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• Diana Collins

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Toma de decisiones con experimentación.

Diseño: Andrés Gómez

Toma de decisiones con experimentación

• Se dispone de datos previos. • Las circunstancias no varían constantemente. • La decisión se toma en forma repetida Diseño: Andrés Gómez

23 -2

Definamos en términos generales

• n: número de estados de la naturaleza posibles. • P( = i) : Probabilidad de que el estado de la naturaleza sea i , para i = 1,2,...,n

Se realizan estudios para predecir que ocurrirá. A estos estudios o predicciones los llamaremos S

• S : Estadístico que resume los resultados de la experimentación (Variable aleatoria)

Inicialmente se hallan las probabilidades a priori P ( S | ) y finalmente se hallan las probabilidades a posteriori P ( | S )

• s : un valor posible de S.

23 -3

• P(S=s| = i): Probabilidad a priori de que la predicción sea s, dado que el estado de la naturaleza verdadero es i

Diseño: Andrés Gómez

23 -4

Teorema de Bayes

P ( A Bi ) = P ( B |A ) = P(A)

• P( = i|S=s): Probabilidad a posteriori de que el estado de la naturaleza verdadero sea i , dado que S=s.

P (A | Bi ) P ( Bi )

€ k

P (A | B ) P ( B ) i

i

i=1

Con la experimentación se obtienen las probabilidades a priori y mediante la del teorema de Bayes se obtienen las probabilidades a posteriori. Diseño: Andrés Gómez

• No se dispone de datos previos. • Las circunstancias varían constantemente. • La decisión no se toma en forma repetida

23 -1

En la toma de decisiones con experimentación se pretende mejorar las estimaciones preliminares de las probabilidades de los respectivos estados de la naturaleza.

Diseño: Andrés Gómez

Toma de decisiones sin experimentación

P ( = i|S=s) =

P ( = i S=s ) = P (S=s )

P(S=s| = )* P( = ) i

i =1 23 -5

Diseño: Andrés Gómez

i

n

P(S=s| = i)* P( = i) 23 -6

1

Ejemplo GOFERBROKE COMPANY .

a

1

:Petróleo

Definamos S como la variable aleatoria cuyos valores son: : Seco

2

$700000

-$100000

a2 : Vender

$90000

$90000

Probabilidad

0.25

a1 : Perforar

0.75

Diseño: Andrés Gómez

sondeos sísmicos favorables

23 -7

Favorable: Predicción de que hay petróleo Desfavorable: Predicción de que no hay petróleo

P(S=0| = 1) = 0.4

Probabilidad que el sondeo sea desfavorable dado que en realidad existe petróleo

P(S=1| = 1) = 1 - 0.4 P(S=1| = 1) = 0.6

Probabilidad que el sondeo sea favorable dado que en realidad existe petróleo

P(S=0| = 2) = 0.8

Probabilidad que el sondeo sea desfavorable dado que en realidad no existe petróleo

Diseño: Andrés Gómez

23 -8

Tabla de probabilidades a priori

P( = i)

Probabilidad que el sondeo sea favorable dado que en realidad no no existe petróleo Diseño: Andrés Gómez

P ( = i|S=s) =

sondeos sísmicos desfavorables

S=1

Mediante una experimentación se han podido determinar las probabilidades a priori P(S=s| = i) , es decir las probabilidades de la experimentación acerca de la existencia o no de petróleo, dados los estados de la naturaleza.

Se puede realizar una exploración sismológica para obtener una mejor estimación de la probabilidad de que haya petróleo. El costo de esta experimentación es de $30000 Sigue

P(S=1| = 2) = 1 - 0.8 P(S=1| = 2) = 0.2

S=0

23 -9

P(S=s| = i)* P( = i) P ( = i S=s ) n = € P (S=s ) P(S=s| = i)* P( = i)

Recordemos que ahora debemos hallar las probabilidades a posteriori mediante la fórmula del Teorema de Bayes. Diseño: Andrés Gómez

23 -10

Tabla de probabilidades conjuntas

i =1

Primero hallemos P(S=s

= i)=P(S=s| = i)* P( = i)

P(S=0

= 1 )= P(S=0| = 1)*P( = 1) = 0.4*0.25=0.1

P(S=1

= 1 )= P(S=1| = 1)*P( = 1) = 0.6*0.25=0.15

P(S=0

= 2 )= P(S=0| = 2)*P( = 2) = 0.8*0.75=0.6

P(S=1

= 2 )= P(S=1| = 2)*P( = 2) = 0.2*0.75=0.15 Diseño: Andrés Gómez

n

P (S=s) =

23 -11

€i =1P(S=s|

Ya podemos hallar las probabilidades a posteriori simplemente dividiendo Diseño: Andrés Gómez

= i)* P( = i)

Sigue 23 -12

2

P ( = i|S=s) =

P(S=s| = i)* P( = i) P ( = i S=s ) n = € P (S=s ) P(S=s| = )* P( = ) i =1

i

Tabla de probabilidades a posteriori

i

P( = 1|S=0 ) = 0.1 / 0.7 = 1 / 7 P( = 2|S=0 ) = 0.6 / 0.7 = 6 / 7 P( = 1|S=1 ) = 0.15 / 0.3 = 1 / 2

La decisión que debe tomarse dependerá del sondeo, es decir según el sondeo sea favorable o desfavorable se eligirá la acción determinada.

P( = 2|S=1 ) = 0.15 / 0.3 = 1 / 2 Diseño: Andrés Gómez

23 -13

Pago esperado si S=0 (sondeo sísmico desfavorable)

Diseño: Andrés Gómez

23 -14

Pago esperado si S=1 (sondeo sísmico favorable)

E {p(a1 , |S=0)}= 1/7* $700 + 6/7*(-$100) -$30 = -$15.71

E {p(a1 , |S=1)}= 1/2* $700 + 1/2*(-$100) -$30 = $270

E {p(a2 , |S=0)}= 1/7* $90 + 6/7*($90) -$30 = $60

E {p(a2 , |S=1)}= 1/2* $90 + 1/2*($90) -$30 = $60

Si el resultado del sondeo sísmico fuera desfavorable la acción más apropiada sería vender el terreno pues descontando el costo de la experimentación la petrolera obtendría una ganancia de $60000

Si el resultado del sondeo sísmico fuera favorable la acción más apropiada sería excavar el terreno pues descontando el costo de la experimentación la petrolera obtendría una ganancia de $270000 Sigue

Diseño: Andrés Gómez

Toma de decisiones sin experimentación

23 -15

Diseño: Andrés Gómez

Valor de la experimentación

Toma de decisiones con experimentación

Antes de realizar cualquier experimento debe determinarse su valor potencial.

Valor esperado de la información perfecta La experimentación tiene un costo ¿ Utilizar la experimentación con el fin de reducir la incertidumbre o tomar la decisión sin usar ninguna de estas pruebas ? Diseño: Andrés Gómez

23 -16

Valor esperado de la experimentación

Si el valor de la experimentación es mayor que el de la información perfecta, la experimentación no debe realizarse 23 -17

Diseño: Andrés Gómez

23 -18

3

Valor esperado de la información perfecta Suponga que el experimento puede identificar de manera definitiva cuál es el verdadero estado de la naturaleza, proporcionando con esta información perfecta.

1

Cualquiera que sea el estado de la naturaleza identificado, se elegirá la acción con el máximo pago para ese estado

El pago esperado con información perfecta será 0.25 * $700000 + 0.75 * $90000 = $242500

Diseño: Andrés Gómez

23 -19

Para evaluar si debe realizarse el experimento, se debe calcular el valor esperado de la información perfecta VEIP

Diseño: Andrés Gómez

23 -20

Valor esperado de la experimentación Para cada valor posible de S debemos calcular el pago esperado óptimo.

VEIP = Pago esperado con información perfecta - Pago esperado sin experimentación VEIP = $242500 - $100000 = $ 142500 Ó ptimo

Como el VEIP es mucho mayor que $30000 (valor de la experimentación) puede valer la pena proceder con la exploración sismológica Diseño: Andrés Gómez

23 -21

Diseño: Andrés Gómez

23 -22

Luego debe ponderarse cada uno de estos pagos esperados con la probabilidad del valor correspondiente de S Ó ptimo

Recuerde

Pago esperado = 0.7 * $90000 + 0.3 * $300000 con experimentación

Sigue

= $153000 Diseño: Andrés Gómez

23 -23

Diseño: Andrés Gómez

23 -24

4

Ejemplo PIZZERÍA COMINI.

Para evaluar si debe realizarse el experimento, se debe calcular el valor esperado de la experimentación VEE

Los dueños de la pizzería no sólo se encuentran con el problema de hacia donde trasladarse, sino también cuántas pizzas hornear diariamente, pues la demanda es variable.

VEE = Pago esperado con experimentación Pago esperado sin experimentación VEE = $153000 - $100000 = $ 53000

Como el VEE es mayor que $30000 (valor de la experimentación) vale la pena proceder con la exploración sismológica Diseño: Andrés Gómez

Cada pizza horneada que no se vende produce una pérdida de $1 y la ganancia de cada pizza horneada que se vende es de $2. Sigue

23 -25

Diseño: Andrés Gómez

23 -26

Si no se realizara ningún tipo de experimentación podríamos hallar la acción óptima con el modelo de la maximización del pago promedio

Los pagos diarios p(a, ) y las probabilidades de los estados de la naturaleza son:

E{p(a1 ,

)}=0.2*$300+0.4*$300+0.25*$300+0.15*$300=$300

E{p(a2 ,

)}=0.2*$290+0.4*$320+0.25*$320+0.15*$320=$314

E{p(a3 ,

)}=0.2*$280+0.4*$310+0.25*$340+0.15*$340=$316

E{p(a4 ,

)}=0.2*$270+0.4*$300+0.25*$330+0.15*$360=$310.5

La acción óptima sería la tercera, es decir hornear 170 pizzas Diseño: Andrés Gómez

23 -27

23 -28

Definamos S como la variable aleatoria cuyos valores son:

Una gran empresa de mercadeo le ha ofrecido a los dueños de la pizzería la posibilidad de realizar un estudio de mercado para determinar con mayor certeza la demanda de pizzas.

S=0 S=1 S=2 S=3

El estudio de mercado costaría $7 por día. Sabiendo que sin realizar ningún tipo de estudio el pago esperado promedio es de $316, ¿deben los dueños de la pizzería realizar el estudio? Diseño: Andrés Gómez

Diseño: Andrés Gómez

23 -29

predicen venta de 150 pizzas predicen venta de 160 pizzas predicen venta de 170 pizzas predicen venta de 180 pizzas

Mediante una experimentación se han podido determinar las probabilidades a priori P(S=s| = i) , es decir las probabilidades de las predicciones acerca de la venta de pizzas, dados los estados de la naturaleza . Diseño: Andrés Gómez

23 -30

5

Tabla de probabilidades a priori

:Vende

1

150

P(S=s| = i) :Vende 3:Vende

2

160

170

Tabla de probabilidades conjuntas

:Vende

4

180

S=0

1/2

1/4

0

0

S=1

1/3

1/2

1/6

1/6

S=2

1/6

1/4

2/3

1/3

0 0.4

1/6 0.25

0.15

S=3 Probabilidad

0 0.2

1/2

Diseño: Andrés Gómez

23 -31

Tabla de probabilidades a posteriori

Diseño: Andrés Gómez

Valor esperado de la información perfecta

1

Diseño: Andrés Gómez

23 -32

23 -33

El pago esperado con información perfecta será

2

3

4

Diseño: Andrés Gómez

23 -34

Valor esperado de la experimentación

0.2 * $300 + 0.4 * $320 + 0.25 * $340 + 0.15 * $360 = $327

Para S=0

VEIP = Pago esperado con información perfecta - Pago esperado sin experimentación

venden

venden

venden

venden

VEIP = $327 - $316 = $ 11

Como el VEIP es mayor que $7 (valor del estudio de mercado) puede valer la pena proceder con éste.

Probabilidad Pago esperado óptimo si S=0

Diseño: Andrés Gómez

23 -35

Diseño: Andrés Gómez

$305 para hornear 160 23 -36

6

Para S=2

Para S=1

Se venden 150

Se venden 160

Se venden 170

Se venden 180

VME

Hornear 150

$300

$300

$300

$300

$300

$314

Hornear 160

$290

$320

$320

$320

$317

$340

$310

Hornear 170

$280

$310

$340

$340

$325.7

$360 3/40

$302

Hornear 180

$270 2/21

$300 2/7

$330 10/21

$360 1/7

$312

Se venden 150

Se venden 160

Se venden 170

Se venden 180

VME

Hornear 150

$300

$300

$300

$300

$300

Hornear 160

$290

$320

$320

$320

Hornear 170

$280

$310

$340

a

Hornear 180 Probabilidad

$270 1/5

$300 3/5

$330 1/8

Pago esperado óptimo si S=1

Probabilidad

$314 para hornear 160

Diseño: Andrés Gómez

Pago esperado óptimo si S=2 23 -37

Para S=3

venden

venden

venden

a

$325.7 para hornear 170

Diseño: Andrés Gómez

23 -38

Luego debe ponderarse cada uno de estos pagos esperados con la probabilidad del valor correspondiente de S

venden

Recuerde

Pago esperado = 2/10 * $305 + 1/3 * $314 con experimentación + 7/20 * $325.7+ 7/60 * $349.3

Probabilidad Pago esperado óptimo si S=3

$ 349.3 para hornear 180

= $320.41 Diseño: Andrés Gómez

23 -39

Diseño: Andrés Gómez

23 -40

Para evaluar si debe realizarse la experimentación, se debe calcular el valor esperado de la experimentación VEE VEE = Pago esperado con experimentación Pago esperado sin experimentación VEE = $320.41 - $316 = $ 4.41

Como el VEE es menor que $7 (valor de la experimentación) no vale la pena proceder con el estudio de mercado. Diseño: Andrés Gómez

23 -41

7