• Author / Uploaded
• Juan Miguel Santiago Tosca

Citation preview

I. BASE TEORICA Proceso básico de las colas: El proceso básico supuesto por la mayor parte de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes que requiere servicio se generan a través del tiempo de una fuente de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle un servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas. En la siguiente figura se da un esquema de éste proceso. Se pueden hacer muchas suposiciones diferentes sobre los distintos elementos del proceso de colas que se analizaran a continuación.

Sistema de colas

Fuente de entrada

Cola

Mecanismo de servicio

SERVIDOR

FUENTE DE ENTRADA ( POBLACIÓN POTENCIAL) Una característica de ka fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir, el número total de clientes potenciales distintos. Esta población a partir de la cual surgen las unidades que llegan se conocen como población de entrada Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito (de modo que también se dice que la fuente de entrada es ilimitada o limitada.) Como los

cálculos son muchos más sencillos para el caso infinito, esta

suposición se hace muy seguido aun cuando el tamaño real sea un número fijo

1

relativamente grande y deberá tomarse como una suposición implícita en cualquier momento que no se establezca otra cosa.

También se debe de especificar el patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes a través del tiempo. La suposición normal es que se generan de acuerdo aun proceso de Poisson, es decir, el número de clientes que llegan hasta un tiempo específico tiene una distribución Poisson. Esta caso corresponde a

aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de manera

aleatoria, pero con cierta taza media fija y sin importar cuantos clientes están ya allí (por lo que el tamaño e la fuente de entrada es infinito) Una suposición, equivalente es que la distribución de probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial. Se hace referencia al tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas como tiempo entre llegadas.

COLA Una cola se caracteriza por el número de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas, según si éste número es finito o infinito. La suposición de una cola infinita es la estándar para la mayor parte de los modelos, incluso las situaciones en las que de hecho existe una cota superior (relativamente grande) sobre el número permitido de clientes, ya que manejar una cota así puede ser un factor complicado para el análisis. Los sistemas de colas en los que la cota superior es tan pequeña que se llegan a ella con cierta frecuencia, necesitan suponer una cola finita.

DISCIPLINA DE LA COLA La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, pueden ser primero en entrar, primero en salir, aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a

2

algún otro orden. La que se suponen como normal los modelos de cola es la de primero en entrar, primero en salir, a menos que se establezca otra cosa. El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones e servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores. Si existe más de una instalación de servicio, puede ser que sirva al cliente a través de una secuencia de ellas (canales de servicio en serie. ) En una instalación dada, el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio completo. Un modelo de colas debe especificar el arreglo de las instalaciones y el número de servidores (canales paralelos) en cada una. Los modelos más elementales suponen una instalación, ya sea con un servidor, o con un número finito de servidores. El tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una instalación se llama tiempo de servicio ( o duración del servicio.) Un modelo de sistema de colas determinado debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor (y tal ves para los distintos clientes), aunque es común suponer la misma distribución para todos los servidores .La distribución de tiempo de servicio que más se usa en la práctica es la exponencial ( por ser más manejable que cualquier otra.) En resumen los sistemas de colas son muy comunes en la sociedad. La adecuación de estos sistemas puede tener un efecto importante sobre la calidad de vida y la productividad. Para estudiar estos sistemas, la teoría de colas formula modelos matemáticos que representan su operación y después usa éstos modelos para obtener medidas de desempeño. Este análisis proporciona información vital para diseñar de manera efectiva sistemas de colas que logren un balance apropiado entre el costo de proporcionar el servicio y el costo asociado con la espera por ese servicio.

3

Como se puntualizó anteriormente, la distribución exponencial juega un papel fundamental en la teoría de colas para representar la distribución de los tiempos entre llegadas y de servicio, ya que ésta suposición permite representar un sistema de colas como una cadena de Markov de tiempo continuo. Por la misma razón, son de gran utilidad las distribuciones tipo fase como la distribución Erlang, en donde se desglosa el tiempo total en fases individuales que tienen distribuciones exponenciales. Haciendo algunas suposiciones adiciónales, se han obtenido importantes resultados analíticos solo para un pequeño número de modelos de colas. Los modelos de disciplina de prioridades son útiles para la situación común en la que se da alguna prioridad a algunas categorías de clientes sobre otras para recibir el servicio, por ejemplo bancos en los que se hace referencia a clientes, no clientes y clientes VIP. En otra situación común los clientes deben de recibir servicio en distintas estaciones o instalaciones. Los modelos de redes de colas se usan cada vez más en estas situaciones. Ésta es un área especialmente activa en la investigación actual. Cuando no se dispone de un modelo manejable que proporcione una representación

razonable del sistema bajo estudio, un enfoque usual es

obtener datos de desempeño pertinentes mediante el desarrollo de un programa de computadora para simular la operación del sistema.

4

II. METODOLOGIA El proceso de recolección de datos realizado en el kiosko No. 4 (El Gato), se llevó a cabo de la siguiente manera: Tres personas se encargaron de tomar los tiempos de llegada a la cola, tiempo de salida de la cola (inicio de pedido) y tiempo de salida del sistema. La personas con cronómetro estuvieron estratégicamente distribuidas, para observar con precisión la entrada y salida de personas al sistema. En primer lugar, se procedió a identificar a cada persona que llega al sistema con alguna característica que hiciera fácil su reconocimiento (como color de ropa o accesorios). Estas características eran respetadas por el resto de integrantes para saber el tiempo exacto de recorrido de cada persona en el sistema. En segundo lugar se verificó que los tres integrantes tengan el mismo distintivo para cada persona. Se eliminó a los que compraban cigarrillos o galletas, en general, los productos que se entregaban en la misma caja, ya que no completaban el circuito. Por último, se procedió a tabular los datos en Excel, verificándose que se distribuyen como una Poisson.

5

6

III. CÁLCULOS Y ANÁLISIS DE DATOS

1. Introducción Los datos obtenidos se encuentran registrados en la Tabla 1. Dichos datos han sido presentados en segundos para una mejor comprensión y análisis. Las mediciones y pruebas necesarias son cuatro: cantidad de usuarios por unidad de tiempo y su ajuste a una distribución Poisson; tiempos de servicio y su ajuste a una distribución exponencial negativa. De estos resultados, se derivan todos los demás necesarios para un estudio exacto del sistema.

2. Cantidad de usuarios que llegan por unidad de tiempo ( 

a) Tiempo Total: son las dos horas en las cuales se ha efectuado el estudio; ésto es, 7200 s. b) Cantidad de llegadas: son los 178 usuarios registrados. c)  usuarios / tiempo total = 178 / 7200 = 0,024722 usuarios / segundo = 1,483333 usuarios / minuto = 89 usuarios / hora

3. Ajuste a distribución Poisson

7

a) Utilizando los datos de los Tiempos de llegada de la Tabla 1, se ha elegido un segmento o ancho de clase de 120 segundos o 2 minutos como unidad. De esta manera, se obtienen frecuencias con las cuales resulta factible trabajar. b) La cantidad de llegadas se encuentra en la Tabla 2. c) Contando la frecuencia de ocurrencia de cantidad de llegadas por segmento, se obtiene la Tabla 3. d) Se calculan las frecuencias esperadas con la fórmula e x= nPx, con n igual al número de segmentos, en este caso 61, y Px = e - x . x!

e) Aplicando la prueba del , se debe calcular (Ox - ex)2 / ex, no sin antes notar que, al ser las frecuencias esperadas de 0 llegadas y de 6 y 7 o más llegadas menores que 5, se deben agrupar con los datos más cercanos, en este caso 1 llegada y 5 llegadas, respectivamente. La sumatoria de los valores obtenidos dará el valor de calc. Todos estos datos están reunidos en la Tabla 4. El valor obtenido es alrededor de 0,160. f) El valor obtenido se debe comparar con tab(k-m-1). En este caso, k, es decir el número de clases, es 5, y m, el número de parámetros, es 1 (). Por ende, estamos hablando de 5-1-1 = 3 grados de libertad. g) Asumiendo un  = 0,05, aceptaremos la hipótesis planteada (es decir, que las llegadas se distribuyen según una distribución de Poisson) si y sólo si 2calc < o = 2tab. Ahora bien, 2 (0,05; 3) = 0,352. Como se puede notar, se debe aceptar la hipótesis. Por lo tanto, se acepta que las llegadas se distribuyen según Poisson.

4. Tasa de servicio ( a) Tiempo total de servicio: según datos de la Tabla 1, es de 37069 segundos. 8

b) Cálculo de la Tasa de servicio: en el tiempo total de servicio, se han atendido a 178 usuarios; por lo tanto, = 178 / 37069 = 0,004878 usuarios / segundo = 0,288111 usuarios / minuto = 17,286682 usuarios / hora.

5. Ajuste a distribución exponencial a) Se escoge intervalos entre el tiempo máximo de servicio y el tiempo mínimo de servicio registrados; éstos se verifican con los usuarios 19 y 177, con 518 segundos y 45 segundos, respectivamente, con un último intervalo que llegue hasta el infinito. Para obtener el número de intervalos, se sigue la regla de Sturges: Intervalos = 1 + 3,3 * log (n) = 1 + 3,3 * log (178) = 8,426386 = 9 intervalos b) Dado que la amplitud de los tiempos de servicio es de 518 - 45 = 473 segundos, el rango de cada intervalo será de: Tic = Amplitud / Número intervalos = 473 / 9 = 52,555556 segundos. Dado que éste es un valor referencial, se puede utilizar como valor 60 segundos. c) Con estos datos de frecuencia observada se genera la Tabla 5. d) Para encontrar las frecuencias esperadas, se utiliza la fórmula e i = nPi, donde: n = 178 Pi = e

- (a)

- e

- ( b)

a = límite inferior de clase; b = límite superior de clase e) Aplicando la prueba del , se debe calcular (Ox - ex)2 / ex , no sin antes notar que, al ser la frecuencia esperada del segmento desde 480 segundos a infinito menor a 5, se debe agrupar con el dato más cercano, en este caso el segmento entre 420 y 480 segundos. La sumatoria de los valores obtenidos dará el valor de calc. Todos estos datos están reunidos en la Tabla 6. El valor obtenido es alrededor de 93,417.

9

f) El valor obtenido se debe comparar con tab(k-m-1). En este caso, k, es decir el número de clases, es 8, y m, el número de parámetros, es 1 (). Por ende, estamos hablando de 8-1-1 = 6 grados de libertad. g) Asumiendo un  = 0,05, aceptaremos la hipótesis planteada (es decir, que los tiempos de servicio se distribuyen según una distribución exponencial) si y sólo si 2calc < o = 2tab. Ahora bien, 2 (0,05; 6) = 1,635. Podemos asumir cualquier otro valor superior de , por ejemplo 0,1 , 0,2 y 0,5 , obteniendo sin embargo valores de 2,204 , 3,070 y 5,348, todos muy inferiores al valor calculado. Como se puede notar, no se debe aceptar la hipótesis. Por lo tanto, se deduce que los tiempos de servicio no se ajustan a una distribución exponencial. h) Dando una mirada a los datos, se puede evidenciar como es imposible que la distribución de los tiempos de servicio se adecue a una distribución exponencial negativa. Se deberían estudiar otras hipótesis, como una distribución 2 o una F.

6. Análisis cualitativo de los datos obtenidos Por el diseño de la muestra investigada, por los resultados obtenidos en las pruebas de distribución y por el objeto de estudio en sí, el modelo al parecer más correcto para analizar sería un M / G / 6. El por qué de esta designación es muy claro: se determinó en el punto 2 que las llegadas siguen un patrón exponencial (dado que las llegadas por segmentos seguían distribución de Poisson); en el 4, que los tiempos de servicio no eran exponenciales, ni determinísticos. En cuanto al número de servidores, es necesaria una explicación. En el kiosco El Gato operan, por lo menos en las horas de punta, que han sido las estudiadas, seis personas. Una persona en la caja, dos en la atención, dos cocineros y un mesero. Se podría argumentar que esto no implica un número de seis servidores, pero asume consistencia si se analiza atentamente el ámbito de operación de cada persona. El punto es que cada persona puede estar atendiendo a un usuario, todas contemporáneamente.

10

Efectivamente, en la caja se pueden entregar pequeños productos, cuales caramelos, gaseosas, etc.; las dos personas que atienden en primera fila entregan los platos que les pasan los cocineros, pero también pueden servir bebidas y pedidos simples, como jugos y dulces; los dos cocineros preparan pedidos independientemente; y el mesero puede estar llevando platos a una mesa. Pero, por otro lado, la determinación de un modelo M / G / 6 genera problemas al momento de hacer un análisis cuantitativo, dado que no se tienen a la mano fórmulas para obtener datos interesantes sobre el sistema estudiado. Por esta razón, se ha preferido asumir que el modelo sea un M/M/6, y de esta manera se ha podido realizar un análisis cuantitativo que es perfectamente consistente con la realidad observada. 7. Análisis cuantitativo de los datos obtenidos A continuación de presentan los datos necesarios para un análisis exhaustivo. a) Tasa de llegadas:  = 89 usuarios / hora = 1,48 usuarios / minuto Llegan al sistema en promedio 89 usuarios por hora. b) Tasa de servicio:  = 17,29 usuarios / hora = 0,29 usuarios / minuto Se atienden en promedio 17 usuarios por hora. c) Intensidad de tráfico: == 89 / 17,29 = 5,15 d) Probabilidad de que no haya clientes en el sistema: P =

1

0

.

= 0,003514 = 0,35 %

5

  / n!) + [( / 6!) * (6 / 6 - )] n

6

n=0

e) Cantidad promedio de usuarios en cola: 11

Lq =  / 5!) * [(1 / 6 -  ] * P0 = 3,89 7

2

En promedio, se encuentran 4 usuarios en cola. f) Tiempo en cola: Wq = Lq /  = 3,89 / 1,48 = 2,63 minutos Se debe esperar en cola un promedio de entre 2 y 3 minutos. g) Tiempo en el sistema: W = Wq + 1 /  = 2,63 + 1 / 0,29 = 6,10 minutos Se permanecerá en el sistema un promedio de 6 minutos .

h) Cantidad promedio de usuarios en el sistema:

L = * W = 1,48 * 6,10 = 9,04 En promedio, encontramos en el sistema 9 usuarios. i) Probabilidad de que un cliente espere: Pw = (1 / 6!) *  * (6 / 6-) * P0 = 0,6428 = 64,28 % 6

La probabilidad de que un usuario tenga que esperar es de poco más del 64%.

12

IV. CONCLUSIONES Habría mucho que decir sobre estas cifras y sobre el modelo estudiado en este caso. Por ejemplo, la realidad se revela, como siempre, más compleja de los sistemas que se usan para estudiarla; en este caso, hay otras posibilidades de modelos aplicables al caso analizado. Además de considerar un modelo M/D/6, que sería el más correcto, o un M/M/6, que es el más operativo, habría que considerar el hecho de que en ciertos casos el sistema cambia forma y puede verse como un sistema con servidores en serie. Basta pensar a cuando se pide una hamburguesa: luego de haber pagado en la caja (primer servidor), se debe entregar un papel con indicados los ingredientes adicionales que se desean, y sólo en ese momento se es efectivamente atendido (segundo servidor). Por otro lado, hay innumerables errores posibles durante la obtención de datos, debido al elevado número de usuarios que se acercan, a personas que abandonan la cola, a personas que no pasan a retirar su pedido a tiempo, generando un tiempo de servicio aparentemente mayor. Por no hablar de las frecuentes “coladas” de amigos o conocidos. Finalmente, hay que considerar que los tipos de servicio, a parte de ser en muchos casos paralelos (como se explicó al comenzar el análisis cualitativo), pueden ser por partes, cuando se puede, por ejemplo, recibir una bebida mientras se sigue esperando un segundo. Por no hablar de las obvias diferencias de tiempos que genera el atender a pedidos extremadamente disímiles.

13

14

V. ANEXO: DELIVERY EN RESTAURANTES

CASO PIZZA HUT DE SAN MIGUEL Introducción: Se ha investigado el sistema de colas del delivery de la tienda de Pizza Hut ubicada en Plaza San Miguel. El propósito de este estudio es el de aplicar la teoría de colas al caso de este restaurante, mediante el recojo de datos muestrales y su posterior análisis siguiendo las líneas de la teoría de colas. En este ambiente encontramos un sistema de atención de pedidos tanto en salón como por teléfono así como para llevar. Procederemos a detallar el proceso de los pedidos por delivery.

Proceso estudiado: El método de atención es el siguiente. El cliente, ante el deseo de consumir algún producto de este establecimiento, marca el número telefónico y su llamada es atendida. Existen dos operadoras que toman las llamadas regularmente, aunque en las horas punta o en días tales como viernes, sábados y feriados, este número puede aumentar hasta cuatro. Luego de hacer el saludo correspondiente y de identificarse, se le pide al cliente su número de teléfono para identificarlo en la base de datos de la computadora. Si el cliente ya existe, se le lee su dirección para 15

confirmarla, y si no está registrado, se procede a hacerlo. Luego se le toma la orden, la cual la operadora repite para luego confirmarla y enviarla a cocina. En cocina, se recibe la orden y se le da prioridad sobre las órdenes de restaurante. La preparación de la pizza toma entre 12 y 15 minutos, tras lo cual se entrega a la zona de repartos, donde es tomada por uno de los tres o cuatro drivers o conductores que la lleva a su destino final. Cabe resaltar que en el área de cocina existen generalmente entre tres a cinco cocineros, dependiendo del día y la hora, que son los que se encargan de procesar los pedidos. De esta manera, el cliente tiene que esperar entre 30 y 40 minutos desde que hace la llamada hasta recibir el producto, en general, pues muchas veces, si el sistema se encuentra descongestionado, el pedido puede ser entregado en poco más de 25 minutos.

Metodología de investigación: Al realizar la visita al local, tras la posterior presentación, fuimos llevados al área de gerencia donde nos informaron sobre el proceso descrito en el apartado anterior, el cual ya detallamos. Posteriormente, conocimos las instalaciones para que luego nos proporcionaran algunos datos estadísticos correspondientes a nuestros pedidos de información. Debido a políticas de la empresa, no fue posible sustraer la tabla original de tiempos, así que se debió realizar una copia a mano. Luego de trasladar los tiempos que se presentaban en formato hora-minuto-segundo a cantidades que parten desde cero minutos para fines de análisis, se procedió a su tabulado para la posterior interpretación. Es válido señalar que se nos proporcionaron datos correspondientes al día miércoles 22 de noviembre del año en curso, en el horario comprendido entre las 1500 y 1700 horas, que puede ser tratado como un horario bastante tranquilo, por lo cual se considerarán sólo dos operadoras telefónicas y tres cocineros, así como tres repartidores o drivers.

16

Análisis de resultados: * Tiempos expresados en minutos. * El tiempo de pedido es la diferencia entre la hora de inicio y la hora de entrega del producto.

Hora de inicio (Llamada) 0 1 3 3 5 6 7 8 8 9 11 13 13 13 16 17 18 18 21 25 26 29 33 34 37 42 45 46 47 47 53 55 57 60 62 64 67 68 68 75 77 78 84

Tiempo de servicio 38 38 37 39 40 40 39 39 40 36 38 34 36 38 38 38 37 36 34 34 33 32 30 32 33 29 27 31 32 34 30 33 34 30 30 28 28 32 35 26 29 31 25

Hora de entrega del producto 38 39 40 42 45 46 46 47 48 45 49 47 49 51 54 55 55 54 55 59 59 61 63 66 70 71 72 77 79 81 83 88 91 90 92 92 95 100 103 101 106 109 109 17

90 94 94 94 101 105 105 106 106 108 108 108 110 110 110 111 113 114 116 116 116 116 117 117 118 118 119 120 120

25 31 33 34 32 31 33 34 35 35 35 36 36 37 38 36 38 38 39 40 40 40 41 42 39 40 38 37 37

115 125 127 128 133 136 138 140 141 143 143 144 146 147 148 147 151 152 155 156 156 156 158 159 157 158 157 157 157

Luego, a partir de esta tabla, se pueden calcular los siguientes valores: Número promedio de llegadas por unidad de tiempo:  = 0.6083333 pedidos por minuto Número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en un canal:  = 0.375 pedidos atendidos por minuto Tiempo promedio de espera, Wq = 34.763888 mins. Por lo tanto, el tiempo promedio en el sistema,

18

W = 37.430556 mins. De esta manera, el número promedio de clientes en el sistema, L = 22.77 pedidos Y el número promedio de clientes en la cola es de Lq = 21.148 clientes Vale recordar que para este caso se está considerando una población de clientes infinita, y que sus llegadas presentan una distribución exponencial de acuerdo a las horas pico. Podemos apreciar como inicialmente se registran varios pedidos cercanos unos de los otros, lo cual hace demorar ligeramente el tiempo de atención, cuando en la parte central de la tabulación de los datos, cuando los pedidos son más espaciados debido a la hora que se está tratando, el tiempo de espera es menor. Así, tras introducir estos datos en el paquete de software estadístico Quick Q, obtenemos los siguientes resultados: Para un sistema M / D / 1, es decir, que las entradas se vean destribuídas exponencialmente, el uso del servidor sea determinístico y exista un solo servidor, -

Porcentaje de utilización del servidor: 97.74 %

-

Tiempo promedio en el sistema: 36.3705 minutos.

-

Clientes promedio en el sistema: 22.1254 clientes

-

 = 0.60833 pedidos por minutos.

-

 = 0.62239 pedidos atendidos por minuto

19

En cambio, si consideramos un sistema M / M / 1, es decir, con llegadas y uso del servidor distribuidos exponencialmente, se presentan los siguiente resultados: -

Porcentaje de utilización del servidor: 95.76 %

-

Tiempo promedio en el sistema: 37.9165 minutos.

-

Clientes promedio en el sistema: 23.0631 clientes

-

 = 0.60826 pedidos por minuto.

-

 = 0.31760 pedidos atendidos por minuto.

Conclusiones: De los resultados obtenidos se puede concluir: 1) Las colas que se forman en el sistema de delivery del Pizza Hut de Plaza San Miguel siguen preferencialmente una distribución del tipo M / M / 1, pues los datos arrojados por el paquete Quick Q son más cercanos cuando se considera este tipo de distribución con aquellos obtenidos en el análisis de los datos. 2) Debido a los cambiantes números de servidores presentes en diferentes horarios en cada parte de la cadena de servicio, no es posible especificar una estrategia adecuada sin una mayor información y una recolección de datos más amplia, lo cual nos lleva a restringir estas conclusiones para el periodo analizado. 3) Sería recomendable realizar una estudio de teoría de colas más a fondo para poder deducir las configuraciones más adecuadas para un sistema como el analizado, que si bien es bastante eficiente, presenta ciertas fallas en algunos puntos, como retrasos, sobrecargos, etc, según nos fue mencionado por el personal a cargo.

20

21

IV. TABLAS A continuación se presentan las tablas a las cuales se hace referencia en el trabajo.

22