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Capitulo XXVIII

Columnas de hormigón armado - Compresión y flexo compresión

16. Primer ejemplo numérico de columnas de H°A° Acciones gravitatorias Se analizará un edificio de 3 pisos y planta baja. La siguiente planta corresponde a un sector del esquema estructural de la planta tipo del mismo, común para los 4 niveles que lo componen.

En este ejemplo se procederá al dimensionado de la columna 6, en el tramo correspondiente al 1° piso. Altura considerada de piso: 2.80m. 16.1.

Análisis de cargas

16.2.

Predimensionado

16.3.

Determinación de solicitaciones

16.4.

Determinación de la esbeltez

16.5.

Determinación de la armadura para el plano paralelo a x

16.6.

Determinación de la armadura para el plano paralelo a y

16.7.

Armado

16.1.

Análisis de cargas

En el capitulo correspondiente al tema vigas (Pág. 220 Capitulo XXVII de esta publicación), en los ejemplos numéricos se han obtenido las cargas de servicio de las vigas 8 y 9. Se determinan, entonces, las reacciones de vínculo de las mismas para hallar las cargas que llegan a sus apoyos. En particular se analizará la descarga de las vigas sobre la columna 6, en estudio. 16.1.1. Descarga de vigas 8 y 9 D trasmitido por losas + peso tabique + peso viga

carga D viga

1966 kg/m

L transmitido por losas

carga L viga

586 kg/m

carga q viga

2552 kg/m

Dlviga qlviga



1966 kg / m  0.77 2552 kg / m

L lviga qlviga



586 kg / m  0.23 2552 kg / m

1

Recursos para el diseño de Estructuras Resistentes

I.

VA V 8 

Reacción del tramo viga 8 en el apoyo A

q V8 * L V8 2

II.

2552 kg / m * 3 m  3828 kg / m 2

Reacción del tramo viga 8 en el apoyo B

VB V 8  1.15 * III.

q V8 * L V8 2

 1.15 *

2552 kg / m * 3 m  4402 .2  4403 kg / m 2

Reacción del tramo viga 9 en el apoyo B

VB V 9  1.15 * IV.

VC V 9 



q V9 * L V9 2

 1.15 *

2552 kg / m * 3 m  4402 .2  4403 kg / m 2

Reacción del tramo viga 9 en el apoyo C

q V9 * L V9 2



2552 kg / m * 3 m  3828 kg / m 2

La columna 6 recibe 8806 kg trasmitidos por las vigas 8 y 9, de los cuales el 77% corresponde a carga permanente (6780 kg  D) y el resto a sobrecarga (2026 kg L). 16.1.2. Descarga de viga 3 La columna 5 y la columna 6 reciben de la viga 3: q * l 1890 .2kg * 3.50m   3309kg 2 2

conocidos qViga = 1890.2 kg/m

DViga = 1415.2 Kg/m,

será necesario plantear Dlviga qlviga



1415 .2 kg / m  0.75 1890 .2 kg / m

La columna 6 recibe 3309 kg trasmitidos por la viga 3, de los cuales el 75% corresponde a carga permanente (2482 kg = D) y el resto a sobrecarga (827 kg = L). 2

Capitulo XXVIII

Columnas de hormigón armado - Compresión y flexo compresión

Resumiendo, por planta: D L

Vigas 8 y 9 6780 kg 2026 kg

(G columna) (P columna) (Q columna)

Viga 3 2482 kg 827 kg

totales 9262 kg 2853 kg 12115 kg

Se estima una sección de columna arbitraria al solo efecto de considerar la carga debida al peso propio en cada piso. En PB la altura se considera hasta el nivel superior de la base (pedestal). Piso ro

3 y2 1ro PB

do

Sección (m)

Altura (m)

 kg/m3) * h1 (m)* h2 (m) * l (m)

P. Propio (kg)

020 * 0.20 0.25 * 0.20 0.30 * 0.25

2.80 2.80 5.00

2400 * 0.20 * 0.20 * 2.80 2400 * 0.25 * 0.20 * 2.80 2400 * 0.30 * 0.25 * 5.00

270 336 900

Carga, por piso y acumulada, que recibe la columna 6 (planta tipo): Piso

3ro 2do 1ro PB

D L D L D L D L

Viga 8 (kg)

Viga 9 (kg)

Viga 3 (kg)

Peso Propio (kg)

3390 1013 3390 1013 3390 1013 3390 1013

3390 1013 3390 1013 3390 1013 3390 1013

2482 827 2482 827 2482 827 2482 827

270 270 336 900

c

/Piso (kg)

9532 2853 9532 2853 9598 2853 10162 2853

Acumulado (kg) D L

Q (kg)

9532

2853

12385

19064

5706

24770

28662

8559

37221

38824

11412

50236

16.1.3. Área Tributaria: Otro modo de obtener la carga que recibe cada columna en los diferentes niveles, se logra efectuando un análisis del área que descarga en la columna en cada planta, y afectándolo por una carga superficial representativa que involucra pesos propios y sobrecargas que soporta la estructura.

3

Recursos para el diseño de Estructuras Resistentes

Área en planta: 3.25m * 3.00m = 9.75m2 Carga unitaria estimada: 1100 kg/m2 Área tributaria: 1100 kg/ m2 * 9.75 m2 = 10725 kg En este análisis no se ha considerado que los elementos isostáticos no distribuyen su carga a los apoyos del mismo modo que los hiperestáticos. Se observa en el modelo isostático que la intensidad de la carga recibida por los apoyos es de igual valor numérico. En el caso del modelo hiperestático el apoyo que corresponde al empotramiento recibe mayor intensidad de carga que el que corresponde al apoyo articulado. Comparando, también se observa que los apoyos de la viga hiperestática reciben aproximadamente una diferencia entre un 10% y un 15% de carga (menos en el apoyo móvil y más en el empotramiento), que el isostático. Por lo tanto, corresponde diferenciar las columnas “centradas” de las “de borde”, porque obedecen a distintos modelos. La columna 6 puede considerarse como “centrada”, ya que corresponde al apoyo de continuidad de las vigas 8 y 9. Las columnas 1 o 2 pueden considerarse “de borde”, ya que corresponden al apoyo extremo de vigas continuas o de vigas isostáticas. Por esta razón se incrementa la carga obtenida en el área tributaria en un 15%. 10725 kg * 1.15 ≈ 12335 kg Manteniendo las proporciones analizadas en el punto 2, la carga total Q se compone por 75% D y 25% L, aproximadamente, entonces: Piso 3ro 2do 1ro PB

D = 0.75 * Q (kg) 9251 9251 * 2 pisos = 18502 9251 * 3 pisos = 27754 9251 * 4 pisos = 37005

L = 0.25 * Q (kg) 3084 3084 * 2 pisos = 6168 3084 * 3 pisos = 9251 3084 * 4 pisos = 12335

Carga Q (kg) 12335 12335 * 2 pisos = 24670 12335 * 3 pisos = 37005 12335 * 4 pisos = 49340

Diferenciación necesaria para obtener P u (carga última) en el siguiente paso. Nótese que en ambos procedimientos los valores de cargas son semejantes. No obstante se utilizarán los hallados a través de las reacciones de vinculo simplificadas, ya que (de ser posible hallarlos), resultan más ajustados. 16.2.

Predimensionado

16.2.1. Carga última El presente dimensionado será resuelto para el tramo comprendido en el primer piso para la columna 6.

4

Capitulo XXVIII

Columnas de hormigón armado - Compresión y flexo compresión

Combinaciones de cargas mayoradas: 1.2 D + 1.6 L = 1.2 D + 1.0 L  1.6 W 0.9 D  1.6 W Para la resolución de este ejemplo no se considera la acción del viento. Pu =1.2 * 28662 kg + 1.6 * 8559 kg ≈ 48090 kg ≈ 48.1t 16.2.2. Carga nominal Pn 

48.1t Pu Pu  92.31 t  0.925 MN    * 080 0.65 * 0.80 0.52

0.80 = coeficiente que tiene en cuenta la excentricidad accidental de la carga 16.2.3. Predimensionado Area 

C arg a  Tension

Ag 

Pn  0.85 * f' c *(1 ρ g )  fy * ρg

Donde: f’c = Resistencia especificada del hormigón a compresión en MPa 0.85 = coeficiente que tiene en cuenta la deformación en el tiempo del hormigón g = cuantía de armadura longitudinal fy = tensión de fluencia especificada de la armadura longitudinal Ag 

0.925 MN 0.925 MN   0.0367m2  367cm2 0.85 * 25 MPa(1  0.01)  420MPa * 0.01 25.24 MPa

Sección adoptada = 25 cm * 20 cm = 500 cm2

En un dibujo que no se corresponde con la escala de la planta se ha representado la posición de la columna 6. h1 = 25 cm  paralelo a eje x h2 = 20 cm  paralelo a eje y

5

Recursos para el diseño de Estructuras Resistentes

16.3.

Determinación de solicitaciones

16.3.1. Indesplazabilidad Se estudia en este caso un sistema indesplazable. La columna 6 conforma con la columna 5 y la viga 3 un pórtico que está sometido sólo a cargas gravitatorias, (plano “x”). Con la columna 10 y 2, y con las vigas 8 y 9 conforma un pórtico que está sometido también sólo a cargas gravitatorias, (plano “y”).

16.3.2. Esfuerzos generados por las vigas en el tramo analizado de columna I.

Se analizará la columna 6 en su plano paralelo al lado "h2" (paralelo al eje y)

 En este plano (paralelo al lado h 2) la columna se comporta como centrada, ya que en el nudo "A" los pares actuantes transmitidos por las vigas 8 y 9 se contrarrestan (M = 0), por lo que la columna no recibe ningún momento. Lo mismo ocurre en el nudo “B”.

M A1  M A2 

6

2552 kg/m * (3m)2  2871kgm 8

Capitulo XXVIII

II.

Columnas de hormigón armado - Compresión y flexo compresión

Se analizará la columna 6 en su plano paralelo al lado "h1" (paralelo al eje x). Según reglamento CIRSOC los momentos M1 y M2 en los extremos de la columna se deben calcular por medio de un análisis elástico de primer orden del pórtico, considerando la presencia de zonas fisuradas a lo largo del elemento. En consecuencia se reducirán las inercias obtenidas para las secciones de vigas y columnas considerando: Momentos de inercia 0,35 Ig Vigas Columnas

Barra

Sección

Ig sección rectangular [cm4]

[cm]

viga

12 x 25

Columna 2do piso

20 x 20

Columna 1er piso

25 x 20

Columna planta Baja

30 x 25

12 * 253 12 20 * 203 12 20 * 25 3 12 25 * 30 3 12

0,70 Ig

Ig considerando fisuración [cm4]

 15625

≈ 5500

 13333

≈ 9300

 26041

≈ 18200

 56260

≈ 39400

NUDO “A” M A1 

1890 kg/m * (3.50m)2  2894 kgm 8

3 * 5500cm 4 * E  47.14cm3E  350cm

A1 = A3 =

4 * 9300cm 4 * E  132.85cm3E 280cm

AB =

4 * 18200cm 4 * E  260cm3E 280cm

mBA =

2 * 18200cm 4 * E  130cm3E 280cm



289400 kgcm + (47.14 + 260 + 132.85) cm3 E * A = 0 A 

 289400kgcm (47.14  132.85  260)cm3E



Mh

A1

= 289400 kgcm + [47.14 cm3 E * (- 657.7 kg/cm2 E) = 258376 kgcm = 2.58 tm

Mh

A3

= [132.85 cm3 E * (- 657.7 kg/cm2 E) = - 87375 kgcm = -0.87 tm

Mh

AB

= [260 cm3 E * (- 657.7 kg/cm2 E) = - 171002 kgcm = -1.71 tm

Mh

BA

= [130 cm3 E * (- 657.7 kg/cm2 E) = - 85501 kgcm = -0.86 tm

 657.7

kg cm2E

7

Recursos para el diseño de Estructuras Resistentes

En el nudo "A" En este plano (paralelo al lado h2) la columna se comporta como excéntrica, ya que el par transmitido por la viga 3 (M  0) debe ser contrarrestado por los pares en los extremos de las barras que convergen al nudo.

NUDO “B” 1890 kg/m * (3.50m)2  2894 kgm 8 3 * 5500cm 4 * E B2 =  47.14cm3E  350cm

MB2 

B4 =

3 * 39400cm 4 * E  236.4cm3E 500cm

BA =

4 * 18200cm 4 * E  260cm3E 280cm

mAB =

2 * 18200cm 4 * E  130cm3E 280cm



289400 kgcm + (47.14 + 260 + 236.4) cm3 E * B = 0 1 

 289400kgcm (47.14  236.4  260)cm3E



 532.43

Mh

B2

= 289400 kgcm + [47.14 cm3 E * (- 532.43 kg/cm2 E) = 264301 kgcm = 2.64 tm

Mh

B4

= [236.4 cm3 E * (- 532.43 kg/cm2 E) = - 125866 kgcm = -1.26 tm

Mh

BA

= [260 cm3 E * (- 532.43 kg/cm2 E) = - 138431 kgcm = -1.38 tm

Mh

AB

= [130 cm3 E * (- 532.43 kg/cm2 E) = - 69216 kgcm = -0.69 tm

En el nudo "B" En este plano (paralelo al lado h 2) la columna se comporta como excéntrica, ya que el par transmitido por la viga 3 (M  0) debe ser contrarrestado por los pares en los extremos de las barras que convergen al nudo.

Superponiendo pares finales con influencias: Mh

BA

= -1.38 tm + (-0.86 tm) = -2.24 tm

AB

= -0.69 tm + (-1.71 tm) = -2.4 tm

h

M

8

kg cm2E

Capitulo XXVIII

I.

Columnas de hormigón armado - Compresión y flexo compresión

Resumiendo (cargas de servicio):

Plano paralelo a " h1": flexo-compresión N = 37.3 t (dato obtenido en el análisis de cargas) M1 = -2.24 tm (dato obtenido de la resolución del hiperestático, para la barra que corresponde a la columna 6 en 1° piso) M2 = +2.4 tm (dato obtenido de la resolución del hiperestático, para la barra que corresponde a la columna 6 en 1° piso) Plano paralelo a " h2": compresión N = 37.3 t (dato obtenido en el análisis de cargas)

16.4.

Determinación de la esbeltez



k * lu r

Donde: k = factor de longitud efectiva. lu = longitud sin apoyo lateral. Pueden ser diferentes según la dirección que se analice. r = radio de giro

r

b * h3 Ig 12  h  0.3 * h  Ag b*h 12



r = 0.3 * h

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Recursos para el diseño de Estructuras Resistentes

16.4.1. Definir lu para cada dirección. Luz libre entre nivel de piso terminado = 2.80 m 

Para dirección x (paralelo a h1):

hviga 3 = 0.25 m 2.80 m – 0.25 m = 2.55 m 

Para dirección y (paralelo a h2):

hviga 8 y 9 = 0.35 m 2.80 m – 0.35 m = 2.45 m 16.4.2. Factor de longitud efectiva Como el valor real de la longitud efectiva depende de la rigidez de los elementos solidarios a ambos extremos de la columna, se obtendrá en primer lugar la rigidez de dichos elementos.

 L (columnas ) * 0.7 EI

 

 L (vigas ) * 0.35 EI

Para plano x

Valor de k con formulas aproximadas: k = 0.7+0.05 (A + B)  1.0 k = 0.7+0.05 (8.2 + 6.3) = 1.425 > 1.0 Por lo tanto se adopta k = 1 (valor mas desfavorable)

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Capitulo XXVIII



Columnas de hormigón armado - Compresión y flexo compresión

Para plano y

Valor de k con formulas aproximadas: k = 0.7+0.05 (A + B)  1.0 k = 0.7+0.05 (0.56 + 0.6) = 0.75 < 1.0 Por lo tanto se adopta k = 0.75 (valor mas desfavorable)

16.4.3. Esbeltez 

k * lu r

x 

1 * 2.55m  34 0.3 * 0.25m

y 

0.75 * 2.45m  30.62 0.3 * 0.20m

11

Recursos para el diseño de Estructuras Resistentes

16.4.4. Limite para considerar efectos de la esbeltez

 M1u   lim  34  12   M2u  Donde: M1u = menor momento último en extremo de la columna M2u = mayor momento último en extremo de la columna El cociente M1u/M2u es positivo si la columna se deforma con curvatura simple (tracción del mismo lado en toda la columna, como sucede en el tramo de PB), y negativo si se deforma con doble curvatura. Este último caso es el que corresponde a este ejemplo, primer piso.

Siendo:

Mu = 1.2 *MD + 1.6 * ML

Y manteniendo las proporciones halladas en relación a cargas permanentes y sobrecargas: M (tm) 2.4 2.24

MD = 0.75 * M (tm) 1.80 1.68

I.

Mu (tm) 3.12 2.91

Análisis para plano x (paralelo a h1)

 M1u   lim  34  12 *    M2u 

x = 34 < 40

ML = 0.25 * M (tm) 0.60 0.56

 2.91tm   lim x  34  12 *     45.19  3.12tm  valor máximo aceptado 40

 no es necesario considerar efectos de la esbeltez.

En este plano la columna se encuentra solicitada por flexo compresión (momento primer orden). Valores finales a considerar (caso 2):  * Pn = Pu = 48.1 t = 481 KN = 0.481 MN M2u = 3.12 tm = 31.2 KNm  0.0312MNm II.

Análisis para plano y (paralelo a h2)

 M1u   lim  34  12 *    M2u 

y = 30.62 < 34 

 lim y  34

no es necesario considerar efectos de la esbeltez.

Valor final a considerar (caso 1):  * Pn = Pu = 48.1 t = 481 KN = 0.481 MN Dimensionado por cuantía minima. 16.5.

Determinación de la armadura para el plano paralelo a x

Pu = 0.481 MN M2u = 0.0312MNm 12

Capitulo XXVIII

n

Columnas de hormigón armado - Compresión y flexo compresión

0.481 MN P Pn  u   9.62 b *h Ag 0.05m 2

m

0.0312 MNm Mu Mn    2.496 2 b *h A g * h 0.05m 2 * 0.25m

Para identificar el diagrama de interacción de donde obtendremos la cuantía, debemos conocer el valor .



h (2 * Cc ) (2 *  estribos )   armaduralongitudinal 25cm  4cm  1.2cm  1.2cm   0.74 h 25

Utilizando el Diagrama de interacción I.8, con valor  = 0.7 para sección rectangular con armadura simétrica: n = 9.7 m = 2.5 x = 0.012  = 0.7 Utilizando el Diagrama de interacción I.9, con valor  = 0.8 para sección rectangular con armadura simétrica: n = 9.7 m = 2.5 x = 0.01  = 0.8 Se adopta x = 0.012 correspondiente al Diagrama de interacción I.8

16.6.

Armado

adoptado = 0.012 Ast =  * Ag = 0.012 * 500 cm2 = 6 cm2 As necesario = 6 cm2. Se adopta armadura simétrica 2  16  4.02 cm2 por cara As total 8.04 cm2 > 6 cm2 Estribos Hasta  16 inclusive =  6 Separación:  12 de Barra longitudinal = 12 * 1.6 cm = 19.2 cm  48  de estribos = 48 * 0.6 cm = 28.8 cm  Lado menor = 20 cm Se adopta 6 c/ 19 cm.

13

Recursos para el diseño de Estructuras Resistentes

17. Segundo ejemplo numérico de columnas de H°A° Acciones gravitatorias En este ejemplo se procederá al dimensionado de la columna 6, en el tramo correspondiente a Planta Baja. Altura considerada de piso: 5.00 m. 17.1.

Análisis de cargas

17.2.

Predimensionado

17.3.

Determinación de solicitaciones

17.4.

Determinación de la esbeltez

17.5.

Determinación de la armadura para el plano paralelo a x

17.6.

Determinación de la armadura para el plano paralelo a y

17.7.

Armado

17.1.

Análisis de cargas

En el ejemplo numérico anterior, del análisis de la columna 6 en primer piso, se obtuvieron las cargas recibida por dicha columna en cada uno de sus tramos. En el mismo se utilizaron dos procedimientos, uno como modo simplificado de reacciones de vigas, y otro como área tributaria. En particular nos interesa analizar el tramo de Planta Baja. La carga total Q se compone por 75% D y 25% L, aproximadamente, entonces: Piso PB

Carga Q (kg)

D = 0.75 * Q (kg)

L = 0.25 * Q (kg)

50236

38824

11412

Diferenciación necesaria para obtener P u (carga última) en el siguiente paso. 17.2.

Predimensionado

17.2.1. Carga última Combinaciones de cargas mayoradas: 1.2 D + 1.6 L = 1.2 D + 1.0 L  1.6 W 0.9 D  1.6 W Para la resolución de este ejemplo no se considera la acción del viento. Pu =1.2 * 38824kg + 1.6 * 11412kg = 64848 kg ≈ 64.9 t 17.2.2. Carga nominal Pn 

64.9 t Pu  124.81t   * 0.80 0.65 * 0.80

0.80 = coeficiente que tiene en cuenta la excentricidad accidental de la carga Pn  1.248 MN 17.2.3. Predimensionado Area 

14

C arg a  Tension

Ag 

Pn  0.85 * f ' c *1   g   fy *  g

Capitulo XXVIII

Columnas de hormigón armado - Compresión y flexo compresión

Donde: f’c = Resistencia especificada del hormigón a compresión en MPa 0.85 = coeficiente que tiene en cuenta la deformación en el tiempo del hormigón g = cuantía de armadura longitudinal fy = tensión de fluencia especificada de la armadura longitudinal

Ag 

1.248MN 1.248MN   0.0494m 2  494 cm 2 0.85 * 25MPa(1  0.01)  420MPa * 0.01 25.24MPa

Sección adoptada = 30 cm * 25 cm = 750 cm2 Al final del presente ejercicio se analizará una sección de 25 cm * 25 cm (625 cm 2), la cual resultó insuficiente debido a su importante esbeltez.

En un dibujo, que no se corresponde con la escala de la planta, se ha representado la posición de la columna 6 en Planta baja. h1 = 30 cm  paralelo a eje x h2 = 25 cm  paralelo a eje y 17.3.

Determinación de solicitaciones

17.3.1. Indesplazabilidad Se estudia en este caso un sistema indesplazable. La columna 6 conforma con la columna 5 y la viga 3 un pórtico que está sometido sólo a cargas gravitatorias, (plano “x”). Con la columna 10 y 2, y con las vigas 8 y 9 conforma un pórtico que está sometido también sólo a cargas gravitatorias, (plano “y”). 17.3.2. Esfuerzos generados por las vigas en el tramo analizado de columna I.

Se analizará la columna 6 en su plano paralelo al lado "h2" (paralelo al eje y)

15

Recursos para el diseño de Estructuras Resistentes

En este plano (paralelo al lado h 2) la columna se comporta como centrada, ya que en el nudo "A" los pares actuantes transmitidos por las vigas 8 y 9 se contrarrestan (M = 0), por lo que la columna no recibe ningún momento.

MB1  MB2  II.

2552 kg/m * (3m)2  2871kgm 8 Se analizará la columna 6 en su plano paralelo al lado "h1" (paralelo al eje x)

 En este plano (paralelo al lado h 1) la columna se comporta como excéntrica, ya que en el nudo "B" el par transmitido por la viga 3 (M  0) debe ser contrarrestado por los pares en los extremos de las columnas que convergen. Según la resolución del nudo de pórtico realizado en el ejercicio anterior (columna 1er piso), los valores son los que se representan: III.

Resumiendo (cargas de servicio):

Plano paralelo a " h1": flexo-compresión N = 50.2 t (dato obtenido en el análisis de cargas) M1 = 0 tm (corresponde a la columna 6 en Planta baja donde se encuentra articulada a la base 6) M2 = 1.26 tm (dato obtenido de la resolución del hiperestático, para la barra que corresponde a la columna 6 en Planta baja)

Plano paralelo a " h2": compresión N = 50.2 t (dato obtenido en el análisis de cargas)

16

Capitulo XXVIII

17.4.

Columnas de hormigón armado - Compresión y flexo compresión

Determinación de la esbeltez

Donde: k = factor de longitud efectiva. lu = longitud sin apoyo lateral. Pueden des diferentes según la dirección que se analice. r = radio de giro

r

b * h3 Ig 12  h  0.3 * h  Ag b*h 12





k * lu r

r = 0.3 * h

17.4.1. Definir lu para cada dirección. Longitud no arriostrada entre el nivel superior de vigas de 1° piso y el borde superior de la fundación : 5.00 m 

Para dirección x:

hviga 3 = 0.25 m 5.00 m – 0.25 m = 4.75 m 

Para dirección y:

hviga 8 y 9 = 0.35 m 5.00 m – 0.35 m = 4.65 m 17.4.2. Factor de longitud efectiva Como el valor real de la longitud efectiva depende de la rigidez de los elementos solidarios a ambos extremos de la columna, obtendremos en primer lugar la rigidez de dichos elementos.

 L (columnas ) * 0.7 EI



 L (vigas ) * 0.35 EI

17

Recursos para el diseño de Estructuras Resistentes

17.4.3. Esbeltez 

k * lu

x 

r

0.97 * 4.75m  51.19 0.3 * 0.30m

y 

0.85 * 4.65m  52.7 0.3 * 0.25m

17.4.4. Limite para considerar efectos de la esbeltez  M1u   lim  34  12 *    M2u 

Donde: M1u = menor momento último en extremo de la columna, en este caso = 0 M2u = mayor momento último en extremo de la columna. M2 = 1.26 tm fue hallado con cargas de servicio. Debe mayorarse para hallar M2u. El cociente M1u/M2u es positivo si la columna se deforma con curvatura simple (tracción del mismo lado en toda la columna, como sucede en el tramo de PB), y negativo si se deforma con doble curvatura. Este último caso es el que corresponde a este ejemplo, primer piso. Siendo:

Mu = 1.2 *MD + 1.6 * ML

Y manteniendo las proporciones halladas en relación a cargas permanentes y sobrecargas: M (tm) 1.26

MD = 0.75 * M (tm) 0.945

I.

Análisis para plano x (paralelo a h1)

 M1u   lim  34  12 *    M2u 

x = 51.19 > 34

ML = 0.25 * M (tm) 0.315

Mu (tm) 1.64

 0tm   lim x  34  12 *    34  2.64tm 

 es necesario considerar efectos de la esbeltez.

x = 51.19 < 100  se puede utilizar momentos amplificados (Mc). Como en este plano la columna se encuentra solicitada por compresión y momento flexor (de primer orden) se debe determinar el valor mínimo reglamentario a considerar para M2.

18

Capitulo XXVIII

Columnas de hormigón armado - Compresión y flexo compresión

M2 min = Pu (0.015 + 0.03 * h) M2 min = 64.9 t (0.015 + 0.03 * 0.30 m) = 1.55 tm M2 min = 1.55 tm < M2u = 1.64 tm Se utiliza Mu para el dimensionado de la columna Mc = ns * M2u

Donde: Mc = Momento amplificado ns = Factor de amplificación de momentos M2u = Momento de 1° orden (ultimo)

 ns 

Cm Pu 1 0.75 * Pc

Donde : Cm = Factor de corrección de momento. Pu = Carga ultima. Pc = Carga critica.

La carga crítica, según Euler, depende del binomio de rigidez a flexión “E*I” y es inversamente proporcional al cuadrado de la luz efectiva. Pc 

2 * E * I (k * lu) 2

a. donde el binomio de rigidez será 0.4 * Ec * Ig  1 d Donde: E *I 

d = relación entre la carga permanente y la carga máxima. Ec = modulo de elasticidad del hormigón (en MPa) Ig = momento de inercia de la sección bruta de hormigón para el plano analizado. E *I 

0.4 * Ec * Ig 0.4 * 4700 25 * 0.00056 m 4   3.008MNm 2 1  b 1  0.75

b. Remplazando: Pc 

 2 * 3.008MNm 2 (0.97 * 4.75m) 2

 1.397MN  1397KN

c. Se debe determinar el factor de corrección de momentos: Cm  0.6  0.4 *

M1  0.4 M2

 M1  0  Cm  0.6

Ahora, operando, se puede obtener:

 ns 

Cm 0.6   1.58 Pu 64.9t 1 1 0.75 * 139.7t 0.75 * Pc

ns = debe ser > 1 Mc = ns * M2u  1.58 * 1.64 tm = 2.59 tm Valores finales a considerar: 19

Recursos para el diseño de Estructuras Resistentes

Pu = 64.9 t = 649 KN  0.649 MN Mc = 2.59 tm = 25.9 KNm = 0.0259 MNm

II.

Análisis para plano y (paralelo a h2)

 M1u   lim  34  12 *    M2u 

 lim y  34

y = 52.7 > 34  es necesario considerar efectos de la esbeltez. y = 52.7 < 100  se puede utilizar momentos amplificados (Mc) Como en este plano no existe momento de primer orden (flexor) se debe determinar el valor mínimo reglamentario a considerar para M2). M2 min = Pu * (0.015 + 0.03 * h) M2 min = 64.9 t * (0.015 + 0.03 * 0.25 m) = 1.46 tm Mc = ns * M2 min  ns 

Cm Pu 1 0.75 * Pc

La carga crítica, según Euler, depende del binomio de rigidez a flexión “E*I” y es inversamente proporcional al cuadrado de la luz efectiva. 2 * E * I Pc  (k * lu) 2 a. donde el binomio de rigidez será E *I 

0.4 * Ec * Ig  1 d

E *I 

0.4 * Ec * Ig 0.4 * 4700 25 * 0.00039 m 4   2.09MNm 2 1  b 1  0.75

b. Remplazando:

 2 * 2.09MNm2 Pc   1.32MN  1320KN 2 (0.85 * 4.65m ) c. Se debe determinar el factor de corrección de momentos:

 M1  0; M2  0  C m  1 Ahora, operando se puede obtener:

Cm 1   2.9 Pu 64.9t 1 1 0.75 * 132t 0.75 * Pc Debe ser ns > 1  ns 

Y así, amplificar el momento afectándolo por ns (en este caso Mc = M2) Mc = ns * M2 = 2.9 * 1.46 tm = 4.24tm

20

Capitulo XXVIII

Columnas de hormigón armado - Compresión y flexo compresión

Para este caso

Mc = 42.4 KNm

Valores finales a considerar: Pu = 64.9 t = 649 KN  0.649 MN Mc = 4.24 tm = 42.4 KNm = 0.043 MNm

17.5.

Determinación de la armadura para el plano paralelo a x

Pu = 0.649 MN Mu = 0.026 MNm

n

0.649MN Pu   8.65 b * h 0.25m * 0.30m

m

0.026MNm Mu   1.16 2 2 b *h 0.25m *(0.30m )

Para identificar el diagrama de interacción de donde se obtiene la cuantía, se debe conocer el valor .

h  2 * Cc  2 * estribos  armadura longitudinal 30cm  4cm  1.2cm  1.6cm   0.77 h 30 0.77  0.80 

n = 8.65 m = 1.16  = 0.01  = 0.80

f’c = 25 MPa fy = 420 MPa

17.6.

Determinación de la armadura para el plano paralelo a y

Pu = 0.649 MN Mu = 0.043 MNm

n

0.649MN Pu   8.65 b * h 0.30m * 0.25m

m

0.043MNm Mu   2.29 2 2 b *h 0.30m *(0.25m )

Para identificar el diagrama de interacción de donde se obtiene la cuantía, se debe conocer el valor .

h  2 * Cc  2 * estribos  armadura longitudinal 25cm  4cm  1.2cm  1.6cm   0.72 h 25 0.72  0.70 

f’c = 25 MPa fy = 420 MPa

n = 8.65 m = 2.29  = 0.01  = 0.70

21

Recursos para el diseño de Estructuras Resistentes

17.7.

Armado

Se adopta  = 0.01 Ast =  * Ag = 0.01 * 750 cm2 = 7.5cm2 As necesario = 7.5cm2 Se adopta armadura simétrica 2  16  4.02 cm2 por cara para cada dirección. As total para cada dirección 8.04 cm2 > 7.5 cm2 Se recomienda verificar la necesidad de colocar armadura constructiva para acortar la separación entre las barras de esquina del lado mayor. Si la separación entre ejes de barras es mayor al lado mínimo de columna o 30 cm, se recomienda colocar barras intermedias. Separación entre barras = h1 – 2 * Cc –  arm long = 30 cm – 4 cm – 1.6 cm = 24.4 cm Lado mínimo 25 cm No es necesario armadura constructiva. Estribos Hasta  16 inclusive =  6 Separacion:  12 de Barra longitudinal = 12 * 1.6 cm = 19.2 cm  48  de estribos = 48 * 0.6 cm = 28.8 cm  Lado menor = 25 cm Se adopta 6 c/ 19 cm.

17.8.

Verificación en flexión compuesta oblicua:

17.8.1. Pnx = Pux 

n

m = 1.16  = 0.0107  = 0.80

Pux  Pux  n * b * h  b *h Pux  13MPa * 0.25m * 0.30m  0.975MN

17.8.2. Pny = Puy

n

Puy b *h

m = 2.29  = 0.0107  = 0.70

 Puy  n * b * h  Puy  9MPa * 0.30m * 0.25m  0.675MN

22

Capitulo XXVIII

Columnas de hormigón armado - Compresión y flexo compresión

17.8.3. Pn0 = Pu0 Pu0 = 0.8 * 0.65 * [0.85 * f’c * (Ag – Ast) + fy * Ast] Pu0 = 0.8 * 0.65 * [0.85 * 25 MPa (0.075 m2 – 0.000804m2) + 420 MPa * 0.000804 m2] Pu0 = 0.65 * 1.531MN = 0.995MN = Pn0 17.8.4. Verificación

Pu  0.10 * Pu0

0.649MN  0.10 * 0.9951MN 0.649MN  0.099MN

Pu 

1 1 1 1   Pnx Pny Pn0

0.649MN 

1 1 1 1   0.975MN 0.675MN 0.995MN

0.649MN  0.665MN

18. Tercer ejemplo numérico de columnas de H°A° El presente dimensionado será resuelto para el tramo comprendido en Planta Baja para la columna 6. Se plantea el mismo ejercicio anterior, reduciendo su sección y manteniendo las solicitaciones. 18.1.

Análisis de cargas

La carga total Q se compone por 75% D y 25% L, aproximadamente, entonces: Piso PB

Carga Q (kg)

D = 0.75 * Q (kg)

L = 0.25 * Q (kg)

50236

38824

11412

Diferenciación necesaria para obtener Pu (carga última) en el siguiente paso. 18.2.

Predimensionado

18.2.1. Carga última Combinaciones de cargas mayoradas: 1.2 D + 1.6 L = 1.2 D + 1.0 L  1.6 W 0.9 D  1.6 W Para la resolución de este ejemplo no se considera la acción del viento. Pu =1.2 * 38824kg + 1.6 * 11412kg = 64900 kg ≈ 64.9 t 18.2.2. Carga nominal Pn 

64.9 t Pu  124.81t   * 0.80 0.65 * 0.80

Pn  1.248 MN

23

Recursos para el diseño de Estructuras Resistentes

18.2.3. Predimensionado

Ag 

1.248MN 1.248 MN   0.0494m 2  494 cm 2 0.85 * 25MPa(1  0.01)  420MPa * 0.01 25.24MPa

Sección adoptada = 25 cm * 25 cm = 625 cm2

En un dibujo que no se corresponde con la escala de la planta se ha representado la posición de la columna 6 en Planta baja. h1 = 25 cm  paralelo a eje x h2 = 25 cm  paralelo a eje y

18.3.

Determinación de solicitaciones

18.3.1. Indesplazabilidad Se estudia en este caso un sistema indesplazable. La columna 6 conforma con la columna 5 y la viga 3 un pórtico que está sometido sólo a cargas gravitatorias, (plano “x”). Con la columna 10 y 2, y con las vigas 8 y 9 conforma un pórtico que está sometido también sólo a cargas gravitatorias, (plano “y”). 18.3.2. Esfuerzos generados por las vigas en el tramo analizado de columna I.

24

Se analizará la columna 6 en su plano paralelo al lado "h2" (paralelo al eje y)

Capitulo XXVIII

Columnas de hormigón armado - Compresión y flexo compresión

En este plano (paralelo al lado h 2) la columna se comporta como centrada, ya que en el nudo "A" los pares actuantes transmitidos por las vigas 8 y 9 se contrarrestan (M = 0), por lo que la columna no recibe ningún momento.

MB1  MB2  II.

2552 kg/m * (3m)2  2871kgm 8 Se analizará la columna 6 en su plano paralelo al lado "h1" (paralelo al eje x)

  En este plano (paralelo al lado h 1) la columna se comporta como excéntrica, ya que en el nudo "B" el par transmitido por la viga 3 (M  0) debe ser contrarrestado por los pares en los extremos de las columnas que convergen. Según la resolución del nudo de pórtico realizado en el ejercicio anterior (columna 1er piso), los valores son los que se representan: III.

Resumiendo (cargas de servicio):

Plano paralelo a " h1": flexo-compresión N = 50.2 t (dato obtenido en el análisis de cargas) M1 = 0 tm (corresponde a la columna 6 en Planta baja donde se encuentra articulada a la base 6) M2 = 1.26 tm (dato obtenido de la resolución del hiperestático, para la barra que corresponde a la columna 6 en Planta baja)

Plano paralelo a " h2": compresión N = 50.2 t (dato obtenido en el análisis de cargas)  25

Recursos para el diseño de Estructuras Resistentes

18.4.

Determinación de la esbeltez

Donde: k = factor de longitud efectiva. lu = longitud sin apoyo lateral. Pueden des diferentes según la dirección que se analice. r = radio de giro



k * lu r

18.4.1. Definir lu para cada dirección. Longitud no arriostrada entre nivel superior de vigas de 1° piso y borde superior de la fundación: 5.00m I.

Para dirección x:

hviga 3 = 0.25 m lu = 5.00 m – 0.25 m = 4.75 m II.

Para dirección y:

hviga 8 y 9 = 0.35 m lu = 5.00 m – 0.35 m = 4.65 m 18.4.2. Factor de longitud efectiva Como el valor real de la longitud efectiva depende de la rigidez de los elementos solidarios a ambos extremos de la columna, se obtiene en primer lugar la rigidez de dichos elementos.

 L (columnas ) * 0.7 EI



I. E* A 

 L (vigas ) * 0.35 EI

Para plano x

25cm * (25cm)3 20cm * (25cm)3 E* 12 12  0.7 158.1cm3 500cm 280cm *  * 2  7.08 0.35 44.64cm3 12cm * (25cm)3 E* 12 350cm

k = 0.97

B   Extremo articulado

II.

Para plano y

25cm * (25cm)3 25cm * (20cm)3 E* 12 12  0.7 124.62cm3 500 cm 280 cm A  *  * 2  0.7 15cm * (35cm)3 15cm * (35cm)3 0.35 357.28cm3 E* E* 12 12  300cm 300cm E*

B   Extremo articulado

26

k = 0.85

Capitulo XXVIII

Columnas de hormigón armado - Compresión y flexo compresión

18.4.3. Esbeltez 

k * lu r

x 

0.97 * 4.75m  61.43 0.3 * 0.25m

y 

0.85 * 4.65m  52.7 0.3 * 0.25m

18.4.4. Limite para considerar efectos de la esbeltez  M1u   lim  34  12 *    M2u 

Donde: M1u = menor momento último en extremo de la columna M2u = mayor momento último en extremo de la columna Siendo:

Mu = 1.2 *MD + 1.6 * ML

Y manteniendo las proporciones halladas en relación a cargas permanentes y sobrecargas: M (tm) 1.26

MD = 0.75 * M (tm) 0.945

I.

Análisis para plano x (paralelo a h1)

 M1u   lim  34  12 *    M2u  x = 61.43 > 34

ML = 0.25 * M (tm) 0.315

Mu (tm) 1.64

 0tm   lim x  34  12 *    34  1.71tm 

 es necesario considerar efectos de la esbeltez.

x = 61.43 < 100  se puede utilizar momentos amplificados (Mc). Como en este plano la columna se encuentra solicitada por momento flexor (de primer orden) se debe determinar el valor mínimo reglamentario a considerar para M2. M2 min = Pu (0.015 + 0.03 * h) M2 min = 64.9 t (0.015 + 0.03 * 0.25 m) = 1.46 tm M2 min = 1.46 tm < M2u = 1.64 tm Se utiliza M2u para el dimensionado de la columna Cm  ns  Mc = ns * M2u Pu 1 0.75 * Pc La carga crítica, según Euler, depende del binomio de rigidez a flexión “E*I” y es inversamente proporcional al cuadrado de la luz efectiva. Pc 

2 * E * I (k * lu) 2

a. donde el binomio de rigidez será E *I 

0.4 * Ec * Ig 0.4 * 4700 25 * 0.00032m 4   1.718MNm 2 1  d 1  0.75

d = relación entre la carga permanente y la carga máxima. Ec = modulo de elasticidad del hormigón (en MPa) Ig = momento de inercia de la sección bruta de hormigón para el plano analizado.

27

Recursos para el diseño de Estructuras Resistentes

b. Remplazando:

Pc 

 2 * 1.718MNm2  0.799MN  799KN  79.9t 2 (0.97 * 4.75m )

c. Se debe determinar el factor de corrección de momentos: Cm  0.6  0.4 *

 ns 

M1  0.4 M2

Cm 1 Pu 1 0.75 * Pc

Para obtener  ns 

 M1  0  Cm  0.6  ns 

Cm 1 Pu 1 0.75 * Pc

0.6 0.6  64.9t  0.08 1 0.75 * 79.9t



debe cumplirse:

Pu 1  0.75 * Pc

Pc 

Pu 0.75

Para este caso:

Pu 64.9t   86t  Pc 0.75 0.75

28

Por lo tanto, deberá considerarse una sección de hormigón mayor.