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Ejercicios distribuciones de probabilidad conjunta 1. Se van a seleccionar tres laboratorios farmaceuticos para prestar el servicio a una cl nica de seis disponibles. De estos seis 2; 1; 3 laboratorios pertenecen a las compa~ n a A; B y C respectivamente. Si X denota el numero de laboratorios de la compa~ n a A seleccionados y Y representa el numero de laboratorios de la compa~ n a B seleccionados. (a) Hallar la distribucion de probabilidad conjunta para X y Y . (b) Hallar la probabilidad que se seleccione un laboratorio de A si ya se ha seleccionado uno de B. (c) La seleccion de un laboratorio le genera a la compa~ n a ingresos de 20 millones de pesos y gastos de 10:5 millones de pesos, mensuales >Cual es la utilidad mensual esperada por la compa~ n a C? 2. Se lanzan al aire tres monedas independeintemente. Una de las variables de interes des X : el numero de caras, la otra Y : La cantidad de dinero ganado en una apuesta que se realiza de la siguiente manera Si la primera cara ocurre en el primer lanzamiento, se ganara $10 dolares, si la primera cara ocurre en las tiradas 2 o 3 se ganara $10 y $20 respectivamente. Si no cae una cara se perdera $10 (es decir se ganara $10) (a) Determine la distribucion de probabilidad conjunta para X y Y: (b) Calcular la probabilidad que ocurran menos de tres caras y se gane $10 dolares o menos. (c) Calcular la probabilidad que haya ca do 3 caras dada una ganancia de $10 dolares. 3. Una caja contiene tres cartas 1; 2 y 3: Se eligen aleatoriamente dos de ellas, se reemplaza la primera antes de que la segunda sea elegida. Si X representa el numero en la primera y Y representa el numero en la segunda. Determine la distribucion de probabilidad conjunta para X y Y: 4. Se lanza al aire una moneda de 200 pesos y otra de 500 pesos. La primera tiene una probabilidad de 0:4 de que caiga en "cara" y la segunda tiene una probabilidad de 0:6 de que caigaen "cara". Sea X = 1 si la moneda de 200 cae en "cara" y X = 0 si cae en "cruz". Sea Y = 1 si la moneda de 500 cae en "cara" y Y = 0 si esta moneda cae en "cruz". (a) Determine la distribucion de probabilidad conjunta para X y Y: (b) >Es razonable suponer que X y Y son independientes? 5. Al gerente de un restaurante de comida rapida le interesa el comportamiento conjunto de las variables aleatorias X e Y de nidas as : X : tiempo total entre la llegada de un cliente al restaurante y su salida de la ventanilla de servicio. Y : el tiempo que el cliente espera en la formacion antes de llegar a la ventanilla de servicio (En minutos). Como X incluye el tiempo que el cliente espera en la formacion, se tiene que X Y . La funcion de densidad conjunta esta dada por: f (x; y) =

% x Si 0 y x < 1 0 en cualquier otro punto

(a) Encuentre la probabilidad que el cliente tarde mas de un minuto en la ventanilla de servicio. (b) >Son X y Y independientes? 6. Una sola vez, y al inicio de cada semana se almacena gasolina en una cisterna de gran capacidad y despues se vende al publico. Sea X el nivel de gasolina (Proporcion) que alcanza el tanque despues de surtirlo, que var a cada semana debido al abastecimiento limitado de gasolina. Sea Y la proporcion de la capacidad de la cisterna que se vende durante la semana. Como X e Y son proporciones, las dos variable adoptan valores entre 0 y 1; ademas la cantidad de gasolina vendida Y , no puede exceder la cantidad disponible X. Supongamos que la siguiente expresion representa un modelo para la funcion de densidad conjunta para X e Y . f (x; y) =

3x Si 0 < y < x < 1 0 Otro Caso

(a) Calcular la probabilidad que se almacene menos de la mitad y se venda menos de la tercera parte. (b) Calcular la probabilidad que se almacene menos de la mitad y se venda mas de un cuarto de la misma. (c) Calcular la probabilidad que la cantidad de combustible que se venda sea menos de la mitad de la disponible. (d) Encuentre la funcion de densidad marginal para X y para Y . (e) Calcular la probabilidad que se venda mas de medio tanque, si este contiene gasolina hasta tres cuarto. (f) >Cuanta gasolina se espera vender? (g) >Son X e Y independientes? (h) Calcule las varianzas de X e Y (i) Calcular la covarianza entre X e Y: (j) Calcular el coe ciente de correlacion lineal 7. Un dispositivo electronico esta dise~ nando para apagar y encender la luz en una casa a intervalos aleatorios despues de su activacion. Suponga que se dise~ na el dispositivo de manera que apague y encienda las luces exactamente una vez en cada per odo de una hora. Sea X el tiempo en el cual se encienden las luces despues de su activacion y Y el tiempo en el cual se apagan las luces desde que se activan. La funcion de densidad conjunta esta dada por: f (x; y) =

8xy 0

Si 0 x y < 1 en cualquier otro punto

Si usted necesita que las luces duren encendidas mas de 30 min >Comprar a el dispositivo electronico? Haga los calculos necesarios y explique su respuesta. 8. Sean X y Y las proporciones de tiempo, en un d a de trabajo que los empleados I y II respectivamente, ocupan para hacer sus taresas asignadas. El comportamiento conjunto de las dos variables esta dado por: x + y Si 0 x 1; 0 y < 1 f (x; y) = 0 en cualquier otro punto (a) Calcule la probabilidad que entre los dos tarden menos del 100% del tiempo en hacer sus tareas. (b) Si el operario II ocupa exactamente 50% del tiempo en hacer su tarea, calcule la probabilidad que el operario I ocupe mas del 75% en hacer la suya. 9. Una compa~ n a dulcera distribuye cajas de chocolatess con un surtido de cremas, chicles y envinados. Suponga que el peso de cada caja es de 1 kg; pero que los pesos individuales de cremas, chicles y envinados var an de una caja a otra. Para una caja seleccionada aleatoriamente, sean X y Y los pesos de las cremas y chicles, respectivamente y suponga que la distribucion de densidad conjunta de X y Y es: 24xy Si 0 x 1; 0 y 1; x + y 1 f (x; y) = 0 en cualquier otro punto Encuentre la probabilidad que el peso de los chicles sea mayor al de las cremas: 10. El objetivo de una bomba es el centro de un c rculo con un radio de 1 mi: Una bomba cae en un punto al azar dentro de este c rculo. Si la bomba destruye todo en un radio de 1=2 mi del punto de impacto >Cual es la probabilidad de destruir el objetivo? 11. Dos amigos quieren encontrarse en la biblioteca. Ambos seleccionan independientemente y aleatoriamente un momento de llegada dentro del mismo per odo de una hora. Ambos estan de acuerdo en esperar hasta 10 min a la otra persona >Cual es la probabilidad que se encuentren? Distribucion hipergeometrica bivariada.

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12. De un grupo de 4 economistas, 3 ingenieros y 2 administradores se van a seleccionar 3 personas para formar una comision. Sean X y Y el numero de economistas y de ingenieros seleccionados, respectivamente. (a) Establezca la distribucion de probabilidad conjunta para X y Y (Mediante una tabla y como una formula) (b) Calcule la probabilidad que se seleccione un economista dado que se selecciono por lo menos un ingeniero. Distribucion multinomial. El experimento multinomial es una generalizacion del experimento binomial, y tiene las siguientes caracter sticas: (a) El experimento consiste de n pruebas identicas. (b) El resultado de cada prueba cae en una de K clases o casillas. (c) La probabilidad de que el resultado de una sola prueba se localice en una casilla particular i es pi (i = 1; :::; K) y permanece igual de prueba a prueba, con: p1 + p2 + ::: + pK = 1 (d) Las pruebas son indepenientes (e) Las variables aleatorias estudiadas son X1 ; X2 ; :::; XK ; en donde Xi (i = 1; :::; K) es igual al numero de pruebas en las cuales el resultado cae en la casilla i: Observese que X1 + X2 + :::+ XK = n: La funcion de probabilidad conjunta para X1 ; X2 ; :::; XK esta dada por: p(x1 ; x2 ; :::; xK ) = En donde:

K X

pi = 1

i=1

n! px1 px2 :::pxKK x1 !x2 !:::; xK ! 1 2 K X

xi = n

i=1

Ademas se cumple que E(Xi ) = npi ; V (Xi ) = npi qi ; Cov(Xs ; Xt ) =

nps pt :

13. Ejercicio: En experimentos referente al aprendizaje, una rata debe recorrer un laberinto hasta localizar una de tres posibles salidas. La salida 1 representa el alimento como recompensa, no as las salidas 2 y 3 (Si la rata selecciona casi siempre la salida 1 puede pensarse que el aprendizaje se ha logrado) Sea Xi el numero de veces que elige la salida i en pruebas sucesivas. Para lo siguiente suponga que la rata elige aleatoriamente una salida en cada prueba. (a) Calcule la probabilidad que en 6 pruebas elija 3 veces la salida 1; 1 vez la salida 2 y 2 veces la salida 3: (b) Para veri car la preferencia de la rata con respecto a las salidas 2 y 3 calcule E(X2

X3 ):

14. El servicio nacional de reporte de incendios reporta que el 70% de los incendios residenciales ocurre en casas familiares, 20% en apartamentos y 10% en otro tipo de vivienda. (a) Calcular la probabilidad que en 4 incendios ocurridos 2 sean en casas familiares, 1 en apartamento y 1 en otro tipo de vivienda. (b) Para el caso anterior si los costos t picos de los da~ nos por incendio son: $20:000 dolares en casaa familiares, $10:000 en apartamento y $2:000 en otro tipo de vivienda. Obtener el costo total esperado para los da~ nos.

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