algún par de placas tuviera la peri ferie mayor esta tendría ligeramente menor capacidad.

CONCLUSIÓN Se validó la ecuación (9) para hallar la permitividad del vacío, el cual se encontraba en los parámetros esperados. El capacitor con el que se realizó el experimento se encontraba con un error de paralelismo, el cual no se midió con precisión por falta de instrumentos. Este error se despreció. Se encontró el coeficiente dieléctrico para diferentes materiales del laboratorio Los resultados mas confiables son a distancias no muy cercanas ya que ahí nuestro efecto de borde es de las mismas magnitudes.

ANEXOS

El capacitor con el que se realizo el experimento se encontraba con un error de paralelismo el cual. En el cual el error que produjo este se desprecio

Nuestros materiales sujetos ah hallar su permitividad

BIBLIOGRAFÍA  Guía de laboratorio de física básica 2 – Ing. Febo Flores  Serway – física II  Medidas y errores – Alfredo Álvarez c. y Eduardo Huayta C.  https://slideplayer.es/slide/10358833/33/images/19/tabla+de+constantes+diel%C3%Actric as+para+algunos+materiales.jpg  https://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/electromagnet/campo_electrico/dielectrico/html