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CRITERIOS DE FALLA • Roca intacta • Discontinuidades • Macizo rocoso

1

Definición

Esfuerzo,

1

Caso compresión uniaxial

 UCS

Deformación,

1

El estado de esfuerzos  produce falla en el elemento? f  1 ,  UCS    1   UCS

Si f < 0 → 1 < c → No hay falla Si f ≥ 0 → 1 ≥ c → Falla 2

Definición  xx  xy  xz      xy  yy  yz   xz  yz  zz   

z

Donde [] se expresa en esfuerzos efectivos

y x

El tensor de esfuerzos [] produce falla en el elemento?

2

3 1



 1 0 0      0  2 0   0 0  3 

Es necesario comparar [] con la resistencia del material 3

Definición Resistencia:

f  1 ,  2 ,  3 , parámetros del material  0

Alternativamente en un plano en particular:

Resistencia:

f  ,  n , parámetros del material  0

En mecánica de rocas generalmente se utiliza: Resistencia:

f  1 ,  3 , parámetros del material  0

Debido a limitaciones de equipos experimentales Sin embargo, la evidencia experimental (no exhaustiva) indica que 2 puede tener una influencia en la falla 4

Esfuerzo, 

Tipos de criterios

Deformación, 

• Fluencia (A): Punto en el cual la deformación deja de ser elástica y pasa a ser irrecuperable (plástica) • Peak (B): máximo esfuerzo que resiste la roca bajo ciertas condiciones • Residual (C): esfuerzo que resiste la roca a grandes deformaciones bajo ciertas condiciones 5



Mohr-Coulomb

  c   n

Coulomb (1776) N





1 F

c F  A

n 

N A

n

  tan  

: coeficiente de fricción : ángulo de fricción

La resistencia al corte  a lo largo de un plano esta constituido por dos partes: • Una componente de cohesión (c) constante • Una componente de fricción dependiente de los esfuerzos normales (n) 6

Mohr-Coulomb   c  tan  n





1

c

n

t

tan  

c

t

 t 

c tan 

t estimado M‐C (MPa)



50

40

30

20

10 Datos laboratorio

0 0

10

20

30

40

50

t ensayo (MPa)

t ensayo < t estimado M-C 7

Mohr-Coulomb Se aplica un cut-off en la región de esfuerzos normales negativos



  c   n 



1

c

T0

n

8

Mohr-Coulomb En término de esfuerzos principales

n 

1  1   3   1  1   3  cos 2 2 2

1    1   3 sin 2 2

  c   n tan   2 

 2

     

 4



1  1   3 sin 2  c   1  1   3   1  1   3  cos 2  tan  2 2 2 

 2

2c  sin 2   tan  1  cos 2  3 1  sin 2   tan  1  cos 2 





c

3

2



2

1

n

1 

2c cos  1  sin   3 1  sin  1  sin  9

Mohr-Coulomb En término de esfuerzos principales 

1 



c

n

  c   n tan 

c

3

1 

2c cos  1  sin   3 1  sin  1  sin 

 1   c  tan 3 c 

2c cos  1  sin 

tan 

1  sin  1  sin  10

Mohr-Coulomb Observaciones: • Asume que se produce un plano de falla de corte al momento de alcanzar la resistencia peak. Esto no siempre ocurre • Implica una dirección de falla por corte que no siempre coincide con lo que se observa experimentalmente • Datos experimentales presentan relaciones 1-3 no lineales • Por estas razones otros criterios son preferidos para roca intacta, sin embargo, el criterio puede proveer una buena representación de la resistencia residual, particularmente de discontinuidades

11

Criterios empíricos - roca intacta Ecuación

Comentario

np

Autor

 1   3 2  a  b 1   3 

Generalización empírica de la teoría de Griffith para roca intacta

2

Fairhurst (1964)

 1   c   3  F 3 f

Ajuste de curva para roca intacta

3

Hobbs (1964)

3

Murrel (1965)

Ajuste de curva para roca intacta

3

Hoek (1968)

Ensayos triaxiales en roca blanda

2

Bodonyi (1970)

Ajuste de curva para 500 especimenes de roca intacta

2

Franklin (1971)

Aplicación de la teoría de Griffith y ajuste de curva. Extensión para macizos rocosos

2

Hoek and Brown (1980) Hoek et al. (2002)

Ajuste de curva para 700 especimenes de roca intacta. Extensión para macizos rocosos

4

Bieniawski (1974) Yudhbir et al. (1983)

Aplicado a 80 muestras

3

Ramamurthy et al. (1985)

Ajuste de curva. Para roca intacta y suelos  1n ,  3 n: esfuerzos principales normalizados

2

Johnston (1985)

Extensión para macizos rocosos

3

Balmer (1952) SDheorey et al. (1989)

4

Yoshida (1990)

 1   c  a 3b

n p : Numero de parámetros

 1 : Esfuerzo principal mayor  3 : Esfuerzo principal menor : Resistencia a la compresión uniaxial

C

 m  o  D m c c  1   c  a 3 1   3  

1 B c

 1   3 

B

 1   3  m c 3  



2 0,5 c



  1  a  b 3  c c 

   1   3  a 3  c  3 

 1n

M     3 n  1  B 

    1   c 1  3   t 

b

B

b

1/ B

   1   3  A c  3  S  c 

 t : Resistencia a la tensión uniaxial A, a, B, b, C, D, F, f, M, m, S : constantes

 m   1   3  2  m   1   3  2

12

Hoek and Brown (2002) - roca intacta  3   1   3   c  m  s   c 

Efecto de la constante mi

0,5 5.0

20 10

4.5 4.0

c m, s

 m 2

m  4s 2



: resistencia a la compresión uniaxial de la roca intacta : constantes. Para roca intacta: s = 1 m = mi

2

3.5

mi = 0

3.0

 1/  c

t 

c

4

2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

 3/  c

3.0

4.0

5.0

13

Hoek and Brown (2002) - roca intacta Variación de la constante mi

14

Análisis de datos de laboratorio en excel Datos experimentales 700

 c  245 tan  6,53

y = 6.5249x + 244.97 R2 = 0.9044

600 500

1 (MPa)

400 300 200 Datos experimentales

100

Lineal (Datos experimentales)

0 0

20

40

60

 tan  1    47,2   arc sin   tan  1  1  sin    32,6 MPa c  c 2 cos 

3 (MPa)

Hoek-Brown (utilizando solver) H-B: c = mi = error = Granito (Granite) 3 1 MPa MPa 0 179.6 9.3 309.3 43.2 539.8 55.8 569.5 2.8 249

1 H-B 216.6 304.1 525.7 591.5 245.6

700

216.6 19.9 30156

(1lab-1H-B)^2 1368.2 26.8 199.8 484.3 11.5

600 500

1 (MPa)

Granito (Granite) 3 1 MPa MPa 0 179.6 9.3 309.3 43.2 539.8 55.8 569.5 2.8 249 21.4 407.6 10.7 316 34.8 512.7 6.5 273.3 5 293.1 7.8 276.8 33.9 453.9 51.7 523.9 43.5 541 1.6 234.3 19.7 406.5 25.8 431.1 38.1 543.7 22.9 409.9 27.1 392.8 13.2 359 28.5 486.8 7.8 283 39.2 480.8 15.1 330.1 29.4 485.8 12.8 269.9 49.3 488 18 410.7 28.8 458 5.3 270.5 21.7 415.9 33 440.1 16.4 340.4 8.7 318.5 9.9 312.1 45.5 566 7.4 284.4 17.7 362.3

Mohr-Coulomb

400 300 200 Datos experimentales

100

Hoek-Brow n

0 20

40

3 (MPa)

60

15

Análisis de datos de laboratorio en RocLab Descargar gratis de: http://www.rocscience.com/

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Mohr-Coulomb vs Hoek and Brown • El criterio Mohr-Coulomb es probablemente el más usado comúnmente en análisis de estabilidad, ya que ha existido por mucho tiempo (1776) • Como Mohr-Coulomb tiene una forma lineal es comúnmente utilizado en análisis numéricos por simplicidad • El criterio de Hoek-Brown se esta comenzando a utilizar en un mayor número de aplicaciones ya que presenta un mejor ajuste a los datos. También esta ligado al índice de clasificación GSI, utilizado para estimar parámetros de resistencia del macizo rocoso (escalamiento)

17

Discontinuidades Algunos factores que afectan la resistencia de discontinuidades: • • • • •

Rugosidad Resistencia de las paredes, alteración Tipo y resistencia del relleno Confinamiento Resistencia friccionante básica de la roca

18

Discontinuidades Corte directo en discontinuidades con superficies pulidas

Esfuerzo de corte, 

Jaeger and Rosengren (1969)

b = 35° n=1,0 MPa

Desplazamiento de corte (mm) Jaeger (1971)

Esfuerzo normal efectivo, n

   n tan b

b: ángulo de fricción básico de las superficies 19

Discontinuidades Corte directo en discontinuidades con superficies rugosas limpias

 n2

Esfuerzo de corte, 

Esfuerzo de corte, 

Resistencia peak Resistencia residual

 n1  n1 Desplazamiento de corte

 n2 Esfuerzo normal, n 20

Discontinuidades Envolventes de resistencia para distintas condiciones geológicas Roca intacta débil

Esfuerzo de corte, 

Roca fuerte fracturada

Macizo rocoso

Fractura rugosa limpia

Fractura lisa limpia

Discontinuidades

Fractura rellena

cohesión

Esfuerzo normal efectivo, n Transportation Research Board (1966)

21

Discontinuidades

Brown et al. (1977)

Resistencia al corte (kN)

La rugosidad puede causar que la resistencia sea direccional

Carga normal (kN) 22

Discontinuidades La rugosidad puede entenderse con el siguiente modelo

S*  tan b * N S *  S cos i  N sin i

N *  N cos i  S sin i

Esfuerzo de corte, 

S  tan b N

S  tan b  i  N

ángulo de fricción aparente b+i

Falla de corte en las asperidades

Deslizamiento en las asperidades

Esfuerzo normal, n

Patton (1966)

23

Discontinuidades La rugosidad existe en un número de escalas

• En ensayos en que la dilatancia ocurre sin restricción el ángulo de fricción aparente disminuye al aumentar la escala

Ángulos i promedios para asperidades de segundo orden

Ángulos i promedios para asperidades de primer orden

• En ensayos en que la dilatancia es inhibida la influencia de la escala es menos importante

Patton (1966)

24

Discontinuidades Barton et al. (1973) desarrollaron una formula empírica para estimar la resistencia al corte peak:

   JCS    r     n tan  JRC  log  n    JRC: factor de rugosidad de la estructura (Joint Roughness Coefficient) JCS: resistencia a compresión uniaxial en el plano de discontinuidad (UCS si las paredes no están alteradas, de tablas o inferido mediante martillo Schmidt) ’n : esfuerzo normal efectivo actuando sobre la discontinuidad

r :: ángulo de fricción residual de la roca (en un plano) Observaciones: • El término JRCxlog(JCS/n) es equivalente al ángulo de rugosidad i. • Para n alto (JCS/n≈1) → JRCxlog(JCS/n)=0 (falla por corte de asperidades) • En la practica JCS/n se limita entre 3-100 • Para n bajo comparado con JCS→ rugosidades no realísticas. El termino (i+r no debe exceder 50° 25

Discontinuidades

Eje recto

JRC

Amplitud asperidad

Barton (1973)

Barton (1982)

Amplitud de la asperidad (mm)

JRC

Longitud del perfil

Longitud del perfil (m)

26

Discontinuidades b

27

Discontinuidades A medida que la escala aumenta JRC y JCS tienden a disminuir.

El factor de escala puede ser determinado mediante:

 Ln  JRCn  JRC0    L0 

Donde:

 Ln  JCS n  JCS 0    L0 

0 , 02 JRC0

0 , 03 JRC0

L0 es la dimensión de la superficie utilizada para medir JRC Ln es la dimensión de la superficie de deslizamiento

28

Discontinuidades Ejemplo: • Relajación de esfuerzos y daño por tronadura → movimiento en discontinuidades y dilatancia • Cohesión disminuye o desaparece • Asperidades de primer orden se utilizan en el diseño

• El desplazamiento y dilatancia pueden ser prevenidos mediante tronadura controlada y la instalación oportuna de refuerzo • Asperidades de segundo orden contribuyen a la resistencia al corte de la potencial superficie de deslizamiento

Wyllie and Mah (2005)

29

Discontinuidades Efecto del relleno

Cohesión, c (kPa)

• El efecto del relleno en la resistencia de estructuras depende de la potencia y resistencia del relleno • Si el espesor del relleno es 25-50% mayor a la amplitud de las asperezas  resistencia dada por el relleno

ángulo de fricción,  (°)

• En general, la resistencia al corte de discontinuidades disminuirá debido a efectos del relleno, ya que estos materiales tienen resistencia menores a las de superficies rocosas limpias. Excepciones pueden incluir rellenos del tipo vetilla y minerales duros

Wyllie and Mah (2005)

30

Discontinuidades en la resistencia de roca intacta 1



 3

3

• La roca contiene planos paralelos de debilidades, cuyas normales están inclinadas a un ángulo  con respecto a 1 • Cada plano tiene resistencia al corte definida por:

  cw   n tan w n 

1  1   3   1  1   3  cos 2 2 2

1   3 



1  1   3 sin 2 2

2cw   3 tan w  1  tan w cot  sin 2

  90  Resistencia peak controlada por fractura del material   0, w  Jaeger (1960)

31

Discontinuidades en la resistencia de roca intacta 

 2



Donah (1972) McLamore and Gary (1967)

32

Discontinuidades múltiples • Cuatro sets de discontinuidades inclinados mutuamente en 45° 1

 3

• Aplicar la ecuación anterior en cada plano inclinado por separado y superponerlas • La figura presenta la envolvente de resistencia equivalente a un macizo rocoso para tres 3

33

Discontinuidades múltiples • El concepto es clave para entender el porque un macizo rocoso tiene una resistencia menor que la roca intacta • Si hay más de tres sets de discontinuidades en el macizo rocoso, y están distribuidos razonablemente en orientación, el efecto combinado de todas las discontinuidades es una envolvente relativamente plana y un macizo isótropo en el caso en que todas las discontinuidades tiene la misma propiedades • Las discontinuidades tienen un efecto significativo en la resistencia ya que la resistencia de estas es mucho menor a la de roca intacta • Las aproximaciones empíricas intentan cuantificar la reducción de resistencia de la roca intacta utilizando características de las discontinuidades

34

Criterios empíricos - macizos rocosos Basados en ensayos a gran escala y laboratorio, experiencia y/o back-análisis

35

Hoek and Brown - macizos rocosos  3   s   1   3   c  mb  c  mb e mi

 GSI 100     2814 D 

 crm   c s a GSI D



1 1 GSI 15  20 3 a  e e 2 6

a



se

 GSI 100     9 3 D 

: Resistencia a la compresión uniaxial macizo rocoso

: Geological Strength Index : factor de perturbación (daño por tronadura y relajación de esfuerzos) 0: macizo rocoso no perturbado 1: macizo rocoso muy perturbado VER CLASE DE CLASIFICACION DE MACIZOS!

36

Hoek and Brown - macizos rocosos  GSI 100 

  mb  2814 D  e mi 1 1 a   e GSI 15  e  20 3  2 6

se

  3   1   3   c  mb  s    c

a

 GSI 100     9 3 D 

1.0

5

mb/mi a s

0.9 0.8

D=0

GSI = 100

80 60

40 20

4

0.6

3

 1/  c

mb/mi, a, s

0.7

0.5 0.4

2

0.3 0.2

1

D = 0, mi = 10

0.1 0

0.0 0

20

40

60

GSI

80

100

-1

0

1

2

 / c

3

4

5

37

Hoek and Brown - macizos rocosos Observaciones: • El criterio y las propiedades del macizo no son aplicables cuando existe un claro control estructural • Estas propiedades dependen de GSI que tiene un rango de valores posibles. Existen entonces desviaciones intrínsecas en los parámetros de resistencia del macizo rocoso

38

Resumen criterios de falla

39

Factor de seguridad 2D 1

 1  f  3 

FS  f  3 A 

f  3 A 

 1A

 3A  0 ;  3A   t FS  

 1A

t

t  3A

A



3 40

Factor de resistencia 2D (strength factor) 1

 1  f  3 

Bmax f  3 A    3 A  SF   1A   3 A B

f  3 A 

 3A  0 ;  3A   t FS  

Bmax

 1A

t

A



B

t  3A

1   3

3

Phase2, Examine 41

Referencias •

• • • • • • • • • • • • • •

•

Coulomb, C.A. (1776). Essai sur une application des regles de maximis et minimis a quelque problemes de statique, relatifs a l’architecture. Memoires de Mathematique et de Physique, L’Academie Royale des Sciences, 7: 343-382. Griffith, A.A. (1921). The phenomena of ruputure and flow in solids. Phil. Trans Roy. Soc., A221: 163-197. Grifftih, A.A. (1924). Theory of rupture. Proc. 1st Congr. Appl. Mech., Delft, 55-63. Fairhurst, C. (1964). On the validity of the Brazilian test for brittle materials. Int. J. Rock. Mech. Min., 1: 515-546. Hobbs, D.W. (1964). The strength and stress-strain characteristics of coal in triaxial compresssion. J. Geol., 72(2): 214-231. Murrel, S.A.F. (1965). The effect of triaxial stress systems on the strength of rock at atmospheric temperature. Geophys. J., 10: 231-281. Bodonyi, J. (1970). Laboratory tests of certain rocks under axially symmetrical loading conditions. 2nd Int. Cong. Rock Mech. (ISRM), Belgrade, 1: 389-397. Franklin, J.A. (1971) Triaxial strength of rock material. Rock Mech., 3: 86-98. Hoek, E. and Brown, E.T. (1980). Underground excavations in Rock. Int. Min. Metall., Londom, 401 p. Hoek, E. Carranza-Torres, C. and Corkum, B. (2002). Hoek-Brown criterion – 2002 edition. Proc. NARMS-TAC, Toronto, 1: 267-273. Bieniawski, Z.T. (1974). Estimating the strength of rock materials. J. S. Afr. Inst. Min. Metall., 74: 312-320. Yudhbir, L.W. and Prinzl, F. (1983). An empirical failure criterion for rock masses. 5th Int. Cong. Rock Mech. (ISRM), Vol. 1, Balkema, Rotterdam, B1-B8. Ramamurthy, T. Rao, G.V. and Ramamurthy, T. (1985). A strength criterion for rocks. Indian Geotech Conf., Roorkee, 1: 59-64. Johnston, J.W. (1985). Strength of intact geomechanical materials. J. Geotech. Eng., 111: 730-749. Balmer, G. (1952). A general analytical solution for Mohr’s envelope. Proc. Am. Soc. For Testing Materials, 52: 1260-1271. Martin, C.D. (1993). The strength of massive Lac du Bonnet granite around underground opening. PhD thesis, University of Manitoba.

42

Referencias • • • • • •

•

Sheorey, P.R., Biswas, A.K. and Choubey, V.D. (1989). An empirical failure criterion for rocks and jointed rock masses. Eng. Geol., 26: 141-159. Yoshida, N., Morgenstern, N.R. and Chan, D.H. (1990). Failure criterion for stiff soils and rocks exhibiting softening. Can. Geotech. J., 27(2): 195-202. Martin, C.D. (1993). The strength of massive Lac du Bonnet granite around underground opening. PhD thesis, University of Manitoba. Martin, C.D., Kaiser, P.K., and Christiansson, R. (2003). Stress, instability and design of underground excavations. Int. J. Rock Mech. Min. Sci., 40: 1027-1047. Brady, B.H.G., and Brown, E.T. (2005). Rock Mechanics for underground mining. Thorpe, R. Watkins, D.J., Ralph, W.E., Hsu, R. and Flexser, S. (1980). Strength and permeability test on ultralarge Stripa Granite core. Technical information report No. 31. Lawrence Berkeley Laboratory, University of California Berkeley. Edelbro, C. (2004). Strength, fallout and numerical modelling of hard rock masses. Doctoral Thesis, Lulea University of Technology, 242 p.

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