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Colecci´on de Matem´aticas Universitarias

´ ´ n al Algebra Introduccio Lineal Ejercicios Oihane Fdez. Blanco

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Imagen de portada: tejidos t´ıpicos ecuatorianos ©AMARUN

Colecci´ on de Matem´ aticas Universitarias, 3 ´ Algebra Lineal y sus aplicaciones ´ Introducci´ on al Algebra Lineal Ejercicios Oihane Fdez. Blanco

© Asociaci´ on AMARUN, Par´ıs, 2017 Dep´ osito legal: Biblioth`eque Nationale de France Impreso en Francia Fecha de la versi´ on: enero 2017 ISBN

La Asociaci´ on AMARUN tiene por objetivo desarrollar las ciencias exactas en am´ erica del sur, principalmente en pa´ıses de la regi´ on andina (Bolivia, Colombia, Ecuador, Per´ u). Entre las diversas actividades de AMARUN se encuentra la organizaci´ on de escuelas de verano en matem´ aticas, la producci´ on de material pedag´ ogico (lecciones, hojas de ejercicios) y la edici´ on de una revista de divulgaci´ on. Para mayores informaciones sobre los proyectos y actividades, consultar www.amarun.org

´Indice general 1 Vectores y matrices con coeficientes en R 1.1 Escalares, y vectores en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Matrices de m × n con coeficientes en R . . . . . . . . . . . . . 2 Sistemas de Ecuaciones lineales 2.1 Definici´ on de un sistema de ecuaciones lineales 2.2 Resoluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales 2.3 Sistemas homogeneos e independencia lineal . . 2.4 Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 4 9 9 9 14 18

3 Subespacios vectoriales de Rn y transformaciones lineales 3.1 Sistemas generadores y subespacios vectoriales . . . . . . . . . 3.2 Bases, dimensiones y coordenadas en un subespacio vectorial . 3.3 Interpretaci´ on geom´etrica de un sistema de ecuaciones lineales y su conjunto soluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Transformaciones lineales y matriciales . . . . . . . . . . . . . .

21 21 28

4 Ortogonalidad y M´ınimos Cuadrados 4.1 Producto punto: longitud, distancia y ´angulo entre vectores . 4.2 Ortogonalidad entre vectores y el complemento ortogonal H ⊥ 4.3 Conjuntos y bases ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Proyecciones ortogonales y el proceso de Gram-Schmidt . . . 4.5 El problema de m´ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Matrices ortogonales y transformaciones lineales . . . . . . .

. . . . . .

41 41 42 44 45 47 49

5 Determinantes 5.1 Ejercicios determinante de una matriz . . . 5.2 Matrices invertibles y Regla de Cramer . . . 5.3 Interpretaci´ on geom´etrica del determinante 5.4 Determinantes y transformaciones lineales .

. . . .

53 53 59 59 60

6 Valores y vectores propios 6.1 Valores y vectores propios y el polinomio caracter´ıstico . . . . . 6.1.1 Diagonalizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Vectores propios y transformaciones lineales . . . . . . .

61 61 66 68

i

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36 38

1 Vectores y matrices con coeficientes en R 1.1.

Escalares, y vectores en Rn

1. Diga si estas afirmaciones son verdaderas o falsas, y justifique su respuesta.  
−4 (a) Otra notaci´ on para el vector es −4 3 . 3 (b) un ejemplo de combinaci´ on lineal de los vectores ~v v1 y ~v v2 es el vector 21 ~v v1 . (c) Cualquier lista de cinco n´ umeros reales es un vector en R5 . (d) El vector ~v v resulta cuando un vector ~u − ~v v se suma al vector ~v v.

(e) el vector 2 1 7 es m´ ultiplo del vector −2 −1 7 . 2. Instala en tu computadora el programa Open Source Octave (https://www.gnu.org/software/octave/download.html) o alternativamente el programa Matlab que requiere comprar una licencia. Estos dos programas son casi equivalentes, sin embargo hay algunos comandos (sobre todo avanzados) que si son diferentes. En adelante habr´a regularmente ejercicios num´ericos que requieren el uso de este software.   2 1  a) Crea en Maxima, Octave o Matlab los vectores v1 =  0 (usan1   0 1  do el comando v1 = [2;1;0;1]) y v2 =   3 . Usa el comando w −1 = v1 + v2 para calcular la suma v1 + v2 .   2 5 0 1 b) Crea en Maxima, Octave o Matlab la matriz A = 0 1 −2 4 usando el comando A = [2,5,0,1;0,1,-2,4]. Calcula el resultado de A~v v1 y A~v v2 en Maxima, Octave o Matlab.     −1 −3 3. Sean los vectores ~u = , ~v v = . Calcule ~u + ~v v y ~u − 2~v v. 2 −1     3 2 4. Dados los vectores ~u = , ~v v = , realice las operaciones ~u + ~v v 2 −1 y ~u − 2~v v. 1

2

Cap´ıtulo 1. Vectores y matrices con coeficientes en R     −1 −3 5. Sean los vectores ~u = , ~v v = . Grafique los siguientes vectores 2 −1 en el plano R2 : ~u, ~v v, −~v v, −2~v v, ~u + ~v v, ~u − ~v v y ~u − 2~v v.     3 2 6. Dados los vectores ~u = y ~v v = , represente en una gr´afica los 2 −1 siguientes vectores: ~u, ~v v, −~v v, −2~v v, ~u + ~v v, ~u − ~v v y ~u − 2~v v. 7. Hacer todos los ejercicios anteriores usando Maxima u Octave (resolver y gr´ aficar todo construyendo un c´ odigo para tal fin. ) 8. Sea la figura:

a) ¿Los vectores ~a, ~b, ~v c y ~v d son combinaciones lineales de ~u y ~v v? Justifique su respuesta. b) ¿Los vectores w, ~ ~x, ~y y ~v z son combinaciones lineales de ~u y ~v v? Justifique su respuesta. 9. Considere los vectores ~v v1 , ~v v2 , ~v v3 y ~b en R2 , que se muestran en la figura. ¿Tiene soluci´ on la ecuaci´ on x1~v v1 + x2~v v2 + x3~v v3 = ~b?. ¿Es u ´nica la soluci´ on? utilice la figura para explicar sus respuestas.

1.1. Escalares, y vectores en Rn

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10. Con los vectores ~u = (u1 , . . . , un ), ~v v = (v1 , . . . , vn ) y w ~ = (w1 , . . . , wn ), verifique las siguientes propiedades algebraicas de Rn . (a) (~u + ~v v) + w ~ = ~u + (~v v + w). ~ (b) c(~u + ~v v) = c~u + c~v v para cada escalar c. 11. Utilice el vector ~u = (u1 , . . . , un ) para verificar las siguientes propiedades algebraicas de Rn . (a) ~u + (−~u) = (−~u) + ~u = 0. (b) c(d~u) = (cd)~u para todos los escalares c y d.   0 12. Determina si el vector ~v 0 = 0 es combinaci´on lineal de los vectores 0       3 6 1 2 , 4 , 2, con alg´ un peso distinto de cero. En caso de que la 2 6 1 respuesta sea positiva, representa en un dibujo esta combinaci´on lineal.   1 2  13. Determina el valor de a, si es que existe, de tal forma que el vector  a 5       1 0 0 1 0 1      es combinaci´ on lineal de los vectores  1 , 0 y 2. 0 1 1 14. Usando las propiedades de la multiplicaci´on escalar y la suma de vectores: a) Demuestra que (−1)~u = −~u. b) Sup´ on que c~u = ~v 0 para alg´ un escalar c distinto de cero. Demuestra que ~u = ~v 0. 15. Una compa˜ n´ıa minera posee dos minas. En un d´ıa, la mina #1 produce mineral que contiene 30 toneladas m´etricas de cobre y 600 kilogramos de plata, mientras que, tambi´en en un d´ıa, la mina #2 produce mineral que contiene toneladas m´  40  etricas  de cobre y 380 kilogramos de plata. Sean 30 40 ~v v1 = y ~v v2 = . As´ı ~v v1 y ~v v2 representan la “producci´on 600 380 diaria” de la mina #1 y la mina #2, respectivamente. Responda a las siguientes preguntas: (a) ¿Qu´e interpretaci´ on f´ısica puede darse al vector 5~v v1 ? (b) Suponga que la compa˜ n´ıa opera la mina #1 durante x1 d´ıas y la mina #2 por x2 d´ıas. Escriba una ecuaci´on vectorial cuya soluci´on d´e el n´ umero de d´ıas que cada mina deber´ıa operar para producir 240 toneladas de cobre y 2824 kilogramos de plata. No resuelva la ecuaci´ on.

4

Cap´ıtulo 1. Vectores y matrices con coeficientes en R a) [M] Con la ayuda de un software matem´atico, resuelva la ecuaci´on en (b). 16. Una planta el´ectrica de vapor quema dos tipos de carb´on: antracita (A) y bituminoso (B). Por cada tonelada de A que se quema, la planta produce 27.6 millones de Btu de calor, 3100 gramos (g) de di´oxido de sulfuro, y 250 g de contaminantes s´ olidos (part´ıculas). Por cada tonelada de B que se quema, la planta produce 30.2 millones de Btu, 6400 g de di´oxido de sulfuro, y 360 g de contaminantes s´ olidos (part´ıculas). Responda a las siguientes preguntas: (a) ¿Cu´ anto calor produce la planta cuando quema x1 toneladas de A y x2 toneladas de B? (b) Suponga que la producci´ on de la planta de vapor est´a descrita por un vector que lista las cantidades de calor, di´oxido de sulfuro y contaminantes s´ olidos. Exprese esta producci´on como una combinaci´on lineal de dos vectores, suponiendo que la planta quema x1 toneladas de A y x2 toneladas de B. a) [M] Durante cierto tiempo, la planta de vapor produjo 162 millones de Btu de calor, 23.610 g de di´ oxido de sulfuro y 1623 g de contaminantes s´ olidos. Determine cu´ antas toneladas de cada tipo debe haber quemado la planta. Como parte de la soluci´on, incluya una ecuaci´ on vectorial.

1.2.

Matrices de m × n con coeficientes en R

17. Responde si es verdadero o falso, y justifica: a) Si las columnas primera y tercera de la matriz B son iguales, entonces tambi´en lo ser´ an las columnas primera y tercera de AB. b) Si las filas primera y tercera de la matriz B son iguales, entonces tambi´en lo ser´ an las filas primera y tercera de AB. c) Si las columnas primera y tercera de la matriz A son iguales, entonces tambi´en lo ser´ an las columnas primera y tercera de AB. d ) Si las filas primera y tercera de la matriz A son iguales, entonces tambi´en lo ser´ an las filas primera y tercera de AB. e) (AB)2 = A2 B 2 . 18. Verdadero o Falso. Justifica tu respuesta. a) Si existe A2 , entonces necesariamente A tiene que ser una matriz cuadrada. b) Si existen AB y BA, entonces A y B son necesariamente matrices cuadradas. c) Si existe AB y BA, entonces AB y BA son necesariamente matrices cuadradas. d ) Si AB = B, entonces necesariamente A = I.

1.2. Matrices de m × n con coeficientes en R

5

e) El producto de A~v v es una suma de vectores. 19. Dadas las matrices   2 −3 A= ; 1 4

 −1 B= 0

 1 ; 5

 C=

−2 1

3 −2

 4 0

encuentra: a) (2A + B)C b) C T (B − A)T c) (AC)T d ) C T AT e) Usa Maxima u Octave para construir un c´odigo que resuelva este problema computacionalmente (cada item). 20. Dadas las matrices  A=

−1 4



2 0 ; 3 −2

 2 B = 3 1

 1 2 ; −3

C=

 2 1

 −1 , 3

calcula AB, AT y AB − 2C. Usa Maxima u Octave para construir un c´ odigo que resuelva este problema computacionalmente. 21. Escribe las matrices A y B que verifican que sus componentes son: aij = i + j

y

bij = (−1)i+j .

Encuentra las matrices AB y BA. 22. Realiza las siguientes operaciones: 

 1 (1, −2, 7) −2 ; 7

    3 1 (1, −2, 7) 5 ; −2 (3, 5, 1) 1 7

23. Da un ejemplo de una matriz A de dimensi´on 3 × 3 distinta de la matriz cero, tal que: a) A es una matriz diagonal, esto es, aij = 0 si i 6= j. b) A es una matriz sim´etrica, esto es, aij = aji para todo valor de i, j. c) A es una matriz triangular superior, esto es, aij = 0 si i > j. d ) A es una matriz antisim´etrica, esto es, aij = −aji para todo valor de i, j. 24. Realiza las siguientes operaciones, usando la interpretaci´on de combinaci´ on lineal de vectores para el producto. Usa Maxima u Octave para dibujar en R3 la combinaci´ on lineal que se est´a realizando, y comprueba que coincide la suma geom´etrica de los vectores reescalados con el resultado obtenido algebraicamente:

6  4 (a)0 4

0 1 0

Cap´ıtulo 1. Vectores y matrices con coeficientes en R      1 3 1 0 0 5 0 4 (b)0 1 0 −2 1 5 0 0 1 3

25. Realiza la siguiente multiplicaci´ on:    2 0 1 1 3 1 Dibuja los vectores columna de la primera matriz. Haz la suma geom´etrica en R2 de estos vectores columna. Verifica que efectivamente, el producto calculado coincide con la suma de esos dos vectores. ¿Por qu´e? 26. Realiza las siguientes operaciones, usando la interpretaci´on de combinaci´ on lineal de vectores para el producto.Usa Maxima u Octave para dibujar en R3 la combinaci´ on lineal que se est´a realizando, y comprueba que coincide la suma geom´etrica de los vectores reescalados con el resultado obtenido algebraicamente:      4 1   1 2 3 0 1 (a)5 1 (b)4 5 6 1 3 6 1 7 8 9 0   4 3   1/2 (c)6 6 1/3 8 9 27. ¿Cu´ al o cu´ ales de estas matrices son igual a (A + B)2 ? A2 +2AB+B 2 ,

A(A+B)+B(A+B),

(A+B)(A+B),

A2 +AB+BA+B 2

28. Mediante prueba y error, encuentra ejemplos de matrices 2 × 2 tal que: a) A2 = −I, donde todas las componentes de A son valores reales. b) B 2 = (0) y B 6= (0). c) CD = −DC y CD 6= (0). d ) EF = (0) aunque ninguna componentes de las matrices E y F es igual a cero. 29. Encuentra las potencias A2 , A3 , B 2 , B 3 , C 2 , C 3 para las siguientes matrices:     1/2 1/2 1 0 A= B= 1/2 1/2  0 −1  1/2 −1/2 C= 1/2 −1/2 ¿Podr´ıas deducir qui´enes ser´ıan Ak , B k , C k ? 30. Sea A una matriz de 3 × 5, B una matriz de 5 × 3, C una matriz de 5 × 1 y D una matriz de 3 × 1. Si todas las componentes de las matrices A, B, C, D valen 1, ¿cu´ ales de estas operaciones est´an permitidas, y cu´al es el resultado? BA

AB

ABD

DBA

A(B + C)

1.2. Matrices de m × n con coeficientes en R

7

31. La primera componente del vector A~v x es a11 x1 +. . .+a1n xn . ¿Cu´al ser´ıa la tercera componente de A~v x? ¿Y la componente de la primera fila y la primera columna de A2 ? 32. Multiplica las siguientes matrices para encontrar EF ,    1 0 0 1 E = a 1 0 y F = 0 b 0 1 0

F E y E2:  0 0 1 0 c 1

Usa Maxima u Octave para construir un c´odigo que resuelva este problema computacionalmente. 33. Sean A y B las matrices complejas 3 × 2    i 1 − i 2i + 1 −3i  , B =  2i A =  1 − 2i 1 2 3+i

 1 − 2i 5 + 3i  , 3−i

entonces A + B es? 34. ¿Qu´e filas o columnas o matrices se deben multiplicar para conseguir...? a) ...la tercera columna de AB? b) ...la primera fila de AB? c) ...la componente de la fila 4 y la columna 3 de AB? d ) ...la componente de la fila 1 y la columna 1 de CDE? 35. Encuentra la matriz B de 3 × 3 tal que, para cualquier matriz A, se verifica que BA = 4A. Usa Maxima u Octave para construir un c´odigo que resuelva este problema computacionalmente. 36. Utilizando la definici´ on de A~v v = ~b, escriba la ecuaci´on matricial como una ecuaci´ on vectorial, y especifique los pesos que hacen que ~b sea combinaci´ on lineal de los vectores columna de A.     2    1 2 −3 1  −1 = −4 a) −2 −3 1 −1  2  1 −1     2 −3   −21 3  1  2  −3   b)   8 −5 5 = −49 −2 1 11     3 2 37. Si A = yB= , encuentra las matrices: AT B, B T A, AB T , BAT . 1 2 38. Demuestra que para una matriz distinta de la matriz cero, A2 = (0) es posible pero AAT = (0) es imposible. 39. En general (AB)T = B T AT pero (AB)T 6= AT B T . ¿Qu´e propiedad deben verificar las matrices A y B para que se verifique (AB)T = AT B T ?

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Cap´ıtulo 1. Vectores y matrices con coeficientes en R 40. Suponga que A es una matriz de m × n, y que existan las matrices C y D de n × m, tales que CA = In y AD = Im . Demuestre que m = n y C = D. (Sugerencia: Piense en el producto CAD).

2 Sistemas de Ecuaciones lineales 2.1.

Definici´ on de un sistema de ecuaciones lineales

41. Escribe a qu´e sistemas de ecuaciones lineales representan las siguientes ecuaciones matriciales:           u   u 1 1 1 2 2   1 2 2   v = v = (b) (a) 4 4 2 4 4 2 4 5 w w 42. Escribe las siguientes ecuaciones vectoriales que sirven para determinar si un vector ~b es o no combinaci´on lineal de ciertos vectores como un sistema de ecuaciones lineales, y despu´es escribe la forma matricial de este sistema de ecuaciones      lineales.   6 7 −5 4 −8 −8 3 −1        a) x1   7  + x2 −5 + x3  0  =  0  −7 2 1 −4           2 −1 −4 0 5 b) z1 + z2 + z3 + z4 = −4 5 3 2 12         1 0 5 2 43. Sean ~v1 = −3 , ~v2 = −3 , ~v3 = −1 , b = −1. Considera la 0 2 5 5 ecuaci´ on vectorial x1~v1 + x2~v2 + x3~v3 = b. que al resolverla determinar´ a si ~b es combinaci´on lineal o no de los vectores ~v1 , ~v2 , ~v3 . Escribe el sistema de ecuaciones lineales, la matriz aumentada correspondiente y la ecuaci´ on matricial equivalentes a la ecuaci´on. 44. Plantea el sistema determinar si el    de ecuaciones que hay que resolver para      11 1 −2 −6 vector ~b = −4 es combinaci´ on lineal de los vectores 0 ,  2  ,  7 , 9 1 2 5 con alg´ un peso distinto de cero, y su forma matricial.

2.2.

Resoluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales

45. (Verdadero / falso) En el siguiente, marca cada enunciado como verdadero o falso y justif´ıca tu respuesta. 9

10

Cap´ıtulo 2. Sistemas de Ecuaciones lineales a) Todas las operaciones elementales de fila son reversibles. b) Dos matrices son equivalentes por filas si tienen el mismo n´ umero de filas. c) Multiplicar una fila de una matriz aumentada por cero es una operaci´ on elemental de fila. d ) Todas las entradas principales de una matriz en forma escalonada est´ an situadas en columnas distintas. e) Si un sistema lineal tiene m´ as variables que ecuaciones, entonces necesariamente tiene un n´ umero infinito de soluciones. f ) En algunos casos, una matriz se puede reducir por filas a m´as de una matriz en forma escolonada reducida, mediante diferentes secuencias de operaciones por fila.

46. (Verdadero / falso) Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justif´ıca tu respuesta. a) Todas las operaciones elementales de fila son reversibles. b) La ecuaci´ on matricial A~x = ~b es consistente si la matriz aumentada (A | ~b) tiene una posici´ on pivote en cada fila. c) Dos matrices son equivalentes por filas si tienen el mismo n´ umero de filas. d ) Multiplicar una fila de una matriz aumentada por cero es una operaci´ on elemental de fila. e) Sea A una matriz de 3 × 5. La ecuaci´on A~x = ~b tiene al menos una soluci´ on para todo ~b si y s´ olo si A tiene 3 pivotes. 47. Considera el sistema lineal   2x1 + x2 5x1 + 4x2  3x1 + 2x2

+ x3 − 5x3 − x3

= 5 = −1 = 3

a) Escribe la matriz de coeficientes y la matriz aumentada de este sistema. b) Usa el m´etodo de Gauß para encontrar la forma escalonada reducida de la matriz aumentada del sistema. Usa Maxima, Octave o Matlab para determinar que la forma escalonada reducida que has calculado es correcta. (El comando correspondiente en Octave y Matlab es rref(A)). c) Escribe el conjunto soluci´ on del sistema. 48. Usa el m´etodo de Gauß para resolver el minar su conjunto soluci´ on:  2x + 2y    w − y  2w + 3x + y   −2w + x + 3y

siguiente sistema lineal y deter+ − + −

4z 3z z 2z

= 0 = 0 = 0 = 0

2.2. Resoluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales

11

Adem´ as, usa Maxima u Octave para construir un c´odigo que resuelva este problema computacionalmente, y as´ı comprobar que tu respuesta es correcta. 49. Encuentra todos los valores para a y b de manera que el sistema lineal  x1 + ax2 = 3 4x1 + 8x2 = b a) no tenga soluci´ on, b) tenga una u ´nica soluci´ on, c) tenga un n´ umero infinito de soluciones. 50. Determina para cu´ ales valores de a, b, c el siguiente sistema lineal es consistente:   2x1 + 3x2 − x3 = a x1 + x2 + 2x3 = b  2x2 − 3x3 = c 51. Sup´ on que un sistema de ecuaciones lineales tiene una matriz aumentada de 3 × 5 cuya quinta columna es una columna pivote. ¿El sistema es consistente? ¿Por qu´e? 52. Usa Maxima, Octave o Matlab para determinar la forma escalonada   3 −2 4 0 reducida de la matriz A = 9 −6 12 0 . (El comando correspon6 −4 8 0 diente en Octave y Matlab es rref(A)). 53. Encuentra las soluciones en forma param´etrica para los siguientes sistemas de ecuaciones lineales dados en forma matricial:         u   u   1 1 1 2 2   1 2 2   v = v = 4 4 2 4 4 2 4 5 w w 54. Encuentra la matriz las variables libres?  1 A = 0 1

escalonada de las siguientes matrices. ¿Cu´ales son 2 1 2

0 1 0

 1 0 1

 1 B = 4 7

2 5 8

 3 6 9

55. Bajo qu´e condiciones en las componentes del vector ~b es el siguiente sistema consistente:     1 0   b1 u 0 1 = b2  v 2 3 b3 56. Bajo qu´e condiciones en las componentes del vector ~b es el siguiente sistema consistente:     1 2 0 3 ~b = b1 A= 2 4 0 7 b2

12

Cap´ıtulo 2. Sistemas de Ecuaciones lineales

57. Escriba las soluciones en forma param´etrica del siguiente sistema de ecuaciones lineales.  8  2x1 + 2x2 + 4x3 = −4x1 − 4x2 − 8x3 = −16  − 3x2 − 3x3 = 12

58.

59.

60.

61.

62.

  0 Determina si el vector ~0 = 0 es combinaci´on lineal de los vectores 0       1 6 3 2 , 4 , 2, con alg´ un peso distinto de cero. Usa Maxima, Oc6 2 1 tave o Matlab para comprobar que tu respuesta es correcta.   11 Determina si el vector ~b = −4 es combinaci´on lineal de los vectores 9       1 −2 −6 0 ,  2  ,  7 , con alg´ un peso distinto de cero. Usa Maxima, 1 2 5 Octave o Matlab para comprobar que tu respuesta es correcta.       4 −2 1 Sean ~v1 =  4  , ~v2 = −3 , b =  1 . Determina para cu´ales valoh 7 −2 res de h ∈ R el vector b es combinaci´ on lineal de los vectores ~v1 , ~v2 .   1 2  Determina el valor de a, si es que existe, de tal forma que el vector  a 5       0 0 1 1 0 1      es combinaci´ on lineal de los vectores  1 , 0 y 2. 1 1 0   1 3 4 Sea A = −4 2 −6. −3 2 −7 a) Determina si para todos b ∈ R3 la ecuaci´on matricial Ax = b tiene una soluci´ on. b) Usa Maxima u Octave para construir un c´odigo que resuelva este problema computacionalmente

63. Suponga que la siguiente matriz es la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales. ¿Es el sistema consistente o inconsistente?   2 1 7 3 4  0 0 3 2 1 . 0 1 0 0 0

2.2. Resoluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales 64. Revisa estas tres ecuaciones y decide si   x + 2y x − y  y

13

el sistema es consistente: = = =

2 2 1

¿Qu´e ocurre si todas las constantes del lado derecho son cero?. ¿Existe alguna posibilidad de cambiar los valores de la derecha a escalares distintos de cero, para que la soluci´ on sea consistente, esto es, para que las tres rectas intersequen en un mismo punto?. 65. Un importante asunto en el estudio de transferencia de calor es determinar la distribuci´ on de temperatura de estado estable de una placa delgada cuando se conoce la temperatura en los bordes. Sup´on que la placa que se ilustra en la figura representa una secci´on transversal de una viga de metal, con flujo de calor despreciable en la direcci´on perpendicular a la placa. Sean T1 ,..., T4 las temperaturas en los cuatro nodos interiores de la malla en la figura. La temperatura en un nodo es aproximadamente igual al promedio de las temperaturas de los cuatro nodos m´as cercanos, esto es, a la izquierda, arriba, a la derecha y abajo. Por ejemplo, T1 =

10 + 20 + T2 + T4 , o 4T1 − T2 − T4 − 30. 4

a) Escribe un sistema de cuatro ecuaciones lineales para determinar las temperaturas T1 , T2 , T3 , T4 . b) Resuelve este sistema. 66. Una planta el´ectrica de vapor quema dos tipos de carb´on: antracita (A) y bituminoso (B). Por cada tonelada de A que se quema, la planta produce 27,6 millones de Btu de calor, 3100 gramos (g) de di´oxido de sulfuro, y 250 g de contaminantes s´ olidos (part´ıculas). Por cada tonelada de B que se quema, la planta produce 30,2 millones de Btu, 6400 g de di´oxido de sulfuro, y 360 g de contaminantes s´olidos (part´ıculas). (a) ¿Cu´ anto calor produce la planta cuando quema x1 toneladas de A y x2 toneladas de B? (b) Sup´ on que la producci´ on de la planta de vapor est´a descrita por un vector que lista las cantidades de calor, di´oxido de sulfuro y contaminantes s´ olidos. Expresa esta producci´on como una combinaci´on lineal de dos vectores, suponiendo que la planta quema x1 toneladas de A y x2 toneladas de B.

14

Cap´ıtulo 2. Sistemas de Ecuaciones lineales (c) Durante cierto tiempo, la planta de vapor produjo 162 millones de Btu de calor, 23.610 g de di´ oxido de sulfuro y 1623 g de contaminantes s´ olidos. Usa Maxima, Octave o Matlab para determinar cu´ antas toneladas de cada tipo debe haber quemado la planta. Como parte de la soluci´ on, incluye una ecuaci´on vectorial.

2.3.

Sistemas homogeneos e independencia lineal

67. Indica si cada enunciado es verdadero o falso con su respectiva justificaci´ on. a) Una ecuaci´ on homog´enea siempre es consistente. b) La ecuaci´ on homog´enea A~x = ~0 tiene la soluci´on trivial si y solo si la ecuaci´ on tiene al menos una variable libre. c) Un sistema homog´eneo de ecuaciones puede ser inconsistente. d ) Si ~x es una soluci´ on no trivial de A~x = ~0, entonces cada entrada en ~x es distinta de cero. e) Si ~x es una soluci´ on no trivial de A~x = 0, entonces cada entrada en ~x es distinta de cero. f ) La ecuaci´ on A~x = ~b es una ecuaci´ on homog´enea si el vector 0 es una soluci´ on. g) La ecuaci´ on A~x = ~b es homog´enea si el vector cero es una soluci´on. h) Las operaciones de fila no afectan las relaciones de dependencia lineal entre las columnas de una matriz. 68. Sea A es una matriz de 3 × 3 con tres posiciones pivote. Indica si, a) la ecuaci´ on A~x = ~0 tiene una soluci´on no trivial. b) La ecuaci´ on A~x = ~b tiene al menos una soluci´on para toda posible ~b. ¿Y m´ as de una soluci´ on? 69. (Verdadero / Falso) En el siguiente, marca cada enunciado como verdadero o falso y justif´ıca tu respuesta. (a) Un conjunto de 4 vectores en R3 no puede ser linealmente independiente. (b) Un conjunto de 2 vectores en R3 es linealmente independiente. (c) Si un conjunto de 3 vectores {~v1 , ~v2 , ~v3 } en Rn es linealmente independiente, entonces para cualquier k ∈ R\{0} el conjunto {k~v1 , k~v2 , k~v3 } tambi´en es linealmente independiente. (d) Si ~v ∈ Rn es un vector distinto de cero, entonces el conjunto {~v } es linealmente independiente. (e) Si ~v ∈ Rn es un vector distinto de cero, entonces el conjunto {~v , −~v } es linealmente independiente. (f) Si {v1 , v2 , v3 , v4 } es un conjunto de vectores linealmente independientes, entonces el conjunto {v1 , v2 , v3 } es linealmente independiente.

2.3. Sistemas homogeneos e independencia lineal

15

(g) Sean v1 , v2 ∈ R7 vectores linealmente independientes. Entonces u − v, u + v son linealmente independientes. (h) Si ninguno de los tres vectores en R3 del conjunto S = {~v1 , ~v2 , ~v3 } es m´ ultiplo de alguno de los otros dos, entonces S es linealmente independiente.     1 2 (i) Los vectores −1 y −3 son colineales. 1 2 (j) Dado un conjunto S = {v1 , . . . , vs } de vectores linealmente independientes, cualquier subconjunto S 0 no vac´ıo de S est´a formado por vectores linealmente independientes. (k) Sean tres vectores ~v u, ~v v, ~v w tales que ~v u es combinaci´on lineal de ~v v y ~v w. Entonces, los vectores ~v v y ~v w son linealmente dependientes. (l) Las columnas de una matriz 4 × 5 son linealmente dependientes. 70. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene como soluci´on (x, y) = (0, 0). ¿Para qu´e valores de a hay m´as de una soluci´on? Escribe el conjunto soluci´ on como combinaci´ on lineal de vectores. Dibuja la soluci´on en el plano. ¿Qu´e se obtiene?  ax + 2y = 0 2x + ay = 0   2 71. Comprueba que el vector ~x = 1 es una soluci´on del sistema A~x = ~0, 1   3 −6 0 donde A = 0 2 −2. ¿Puedes encontrar m´as soluciones a este 1 −1 −1 sistema? ¿Por qu´e es esto posible? 72. Sea A una matriz de 2 × 5 con dos posiciones pivote. Determina, a) ¿la ecuaci´ on A~x = ~0 tiene una soluci´on no trivial? b) ¿La ecuaci´ on A~x = ~b tiene al menos una soluci´on para toda posible ~b? 73. Sup´ on que A~x = ~b tiene una soluci´on. Explique por qu´e la soluci´on es u ´nica precisamente cuando A~x = ~0 tiene solo la soluci´on trivial. 74. Describe todas las soluciones de A~x = ~0 en forma vectorial param´etrica, donde A es equivalente por filas a la matriz dada.   1 −4 −2 0 3 −5 0 0 1 0 0 −1   0 0 0 0 1 −4 0 0 0 0 0 0

16

Cap´ıtulo 2. Sistemas de Ecuaciones lineales

75. Encuentra las soluciones para los sistemas homog´eneos A~x = ~0 y B~x = ~0.     1 2 0 1 1 2 3 A = 0 1 1 0 B = 4 5 6 1 2 0 1 7 8 9 76. Sup´ on que F es una matriz de n×n. Si la ecuaci´on F ~x = ~y es inconsistente para alguna ~y en Rn , ¿qu´e se puede decir acerca de la ecuaci´on F ~x = ~0? ¿Por qu´e? 77. Explica por qu´e las columnas de una matriz A de n × n son linealmente independientes cuando A es invertible. 78. Encuentre el mayor n´ umero posible de vectores linealmente independientes entre los siguientes vectores:             0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 −1            ~v1 =   0  , ~v2 = −1 , ~v3 =  0  , ~v4 = −1 , ~v5 =  0  , ~v6 =  1  −1 −1 0 −1 0 0 79. Diga si estos vectores son linealmente dependientes o independientes.


(a) Los vectores 1 3 2 , 2 1 3 y 3 2 1


(b) Los vectores 1 −3 2 , 2 1 −3 y −3 2 1 80. Si w ~ 1, w ~ 2, w ~ 3 son vectores linealmente independientes, muestre que las diferencias ~v1 = w ~2 −w ~ 3 , ~v2 = w ~1 −w ~ 3 y ~v3 = w ~1 −w ~ 2 son linealmente dependientes. Para ello, encuentre una combinaci´on de las vectores ~v1 , ~v2 , ~v3 que da cero como resultado. 81. Si w ~ 1, w ~ 2, w ~ 3 son vectores linealmente independientes, muestre que las sumas ~v1 = w ~2 + w ~ 3 , ~v2 = w ~1 + w ~ 3 y ~v3 = w ~1 + w ~ 2 son linealmente independientes. Para ello, escriba c1~v1 +c2~v2 +c3~v3 = ~0 en t´erminos de los vectores w ~ 1, w ~ 2, w ~ 3 . Encuentre y resuelva ecuaciones para las constantes c1 , c2 , c3 , para demostrar que ´estas son cero. 82. Sean ~v1 y ~v2 vectores en R3 . Entonces: (a) Los vectores ~v1 y ~v2 ser´ an linealmente dependientes si ..........................
(b) Los vectores ~v1 y 0 0 0 son linealmente dependientes porque ..........................   a b c 83. Sea U = 0 d e . Demuestre que si a = 0 ´o d = 0 ´o f = 0, los 0 0 f vectores columna de U son linealmente dependientes. 84. Si a, d y f en el ejercicio anterior son todos diferentes de cero, muestre que la u ´nica soluci´ on para U~x = 0 es ~x = 0. Entonces U triangular superior tendr´ a columnas linealmente independientes.

2.3. Sistemas homogeneos e  2 3 4 0 6 7 85. Sean U =  0 0 0 0 0 0

independencia   2 1 0 0 yA= 0 9 4 0

lineal 3 6 0 6

4 7 0 8

17  1 0 . 9 2

Escoja tres vectores columna que sean linealmente independientes de U . Luego Proponga dos opciones distintas. Haga lo mismo para A. 86. Demuestra que los vectores ~a1 , ~a2 , ~a3 son linealmente independientes pero ~a1 , ~a2 , ~a3 , ~a4 son linealmente dependientes:         1 1 1 2 ~a1 = 0 , ~a2 = 1 , ~a3 = 1 , ~a4 = 3 . 0 0 1 4 87. Sean w ~ 1, w ~ 2, w ~ 3 tres vectores linealmente independientes en R3 . Demuestra que: (a) Los vectores u1 = w ~2 − w ~ 3 , ~v2 = w ~1 − w ~ 3 , ~v3 = w ~1 − w ~ 2 son linealmente dependientes. (Sugerencia: Encuentra una combinaci´on lineal no trivial de los ~vi que de cero.) (b) Los vectores ~u1 = w ~2 + w ~ 3 , ~u2 = w ~1 + w ~ 3 , ~u3 = w ~1 + w ~ 2 son linealmente independientes. (Sugerencia: Escribe la ecuaci´on c1 ~u1 + c2 ~u2 + c3 ~u3 = ~0 y reformula esta usando los w ~ i .) 88. ¿Cu´ antas columnas pivote debe tener una matriz de 6 × 4 para que sus columnas sean linealmente independiente? 89. Dados los siguientes conjuntos de vectores, diga si son linealmente independientes o no, y en cada caso explique por qu´e:     −2   1 a) 1 , −2   0 0       1 −1 2 b) , , 1 1 3       1 2 1        3 0  0         , 0 , 1 0 c)          0 0 0       0 0 0       1 0   −1 d )  1  , 2 , 0   0 3 0 90. Sean v~1 y ~v2 dos vectores linealmente independientes, y ~v3 = ~v1 +2~v2 , ~v4 = ~v1 − 2~v2 . Demuestra que v~3 y ~v4 tambi´en son linealmente independientes.

18

2.4.

Cap´ıtulo 2. Sistemas de Ecuaciones lineales

Matrices invertibles

91. Argumenta por qu´e una matriz con una columna de ceros nunca va a ser invertible.   2 1 4 6 0 3 8 5  92. Sea la matriz A =  0 0 0 7 . Demuestra que A no puede ser inver0 0 0 9 tible. (Pista: Si existiera A−1 , entonces la matriz A multiplicada para la tercera columna de   0 0 −1 ´ A deberıa de ser la columna  . ¿Es esto posible? 1 0

93. Demuestra que A =

 1 3

 1 no tiene inversa, demostrando que no existen 3

a, b, c, d tal que:  1 3

 1 a 3 b

  c 1 = d 0

 0 1

94. Sea una matriz A de tal forma que su tercera fila es la suma de la primera fila m´ as la segunda fila. Demuestra que A no es invertible.   5 7 95. Determina si la matriz es invertible. Usa tan pocos c´alculos −3 −6 como sea posible. Justifica tu respuesta. 96. Sea A una matriz. Demuestre que, si la inversa de la matriz A2 es B, entonces la inversa de A es AB. 97. Encuentra tres matrices 2 × 2 diferentes de I2 y −I2 , que sean inversas de si mismas, esto es, que verifiquen que A2 = I. 98. Responde a estas cuestiones: a) Demuestra que si A es invertible y AB = AC, entonces B = C. ´ Esto OBSERVACION: olo es cierto si A es invertible. Contra s´ 1 0 ejemplo: si A = encuentra un ejemplo de dos matrices B, C 0 0 que verifican que AB = AC pero B 6= C. Demuestra que A no es invertible. Para  ello,  plantea el problema de la existencia de la matriz 1 0 inversa de en t´erminos de un sistema de ecuaciones lineales. 0 0 99. La matriz ((AB)−1 )T se puede calcular conociendo (A−1 )T y (B −1 )T . ¿De qu´e forma? 100. Encuentra AT , A−1 , (A−1 )T , (AT )−1 para las matrices:     1 0 1 c y 9 3 c 0

2.4. Matrices invertibles

19

101. Si A, B, C son matrices invertibles, y AB = C, encuentra una f´ormula para A−1 . 102. Sup´ on que A es invertible y que intercambiando sus dos filas conseguimos la matriz B. ¿Es B invertible? ¿C´omo construir´ıas B −1 a partir de A−1 ? 103. Encuentra la inversa (si existe) de las siguientes matrices. Si no existe, justifica por qu´e no existe:   0 0 0 1 0 0 2 0  a) A1 =  0 3 0 0 4 0 0 0   1 0 0 0 −1/2 1 0 0  b) A2 =   0 −2/3 1 0 0 0 −3/4 1   1 0 0 c) A3 = 1 1 1 0 0 1   2 −1 0 d ) A4 = −1 2 −1 0 −1 2   0 0 1 e) A5 = 0 1 1 1 1 1   cos θ − sin θ f ) A6 = sin θ cos θ   1 0 0 0 1/4 1 0 0  g) A7 =  1/3 1/3 1 0 1/2 1/2 1/2 1 104. ¿Bajo que condiciones matrices invertibles?  a A = d f

sobre las componentes de A y B son las siguientes b e 0

 c 0 0

 a B = c 0

 b 0 d 0 0 e

3 Subespacios vectoriales de Rn y transformaciones lineales 3.1.

Sistemas generadores y subespacios vectoriales

Sistemas generadores 105. (Verdadero / falso) Determina si cada enunciado es verdadero o falso y justifica tu respuesta.     −2 −5 a) Los puntos en el plano que corresponden a y est´an 5 2 sobre una recta que pasa por el origen. b) El conjunto gen{~u, ~v v} siempre se visualiza como un plano que pasa por el origen. c) Preguntar si el sistema  lineal correspondiente a la matriz aumentada  ~ ~a1 ~a2 ~a3 b tiene soluci´on equivale a preguntar si el vector ~b est´ a en gen{~a1 , ~a2 , ~a3 }. d ) El vector ~v v 2 .

1 vv1 3~

est´ a en el subespacio vectorial generado por ~v v 1 y

e) Sean ~v u, ~v v ∈ R3 dos vectores distintos de cero. Entonces, el espacio vectorial generado por ~v u y ~v v consiste exactamente en el origen, en la recta que pasa por ~v u y en la recta que pasa por ~v v. f ) Si la ecuaci´ on A~v x = ~v b es inconsistente, entonces ~v b est´a en el espacio generado por las columnas de A. g) ~v 0 ∈ gen{~v u, ~v v}, para cualesquiera dos vectores ~v u, ~v v en Rn .            1 1 1 1   1 h) gen 0 , 1 , 2 , 3 , 4 = R3   1 1 1 1 1 i ) Si las columnas de una matriz A de m × n generan a Rm , entonces la ecuaci´ on A~x = ~b es consistente para cada ~b en Rm . j ) Si A es una matriz de m × n cuyas columnas no generan a Rm , entonces la ecuaci´ on A~x = ~b es consistente para toda ~b en Rm . 106. ¿Cu´ antas columnas pivote debe tener una matriz de 4 × 6 para que sus columnas pivote generen a R4 ? 21

22

Cap´ıtulo 3. Subespacios vectoriales de Rn y transformaciones lineales

107. Describe  el conjunto   de los vectores ~v b que pueden ser alcanzados por los 0 1 vectores 1 y 0. 3 2 

1 108. Sea A = −4 −3

 3 4 2 −6. 2 −7

a) Escribe el sistema de ecuaciones lineales dado por A~v x = ~v b, para cualquier ~v b ∈ R3 . b) Determina si para todos ~v b ∈ R3 la ecuaci´on matricial A~v x = ~v b tiene soluci´ on. c) Interpreta el resultado obtenido en el literal anterior. ¿Las columnas de A generan R3 ? d ) Usa Maxima u Octave para construir un c´odigo que resuelva este problema computacionalmente.   1 3 4 109. Sea A = −4 2 −6. −3 2 −7 (a) Escribe el sistema de ecuaciones lineales dado por A~v x = ~v b, para cualquier ~v b ∈ R3 . (b) Determina si para todos ~v b ∈ R3 la ecuaci´on matricial A~v x = ~v b tiene una soluci´ on. (c) Interpreta el resultado obtenido en el literal anterior. ¿Las columnas de A generan R3 ? (d) Usa Maxima u Octave para construir un c´odigo que resuelva este problema computacionalmente. 110. Construye una matriz A de 3×3 cuyas columnas generen R3 y una matriz B de 3 × 3 cuyas columnas no generen R3 .     1 −2 111. Dados ~v v1 =  1  y ~v v2 =  3 . Haz una lista de 5 vectores en −2 0 gen{~v v1 , ~v v2 }.     3 −4 112. Sean ~v v1 = 1 y ~v v2 =  0 . Haz una lista de 5 vectores en 2 1 gen{~v v1 , ~v v2 }.       1 −5 3 113. Sean ~a1 =  3 , ~a2 = −8 y ~b = −5. ¿Con qu´e valor (o valores) −1 2 h de h se encuentra ~b en el plano generado por ~a1 y ~a2 ?

3.1. Sistemas generadores y subespacios vectoriales 23       1 −2 h 114. Dados ~v v1 =  0 , ~v v2 =  1  y ~y = −3. ¿Con qu´e valor (o −2 7 −5 valores) de h se encuentra ~y en el plano generado por ~v v1 y ~v v2 ? 115. Realiza una descripci´ on geom´etrica de gen{~v v1 , ~v v2 } para los vectores de los ejercicios 113 y 114.       2 2 h 116. Sean ~u = y ~v vvvvv = . Demuestra que est´a en gen{~u, ~v v} −1 1 k para todas las h y k. 117. Construye una matriz A de 3 × 3, con entradas diferentes de cero, y un vector ~b en R3 tal que ~b no est´e en el conjunto generado por las columnas de A.     1 0 −4 4 118. Sean A =  0 3 −2 y ~b =  1 . Denota las columnas de A por −2 6 3 −4 ~a1 , ~a2 , ~a3 , y sea W = gen{~a1 , ~a2 , ~a3 }. (a) ¿Est´ a ~b en {~a1 , ~a2 , ~a3 }? ¿Cu´ antos vectores hay en {~a1 , ~a2 , ~a3 }? (b) ¿Est´ a ~b en W ? ¿Cu´ antos vectores hay en W ? (c) Demuestra que ~a1 est´ a en W .     10 2 0 6 119. Sean A = −1 8 5 y ~b =  3  y sea W el conjunto de todas las 7 1 −2 1 combinaciones lineales de las columnas de A. (a) ¿Est´ a ~b en W ? (b) Demuestra que la segunda columna de A est´a en W .     0 3 −5 120. Dados ~u = 4 y A = −2 6 . ¿Est´a ~u en el plano en R3 generado 4 1 1 por las columnas de A? ¿Por qu´e?.



   4 2 5 −1 121. Sean ~u = −1 y A = 0 1 −1. ¿Est´a ~u en el subconjunto de R3 4 1 2 0 generado por las columnas de A? ¿Por qu´e?.

24

122.

123.

124.

125.

Cap´ıtulo 3. Subespacios vectoriales de Rn y transformaciones lineales     1 −2 −1 b1 0  y ~u = b2 , demuestra que la Considerando A = −2 2 4 −1 3 b3 ~ ecuaci´ on A~x = b no tiene soluci´ on para todas las posibles ~b, y describe el ~ conjunto de todas las b para las cuales A~x = ~b s´ı tiene soluci´on.   1 4 1 2 0 1 3 −4 4  Dada la matriz B =  0 2 6 7 . ¿Cada vector en R se puede 2 9 5 −7 escribir como una combinaci´ on lineal de las columnas de la matriz B? Dicho de otra manera, ¿las columnas de B generan a R4 ?       1 0 1 0 −1 0      Sean ~v v1 =  −1, ~v v2 =  0  y ~v v3 =  0 . ¿Generan {~v v1 , ~v v2 , ~v v3 } −1 1 0 a R4 ? ¿Por qu´e?       4 0 0 Sean ~v v1 =  0 , ~v v2 = −3 y ~v v3 = −2. ¿Generan {~v v1 , ~v v2 , ~v v3 } −6 9 −3 a R3 ? ¿Por qu´e?

126. Construye una matriz de 3 × 3, no en forma escalonada, cuyas columnas no generen a R3 . Demuestra que la matriz que construiste tiene la caracter´ıstica deseada. 127. Suponga que A es una matriz de 4 × 4 y ~b un vector dado en R4 tal que A~x = ~b tiene una soluci´ on u ´nica. Explique por qu´e las columnas de A deben generar a R4 .

Ejercicios sobre subespacios vectoriales 128. Responde si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y justifica tus respuestas. (a) El conjunto de todas las soluciones de un sistema de m ecuaciones homog´eneas con n inc´ ognitas es un subespacio vectorial de Rm . (b) Si B es la forma escalonada de una matriz A, entonces las columnas pivote de B forman un conjunto generador para Col(A). (c) Dados los vectores ~v v1 , . . . , ~v vp en Rn , el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores es un subespacio vectorial de Rn . (d) Sea H un subespacio vectorial de Rn . Si ~x est´a en H, y ~y est´a en Rn , entonces ~x + ~y est´ a en H. (e) Si ~u es un vector en un subespacio vectorial V , entonces λ~u ∈ V . (f) El conjunto {~v 0} no es un subespacio vectorial de Rn . (g) R2 es un subespacio vectorial de R3 .

3.1. Sistemas generadores y subespacios vectoriales

25

(h) Si H es un subespacio vectorial de Rn , entonces ~v 0 ∈ / H.   −2t 129. Sea H el conjunto de todos los vectores de la forma  5t , con t ∈ R, 3t esto es:     −2t  H =  5t  ∈ R3 : t ∈ R .   3t Encuentra un vector ~v v en R3 tal que H = gen{~v v}. ¿Por qu´e esto demuestra que H es un subespacio vectorial de R3 ?   3t 130. Sea H el conjunto de todos los vectores de la forma  0  , con t ∈ R, −7t esto es:     3t  H =  0  ∈ R3 : t ∈ R .   −7t Demuestra que H es un subespacio vectorial de R3 .   4a + 3b   0  131. Sea W el conjunto de todos los vectores  a + 3b + c donde a, b y c 3b − 2c representan n´ umeros reales arbitrarios, , esto es:    4a + 3b        0 3  ∈ R : a, b, c ∈ R . W =    a + 3b + c       3b − 2c Determina si W es o no un subespacio vectorial de R3 .   4a + 3b   1  132. Sea W el conjunto de todos los vectores  a + 3b + c donde a, b y c 3b − 2c representan n´ umeros reales arbitrarios, , esto es:    4a + 3b        1 3   W =  ∈ R : a, b, c ∈ R . a + 3b + c       3b − 2c Determina si W es o no un subespacio vectorial de R3 . 133. Determina si los siguientes conjuntos son o no un subespacio vectorial:     a  (a)  b  : a, b, c = 2   c

26

Cap´ıtulo 3. Subespacios vectoriales de Rn y transformaciones lineales     r  (b) s : 3r − 2 = 3s + t   t    p        q   (c)   : p − 3q = 4s y 2p = s + 5r r       s    a        b   (d)   : 3a + b = c y a + b + 2c = 2d c       d    s − 2t        3 + 3s   : s, t reales (e)  3s + t        2s

134. Sea una matriz A. Responde a las siguientes preguntas: (a) Si a˜ nadimos a la matriz una nueva columna, entonces el espacio columna aumenta en n´ umero de vectores, a no ser que la columna a˜ nadida sea ............................ (b) Encuentra un ejemplo d´ onde al a˜ nadir la columna el espacio columna aumenta, y otro donde no lo haga. (c) ¿Por qu´e un sistema de ecuaciones Ax = b es consistente si, al aumentar la matriz A precisamente con el vector b, el espacio columna no cambia? 135. ¿Existe un subespacio vectorial de R4 que sea el conjunto soluci´on de las siguientes ecuaciones: t = 0, z = 0 y x + y + z + t = 1? 136. El vector b pertenece al espacio columna de A cuando es una soluci´on de .................... El vector c pertenece al espacio fila de A cuando es una soluci´ on de .................... 137. Es posible demostrar que una soluci´ on del sistema que se muestra a continuaci´ on es x1 = 3, x2 = 2, y x3 = −1. Con base en este hecho y en la teor´ıa de esta secci´ on, explica por qu´e otra soluci´on es x1 = 30, x2 = 20, y x3 = −10. (Observa c´ omo est´ an relacionadas las soluciones, pero no realice otros c´ alculos).  − 3x2 − 3x3 = 0  x1 −2x1 + 4x2 + 2x3 = 0  −x1 + 5x2 + 7x3 = 0 138. Usa Maxima, Octave o Matlab para demostrar que w ~ est´a en el subespacio vectorial de R4 generado por ~v v1 , ~v v2 , ~v v3 , donde         9 8 −4 −7 −4 −4 3  6         w ~ = −4 , ~v v1 = −3 , ~v v2 = −2 , ~v v3 =  −5  7 9 −8 −18

3.1. Sistemas generadores y subespacios vectoriales

27

139. Usa Maxima, Octave o Matlab para determinar si ~y est´a en el subespacio vectorial de R4 generado por las columnas de A, donde     3 −5 −9 −4 8 −8 7 −6    ~y =   6  , A = −5 −8 3  2 −2 9 −5 140. ¿Qu´e se puede decir acerca de N ul(C) cuando C es una matriz de 6 × 4 con todas sus columnas linealmente independientes? Responde de manera tan amplia como sea posible y justifica tus respuestas. 141. Usa Maxima, Octave o Matlab. Sea H = gen{~v v1 , ~v v2 } y K = gen{~v v3 , ~v v4 }, donde         0 2 1 5 ~v v1 = 3 , ~v v2 = 3 , ~v v3 = −1 , ~v v4 = −12 4 8 −28 5 Entonces, H y K son subespacios vectoriales de R3 . De hecho, H y K son planos en R3 que pasan por el origen, y que se cruzan en una recta que pasa por ~v 0. Encuentra un vector w ~ distinto de cero que genere esa recta. (Sugerencia: w ~ se puede escribir como c1~v v1 + c2~v v2 y tambi´en como c3~v v3 + c4~v v4 . Para construir w, resuelva la ecuaci´on c1~v v1 + c2~v v2 = c3~v v3 + c4~v v4 para las inc´ ognitas cj ). 142. Sean ~u y ~v v vectores en el espacio vectorial Rn , y sea H un subespacio vectorial de Rn tal que ~u, ~v v ∈ H. Explica por qu´e H tambi´en contiene a gen{~u, ~v vvvvv}. Esto demuestra que gen{~u, ~v vvvvv} es el menor subespacio vectorial de V que contiene a ~u y ~v v. 143. Sean H y K dos subespacios vectoriales de Rn . La intersecci´ on de H y K, que se representa como H ∩ K, es el conjunto de los vectores ~v v en Rn que pertenecen tanto a H como K, esto es: H ∩ K = {~v v ∈ Rn : ~v v ∈ H y ~v v ∈ K} . Demuestra que H ∩ K es un subespacio vectorial de Rn . (V´ease la figura a continuaci´ on). Da un ejemplo en R2 para demostrar que la uni´ on H ∪K de dos subespacios vectoriales no es, en general, un subespacio vectorial, donde: H ∪ K = {~v v ∈ Rn : ~v v ∈ H o ~v v ∈ K} .

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Cap´ıtulo 3. Subespacios vectoriales de Rn y transformaciones lineales

144. Dados los subespacios vectoriales H y K de Rn , la suma de H y K, que se escribe como H + K, es el conjunto de todos los vectores en Rn que se pueden representar como la suma de dos vectores, uno en H y el otro en K; es decir, H+K = {w ~ ∈ Rn : w ~ = ~u+~v vvvvv para alg´ un ~u en H y alg´ un ~v vvvvv en K} (a) Demuestra que H + K es un subespacio vectorial de Rn . (b) Demuestra que H es un subespacio vectorial de H + K y K es un subespacio vectorial de H + K. 145. Sup´ on que ~u1 , . . . , ~up y ~v v1 , . . . , ~v vq son vectores en Rn , y sea H = gen{~u1 , . . . , ~up } y K = gen{v1 , . . . , ~v vq }. Demuestra que H + K = gen{~u1 , . . . , ~up , v1 , . . . , ~v vq }.

3.2.

Bases, dimensiones y coordenadas en un subespacio vectorial

146. Marca cada enunciado como verdadero o falso. Justifica tus respuestas. Toma en cuenta que A es una matriz de m × n. (a) Si Col(A) s´ olo contiene al vector cero, entonces la matriz A es la matriz cero. (b) El espacio columna de la matriz 2A es el mismo que el de la matriz A. (c) El espacio columna de A − I es igual al espacio columna de la matriz A. (d) Si β = {~v v1 , . . . , ~v vp } es una base para un subespacio H, y si ~x = c1~v v1 + . . . + cp~v vp , entonces c1 , . . . , cp son las coordenadas de x respecto de la base β. (e) Las columnas de una matriz invertible de n × n forman una base para Rn . (f) Cada recta en Rn es un subespacio vectorial unidimensional de Rn . (g) La dimensi´ on de Col(A) es el n´ umero de columnas pivote de A. (h) El n´ umero de columnas pivote de una matriz es igual a la dimensi´on de su espacio columna. (i) Un plano en R3 es un subespacio vectorial de dimensi´on 2 de R3 . (j) R2 es un subespacio vectorial de dimensi´on 2 de R3 . (k) El n´ umero de variables libres en la ecuaci´on A~x = ~0 es igual a la dimensi´ on de N ul A. (l) El u ´nico subespacio vectorial de dimensi´on 3 de R3 es el propio R3 . 147. Encuentra dos vectores linealmente independientes en el plano x + 2y − 3z −t = 0 en R4 . Luego, encuentra tres vectores linealmente independientes. ¿Por qu´e no cuatro? ¿Este plano es el espacio nulo de qu´e matriz?

3.2. Bases, dimensiones y coordenadas en un subespacio vectorial

29

148. Determina cu´ ales de los siguientes conjuntos son bases para R2 o R3 . Justifica tus respuestas.     4 16 (a) , −2 −3     −2 4 (b) , 5 −10       0 5 6 (c)  0  , 0 , 3 −2 4 2       3 5 1 (d)  1  , −1 ,  1  2 −4 −3     3 6 (e) −8 ,  2  1 −5         1 3 −3 0 (f) −6 , −6 ,  7  , 7 −7 7 5 9 149. Dada una matriz A y su forma escalonada, encuentra una base para Col(A) y una base para N ul(A), determina su dimensi´on y describe geom´etricamente cada subespacio vectorial.     1 2 6 −5 4 5 9 −2 (a) A = 6 5 1 12  ∼ 0 1 6 −5 0 0 0 0 3 4 8 −3     1 −2 5 4 3 −6 9 0 (b) A = 2 −4 7 2  ∼ 0 0 3 6 0 0 0 0 3 −6 6 −6     1 4 8 −3 −7 1 4 8 0 5 −1 2 7 3   4  ∼ 0 2 5 0 −1 (c) A =  −2 2 9 5 5  0 0 0 1 4  3 6 9 −5 −2 0 0 0 0 0     3 −1 −3 −1 8 3 −1 −3 0 6 3 1  3 0 2 6 0 −4  ∼ 0 2  (d) A =  0 3   9 −1 −4 0 0 0 −1 2  6 3 9 −2 6 0 0 0 0 0 

3 −7 150. [M] Sea  −5 3

−5 9 7 −7

0 −4 −2 −3

−1 9 5 4

 3 −11 . −7  0

Construye bases para el espacio columna y para el espacio nulo de la matriz A. Justifica tu trabajo.

Cap´ıtulo 3. Subespacios vectoriales de Rn y transformaciones lineales   5 3 2 −6 −8 4 1 3 −8 −7 . 151. [M] Sea  5 1 4 5 19  −7 −5 −2 8 5

30

Construye bases para el espacio columna y para el espacio nulo de la matriz A. Justifica tu trabajo.       1 2 3 152. Dados β = y , [~x]β = . Encuentre el vector ~x deter1 −1 2 minado por el vector de coordenadas [~x]β y la base B dados. Ilustra tu respuesta con una figura.       −3 3 −1 153. Sean β = , y [~x]β = . Encuentre el vector ~x deter1 2 2 minado por el vector de coordenadas [~x]β y la base B dados. Ilustra tu respuesta con una figura. 154. Dados los vectores {~b1 , ~b2 , ~x}, si el vector ~x est´a en un subespacio vectorial H con una base β = {~b1 , ~b2 }, encuentre las coordenadas de ~x.       2 −1 0 ~ ~ (a) b1 = , b2 = , ~x = −3 5 7       1 −2 1 (b) ~b1 = , ~b2 = , ~x = −5 3 9       −2 2 1 (c) ~b1 =  4  , ~b2 = −7 , ~x =  9  5 −7 −3       7 5 −3 (d) ~b1 =  2  , ~b2 = −3 , ~x =  0  −4 5 −2         3 ~ −1 7 4 155. Sean ~b1 = , b2 = ,w ~= , ~x = y β = {~b1 , ~b2 }. 0 2 −2 1 Usa la figura para estimar [w] ~ β y [~x]β . Confirma tu estimaci´on de [~x]β us´ andola junto con {~b1 , ~b2 } para calcular ~x.

156. Sean ~b1 = {~b1 , ~b2 }.

          0 ~ 2 −2 2 −1 , b2 = , ~x = , ~y = , ~z = y β = 2 1 3 4 −2,5

3.2. Bases, dimensiones y coordenadas en un subespacio vectorial

31

Usa la figura para estimar [~x]β , [~y ]β y [~z]β . Confirma tu estimaci´on de [~y ]β y [~z]β us´ andola junto con {~b1 , ~b2 } para calcular ~y y ~z.

157. Dadas las matrices A y una forma escalonada de A. Encuentra bases para Col A y N ul A, y despu´es establece las dimensiones de estos subespacios vectoriales y describelos geom´etricamente.     1 3 3 2 1 3 2 −6   3 9 1 5  0 0 5 −7 (a)  2 6 −1 9  ∼ 0 0 0 5  0 0 0 0 5 15 0 14     1 −2 −1 2 0 1 −2 −1 5 4  2 −1 1 5 6  0 1 1 0 3    (b)  −2 0 −2 1 −6 ∼ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3 1 4 1 5     1 2 −5 1 −4 2 4 −5 2 −3   3 6 −8 3 −5   ∼ 0 0 5 0 5  (c)    0 0 0 0 0 0 0 9 0 9 0 0 0 0 0 −3 −6 −7 −3 −10     1 2 −4 4 6 1 2 8 4 −6 5 1 −9 2 10 0 2 3 4 −1    (d)  4 6 −9 12 15 ∼ 0 0 5 0 −5 3 4 −5 8 9 0 0 0 0 0 158. Encuentra una base para el subespacio vectorial generado por los vectores dados. ¿Cu´ al es la dimensi´ on del subespacio vectorial? Describelo geom´etricamente.         1 −3 2 −4 −3  9  −1  5         (a)   2  , −6 ,  4  , −3 −4 12 2 7           1 2 0 −1 3 −1 −3 −1  4  −7          (b)  −2 , −1 ,  3  , −7 ,  6  3 4 −2 7 −9 159. Encuentra el vector ~x determinado por el vector de coordenadas [~x]β y la base β.

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Cap´ıtulo 3. Subespacios vectoriales de Rn y transformaciones lineales       3 −4 5 (a) β = , , [~x]β = −5 6 3       3 4 −2 (b) β = , , [~x]β = 2 −1 5         5 4  1  1 (c) β = −2 ,  0  , −3 , [~x]β =  0    3 −2 0 −2         3 4  −3  −2 (d) β =  2  , 0 , −1 , [~x]β =  2    0 2 3 −1

160. n Encuentra oel vector de coordenadas [~x]β de ~x respecto de la base β = ~b1 , . . . , ~bn       1 3 −1 ~ ~ (a) b1 = , b2 = , ~x = −2 −5 1       1 2 −1 (b) ~b1 = , ~b2 = , ~x = −4 −3 −6         8 2 −3 1 (c) ~b1 = −1 , ~b2 =  4  , ~b3 = −2 , ~x = −9 6 4 9 −3         0 1 2 1 (d) ~b1 = 1 , ~b2 = 0 , ~b3 = −1 , ~x =  0  −2 3 8 3 

     1 2 −3 161. Los vectores ~v v1 = , ~v v2 = , ~v v3 = generan a R2 , −3 −8 7   1 pero no forman una base. Encuentra formas diferentes de expresar 1 como una combinaci´ on lineal de ~v v1 , ~v v2 , ~v v3 . 162. Para cada subespacio vectorial dado, encuentra una base para el subespacio, e indica la dimensi´ on. Describe geom´etricamente el subespacio vectorial.     s − 2t  (a)  s + t  : s, t en R   3t     2a  (b)  −4b  : a, b en R   −2a    2c       a−b   (c)  : a, b, c en R b − 3c        a + 2b

3.2. Bases, dimensiones y coordenadas en un subespacio vectorial    p + 2q        −p  : p, q en R (d)    3p − q       p+q    p − 2q       2p + 5r    (e)  : p, q, r en R −2q + 2r        −3p + 6r    3a − c        −b − 3c   (f)  : a, b, c en R −7a + 6b + 5c       −3a + c

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(g) {(a, b, c) : a − 3b + c = 0, b − 2c = 0, 2b − c = 0} (h) {(a, b, c, d) : a − 3b + c = 0} 163. Encuentra la dimensi´ on del subespacio vectorial de todos los vectores en R3 cuyas entradas primera y tercera sean iguales.       1 −2 −3 164. Encuentra la dimensi´ on del subespacio H de R2 generado por , , . −5 10 15 165. Encuentra la dimensi´ on del subespacio vectorial generado por los vectores dados:         3 −2 5 1 (a) 0 , 1 , −1 , 2. 1 1 2 2         1 3 −2 −3 (b) −2 , −6 ,  3  ,  5 . 0 0 5 5 166. Determina las dimensiones de N ul(A) y Col(A) de las matrices que se muestran a continuaci´ on:   1 −6 9 0 −2 0 1 2 −4 5   (a) A =  0 0 0 5 1 0 0 0 0 0   1 2 −4 3 −2 6 0 0 0 0 1 0 −3 7   (b) A =  0 0 0 0 1 4 −2 0 0 0 0 0 0 1   1 2 3 0 0 (c) A = 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0   3 2 (d) A = −6 5

Subespacios vectoriales de Rn y transformaciones lineales  −1 0 1 3 0 1  1 −1 2 0 0 0
167. Suponga que las columnas de una matriz A = ~a1 . . . ~ap son linealmente independientes. Explica por qu´e {~a1 , . . . , ~ap } es una base para Col(A).

34

Cap´ıtulo 3.  1 (e) A = 0 0  1 (f) A = 0 0

168. Sea A una matriz de n×p cuyo espacio columna es p-dimensional. Explica por qu´e las columnas de A deben ser linealmente independientes. 169. Describe el espacio fila, el espacio columna y el espacio nulo de las siguientes matrices:       1 −1 0 0 3 0 0 0 A= ; B= ; C= 0 0 1 2 3 0 0 0 170. Describe geom´etricamente los espacios siguientes matrices:    1 1 2 B = 0 A = 0 0 0 0 0

columna y los espacios fila de las  0 2 0

 1 C = 2 0

 0 0 0

171. ¿Cu´ al de las siguientes afirmaciones es correcta? Puede haber m´as de una:     x1   1 1 1   0 x2 = Las soluciones ~v x de A~v x = forman... 0 1 0 2 x3 (a) un plano. (b) una l´ınea. (c) un punto. (d) un subespacio vectorial. (e) el espacio nulo de A. (f) el espacio columna de A. 172. Construye una matriz 3 × 3 cuyo espacio columna contiene los vectores (1, 1, 0) y (1, 0, 1) pero no (1, 1, 1). Construye una matriz 3×3 cuyo espacio columna es una l´ınea.

Teorema de la base, del conjunto generador y del rango 173. Determina si estas afirmaciones son verdaderas o falsas: (a) Si dim V = n y S es un conjunto linealmente independiente en V , entonces S es una base para V .

3.2. Bases, dimensiones y coordenadas en un subespacio vectorial

35

(b) Si dim V = n, y si S genera a V , entonces S es una base de V . (c) Si un conjunto ~v v1 , . . . , ~v vp genera un espacio vectorial V de dimensi´ on finita y si T es un conjunto de m´as de p vectores en V , entonces T es linealmente dependiente. (d) Las dimensiones de Col(A) y N ul(A) suman el n´ umero de columnas de A. (e) Si un conjunto de p vectores generan un subespacio p−dimensional H de Rn , entonces estos vectores forman una base para H. 174. Si un sistema Ax = b de 9 filas y 12 columnas es consistente para todo ~v b, entonces Col(A) =............... ¿Por qu´e? 175. Si es posible, construye una matriz A de 3 × 5 tal que dim(N ulA) = 3 y dim(ColA) = 2. Justifica cada respuesta o construcci´on. 176. Sup´ on que F es una matriz de 5 × 5 cuyo espacio columna no es igual a R5 . ¿Qu´e se puede decir acerca de N ul(F )? Responde de manera tan amplia como sea posible y justifica tus respuestas. 177. Si B es una matriz de 7 × 7 y Col(B) = R7 , ¿qu´e se puede decir acerca de las soluciones de las ecuaciones de la forma B~x = ~b para ~b en R7 ? Responde de manera tan amplia como sea posible y justifica tus respuestas. 178. Si C es una matriz de 6 × 6 y N ul(C) es el subespacio vectorial {~v 0}, ¿qu´e se puede decir acerca de las soluciones a ecuaciones de la forma C~x = ~b para ~b en R6 ? Responde de manera tan amplia como sea posible y justifica tus respuestas. 179. ¿Qu´e se puede decir acerca de la forma de la matriz escalonada de una matriz A de m × n cuando las columnas de A forman una base para Rm ? Responde de manera tan amplia como sea posible y justifica tus respuestas. 180. Si B es una matriz de 5 × 5 y N ul(B) no es el subespacio vectorial {~v 0}, ¿qu´e se puede decir acerca de Col(B)? Responde de manera tan amplia como sea posible y justifica tus respuestas. 181. Cu´ al de las siguientes frases proporciona una definici´on correcta del rango de una matriz: a) el n´ umero de filas distintas de cero en la matriz escalonada. b) el n´ umero de columnas menos el n´ umero total de filas. c) el n´ umero de columnas menos el n´ umero de variables libres. 182. Si A es una matriz de 8×8, entonces el espacio columna de A es ....................... ¿Por qu´e? 183. Si A es una matriz invertible de 8 × 8, entonces el espacio columna de A es ....................... ¿Por qu´e?

36

Cap´ıtulo 3. Subespacios vectoriales de Rn y transformaciones lineales

184. Sea una matriz cuyas columnas son n vectores en Rm . Si son linealmente independientes, ¿cu´ al es el rango de la matriz? Si son una base de Rm , ¿entonces que relaci´ on hay entre m y n? 185. Sea una matriz A de dimensi´ on 5 × 5. Si el espacio columna de A genera a todo R5 , entonces: a) la ecuaci´ on Ax = 0 tiene una u ´nica soluci´on porque .................. b) la ecuaci´ on Ax = b es consistente para todo b ∈ R5 porque ............ c) la matriz es ............. y tiene rango .................. 186. ¿Para qu´e valores de  1 A = 0 0

3.3.

c y d las siguientes matrices tienen rango 2?    2 5 0 5 c d  0 c 2 2 B= d c 0 0 d 2

Interpretaci´ on geom´ etrica de un sistema de ecuaciones lineales y su conjunto soluci´ on

187. Determina si cada enunciado es verdadero o falso, justifica tu respuesta. a) La ecuaci´ on ~x = ~v p + t~v v describe una recta que pasa por ~v v y es paralela a ~v p. b) El conjunto soluci´ on de A~x = ~b es el conjunto de todos los vectores de la forma w ~ = ~v p + ~v vh , donde ~v vh es cualquier soluci´on de la ecuaci´ on A~x = ~0. c) El efecto de sumar ~v p a un vector es mover a dicho vector en una direcci´ on paralela a ~v p. d ) Si A~x = ~b es consistente, entonces el conjunto soluci´on de A~x = ~b se obtiene por traslaci´ on del conjunto soluci´on de A~x = ~0. 188. Dibuja las tres rectas de este sistema de ecuaciones lineales para determinar si el sistema es consistente:   x + 2y = 2 x − y = 2  y = 1 ¿Qu´e ocurre si todas las constantes del lado derecho son cero?. ¿Existe alguna posibilidad de cambiar los valores de la derecha a escalares distintos de cero, para que la soluci´ on sea consistente, esto es, para que las tres rectas intersequen en un mismo punto?. 189. Usando un argumento geom´etrico, encuentra todos los valores para a y b de manera que el sistema lineal sea consistente  x1 + ax2 = 3 4x1 + 8x2 = b

3.3. Interpretaci´ on geom´etrica de un sistema de ecuaciones lineales y su conjunto soluci´ on

37

190. Sin resolver el sistema de ecuaciones lineales dado, determina si las rectas en R2 definidas por las ecuaciones tienen ninguno, uno o un n´ umero infinito de puntos de intersecci´ on. Si existe un u ´nico punto de intersecci´on, encuentra sus coordenadas.  3x1 − 2x2 = 4 (a) 6x1 − 4x2 = 9  2x1 − 4x2 = 1 (b) 4x1 − 8x2 = 2  x1 − 2x2 = 0 (c) x1 − 4x2 = 8 191. Describe las soluciones de forma param´etrica para los siguientes sistemas, y descr´ıbelas geom´etricamente:           u   u 1 1 1 2 2   1 2 2   vv = vv = 4 4 2 4 4 2 4 5 w w 192. Describe y compara los conjuntos soluci´on de x1 + 5x2 − 3x3 = 0 y x1 + 5x2 − 3x3 = −2. 193. Escriba las soluciones del siguiente sistema en forma vectorial param´etrica. Tambi´en, brinda una descripci´on geom´etrica del conjunto soluci´on.  8  2x1 + 2x2 + 4x3 = −4x1 − 4x2 − 8x3 = −16  − 3x2 − 3x3 = 12 194. Obt´en una ecuaci´ on param´etrica de la recta M que pasa a trav´es de ~v p y ~v q. (Sugerencia: M es paralela al vector ~v q − ~v p. V´ease la figura que aparece m´ as abajo).     3 4 ~v p = , ~v q = −3 1

195. Encuentra un sistema lineal con 2 ecuaciones y 3 variables cuyo conjunto soluci´ on es la recta      1  1  2 + t 3 t ∈ R .   0 1

38

Cap´ıtulo 3. Subespacios vectoriales de Rn y transformaciones lineales

Ayuda: ¿podr´ıas el  sistema lineal homog´eneo asociado al con encontrar   1   junto soluci´ on t 3 t ∈ R ?   1   2 1 −1 . 196. Sea A = 0 1 1 (a) Resuelve A~v x = ~v 0. (b) Resuelve A~v x = ~v b, donde ~v b =

  0 . 2

(c) Escribe en forma param´etrica el conjunto soluci´on de (b), y da una interpretaci´ on geom´etrica de dicho conjunto. (d) Usa Maxima u Octave para construir un c´odigo que resuelva este problema computacionalmente 197. Encuentra un ejemplo de una matriz A de 2 × 2 y de un vector ~v b ∈ R2 tales que: (a) La ecuaci´ on homog´enea A~v x = 0 tenga soluciones no triviales. (b) La ecuaci´ on A~v x = ~v b no tenga soluciones. (c) Usa Maxima u Octave para construir un c´odigo que resuelva este problema computacionalmente.

3.4.

Transformaciones lineales y matriciales 

   1 −2 , . Puesto que el mapeo de coordenadas deter−4 9 minado por β es una transformaci´ on lineal de R2 en R2 , este mapeo se debe implementar mediante alguna matriz A de 2 × 2. Encu´entrala. (Sugerencia: La multiplicaci´ on por A deber´ıa transformar un vector ~x en su vector de coordenadas [~x]β ).

198. Sea β =

199. Determina cu´ ales de las siguientes transformaciones de Rn a Rm son lineales y cu´ ales no son. Justif´ıca tu respuesta, es decir, si es lineal, compru´ebalo y determina la matriz asociada. Si no es lineal, detalla cu´al de las 2 condiciones de linealidad no est´ a satisfecha.  2 2  R  → R  v1 v2 (a) T : 7→  v2 v1  R3 →  R4        v2  v1  v1  (b) S :   v2  7→   v3 + 1    v3 0  R3 → R      v1 (c) R : v2  7→ 2v1 + e3 v2    v3

3.4. Transformaciones lineales y matriciales  R3 → R      v1 (d) U : v2  7→ 2v1 + e3v2    v3

39

200. Una funci´ on f : R → R de la forma f (x) = mx + b normalmente se llama “funci´ on lineal” porque su grafo es una recta. ¿Es f una transformaci´on matricial seg´ un la definici´ on que vimos en clase? Justif´ıca tu respuesta.

201. Recuerda que un segmento de recta en Rn es un conjunto de la forma {λ~v v + (1 − λ)w ∈ Rn |λ ∈ [0, 1]} , en donde ~v v y w son dos vectores en Rn . Sea T : Rn → Rm una transformaci´ on lineal. Demuestra que T mapea segmentos de recta en Rn en segmentos de recta en Rm .

 −5 3 , sea T : R4 → R3 la transformaci´on matri−4   −1 cial definida por A. Determina si el vector ~v b = −1 est´a en el rango de 0 T (es decir, si existe un vector ~v x ∈ R4 con T (~v x) = ~v b). Adicional, Usa Maxima u Octave para construir un c´odigo que resuelva este problema computacionalmente 

1 202. Sea A = 0 2

−4 1 −6

7 −4 6

203. Sea T : Rn → Rm una transformaci´on lineal, sea {~v v 1 , ~v v 2 , ~v v 3 } ⊂ Rn un conjunto linealmente dependiente. Expl´ıca por qu´e {T (~v v 1 ), T (~v v 2 ), T (~v v 3 )} ⊂ Rm tambi´en es linealmente dependiente.

204. (Verdadero / Falso) En el siguiente, marca cada enunciado como verdadero o falso y justif´ıca tu respuesta. (a) Existen transformaciones lineales Rn → Rm que no son matriciales. (b) Si A es una matriz de r ×s y si T es la transformaci´on lineal definida por A, entonces el codominio de T es Rs . (c) El rango de una transformaci´on matricial definida por una matriz A es el espacio generado por las columnas de A.

40

Cap´ıtulo 3. Subespacios vectoriales de Rn y transformaciones lineales (d) Una transformaci´ on lineal preserva las operaciones de la suma de vectores y la multiplicaci´ on escalar.

205. Determina las matrices est´ andar asociadas con las siguientes transformaciones lineales R3 → R3 . (a) Rotaci´ on del plano x1 , x2 en el or´ıgen en dejando eje x3 invariante.

π 2

en sentido antihorario

(b) Reflexi´ on en el plano x1 , x3 (c) Proyecci´ on en el plano x1 , x2 .

      1 0 1   −3  , T 1 = 206. Sea T : R3 → R4 una transformaci´ on lineal con T 1 =  0 1 0 0       0 2 0   1   , T 0 = 0. 4 4 1 0 0 (a) Determina la matriz est´ andar asociada a T (b) ¿Es T inyectiva? (c) ¿Es T sobreyectiva?

4 Ortogonalidad y M´ınimos Cuadrados 4.1.

Producto punto: longitud, distancia y ´ angulo entre vectores

207. Contesta verdadero o falso a las siguientes preguntas. Justifica tu respuesta: a) El conjunto de los vectores de R2 que verifican que ||~v v|| = 1 se identifican con los puntos de una circunferencia de radio uno y centrada en el origen. b) Si dos vectores ~v v, ~v u no nulos verifican que ||~v v|| = ||~v u||, entonces ~v v = ~v u, esto es, son el mismo vector.         6 3 −1 4 208. Sean los vectores ~u = , ~v = , w ~ = −1 y ~x = −2. 2 6 3 −5 Calcule: ~u · ~u a) ~u · ~u, ~u · ~v y . ~u · ~v ~u · ~u b) ~u. ~u · ~v 1 c) w. ~ w ~ ·w ~ ~x · w ~ w. ~ d) w ~ ·w ~ e) ||~x||. 209. Normalice los siguientes vectores, esto es, consiga un vector unitario con la misma direcci´ on del vector indicado.   −3 a) . 4   6 b) −4. 3   7 c) 2. 4   8 d) . 6 41

42

Cap´ıtulo 4. Ortogonalidad y M´ınimos Cuadrados

210. Encuentre la distancia entre los puntos:     −3 8 a) P = yQ= . 4 6     6 7 b) R = −4 y S = 2. 3 4 211. Encuentre el ´ angulo entre los puntos:     −3 8 a) P = yQ= . 4 6     7 6 b) R = −4 y S = 2. 4 3

4.2.

Ortogonalidad entre vectores y el complemento ortogonal H ⊥

Preguntas de teor´ıa 212. Diga si es verdadero o falso, y justifique su respuesta:     1 1 a) Como los vectores 1 y  1  son ortogonales, entonces los pla−2 1 nos x + y + z = 0 y x + y − 2z = 0 son planos ortogonales. b) Si ~v z es ortogonal a ~v a1 y ~a2 , y W =< ~v a1 , ~v a2 >, entonces ~v z ∈ W ⊥. c) Si dos vectores ~v v, ~v u no nulos son ortogonales entre s´ı, entonces ||~v u + ~v v||2 = ||~v u||2 + ||~v v||2 . d ) Si A~x = ~b tiene una soluci´ on y adem´as se verifica que AT ~y = 0 para un vector ~y , entonces ~y · ~b = 0.      1 0      1 0        , 0 es ortogonal con 0 e) El subespacio vectorial W = gen       0 1       0 1     1 2        −2  −1      , 3  . 0 el subespacio vectorial W = gen         0   4        0 −4     1 0            1 0     f ) El complemento ortogonal al subespacio vectorial W = gen 0 , 0    0 1      0 1

4.2. Ortogonalidad entre vectores y el complemento ortogonal H ⊥     2  1          −1 −2     es el subespacio vectorial W = gen  0  ,  3  .       4  0      −4 0

43

213. Demuestre que si ~y es ortogonal con ~v y w, ~ entonces tambi´en lo es con ~v + w. ~ 214. Demuestre que si ~y es ortogonal con ~v y w, ~ entonces tambi´en lo es con W = gen{~v , w}. ~ 215. Demuestre que si ~z ∈ W y ~z ∈ W ⊥ , entonces ~z = ~0. 216. Demuestre que si AT A~x = ~0, entonces A~x = ~0. 217. Sea W un subespacio vectorial en R9 de dimensi´on 6. ¿Qu´e dimensiones tiene el conjunto ortogonal W ⊥ ?       1 2 1 218. Sea W el subespacio generado por los vectores 0 , 1 , 1, esto es, 0 0 0       1 1 2   W = Gen 0 , 1 , 1 Determine cu´al es la respuesta correcta:   0 0 0 (a) W y su espacio ortogonal W ⊥ pertenecen a R3 , el subespacio W tiene ⊥ dimensi´ on dos, el subespacio W tiene una dimensi´on y est´a gene 0  rado por un vector: W ⊥ = Gen 0 .   1 (b) W y su espacio ortogonal W ⊥ pertenecen a R4 , el subespacio W tiene ⊥ dimensi´ on tres, el subespacio W  una dimensi´on y est´a genetiene  0  rado por un vector: W ⊥ = Gen 0   1 (c) W y su espacio ortogonal W ⊥ pertenecen a R3 , el subespacio W tiene dimensi´ on dos, el subespacio W ⊥tiene on y est´a    una  dimensi´ 0   0 generado por dos vectores: W ⊥ = Gen 0 , 1 .   1 1 (d) W y su espacio ortogonal W ⊥ pertenecen a R4 , el subespacio W tiene dimensi´ on tres, el subespacio W ⊥tiene   dimensi´   on dos y est´a 0   0 generado por dos vectores: W ⊥ = Gen 0 , 1 .   1 1 Preguntas de pr´ actica 219. Encuentre el subespacio ortogonal W ⊥ de los siguientes subespacios vectoriales de R3 , describa geom´etricamente W y W ⊥ y realice un dibujo aproximado de los mismos:

44

Cap´ıtulo 4. Ortogonalidad y M´ınimos Cuadrados

n o a) W = ~0 .     1  b) W = gen 1 .   1      1   1 c) W = gen 1 ,  1  .   1 −1     1 1         2  , 3 en R4 . Encuentre y el complemento orto220. Sea W = gen      2 3       4 2 ⊥ gonal W . ¿Qu´e dimensiones tiene W ⊥ ? Describa geom´etricamente W y W ⊥. 4 221. Encuentre el complemento ortogonal   vectorial en R de   parael subespacio 0 0 1 −1  1   0       dimensi´ on 3 generado por   0 , −1 y  1 . Describa geom´etri−1 0 0 camente W y W ⊥ .

4.3.

Conjuntos y bases ortogonales

222. Suponga que la matriz A est´ a compuesta por vectores unitarios que adem´ as son dos a dos ortogonales entre s´ı. Encuentre AT A. 223. Encuentre una matriz A de dimensi´ on 3×3 sin ninguna componente igual a cero, y de tal forma que sus columnas formen un conjunto ortogonal de vectores. Calcule AT A. 224. A˜ nada dos vectores constituidos ´ nicamente   u  por 1, -1 en sus componentes 1 1          1 −1 al conjunto de vectores  , 1  1  para que ´este siga siendo un      1 −1 conjunto ortogonal. 225. ¿Son estos vectores ortonormales? ¿y ortogonales? ¿y linealmente independientes?     1 −1 a) y . 0 1     cos θ − sin θ b) y . sin θ cos θ 226. Sea el plano P en R3 definido por la ecuaci´on x − 3y − 4z = 0. Responda a las siguientes preguntas: a) Encuentre la matriz A tal que P = N ul(A).

4.4. Proyecciones ortogonales y el proceso de Gram-Schmidt

45

b) Encuentre una base para el plano P . c) Encuentre una base para la recta P ⊥ perpendicular al plano.   6 d ) Descomponga el vector ~v v = 4 en la suma de un vector en el 5 plano y otro en la recta perpendicular al plano. 227. Sea P el plano en R4 definido por x1 + x2 + x3 + x4 = 0. Encuentre una base para P y otra para P ⊥ . ¿Qu´e dimensiones tienen estos subespacios vectoriales? 228. Encuentre una base para el subespacio vectorial W de R4 definido por todos los puntos que verifican la ecuaci´on x1 + x2 + x3 − x4 = 0, otra para el complemento ortogonal W ⊥ ,  y encuentre dos vectores ~b1 ∈ W y  1 1 ⊥ ~b2 ∈ W de tal forma que ~b1 + ~b2 =  . 1 1

4.4.

Proyecciones ortogonales y el proceso de Gram-Schmidt

Proyecciones ortogonales 229. Diga si es verdadero o falso, y justifique su respuesta: a) Sea ~v y un vector cualquiera, y sea W un subespacio vectorial. Entonces, el vector ~v y − projW (~v y) es ortogonal a W . b) Si ~v y ∈ W , entonces projW (~v y) = ~v y.   6 230. Encuentre la proyecci´ on ortogonal de 0 en el espacio columna de la 0   1 0 matriz A = 1 1. 1 2   3 231. Proyecte el vector ~b = 4 sobre la l´ınea que pasa por el origen generada 4   2 por el vector 2. Compruebe que ~e = proy(~b) − ~b es perpendicular con 1 la recta.   3 232. Proyecte el vector ~b = 4 sobre el plano que pasa por el origen generado 4

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Cap´ıtulo 4. Ortogonalidad y M´ınimos Cuadrados     2 1 por 2 y 0. Compruebe que ~e = proy(~b) − ~b es perpendicular con 1 0 el plano.

233. Sea A la matriz identidad de dimensi´ on 4 × 4 menos la u ´ltima columna.   1 2  Encuentre la proyecci´ on de ~b =  3 sobre el espacio columna de A. 4 Encuentra un vector cuya proyecci´ on sobre Col(A) es el vector ~0, y otro donde se verifica que la proyecci´ on es el mismo vector.   6 0  234. Calcule la proyecci´ on de ~b =  0 sobre: 2   1 1  a) la recta generada por  1. 1   1 −1  . b) la recta generada por   1 −1     1 1 1 −1    c) el plano generador por  1 y  1 . −1 1 Sume las proyecciones obtenidas en los literales 234a y 234b y compruebe que coincide con lo obtenido en el literal 234c. ¿Por qu´e? 235. Consideramos un vag´ on de tren parado, pero sin frenos puestos en un rail horizontal en direcci´ on oeste-este. Hay un viento que sopla en direcci´on noreste con una velocidad de 10km/h. ¿Qu´e velocidad alcanzar´a el vag´on eventualmente? figura tren

El proceso de Gram-Schmidt       1 1   1 236. Dado el conjunto de vectores −1 , 1 , 1 :   1 0 1 a) Demuestre que el conjunto es linealmente independiente y por lo tanto base de R3 . b) Construya una base ortogonal ~v w1 , ~v w2 , ~v w3 para R3 a partir de la base dada.

4.5. El problema de m´ınimos cuadrados

47

c) Verifique que es, realmente, una base ortogonal. d ) Normalice los elementos para conseguir una base ortonormal. 237. Encuentre una base ortogonal y otra ortonormal para el subespacio vectorial       2 3   1 W = gen −1 ,  0  , −3 .   0 −2 3     −6 1 3  6         238. Encuentre un base ortonormal para el plano generado por  4 y  8 . 5  0  8 7 239. Encuentre tres vectores ortonormales en R3 de tal forma que  los dos  1 1 primeros generen el espacio columna de la matriz A =  2 −1. −2 4   4 5  y 240. Encuentre una base ortogonal para el plano generado por ~a =   2 2   1 2 ~b =  . 0 0 4 241. Encuentre una base ortogonal  para  elsubespacio   vectorial en R de di1 0 0 −1  1   0       mensi´ on 3 generado por   0 , −1 y  1 . 0 0 −1

4.5.

El problema de m´ınimos cuadrados

    4 1 5 2 ~    242. Cu´ al es el m´ ultiplo de ~a =  2 m´as cercano a b = 0. 2 0 243. Argumente si los siguientes problemas son inconsistentes y encuentre la soluci´ on de m´ınimos cuadrados, el vector error y el error en cada caso. Comprueba que el vector error es ortogonal con el espacio columna de A:     1 1 2 a) A = 0 1 y ~b = 3. 0 0 4

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Cap´ıtulo 4. Ortogonalidad y M´ınimos Cuadrados     1 1 4 b) A = 1 1 y ~b = 4. 0 0 6     1 1 1 c) A =  2 −1 y ~b = 2. −2 4 7 

   1 1 244. Cu´ al es la combinaci´ on lineal de los vectores  2  y 0 m´as pr´oxima −1 1   2 a 1. 1     −6 1 3  6         245. Sea el plano generado por  4 y  8 . Encuentre la proyecci´on de 5  0  8 7   1 0   ~b = 0:   0 0 a) Usando una base ortonormal para el plano. b) Resolviendo un problema de m´ınimos cuadrados.     1 −2 1  0     246. Sea H el plano generado por  1 y  1 . Encuentre la proyecci´on 1 3   −4 −3  sobre H de ~b =   3 : 0 a) Usando una base ortonormal para el plano. b) Resolviendo un problema de m´ınimos cuadrados. 247. Encuentra la ecuaci´ on y = β0 x + β1 de la recta de m´ınimos cuadrados que mejor se ajuste a los puntos de datos (2, 3), (3, 2), (5, 1), (6, 0). 248. Para medir el desempe˜ no de un avi´ on durante el despegue, cada segundo se midi´ o su posici´ on horizontal, desde t = 0 hasta t = 12. Las posiciones (en pies) fueron:

4.6. Matrices ortogonales y transformaciones lineales Tiempo (seg.) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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Posici´on (pies) 0 8.8 29.9 62.0 104.7 159.1 222.0 294.5 380.4 471.1 571.7 686.8 809.2

Buscamos una curva c´ ubica de la forma y = β0 + β1 t + β2 t2 + β3 t3 que modele estos datos. (a) Usando los datos, encuentra un sistema de ecuaciones lineales en los coeficientes β0 , β1 , β2 , β3 que tiene que ser satisfecho aproximadamente para que y = β0 + β1 t + β2 t2 + β3 t3 modele nuestros datos. (b) Usa Matlab o Ovtave para determinar los coeficientes de m´ınimos c0 , β c1 , β c2 , β c3 . cuadrados β (c) Con estos estima la velocidad horizontal del avi´on en t = 4,5 segundos.

4.6.

Matrices ortogonales y transformaciones lineales

249. Diga si es verdadero o falso, y justifique su respuesta: a) Si las columnas de una matriz Un×p son ortogonales, entonces U U T ~v y = projCol(U ) (~v y). 250. Sea la transformaci´ on ortogonal P dada por la matriz B = (A1 T A1 )−1 A1 T , esto es, P (~x) = B~x. a) Calcula P (ˆb) y P (e). b) Demuestra que, si w ~ ∈ W , entonces P (w) ~ = w. ~ Para ello, recuerda que W = col(A). c) Demuestra que, si ~v v ∈ W ⊥ , entonces P (~v v) = 0. Para ello, recuerda que W ⊥ = (col(A))⊥ . d ) ¿Podr´ıas explicar el nombre otorgado a P ? ¿Cu´al es el efecto que produce la transformaci´ on sobre cualquier vector ~x?

50

Cap´ıtulo 4. Ortogonalidad y M´ınimos Cuadrados

REPASO DE LA MATERIA Sea el subespacio W generado por los vectores (1, 1, 0) , (−1, 2, 0) , (1, 7, 0) , (5, −1, 0):         −1 1 5   1 W = gen 1 ,  2  , 7 , −1   0 0 0 0 Responde a las siguientes preguntas: , Encuentra una base cualquiera  β1para W y su dimensi´on. Encuentra las −2 coordenadas del vector ~b =  2  en esta base. Interpreta el resultado 0 geom´etricamente. , ¿A qu´e espacio vectorial m´ as general pertenece W ?

, Encuentra  una base  ortogonal β2 para W . Encuentra las coordenadas del −2 vector ~b =  2  en esta base. Interpreta el resultado geom´etricamente. 0

, Encuentra una  base  ortonormal β3 para W . Encuentra las coordenadas −2 del vector ~b =  2  en esta base. Interpreta el resultado geom´etrica0 mente. , Obs´ervese que, para un mismo subespacio vectorial, estamos construyendo tres bases distintas. ¿Podr´ıas esbozar el subespacio vectorial W , y el eje de coordenadas para cada una de las bases, en tres dibujos distintos? Interpreta el resultado. , Encuentra el complemento ortogonal W ⊥ a W .

, Encuentra una base β4 para W ⊥ y su dimensi´on.

, Haz un esbozo de c´ omo se ver´ıan W y W ⊥ de forma conjunta geom´etricamente. , Construye, usando cualquiera de las bases de W y W ⊥ obtenidas, una base β para todo R3 . , Encuentra, en la base construida en el literal anterior, las coordenadas generales de cualquier vector ~b contenido en R3 . , Calcula la proyecci´ on ortogonal ˆb de ~b = (−1, 4, 3) sobre W y el vector error ~e. , Relaciona en un dibujo (geom´etrico) los vectores ~b, ˆb, ~e y los subespacios W y W ⊥ . ¿A qu´e subespacio vectorial pertenece el vector error ~e? ¿Y el vector ˆb? ¿Puedes escribir ~b como suma de dos vectores ortogonales entre s´ı? Comprueba que estos vectores son, de verdad, ortogonales.

4.6. Matrices ortogonales y transformaciones lineales

51

, Plantea un problema de m´ınimos cuadrados para la descomposici´ on del vector ~b obtenida en el ejercicio anterior, y d´ a la soluci´ on de m´ınimos cuadrados y el error para estos dos casos: (i) para una matriz A1 para la cual la soluci´on de m´ınimos cuadrados del problema anterior tiene soluci´on u ´nica y, (ii) para otra matriz A2 para la cual la soluci´on de m´ınimos cuadrados del problema anterior tiene m´as de una soluci´on. , En los problemas de m´ınimos cuadrados de la pregunta anterior, ¿hay m´ as de una proyecci´ on ortogonal para ~b? ¿Hay m´as de un vector error ~e? Justifica.

5 Determinantes 5.1.

Ejercicios determinante de una matriz

Recu´erdese que para denotar el determinante de una matriz A se usan indistintamente las notaciones |A| o det(A). 251. Contesta si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. En caso de que la afirmaci´on sea falsa, justifica la respuesta brindando un contraejemplo de una matriz de dimensi´on 2 × 2. a) El determinante de I + A es 1 + |A|, esto es, det(I + A) = 1 + det(A). b) El determinante de ABC es |A||B||C|, esto es, det(ABC) = det(A)det(B)det(C). c) El determinante de 4A es 4|A|, esto es, det(4A) = 4det(A). d ) El determinante de AB − BA  es 0 Intenta un ejemplo con A = 0

cero,  esto es, det(AB − BA) = 0. 0 . 1

e) Si A no es invertible, entonces AB no es invertible. f ) El determinante de A siempre es el producto de sus pivotes. g) El determinante de A − B es igual a det(A) − det(B). h) AB y BA tienen el mismo determinante, esto es, det(AB) = det(BA). i ) Si A y B son id´enticas, excepto por b11 = 2a11 , entonces det(B) = 2det(A). j ) Si A es invertible pero B no lo es, entonces AB tampoco es invertible. k ) El determinante de S −1 AS es igual al determinante de A. l ) Las propiedades del determinante se verifican tanto para las filas como para las columnas. m) Si A y B son dos matrices, entonces det(A + B) = detA + detB. n) Si A es una matriz 3 × 3, entonces det(5A) = 5det A. n ˜) Si la matriz B se ha conseguido despu´es de hacer una operaci´on fila sobre A, entonces det(A) = det (B). o) Si A es una matriz n × n y det A = 2, entonces det(A3 ) = 8. p) Si A es una matriz cuadrada n×n y λ es cualquier valor real, entonces det(λA) = λn det(A). q) Si una matriz cuadrada tiene dos filas iguales, entonces su determinante es cero. r ) En general, det(A) 6= det(AT ). 53

54

Cap´ıtulo 5. Determinantes

252. Dadas las matrices  −1 A= 4

 2 0 ; 3 −2

 2 B = 3 1

 1 2 ; −3

 C=

2 1

a) Que combinaciones (suma, producto, traspuesta) son posibles de tal forma que el determinante se pueda calcular. Por ejemplo: el det(AB) es posible ya que A = 2 × 3 y B = 3 × 2. b) Calcule los determinantes de las combinaciones encontradas en el apartado anterior. 253. Considera las siguientes matrices    1 4 0 1 A = 0 1 0 y B = 4 0 4 0 1

−4 1 0

 0 0 1

a) verifica si det(A · B) = det(A)det(B). b) Completa la igualdad det(A + B) = .................... c) verifica si dado λ ∈ R entonces det(λA) = λdet(A). d ) Calcula det(A3 ). e) Calcula det(B T ). f ) Calcula det(AT B T ). 254. Encuentra los determinantes de las siguientes matrices de rotaci´on y reflexi´ on:     cosθ −sinθ 1 − 2cos2 θ −2cosθsinθ Q= yQ= sinθ cosθ −2cosθsinθ 1 − 2sin2 θ 255. Demuestre que todas las matrices ortogonales, esto es, aquellas que verifican que QT Q = I, tiene determinante 1 o −1. Para ello, usa la regla del producto |AB| = |A||B| y la regla de la traspuesta |A| = |AT |. 256. Usando la regla del producto det(AB) = det(A)det(B), demuestra que: (a) det(Qn ) = (det(Q))n . (b) Si det(Q) > 1 entonces det(Qn ) = (det(Q))n crece. ¿C´omo se puede saber que esto no le va a suceder a las componentes de Qn ? 257. Indica si estas matrices tienen determinante 0, 1, 2 ´o 3:      0 0 1 0 1 1 1 A = 1 0 0 B = 1 0 1 C = 1 0 1 0 1 1 0 1

1 1 1

 1 1 1

258. Reduce A a su forma escalonada U o usa las propiedades del determinante para encontrar det(A):     1 1 1 1 2 3 A = 1 2 2 A = 2 2 3 1 2 3 3 3 3

 −1 , 3

5.1. Ejercicios determinante de una matriz

55

259. Aplicando operaciones fila para conseguir una matriz triangular superior, calcula el determinantes de estas matrices e indica si son invertibles o no: 1 2 −1 0

2 3 0 6 6 1 0 0 3 2 0 7

2 −1 0 0

−1 2 −1 0

0 −1 2 −1

0 0 −1 2

260. Utiliza las propiedades de los determinantes para simplificar y calcular estos determinantes: 101 102 103

201 202 203

301 302 303

1 t t2

t t2 1 t t 1

261. Encuentra los determinantes de U y U −1 y U 2 para:     1 4 6 a b y U= U = 0 2 5 0 d 0 0 3 a 262. Sabiendo que det(A) = c

b = ad − bc, encuentra los determinantes de d   2 1 −1 . Encuentra adem´as dos las matrices A, A y A − λI para A = 1 2 n´ umeros λ que verifiquen que det(A − λI) = 0. Escribe la matriz A − λI para cada uno de esos n´ umeros λ (observa que estas matrices no deber´ıan ser invertible, dado que su determinante se anula).   4 1 263. Dada la matriz A = , encuentra A2 , A−1 y A − λI y sus determi2 3 nantes correspondientes. ¿Cu´ ales son los dos n´ umeros λ que logran que det(A − λI) = 0? 264. Use operaciones fila para encontrar el determinante de la siguiente matriz:   −1 1 1 1 1  1 −2 1 1 1    3 1 −1 A = −1 1   1 −1 1 −4 1  0 1 −1 1 5 265. Halla el determinante de la siguiente matriz usando las propiedades de los determinantes:   1 −1 1 1 1 −1 −1 −1   1 1 −1 −1 1 1 1 −1 266. Dada las siguientes matrices

56

Cap´ıtulo 5. Determinantes 

1 1 A= 1 1

−1 −1 1 1

1 −1 −1 1

 1 −1  −1 −1

 x B = y z

2x − 1 2y 2z − 23

 4 0 3

a) Hallar los determinantes de las matrices usando el m´etodo que m´as te convenga. b) Hallar x, y, z, si es posible, para que B NO sea invertible. c) Hallar x, y, z, si es posible, para que B sea invertible. d ) Calcular la inversa de A, si es posible. 267. Si la entrada i, j de A es i veces j, esto es, aij = ij, demuestra que det(A) = 0. 268. Si la entrada i, j de A es i + j, , esto es, aij = i + j, demuestra que detA = 0 excepto cuando n = 1 ´ o 2. 269. Calcula los determinantes de las siguientes matrices usando las propiedades de los determinantes:       0 a 0 0 a a a 0 a 0 0 0 b 0  C = a b b  B= A = 0 0 b  0 0 0 c  a b c c 0 0 d 0 0 0 fila 1 270. En este caso, si se conoce que det(A) = fila 2 = 6, ¿cu´al es el determifila 3   fila 3 + fila 2 + fila 1 ? fila 2 + fila 1 nante de B para B =  fila 1 271. Si una matriz 4×4 tiene det(A) = 21 , encuentra det(2A), det(−A), det(A2 ) y det(A−1 ). 272. Si una matriz 3 × 3 tiene det(A) = −1, encuentra det( 12 A), det(−A), det(A2 ) y det(A−1 ). 273. Encuentre el determinante de: 

4 0 (a) la matriz triangular superior U =  0 0

4 1 0 0

8 2 2 0

 8 2 . 6 2

(b) la matriz triangular inferior U T . (c) la matriz inversa U −1 .  0 0 (d) la matriz triangular M =  0 4 bios de filas en U .

0 0 1 4

0 2 2 8

 2 6  que resulta de intercam2 8

5.1. Ejercicios determinante de una matriz

57

274. Sup´ on que haces dos operaciones fila en un s´olo paso, yendo de     a b a − mc b − md a . c d c − la d − lb Encuentra el determinante de las matrices y comp´aralos. 275. Enumera los intercambios de filas para encontrar estos determinantes: 0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 = +1 0 0

0 0 0 1

y

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 = −1 1 0

  x y z 276. Sabiendo que  3 0 2 = 1, utiliza las propiedades del determinante 1 1 1 para hallar el determinante de la siguiente matriz :   x 2x − 1 4 y 2y 1 . 2 z 2z − 3 3 277. Encuentra los determinantes de:    1 4 2 3 −1 A= , A = −1 1 3 10

 −2 , 4

 4−λ A−λI = 1

2 3−λ



Determina para qu´e valores de λ, A − λI es una matriz no invertible. 278. Una matriz sesgada sim´etrica satisface K T = −K. Un ejemplo de una matriz sesgada es:   0 a b K = −a 0 c  . −b −c 0 (a) Argumenta por qu´e para n = 3 se verifica que det(−K) = (−1)3 det(K). (b) Demuestra que para cualquier otra dimensi´on se tiene que det(K) = 0. 279. Eval´ ua el determinante de lasa sigueintes matrices reduciendo la matriz a su forma escalonada o usando las propiedades del determinante.       1 1 3 1 1 3 1 1 3 A = 0 4 6 , B = 0 4 6 , C = 0 4 6 1 5 8 0 0 1 1 5 9 ¿Cu´ ales son los determinantes de B, C, AB, AT A y C T ? 280. Sup´ on que CD = −DC. Encuentra el error en el siguiente argumento: Si se toman determinantes en la igualdad, se consigue que (det(C))(det(D)) = −(det(D))(det(C)), entonces det(C) = 0 ´o det(D) = 0. Por lo tanto, CD = −DC es posible s´ olo si C o´ D no es invertible.

58

Cap´ıtulo 5. Determinantes

281. Existe alguna relaci´ on entre det(A), det(A−1 ), det(AT ), ¿s´ı, no; por qu´e? 282. Usa las propiedades del determinante para verificar la siguiente igualdad: 1 1 1

a2 b2 = (b − a)(c − a)(c − b) c2

a b c

283. Encuentra el determinante 4 × 4 de las siguientes matrices usando las propiedades del determinante: 11 21 31 41

12 22 32 42

13 23 33 43

14 24 34 44

1 t t2 t3

t 1 t t2

t2 t 1 t

t3 t2 t 1

284. Aplicando operaciones fila hasta lograr una matriz triangular superior U , calcula:     2 1 1 1 1 2 3 0  1 2 1 1  2 6 6 1   det  det   1 1 2 1 −1 0 0 3 1 1 1 2 0 2 0 7 285. Demuestra las siguientes propiedades del determinante: a) Si dos filas de una matriz son proporcionales, entonces el determinante de la matriz es cero. Sugerencia: Una matriz tiene dos filas proporcionales si existe c ∈ R tal que:   a11 ... a1n c · a11 . . . c · a1n    A= . ..  ..  .. . .  an1 ... ann b) Si una matriz tiene una fila de ceros, entonces el determinante es cero. c) det(A−1 ) =

1 det(A) .

d ) Si dos filas de una matriz son iguales, entonces el determinante de la matriz es cero (caso particular de (a)). 286. Dada la matriz



α−1  0 A=  0 0

−6 0 α 0

9 −5 2 −1

 8 3   1  α+1

a) Usa el m´etodo que m´ as te convenga para calcular det(A). b) Encuentra los valores de α para los cuales la matriz A es invertible. 287. Demuestra que si una matriz cuadrada A satisface la ecuaci´on A2 + 2A + I = 0, entonces A es invertible. Determina la inversa de A. 288. Puede existir una matriz A con A3 = I que no sea invertible? Expl´ıca tu respuesta.

5.2. Matrices invertibles y Regla de Cramer

5.2.

59

Matrices invertibles y Regla de Cramer

289. Resuelve el siguiente sistema usando el m´etodo de Cramer:      1 −2 1 x1 −4 2 0 1 x2  =  1  1 −3 1 x3 −6 

1 290. Sea A = −4 −3

 3 4 2 −6. 2 −7

a) Determina si para todo ~b ∈ R3 la ecuaci´on matricial A~x = ~b tiene una soluci´ on. ¿Es u ´nica? b) Calcula la soluci´ on usando el m´etodo de Cramer. 291. Determinar si las siguientes matrices son invertibles y en el caso afirmativo calc´ ula las inversas:   1 0 0 a) A = 1 1 1 0 0 1   1 0 0 b) B = −1 0 0 1 1 1   0 −1 c) C = 3 4   cos(ϕ) sin(ϕ) d) D = en donde ϕ ∈ [0, 2π]. −sin(ϕ) cos(ϕ) 292. Encuentra la matriz inversa de A mediante el m´etodo de los cofactores:   1 2 3 A = 0 4 5 0 0 6

5.3.

Interpretaci´ on geom´ etrica del determinante

293. Sean los vectores ~v = (3, 2) y w ~ = (1, 4). (a) Encuentra el ´ area del paralelogramo con lados ~v y w. ~ (b) Encuentra el ´ area del tri´ angulo con lados ~v , w ~ y ~v + w. ~ (c) Encuentra el ´ area del tri´ angulo con lados ~v , w ~ y ~v − w. ~ (d) Encuentra el ´ area del tri´ angulo con lados ~v , w ~ yw ~ − ~v . 294. Una caja tiene sus lados desde (0, 0, 0) hasta (3, 1, 1) y desde (1, 3, 1) hasta (1, 1, 3). Encuentra su volumen y el ´area de cada paralelogramo que conforma sus caras.

60

Cap´ıtulo 5. Determinantes

295. Encuentra el volumen del paralelep´ ıpedo    (prisma/rect´    angulo) cuyos lados 1 1   1 est´ an dados por los vectores 1 , 2 , 4   1 3 9 296. Encuentra el volumen del paralelep´ıpedo definido por las columnas de la matriz A, siendo la matriz   1 −4 3 4 5 A =  −4 1 6 − π4 2 297. Encuentra el ´ area del definido por las columnas de la ma√  paralelogramo  2 32 −1 triz C, siendo C = . 1 −3 298. (a) Las esquinas de un tri´ angulo son (2, 1), (3, 4) y (0, 5). ¿Cu´al es su area? ´ (b) A˜ nade una esquina en (−1, 0) para lograr una figura irregular de cuatro lados. Encuentra su ´ area. 299. El paralelogramo de lados (2, 1) y (2, 3) tiene la misma ´area que el paralelogramo de lados (2, 2) y (1, 3). Encuentra esas ´areas con determinantes de 2 en 2, e indica de forma escrita y gr´afica por qu´e deben ser iguales. 300. Encuentre el volumen del paralelep´ıpedo con un v´ertice en el origen y v´ertices adyacentes en (1, 0, 2), (1, 2, 4) y (7, 1, 0) 301. Encuentre una f´ ormula para el ´ area del tri´angulo cuyos v´ertices son ~0, ~v1 , 2 y ~v2 en R .

5.4.

Determinantes y transformaciones lineales

302. Sea T : R3 → R3 una transformaci´ on lineal con             1 1 0 2 0 0 T 1 = −3 , T 1 = 1 , T 0 = 0 0 0 1 4 1 4 (a) Determina la matriz est´ andar asociada a T (b) Es T , biyectiva?, sugerencia: Use determinantes . (c) Encuentra el ´ area del paralelogramo definido por las columnas de la matriz asociada a la transformaci´ on T . 303. Sean a y b n´ umeros positivos. Encuentre el ´area de la regi´on E acotada por la hip´erbola cuya ecuaci´ on est´ a dada por: y2 x2 − =1 a2 b2

6 Valores y vectores propios 6.1.

Valores y vectores propios y el polinomio caracter´ıstico

304. Responde si es verdadero o falso, y justifica: a) Una matriz A no es invertible si y solo si 0 es un valor propio de A. b) Si A~x = λ~x para alg´ un escalar λ, entonces ~x es un vector propio de A. c) Si A~x = λ~x para alg´ un vector ~x, entonces λ es un valor propio de A. d ) Si ~v1 y ~v2 son vectores propios linealmente independientes, entonces corresponden al mismo valor propio. e) Si λ es un valor propio de A, entonces le corresponde un u ´nico vector propio de A. f ) Si ~x es un vector propio de A, entonces le corresponde un u ´nico valor propio de A. g) Si λ + 5 es un factor del polinomio caracter´ıstico de A, entonces 5 es un valor propio de A. h) La multiplicidad de una ra´ız r de la ecuaci´on caracter´ıstica de A se llama multiplicidad algebraica de r de un valor propio de A. i ) A es diagonalizable si A = P DP −1 para alguna matriz D y alguna matriz P invertible. j ) Si A es diagonalizable, entonces existe una u ´nica matriz P tal que A = P DP −1 k ) Si A es diagonalizable, entonces existe una u ´nica matriz D tal que A = P DP −1 l ) Si A es invertible, entonces A es diagonalizable.       1 6 6 3 305. Sean A = , ~u = y ~v = . 5 2 −5 −2 a) ¿Es ~u un vector propio cuyo valor propio correspondiente es λ = −4? b) ¿Es ~v un vector propio cuyo valor propio correspondiente es λ = −4? c) Si ~v es un vector propio de A, ¿cu´al es su valor propio correspondiente?   4 −2 3 3 ? Si es as´ı, determina 306. ¿Es λ = 1 un valor propio de A =  0 −1 −1 2 −2 dos vectores propios correspondientes. 61

62

Cap´ıtulo 6. Valores y vectores propios

307. Explica por qu´e una matriz de 2 × 2 puede tener, a lo mucho, dos valores propios distintos. Tambi´en indica por qu´e una matriz de n × n puede tener, cuando mucho, n valores propios diferentes. 308. Sin hacer c´ alculos excesivos, obt´en un  valor propio  y dos vectores propios 2 2 2 linealmente independientes de A =  2 2 2 . Justifica tu respuesta. 2 2 2 

     0,5 0,2 0,3 0,3 1 309. Sean A =  0,3 0,8 0,3 , ~v1 =  0,6 , ~v2 =  −3  y ~v3 = 0,2 0 0,4 0,1 2   −1  0 . 1 a) Demuestra que los vectores ~v1 , ~v2 y ~v3 son vectores propios de A. b) ¿Cu´ ales son los valores propios asociados a cada vector propio? Utiliza la definici´ on para encontrarlos. c) ¿Los vectores ~v1 , ~v2 y ~v3 forman un conjunto linealmente independiente? d ) ¿Los tres vectores ~v1 , ~v2 y ~v3 pueden generar un espacio bidimensional?     2 −1 5 −4 2 310. Sean A = yA = . −1 2 −4 5 a) Encuentra los valores y vectores propios de A, A−1 y A + 4I. b) Encuentra la traza y el determinante de A y de A2 , y relacionalos con los valores propios de A. 311. Encuentra los valores y vectores propios sim´etrica y no invertible, cuya traza es 4:  1 −1 A = −1 2 0 −1   312. Sea A =   de acuerdo

de la siguiente matriz 3 × 3,  0 −1 1

 5 5 0 2 0 2 −3 6  . Lista los valores propios reales, repetidos 0 0 3 −2  0 0 0 5 con su multiplicidad.

313. Utiliza una propiedad de los determinantes para demostrar que A y AT tienen el mismo polinomio caracter´ıstico, por tanto, son similares. 314. Demuestra que si A = QR con Q invertible, entonces A es similar a A1 = RQ.

6.1. Valores y vectores propios y el polinomio caracter´ıstico   5 0 0 0  1 3 0 0   315. Sea A =   2 −1 3 0 . 4 −2 2 1

63

a) Encuentra los valores propios de A. b) Encuentra los valores propios de AT . c) ¿Porqu´e los valores propios de A y AT son los mismos? d ) Encuentra el espacio propio de A con el valor propio λ = 3. e) Encuentra el espacio propio de AT con el valor propio λ = 3. f ) ¿Son iguales los espacios anteriores? 316. Encuentra los valores y vectores propios de estas matrices, y compara los vectores propios y los valores propios de A y de A + I:     1 4 2 4 A= A+I = 2 3 2 4 317. Calcula los valores propios y vectores propios de A y A−1 . Revisa el polinomio caracter´ıstico en cada caso y rellena adecuadamente la frase de abajo:     0 2 −1/2 1 −1 A= A = 1 1 1/2 0 A−1 tiene ................ vectores propios que A. Cuando A tiene valores propios λ1 y λ2 su inversa tiene valores propios.................... . 318. Calcula los valores propios y vectores propios de A y A2 .     −1 3 7 −3 A= A2 = 2 0 −2 6 A2 tiene los mismos ................ que A. Cuando A tiene valores propios λ1 y λ2 , A2 tiene valores propios.................... . En este ejemplo, ¿por qu´e λ21 + λ22 = 13? 319. Encuentra y A + B:  3 A= 1

los valores propios de A, B (f´acil para matrices triangulares) 0 1



 1 B= 0

1 3



 A+B =

4 1

 1 4

Los valores propios de A + B (son iguales a) (no son iguales a) los valores propios de A m´ as los valores propios de B. 320. Si

  1 0 1 1   1 2 AB = 1 3 A=



 1 2 0 1   3 2 BA = 1 1

B=

encuentra los valores propios de A, B, AB y BA, y responde a las siguientes preguntas:

64

Cap´ıtulo 6. Valores y vectores propios (a) ¿Los valores propios de AB son iguales a los valores propios de A por los valores propios de B? (b) ¿Los valores propios de AB son iguales a los valores propios de BA?

321. Termina la frase: (a) Si se sabe que ~x es un vector propio de una matriz A, la forma de encontrar λ el valor propio al que est´ a asociado ~x es.............................. . (b) Si se sabe que λ es un valor propio de una matriz A, la forma de encontrar ~x un vector propio de A asociado a λ es.............................. . 322. Se sabe que ~x es un vector propio de la matriz con valor propio λ. Entonces, usa la ecuaci´ on A~x = λ~x de forma que puedas probar los siguientes literales: (a) λ2 es un valor propio de A2 . (b) λ−1 es un valor propio de A−1 . (c) λ + 1 es un valor propio de A + I.   cosθ −sinθ 323. Sea Q = la matriz de rotaci´on para un ´angulo θ en el sinθ cosθ plano. a) Demuestra que los valores propios de la matriz son λ = cosθ ± isinθ resolviendo la ecuaci´ on det(Q − λI) = 0, de tal forma que no existen valores propios reales. b) Encuentra los vectores propios de Q resolviendo (Q − λI)~x = ~0. Utiliza i2 = −1. 324. Obs´ervese que una matriz de permutaci´ on deja el vector ~x = (1, 1, · · · , 1) intacto. Por tanto, ~x es un vector propio de una matriz de permutaci´on, y λ = 1 siempre es un valor propio para una matriz de permutaci´on cualquiera. Sean ahora las matrices  0 1 P = 0 0 1 0

de permutaci´ on:  0 1 y 0

 0 Q = 0 1

0 1 0

 1 0 0

Encuentra dos valores propios m´ as (posiblemente complejos) para las matrices de permutaci´ on P y Q. 325. Escoge las u ´ltimas filas de A y C adecuadamente para que A tenga como valores propios a 4, 7, y C a 1, 2, 3:

 Matrices compa˜ neras:

A=

0

 1 ∗

 0 C = 0

 1 0 0 1 ∗ ∗

6.1. Valores y vectores propios y el polinomio caracter´ıstico

65

326. Demuestra las siguientes afirmaciones: a) los valores propios de A y de AT son iguales. Para ello, demuestra que det(A − λI) = det(AT − λI), esto es, A y AT tienen el mismo polinomio caracter´ıstico. b) los vectores propios de A y de AT NO son iguales. Para ello, encuentra un contraejemplo. 327. Encuentra 3 matrices 2 × 2 que no son la matriz nula y que tienen valores propios λ1 = λ2 = 0. Obs´ervese que la traza de estas matrices y el determinante ambos valen cero, y A2 = 0. 328. Sea la siguiente matriz no invertible:.    2 1
A = 2 2 1 2 = 4 2 1

1 2 1

 2 4 2

Encuentre sus valores propios y los vectores propios asociados. 329. Sea la matriz

 0 1 3 0 −2 3 0 4 B C  A= =  0 0 6 1 . 0 D 0 0 1 6 El bloque B tiene valores propios 1, 2, el bloque C tiene valores propios 3, 4 y el bloqueD tiene valores propios 5, 7. Encuentra los valores propios de la matriz A4×4 . 



330. Encuentra el rango y  1 1 1 1 A= 1 1 1 1



los cuatro valores propios de A y   1 0 1 1 0 1 1 1  C= 1 0 1 1 0 1 1 1

C. 1 0 1 0

 0 1  0 1

331. Si a las dos matrices del ejercicio anterior le restamos la matriz identidad, se obtiene:     0 1 1 1 0 −1 −1 −1 1 0 1 1 −1 0 −1 −1   B = A−I =  C = I−A =  1 1 0 1 −1 −1 0 −1 1 1 1 0 −1 −1 −1 0 Encuentra los valores propios y el determinantes de estas matrices. 332. Encuentra  1 A = 0 0

los valores propios de A, B y C.      2 3 0 0 1 2 2 2 4 5 B = 0 2 0 C = 2 2 2 0 6 3 0 0 2 2 2   a b 333. Sea la matriz A = . Demuestra que si a + b = c + d, entonces c d (1, 1) es un vector propio. Encuentra los dos valores propios de A.

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Cap´ıtulo 6. Valores y vectores propios

6.1.1.

Diagonalizaci´ on

334. Sea A de dimensi´ on 3 × 3 con dos valores propios y cada espacio propio es unidimensional, ¿es A diagonalizable? Justifica tu respuesta. 335. Demuestra que si A es invertible y diagonalizable, entonces tambi´en lo es A−1 .     0,6 0,3 3/5 336. Sean A = y v1 = . 0,4 0,7 4/5 a) ¿Todos los vectores propios linealmente independientes de A generan R2 ? b) Encuentra una base de R2 que lleve un vector propio de A y otro vector que no sea vector propio. c) ¿Por qu´e A es diagonalizable? d ) Diagonaliza A.  4 0 0 0  2 2 0 0 337. Sea A =   3 h 4 0 3 3 14 2

   y h ∈ R. 

a) Encuentra los valores propios de A. b) ¿Cu´ al es la multiplicidad algebraica de cada valor propio distinto?. c) Determina el valor de h tal que el espacio propio asociado a λ = 4 sea unidimensional. d ) Determina el valor de h tal que la matriz A sea diagonalizable.   3 0 0 0  0 2 0 0   338. Sea A =   0 0 2 0 . Si es posible, diagonaliza A. Justifica, si no. 1 0 0 3 339. Construye una matriz A de dimensi´ on 2 × 2 que sea invertible pero que no sea diagonalizable.   2 −2 −2 340. Sea A =  3 −3 −2 . 2 −2 −2 a) Demuestra que A es diagonalizable. b) Encuentra dos formas diferentes de diagonalizar A. 341. Si es posible, factoriza estas dos matrices encontrando una matriz invertible S tal que A = SΛS −1 :   1 2 (a) A = . 0 3   1 1 (b) A = . 3 3

6.1. Valores y vectores propios y el polinomio caracter´ıstico

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342. Si A = SΛS −1 encuentra una expresi´on para en t´erminos de A, S y S −1 para A3 y A−1 .   1 343. Si A tiene λ1 = 2 con un vector propio ~x1 = y λ2 = 5 con vector 0   1 propio ~x2 = , usa SΛS −1 para encontrar A. 1 344. Escribe cu´ al de estas afirmaciones es verdadera: sea S la matriz cuyas columnas son los vectores propios de A. Si S es una matriz cuadrada y adem´ as sus columnas son linealmente independientes, entonces: (a) A es invertible. (b) A es diagonalizable. (c) S es invertible. (d) S es diagonalizable. 345. Describe todas las matrices S que diagonalizan esta matriz A (encuentra todos los vectores propios):   4 0 A= 1 2 Luego, describe todas las matrices que a diagonalizan A−1 .     1 1 346. Escriba la matriz m´ as general que tiene vectores propios y . 1 −1 347. Escribe si es verdadero o falso: Si los valores propios de A son 2, 2, 5, entonces la matriz ciertamente es: (a) Invertible. (b) Diagonalizable. (c) No diagonalizable. (d) Ninguna de las anteriores. 348. Escribe si es verdadero o falso: Si los u ´nicos vectores propios de A son m´ ultiplos de (1, 4), entonces A : (a) No tiene inversa. (b) tiene un valor propio repetido. (c) No es diagonalizable. 349. Diagonaliza A para calcular SΛk S −1 y as´ı probar esta f´ormula para Ak :     1 1 + 3 k 1 − 3k 2 −1 A= tiene Ak = −1 2 2 1 − 3k 1 + 3k 350. Diagonaliza B y calcula SΛk S −1 para demostrar esta f´ormula para B k .    k  5 1 5 5k − 4k k B= tiene B = 0 4 0 4k

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Cap´ıtulo 6. Valores y vectores propios

351. Los valores propios de A son 1 y 9, y los valores propios de B son −1 y 9.     5 4 4 5 A= yB= . 4 5 5 4 √ Encuentra una Matriz Ra´ız Cuadrada de A desde R = S ΛS −1

6.1.2.

Vectores propios y transformaciones lineales

352. Sea T : Rn → Rn una transformaci´ on lineal tal que T (~x) = A~x en donde A es diagonalizable. Expresa a T como una composici´on de transformaciones lineales de tal manera que A = P DP −1 . n o 353. Sean B = {~u1 , ~u2 , ~u3 } y D = d~1 , d~2 bases para los espacios vectoriales V y W , respectivamente. Sea T : V → W una transformaci´on lineal tal que T (~u1 ) = 3d~1 − 5d~2 , T (~u2 ) = −d~1 + 6d~2 , T (~u3 ) = 4d~1 . Determina la matriz para T respecto a B y D 354. Responde si es verdadero o falso, y justifica: Si B = P −1 AP y ~x es un vector propio de A correspondiente a un valor propio de λ, entonces P −1 ~x es un vector propio de B tambi´en asociado a λ. Se puede demostrar que la traza de un matriz A es igual a la suma de los valores propios de A. Comprueba este enunciado para el caso cuando A es diagonalizable. Se puede comprobar que traza (F G) = traza (GF ) para cualesquiera dos matrices F y G de n × n. Si A y B son similares, entonces, traza (A) = traza (B).