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CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA

Ejer. 47-48: Se usan vectores en gráficas computarizadas para calcular las longitudes de sombras sobre superficies planas. La longitud de un objeto puede representarse a veces con un vector a. Si una fuente de luz única brilla sobre un objeto, entonces la longitud de su sombra en el suelo será igual al valor absoluto del componente del vector a lo largo de la dirección del suelo, como se ve en la figura. Calcule la longitud de la sombra para el vector a especificado si el suelo está nivelado. 47 Sombra al nivel del suelo

a  2.6, 4.5 2.6

48 Sombra al nivel del suelo

a  3.1, 7.9 3.1

Ejercicio 49 – 50

a

u

51 Determinación de potencia La cantidad de potencia P producida por una máquina puede determinarse con la fórmula 1 P  550 F  v, donde F es la fuerza (en libras) ejercida por la máquina y v es la velocidad (en pies/s) de un objeto movido por la misma. Una máquina tira con una fuerza de 2200 libras sobre un cable que forma un ángulo u con la horizontal, moviendo una carreta horizontalmente, como se muestra en la figura. Encuentre la potencia de la máquina si la rapidez de la carreta es 8 pies/s cuando u  30°.

Ejercicios 47-48

a

Ejercicio 51

Máquina Ejer. 49-50: Consulte los ejercicios 47 y 48. Un objeto representado por un vector a se sostiene sobre una superficie plana inclinada a un ángulo u, como se muestra en la figura. Si una luz está brillando directamente hacia abajo, calcule la longitud de la sombra a dos lugares decimales para los valores especificados del vector a y u. 49 Sombra en un plano inclinado a  25.7, 3.9,

  12

Carreta

F u v

24.33

50 Sombra en un plano inclinado a  13.8, 19.4,   17

8.5 Forma trigonométrica para números complejos

En la sección 1.1 representamos números reales geométricamente mediante puntos en una recta de coordenadas. Podemos obtener representaciones geométricas para números complejos usando puntos en un plano de coordenadas. Específicamente, cada número complejo a  bi determina un par ordenado único (a, b). El punto correspondiente P(a, b) en un plano de coordenadas es la representación geométrica de a  bi. Para destacar que estamos asignando números complejos a puntos en un plano, podemos marcar el punto P(a, b) como a  bi. Un plano de coordenadas con un número complejo asignado a cada punto se conoce como plano complejo (o Argand) en lugar de un plano xy. El eje x es el eje real y el eje y es el eje imaginario. En la figura 1 (en la página siguiente) hemos representado en forma geométrica varios números complejos. Observe que para obtener el punto correspondiente al conjugado a  bi de cualquier número complejo a  bi, simplemente lo reflejamos en el eje real.

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8.5 Forma trigonométrica para números complejos

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Figura 1

Eje imaginario 2  3i e  2 i

5i

i 3

i

2  3i

5i

Eje real

2  3i

 5i

El valor absoluto de un número real a (denotado a ) es la distancia entre el origen y el punto sobre el eje x que corresponde a a. Así, es natural interpretar el valor absoluto de un número complejo como la distancia entre el origen de un plano complejo y el punto (a, b) que corresponde a a  bi. Si z  a  bi es un número complejo, entonces su valor absoluto, denotado por a  bi , es

Definición del valor absoluto de un número complejo

2a2  b2.

EJEMPLO 1

Encuentre (a) 2  6i

Hallar el valor absoluto de un número complejo

(b) 3i

SOLUCIÓN

Usamos la definición previa: (a) 2  6i  222  62  240  2 210  6.3 (b) 3i  0  3i  202  32  29  3

Los puntos correspondientes a todos los números complejos que tienen un valor absoluto fijo k están en un círculo de radio k con centro en el origen del plano complejo. Por ejemplo, los puntos correspondientes a los números complejos z con z  1 están sobre una circunferencia unitaria. Consideremos un número complejo z  a  bi diferente de cero y su representación geométrica P(a, b), como se ilustra en la figura 2. Sea u un ángulo cualquiera en posición estándar cuyo lado terminal se encuentra sobre el segmento OP y sea r  z  2a2  b2. Como cos   ar y sen   br, vemos que a  r cos u y b  r sen u. Sustituyendo por a y b en z  a  bi, obtenemos

Figura 2

z  a  bi  rcos   i sen  y

z  a  bi P(a, b)

r  z u O

L

x

z  a  bi  r cos   r sen i  rcos   i sen .

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CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA

Esta expresión se denomina forma trigonométrica (o polar) para el número complejo a  bi. Una abreviatura común es rcos   i sen   r cis . La forma trigonométrica para z  a  bi no es única, porque hay un número ilimitado de opciones diferentes para el ángulo u. Cuando se usa la forma trigonométrica, el valor absoluto r de z se conoce a menudo como el módulo de z y un ángulo u asociado con z como un argumento (o amplitud) de z. Podemos resumir nuestra exposición como sigue.

Forma trigonométrica (o polar) para un número complejo

Sea z  a  bi. Si r  z  2a2  b2 y si u es un argumento de z entonces z  rcos   i sen   r cis .

La fórmula de Euler, cos   i sen   ei, nos da otra forma para el número complejo z  a  bi, comúnmente llamada forma exponencial; esto es, z  rcos   i sen   rei. Vea algunos problemas relacionados en el ejercicio 6 de los ejercicios de análisis, al final del capítulo. EJEMPLO 2

Expresar un número complejo en forma trigonométrica

Exprese el número complejo en forma trigonométrica con 0  u 2p: (a) 4  4i (b) 2 23  2i (c) 2  7i (d) 2  7i S O L U C I Ó N Empezamos por representar geométricamente cada número complejo y marcar su módulo r y argumento u, como en la figura 3. Figura 3 (a)

(c)

(b)

y

(d)

y

y

y

(2, 7)

(2, 7)

53 

53 

(4, 4) 42 

f

4 x

z

x (23,  2)

arctan r

arctan r x

p  arctan r x

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8.5 Forma trigonométrica para números complejos

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A continuación sustituimos por r y u en la forma trigonométrica:



(a) 4  4i  4 22 cos



(b) 2 23  2i  4 cos

 

3 3 3  i sen  4 22 cis 4 4 4

11 11 11  i sen  4 cis 6 6 6

(c) 2  7i  253  cos  arctan 72   i sen  arctan 72   253 cis  arctan 72  (d) 2  7i  253  cos    arctan 72   i sen    arctan 72 

L

 253 cis    arctan 72 

Veamos cómo hallar, en calculadora graficadora, el valor absoluto y el argumento del número complejo del Ejemplo 2(b). Operaciones con números complejos.

TI-83/4 Plus Asigne 2 23  2i a A. 2 2nd STO 

2



)

3

A

ALPHA

TI-86 2 2nd

i

(

2 2nd

STO 

ENTER

2

3

A

ENTER

CPLX

abs(F4)

A

ENTER

,

2

)

Encuentre el valor absoluto r. MATH





ALPHA

A

)

5

2nd ALPHA

ENTER

Encuentre el argumento u (en modo de grados). MATH





ALPHA

A

)

angle(F5)

4

ALPHA

A

ENTER

ENTER

Ahora cambiaremos la forma de 2 23  2i usando la función polar. La TI-83/4 Plus nos da la forma exponencial reui y la TI-86 nos da la forma (magnitudángulo). Observemos que 30° es equivalente a 116 (el ángulo del ejemplo 2(b) para 0  u 2p). ALPHA ENTER

A

MATH





7

ALPHA

A

MORE

Pol(F2)

ENTER

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CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA

Si permitimos valores arbitrarios para u, hay muchas otras formas trigonométricas para los números complejos del ejemplo 2. Entonces, para 4  4i en la parte (a) podríamos usar



3  2 n para cualquier entero n. 4

Si, por ejemplo, hacemos n  1 y n  1, obtenemos 4 22 cis

11 4

 

4 22 cis 

y

5 , 4

respectivamente. En general, los argumentos para el mismo número complejo siempre difieren por un múltiplo de 2p. Si los números complejos se expresan en forma trigonométrica, entonces la multiplicación y división se pueden efectuar como se indica en el siguiente teorema.

Teorema sobre productos y cocientes de números complejos

Si las formas trigonométricas para dos números complejos z1 y z2 son z1  r1cos 1  i sen 1

y

z2  r2cos 2  i sen 2,

entonces (1) z1z2  r1r2cos 1  2  i sen 1  2 z1 r1 (2)  cos 1  2  i sen 1  2, z2  0 z2 r2

DEMOSTRACIÓN

Podemos demostrar (1) como sigue:

z1z2  r1cos 1  i sen 1  r2cos 2  i sen 2  r1r2cos 1 cos 2  sen 1 sen 2  isen 1 cos 2  cos 1 sen 2 La aplicación de las fórmulas de la suma para cos (u1  u2) y sen (u1  u2) nos da (1). Dejamos la demostración de (2) como ejercicio.

L

La parte (1) del teorema anterior expresa que el módulo del producto de dos números complejos es el producto de sus módulos y un argumento es la suma de sus argumentos. Un enunciado análogo se puede hacer para (2). EJEMPLO 3

Usar formas trigonométricas para hallar productos y cocientes

Si z1  2 23  2i y z2  1  23i, use formas trigonométricas para hallar (a) z1z2 y (b) z1z2. Compruebe por métodos algebraicos.

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8.5 Forma trigonométrica para números complejos

Figura 4

S O L U C I Ó N El número complejo 2 23  2i está representado geométricamente en la figura 3(b). Si usamos   6 en la forma trigonométrica, entonces

y

  

(1, 3) 

z1  2 23  2i  4 cos 

i 2 x

 6

y

 

 i sen 

 6

.

El número complejo z2  1  23i está representado geométricamente en la figura 4. Una forma trigonométrica es



z2  1  23i  2 cos

Figura 5



2 2  i sen . 3 3

(a) Aplicamos la parte (1) del teorema sobre productos y cocientes de números complejos:

r1r2  42  8 u1  u 2  k  i q r2  2

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 8 cos

u2  i u1  k

 

z1z2  4  2 cos 

x

r1  4





 2  2   i sen   6 3 6 3

   i sen 2 2





 80  i  8i

La figura 5 da una interpretación geométrica del producto z1z2. Usando métodos algebraicos para comprobar nuestro resultado, tenemos z1z2   2 23  2i  1  23i 

  2 23  2 23   2  6i  0  8i  8i. (b) Aplicamos la parte (2) del teorema:

Figura 6

y

r2  2 r1 4 r2  2  2

u2  i u1  k r1  4

u1  u 2  k  i  l

        

   

z1 4  2  2  cos    i sen   z2 2 6 3 6 3 x

 2 cos 

2 

23

2

i 

5 5  i sen  6 6 1 2

  23  i

La figura 6 da una interpretación geométrica del cociente z1z2. Usando métodos algebraicos para comprobar nuestro resultado, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador para obtener z1 2 23  2i 1  23i   z2 1  23i 1  23i 

 2 23  2 23   2  6i 12   23 2



4 23  4i   23  i. 4

L

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CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA

8.5

Ejercicios 45 4  3i

Ejer. 1-10: Encuentre el valor absoluto. 1 3  4i 5 3 6  7i

2 5  8i 4 1  i

285

289

6 i7 1

7 i 500 1

8 15i 15

 

47 4 cos

49 6 cos Ejer. 11-20: Represente geométricamente el número complejo. 11 4  2i

12 5  3i

13 3  5i

14 2  6i

15 3  6i 3  6i

16 1  2i2 3  4i

20 41  2i 4  8i



22 23  i 2 cis 6 5

5

24 2  2i 2 22 cis 4



26 3  3 23 i 6 cis 3

5

3

27 4  4i 4 22 cis 4

28 10  10i 10 22 cis 4

3

  

48 8 cos

4 22  4 22i

50 12 cos

4 4  i sen 3 3

6  6 23i

52 3 cos 3i

  

7 7  i sen 4 4

3 3  i sen 2 2

54 253 cis  tan1   72 

55 25 cis  tan

56 210 cis tan1 3

1

7  2i

  1 2

1  3i

Ejer. 57-66: Use formas trigonométricas para hallar z1z2 y z1z2 . 57 z1  1  i,

z2  1  i 2, i

58 z1  23  i,

z2   23  i 4  0i,  2  2 i

1

23

2 2 59 z1  2  2 23 i, z2  5i 10 23  10i,  5 23  5 i

5

25 2 23  2i 4 cis 6

210 cis tan1 3  2

53 234 cis  tan1 35 

2i

Ejer. 21-46: Exprese el número complejo en forma trigonométrica con 0  u 2p.

23 4 23  4i 8 cis 6

3  3 23i

5  3i

19 1  i 2i

7 4

2 2  i sen 3 3

5

18 3i2  i 3  6i

22 cis

 

51 5cos   i sen 

17 2i2  3i 6  4i

21 1  i

   i sen 4 4

2 22  2 22i

10 15 15

2

46 1  3i

Ejer. 47-56: Exprese en la forma a  bi, donde a y b son números reales.

22

5 8i 8

9 0 0

5 cis  tan1   43   2 

3

60 z1  5  5i,

5 5 z2  3i 15  15i,  3  3 i

61 z1  10,

5 z2  4 40, 2

29 20i 20 cis 2

30 6i 6 cis 2

62 z1  2i,

2 z2  3i 6,  3

31 12 12 cis 0

32 15 15 cis 0

63 z1  4,

z2  2  i 8  4i,

33 7 7 cis 

34 5 5 cis 

64 z1  7,

z2  3  5i 21  35i,

65 z1  5,

15 10 z2  3  2i 15  10i,  13  13 i

66 z1  3,

15 6 z2  5  2i 15  6i,  29  29 i





35 6i 6 cis 2

36 4i 4 cis 2

37 5  5 23 i 10 cis 39 2  i

 tan1 12 

25 cis

41 3  i



4 3



1



210 cis tan1  3 

43 5  3i



3

234 cis tan1 5 





38 23  i 2 cis

11 6

8 5

 45 i 21 34

 35 34 i

 tan1 23 

67 Demuestre (2) del teorema sobre productos y cocientes de números complejos.

2 25 cis  tan1   12    

68 (a) Extienda (1) del teorema sobre productos y cocientes de números complejos a tres números complejos.

40 3  2i

213 cis

42 4  2i 44 2  7i



7

253 cis tan1 2 



(b) Generalice (1) del teorema a n números complejos. r1r2  rn cis 1  2 

     n

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Ejer. 69-72: La forma trigonométrica de números complejos es utilizada con frecuencia por ingenieros electricistas para describir la corriente I, el voltaje V y la impedancia Z en circuitos eléctricos con corriente alterna. La impedancia es la oposición al flujo de corriente en un circuito. Los aparatos eléctricos más comunes operan con 115 volts de corriente alterna. La relación entre estas tres cantidades es I  VZ. Calcule la cantidad desconocida y exprese la respuesta en forma rectangular a dos lugares decimales.

73 Módulo de impedancia El módulo de la impedancia Z representa la oposición total al flujo de corriente en un circuito, y se mide en ohms Calcule Z si Z  14  13i,

69 Hallar voltaje

I  10 cis 35,

Z  3 cis 20

70 Hallar voltaje

I  12 cis 5,

Z  100 cis 90

75 Voltaje actual La parte real de V representa el voltaje real entregado a un aparato eléctrico en volts. Aproxime ese voltaje cuando I  4 cis 90 y Z  18 cis 78.

17.21  24.57i 104.59  1195.43i

71 Hallar impedancia I  8 cis 5, 11.01  9.24i

72 Hallar corriente 1.50  1.45i

74 Resistencia y reactancia El valor absoluto de la parte real de Z representa la resistencia en un circuito eléctrico; el valor absoluto de la parte compleja representa la reactancia. Ambas cantidades se miden en ohms. Si V  220 cis 34 e I  5 cis 90, calcule la resistencia y la reactancia. 24.60 ohms; 36.48 ohms

70.43 volts

76 Corriente actual La parte real de I representa la corriente real entregada a un aparato eléctrico, en amperes. Determine esa corriente cuando V  163 cis 43 y Z  100 cis 17.

V  115 cis 45

Z  78 cis 61, V  163 cis 17

8.6 Teorema de De Moivre y las raíces n-ésimas de números complejos

Si z es un número complejo y n es un entero positivo, entonces un número complejo w es la raíz n-ésima de z si wn  z. Demostraremos que todo número complejo diferente de cero tiene raíces n-ésimas diferentes. Como  está contenida en , también se deduce que todo número real diferente de cero tiene n diferentes raíces n-ésimas (complejas). Si a es un número real positivo y n  2, entonces ya sabemos que las raíces son 2a y  2a. Si, en el teorema sobre productos y cocientes de números complejos, hacemos z1 y z2 iguales al número complejo z  r(cos u  i sen u), obtenemos z2  r  r cos     i sen     r 2cos 2  i sen 2. Aplicando el mismo teorema a z2 y z tendremos z2  z  r 2  rcos 2    i sen 2  , o bien,

z3  r 3cos 3  i sen 3.

Aplicando el teorema a z3 y z, obtenemos z 4  r 4cos 4  i sen 4. En general, tenemos el siguiente resultado, llamado así en honor del matemático francés Abraham De Moivre (1667-1754).

Teorema de De Moivre

Para todo entero n rcos   i sen n  r ncos n  i sen n.

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CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA

Usaremos sólo enteros positivos para n en ejemplos y ejercicios que comprendan el teorema de De Moivre. No obstante, el teorema se cumple por completo para n  0 y n negativo si usamos las respectivas definiciones de exponente de número real, es decir, z0  1 y zn  1z n, donde z es un número complejo diferente de cero y n es un entero positivo. EJEMPLO 1

Usar el teorema de De Moivre

Use el teorema de De Moivre para cambiar (1  i)20 a la forma a  bi, donde a y b son números reales. Sería tedioso cambiar (1  i)20 usando métodos algebraicos. Por tanto, introduzcamos una forma trigonométrica por 1  i. Consultando la figura 1, vemos que SOLUCIÓN

Figura 1

y



(1, 1)

1  i  22 cos

2 



   i sen . 4 4

Ahora aplicamos el teorema de De Moivre:

d

  

1  i20  21/220 cos 20  x

 4

 

 i sen 20 

 4

 210cos 5  i sen 5  2101  0i  1024 El número 1024 es de la forma a  bi con a  1024 y b  0.

L

Si un número complejo z diferente de cero tiene una raíz n-ésima w, entonces wn  z. Si las formas trigonométricas para w y z son w  scos   i sen 

y

z  rcos   i sen ,

(*)

entonces, aplicando el teorema de De Moivre a wn  z tendremos sncos n  i sen n  r cos   i sen . Si dos números complejos son iguales, entonces también son iguales sus valores n absolutos. En consecuencia, sn  r y como s y r son no negativos, s  2 r. Sustituyendo sn por r en la última ecuación mostrada y dividiendo ambos lados entre sn, obtenemos cos n  i sen n  cos   i sen . Como los argumentos de números complejos iguales difieren por un múltiplo de 2p, hay un entero k tal que na  u  2pk. Dividiendo ambos lados de la última ecuación entre n, vemos que



  2k para algún entero k. n

Sustituyendo en la forma trigonométrica por w (vea (∗)) nos dará la fórmula

 

n w 2 r cos







  2k   2k  i sen n n

.

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8 . 6 Te o r e m a d e D e M o i v r e y l a s r a í c e s n - é s i m a s d e n ú m e r o s c o mp l e j o s

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Si sustituimos k  0, 1, . . . , n  1 sucesivamente, obtenemos n diferentes raíces n-ésimas de z. Ningún otro valor de k producirá una nueva raíz n-ésima. Por ejemplo, si k  n, obtenemos el ángulo   2 nn, o n  2, que nos da la misma raíz n-ésima que k  0. Del mismo modo, k  n  1 da la misma raíz n-ésima que k  1 y así sucesivamente. Lo mismo es cierto para valores negativos de k. Hemos demostrado el siguiente teorema.

Teorema de las raíces n-ésimas

Si z  r (cos u  i sen u) es cualquier número complejo diferente de cero y si n es cualquier entero positivo, entonces z tiene exactamente n raíces n-ésimas diferentes w0, w1,…,wn1. Estas raíces, para u en radianes, son

 











  2k   2k  i sen n n

n wk  2 r cos

o bien, lo que es equivalente, para u en grados,

 

n wk  2 r cos



  360°k   360°k  i sen n n

,

donde k  0, 1, . . . , n  1.

n Las raíces n-ésimas de z en este teorema tienen todas ellas valor absoluto 2 r y por lo tanto sus representaciones geométricas se encuentran en una circunn ferencia de radio 2 r con centro en O. Además, están igualmente espaciadas en esta circunferencia dado que la diferencia en los argumentos de sucesivas raíces n-ésimas es 2n (or 360°n.

EJEMPLO 2

Hallar las raíces cuartas de un número complejo

(a) Encuentre las cuatro raíces cuartas de 8  8 23i (b) Represente las raíces geométricamente. Figura 2

SOLUCIÓN

y

(a) La representación geométrica de 8  8 23i se muestra en la figura 2. Introduciendo forma trigonométrica, tenemos

240 x

16

(8, 83) 

8  8 23i  16cos 240°  i sen 240°. 4 Usando el teorema sobre raíces n-ésimas con n  4 y observando que 2 16  2, encontramos que las raíces cuartas son

 

wk  2 cos







240°  360°k 240°  360°k  i sen 4 4

(continúa)

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CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA

para k  0, 1, 2, 3, Esta fórmula se puede escribir como wk  2cos 60°  90°k  i sen 60°  90°k.

Figura 3

Sustituyendo 0, 1, 2 y 3 por k en (60°  90°k) nos da las cuatro raíces cuartas:

y w0

w0  2cos 60°  i sen 60°  1  23i

90

w1

w1  2cos 150°  i sen 150°   23  i

90 60

w2  2cos 240°  i sen 240°  1  23i 2 x

w3  2cos 330°  i sen 330°  23  i

90

(b) Por los comentarios que preceden este ejemplo, todas las raíces se en4 cuentran en una circunferencia de radio 2 16  2 con centro en O. La primera raíz, w0, tiene un argumento de 60° y las raíces sucesivas están separadas 360°4  90° como se ve en la figura 3.

w3

90

L

w2

Las calculadoras TI-83/4 Plus y TI-86 tienen la capacidad de tomar una raíz de un número complejo. A continuación encontramos una raíz cuarta de 8  8 23 i, como en el ejemplo 2(a). La TI-86 también puede hallar las otras tres raíces (vea ejemplo 5). TI-83/4 Plus Hallar una raíz de un número complejo.

8

TI-86



8 2nd

2

STO 

ALPHA

C

ENTER

5

ALPHA

C

4

MATH

3

)

2nd

ENTER

i

(

8

,

8

2nd

STO 

C

ENTER

ALPHA

C



(

1

)

3

2 

4

)

ENTER

El caso especial en el que z  1 es de particular interés. Las n raíces n-ésimas distintas de 1 se llaman las raíces n-ésimas de la unidad. En particular, si n  3, llamamos a estas raíces las raíces cúbicas de la unidad. EJEMPLO 3

Hallar las raíces cúbicas de la unidad

Encuentre las tres raíces cúbicas de la unidad. S O L U C I Ó N Escribiendo 1  1(cos 0  i sen 0) y usando el teorema sobre raíces nésimas con n  3, obtenemos

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8 . 6 Te o r e m a d e D e M o i v r e y l a s r a í c e s n - é s i m a s d e n ú m e r o s c o mp l e j o s



627



2k 2k  i sen 3 3 para k  0, 1, 2. Sustituyendo por k tendremos las tres raíces: wk  1 cos

w0  cos 0  i sen 0  1

EJEMPLO 4

w1  cos

2 2 1 23  i sen   i 3 3 2 2

w2  cos

4 4 1 23  i sen   i 3 3 2 2

L

Hallar las raíces sextas de un número real

(a) Encuentre las seis raíces sextas de 1. (b) Represente las raíces geométricamente. SOLUCIÓN

(a) Escribiendo 1  1(cos p  i sen p) y usando el teorema sobre raíces n-ésimas con n  6, encontramos que las raíces sextas de 1 están dadas por

 







  2k   2k  i sen 6 6 Para k  0, 1, 2, 3, 4, 5. Sustituyendo 0, 1, 2, 3, 4, 5 por k obtenemos las seis raíces sextas de 1: wk  1 cos

Figura 4

y

w0  cos

  23 1  i sen   i 6 6 2 2

w1  cos

   i sen i 2 2

w2  cos

5 5 23 1  i sen   i 6 6 2 2

w3  cos

7 7 23 1  i sen   i 6 6 2 2

w4  cos

3 3  i sen  i 2 2

w5  cos

11 11 23 1  i sen   i 6 6 2 2

w1 w2

w0 k 1

w3

w5 w4

x

6 (b) Como 2 1  1, los puntos que representan las raíces de 1 están todos en la circunferencia unitaria que se muestra en la figura 4. Además, están igualmente espaciados en esta circunferencia en 3 radianes o sea 60°.

L

Observe que hallar las raíces n-ésimas de un número complejo c, como hicimos en los ejemplos 2-4, es equivalente a hallar todas las soluciones de la ecuación xn  c, o bien xn  c  0. Usaremos este concepto en el siguiente ejemplo así como en los ejercicios 23–30.

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CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA

Hallar raíces resolviendo una ecuación con polinomios

EJEMPLO 5

Encuentre las cuatro raíces cuartas de 8  8 23 i. Sea c  8  8 23 i. Si x es cualquier raíz cuarta de c, entonces x4  c y entonces  c  0. El lado izquierdo de la última ecuación es un polinomio de cuarto grado con coeficientes 1, 0, 0, 0, c. Usaremos la función de resolución de polinomios para hallar las raíces cuartas de c. SOLUCIÓN

x4

Usando la función Poly de la TI-86

Fije el número de lugares decimales a 3. 2nd



MODE

 (4 veces)

ENTER

2nd

QUIT

Guarde 8  8 23 i en C. 8

(

,

8 2nd

2

)

3

STO 

C

ENTER

Declare el orden del polinomio. 2nd

POLY

4

ENTER

Introduzca los coeficientes. 1



0



0



0



()

ALPHA

C

Encuentre las soluciones. SOLVE(F5)

Comparando estas soluciones con las halladas en el Ejemplo 2(a), tenemos x1  w1   23  i x2  w2  1  23 i x3  w0  1  23 i x4  w3  23  i.

L

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Capítulo 8 Ejercicios de repaso

8.6

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Ejercicios

Ejer. 1-12: Use el teorema de De Moivre para cambiar el número complejo dado a la forma a  bi, donde a y b son números reales.

17 Encuentre las tres raíces cúbicas de 27i. 18 Encuentre las tres raíces cúbicas de 64i.

1 3  3i5 972  972i

2 1  i12 64

3 1  i10 32i

4 1  i8 16

Ejer. 19-22: Encuentre las raíces indicadas y represéntelas geométricamente.

5  1  23 i 

6  1  23 i  16  16 23i

19 Las seis raíces sextas de la unidad.

3

7





22

2

22



5

8

2



15

i

8

9



 12

11

2



1   i 2 2

20

10



2 



22

22

2

23

 23i

2 i



25

i

20 Las ocho raíces octavas de la unidad.



1   i 2 2

1 23  i 2 2

1 2

 23  i 7

22

22

 21 22  12 22i 23



12 2  2i10 32,768i

64 23  64i

13 Encuentre las dos raíces cuadradas de 1  23 i.

 12 26  12 22i 

3 22 3 22  i 2 2



4

22

2

4



2 18

2

Ejer. 23-30: Encuentre las soluciones de la ecuación. 23 x 4  16  0

24 x 6  64  0

25 x  64  0

26 x 5  1  0

27 x 3  8i  0

28 x 3  64i  0

29 x  243  0

30 x 4  81  0

2, 2i

2, 1  23i, 1  23i

6

2i, 23  i

2 23  2i, 4i

5

15 Encuentre las cuatro raíces cuartas de 1  23 i. 

22 Las cinco raíces quintas de  23  i

2i, 23  i,  23  i

14 Encuentre las dos raíces cuadradas de 9i. 

21 Las cinco raíces quintas de 1  i.

50

 

i ,

4

2 18

2

4



22

2

i



16 Encuentre las cuatro raíces cuartas de 8  8 23 i.  23  i , 1  23i

31 Use la fórmula de Euler para demostrar el teorema de De Moivre.

C APÍTULO 8 EJERCICIOS DE REPASO Ejer. 1-4: Encuentre los valores exactos de las partes restantes del triángulo ABC. 1   60,

b  6,

2   30,

a  2 23, c  2

a  243,   cos1

c7

 434 243 ,   cos1  865 243 

  60,   90, b  4;   120,   30, b  2

3   60,   45,

b  100

4 a  2,

c4

  75, a  50 26, c  50 1  23    cos1

b  3,

 78 ,   cos1  1116 ,   cos1   14 

Ejer. 5-8: Calcule las partes restantes del triángulo ABC. 5   67,

  75,

  38, a  8.0, c  13

b  12

6   2330, c  125, a  152   1910,   13720, b  258

7   115,

a  4.6,

c  7.3

8 a  37,

b  55,

c  43

  24,   41, b  10.1   42,   87,   51

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CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA

Ejer. 9–10: Aproxime el área del triángulo ABC al 0.1 de unidad cuadrada más cercana. 9   75, 10 a  4,

b  20, c  30 290 b  7,

c  10 10.9

11 Si a  4, 5 y b  2, 8, trace los vectores correspondientes a (a) a  b (b) a  b

(c) 2a

(d)  21 b

12 Si a  2i  5j y b  4i  j, encuentre el vector o número correspondiente a (a) 4a  b

12i  19j

(c)  a  b 

240  6.32

(b) 2a  3b 8i  13j

(d)  a    b 

229  217  1.26

13 Rumbo de un barco Un barco navega con rapidez de 14 mi/h en la dirección S50°E. Exprese su velocidad v como vector. 14 Las magnitudes y direcciones de dos fuerzas son 72 lb, S60°E y 46 lb, N74°E, respectivamente. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza resultante. 15 Encuentre un vector que tiene la dirección opuesta de a  8i – 6j y dos veces la magnitud. 16 Encuentre un vector de magnitud 4 que tenga la misma dirección que a  3, 7. 17 Si a  a1, a2, r  x, y, y c > 0, describa el conjunto de todos los puntos P(x, y) tales que  r  a   c. 18 Si a y b son vectores con el mismo punto inicial y el ángulo u entre ellos, demuestre que  a  b 2   a 2   b 2  2 a   b  cos . 19 Rapidez y dirección del viento Un avión vuela en la dirección 80° con una velocidad relativa de 400 mi/h. Su velocidad absoluta y rumbo verdadero son 390 mi/h y 90°, respectivamente. Calcule la dirección y rapidez del viento. 20 Si a  2, 3 y b  1, 4, encuentre: (a) a  b

(b) el ángulo entre a y b

(c) compa b 21 Si a  6i – 2j y b  i  3j, encuentre: (a) (2a – 3b)  a (b) el ángulo entre a y a  b (c) compa (a  b)

22 Una fuerza constante tiene la magnitud y dirección del vector a  7i  4j. Encuentre el trabajo realizado cuando el punto de aplicación de a se mueve a lo largo del eje x de P(5, 0) a Q(3, 0). Ejer. 23-28: Exprese el número complejo en forma trigonométrica con 0  u 2p. 23 10  10i

24 2  2 23 i

3 10 22 cis 4

4 cis

25 17

5 3

26 12i

17 cis 

12 cis

27 5 23  5i

3 2

28 4  5i

7 10 cis 6



5

241 cis tan1 4



Ejer. 29-30: Exprese en la forma a  bi, donde a y b son números reales.



29 20 cos

11 11  i sen 6 6

10 23  10i



5 30 13 cis  tan1 12 

12  5i

Ejer. 31-32: Use formas trigonométricas para hallar z1z2 y z1 z2 . 31 z1  3 23  3i, 12  12 23i,  23

z2  2 23  2i

32 z1  2 22  2 22 i, z2  1  i 4 22i, 2 22

Ejer. 33-36: Use el teorema de De Moivre para cambiar el número complejo dado a la forma a  bi, donde a y b son números reales.



22

22

33   23  i  512i

34

35 3  3i5

36  2  2 23 i 

9

2



2



30

i

i

10

972  972i

219  219 23i 3 3 37 Encuentre las tres raíces cúbicas de 27. 3, 2  2 23i

38 Sea z  1  23 i. (a) Hállese z24. (b) Hállense las tres raíces cúbicas de z. 224

3

2 2 cis

 with   100, 220, 340

39 Encuentre las soluciones de la ecuación x 5  32  0. 2 cis  with   0, 72, 144, 216, 288

40 Pista para patinetas Una pista para una carrera de patinetas consta de un tramo de 200 metros cuesta abajo y 150 metros a nivel. El ángulo de elevación del punto de partida de la carrera desde la línea de meta es 27.4°. ¿Qué ángulo forma la colina con la horizontal?

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Capítulo 8 Ejercicios de repaso

41 Distancias a planetas Las distancias entre la Tierra y los planetas cercanos se puede calcular usando el ángulo de fase a, como se ve en la figura. Suponga que la distancia entre la Tierra y el Sol es de 93,000,000 de millas y la distancia entre Venus y el Sol es de 67,000,000 de millas. Calcule la distancia entre la Tierra y Venus al millón de millas más cercano cuando a  34°.

631

43 Distancias entre ciudades Las comunidades de playa de San Clemente y Long Beach están a 41 millas entre sí, a lo largo de un tramo relativamente recto de costa. En la figura se muestra el triángulo formado por las dos ciudades y la población de Avalon en la esquina sudeste de la isla de Santa Catalina. Se tiene que los ángulos ALS y ASL miden 66.4° y 47.2°, respectivamente. (a) Calcule la distancia de Avalon a cada una de las dos ciudades.

Ejercicio 41

(b) Calcule la distancia más corta de Avalon a la costa.

Venus

Ejercicio 43

L a 66.4

Tierra

Sol

47.2

S

A 42 Altura de un rascacielos Si un rascacielos se ve desde lo alto de un edificio de 50 pies, el ángulo de elevación es 59°. Si se ve desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es 62° (vea la figura). (a) Use la ley de los senos para calcular la distancia más corta entre las cimas de los dos edificios. (b) Calcule la altura del rascacielos.

44 Topografía Un topógrafo desea hallar la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B. Como se muestra en la figura, se seleccionan dos puntos C y D desde los cuales es posible ver A y B. La distancia CD y los ángulos ACD, ACB, BDC y BDA se miden a continuación. Si CD  120 pies, ACD  115, ACB  92, BDC  125 y BDA  100, calcule la distancia AB. Ejercicio 44

Ejercicio 42

A

B

C

59 50

62

D

45 Contacto por radio Dos jóvenes con radios de comunicación están en el cruce de dos caminos que se encuentran a un ángulo de 105° (vea la figura en la página siguiente). Una de ellas empieza a caminar en dirección al norte por un camino a razón de 5 millas/h; al mismo tiempo, la otra camina al este por el otro camino al mismo paso. Si cada radio tiene un alcance de 10 millas, ¿cuánto tiempo mantendrán comunicación las jóvenes?

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CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA

47 Esfuerzos de rescate Un niño está atrapado a 45 pies bajo la superficie en el tiro de una mina abandonada que se inclina con un ángulo de 78° respecto a la horizontal. Se ha de cavar un túnel de rescate de 50 pies desde la abertura del tiro (vea la figura).

Ejercicio 45

10 mi (a) ¿A qué ángulo u debe cavarse el túnel?

105 

(b) Si el túnel se puede cavar a razón de 3 pies/h, ¿cuántas horas tardarán en llegar al niño? Ejercicio 47

50 46 Diseño robótico En la figura se muestra un diseño para un brazo robótico con dos piezas movibles. Las dimensiones se seleccionan para emular un brazo humano. El brazo superior AC y el brazo inferior CP giran los ángulos u1 y u2, respectivamente, para sujetar un objeto en el punto P(x, y).

78

u

45

(a) Demuestre que ACP  180  2  1 .

(b) Encuentre d(A, P), y luego use la parte (a) y la ley de los cosenos para demostrar que 1  cos 2  1  

x2   y  262 . 578

48 Diseño de un avión caza a reacción En la figura se muestra el plano para la parte superior del ala de un avión caza. (a) Calcule el ángulo f.

(c) Si x  25, y  4, y 1  135, calcule 2 .

(b) Calcule el área del cuadrilátero ABCD.

158

(c) Si el fuselaje es de 5.8 pies de ancho, calcule la envergadura de las alas CC.

Ejercicio 46

y A

Ejercicio 48

u1 5.7

17 u2 26

C

22.9

C

f 16

136 5.8

17

B

17.2

A

P(x, y) x

D

C

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Capítulo 8 Ejercicios de análisis

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CAPÍTULO 8 EJERCICIOS DE ANÁLISIS 1 Fórmula de Mollweide La siguiente ecuación, llamada fórmula de Mollweide, se usa a veces para comprobar soluciones a triángulos porque contiene todos los ángulos y todos los lados: 1 ab cos 2     sen 12  c

(b) Ahora encuentre la magnitud de c, usando la respuesta a la parte (a) y simplifique hasta demostrar la ley de los cosenos. (c) Si c se encuentra sobre el eje x, entonces su componente j es cero. Use este dato para demostrar la ley de los senos.

(a) Use la ley de los senos para demostrar que a  b sen   sen   . c sen  (b) Use una fórmula de suma a producto y fórmula de ángulo doble para verificar la fórmula de Mollweide. 2 Use la forma trigonométrica de un número complejo para demostrar que zn  1z n, donde n es un entero positivo. 3 Analice las similitudes algebraicas y geométricas de las raíces cúbicas de cualquier número real positivo a. 4 Suponga que dos vectores v y w tienen el mismo punto inicial, que el ángulo entre ellos es u y que v  mw (m es un número real).

6 Fórmula de Euler y otros resultados Los siguientes son algunos resultados interesantes e inesperados que contienen números complejos y temas que ya hemos estudiado. (a) Leonhard Euler (1707-1783) nos dio la siguiente fórmula: ei  cos   i sen  Si hacemos u  p, obtenemos ei  1 o bien, lo que es equivalente, ei  1  0, una ecuación que relaciona cinco de los números más importantes en matemáticas. Encuentre e2 i.

(a) ¿Cuál es la interpretación geométrica de v  w? (b) ¿Cómo se puede hallar  v  w ? 5 Una aproximación vectorial a las leyes de los senos y los cosenos (a) De la figura vemos que c  b  a. Use componentes horizontales y verticales para escribir c en términos de i y j.

  b  cos    a  cos  i    b  sin    a  sin  j

Ejercicio 5

y

(c) Definimos la potencia compleja w de un número complejo z  0 como sigue: Usamos valores principales de LN z para hallar valores principales de zw. Encuentre valores principales de 2i e ii.

?

22

a

b

2

a A

LN z  ln z  i  2 n, donde ln es la función de logaritmo natural, u es un argumento de z y n es un entero. El valor principal de LN z es el valor que corresponde a n  0 y p u  p. Encuentre los valores principales de LN (1) y LN i.

zw  ew LN z

C g

(b) Definimos el logaritmo de un número complejo z  0 como sigue:

b c

B

x



22

2

i; e / 2  0.2079

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CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA

7 ¿Una identidad interesante? Suponga que a, b y g son ángulos en un triángulo oblicuo. Demuestre o desapruebe el siguiente enunciado: La suma de las tangentes de a, b y g es igual al producto de las tangentes de a, b y g. 8 Fuerzas de cables colgantes Un adorno de 5 lb cuelga de dos cables como se muestra en la figura. Demuestre que las magnitudes de las tensiones (fuerzas) de los cables están dadas por  T1  

5 cos b sen (a  b)

y

 T2  

5 cos a . sen (a  b)

Ejercicio 8

T1 a

T2 b