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FÍSICA MATEMÁTICA II

Dr. Juan E. Nápoles Valdes

Tema 2. Introducción a las EDDP.

Series de Fourier. Interpretación geométrica.

Objetivos Instructivos. Con esta clase pretendemos que los alumnos sean capaces de conocer: • La definición e interpretación geométrica de la Serie de Fourier de una función.

Funciones Periódicas Una función f(t) es periódica, si está definida para todo valor real x, y existe cierto número positivo T, tal que f(x+T)=f(x). f  

0



T

f  

0



T

f  

0



T

y=sen(wt+), R, w=2/T.

y=sent+(1/2)sen2t + (1/4)sen3t.

¿Puede una función periódica y=f(x), de período T, representarse como una suma, finita o infinita de funciones periódicas?

Un espacio vectorial E (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, sobre C (en nuestro caso R). Un producto interior sobre E es una aplicación de ExEC (R), denotada por (x,y)  que satisface: 1) < 𝑦, 𝑥 > =< 𝑥, 𝑦 >, x,yE 2) =+, x,y,zE 3) = , C, x,yE 4) xE, 0 i)yE, =0 ii) =  ഥ , C, x,yE iii) =+, x,y,zE

Si ER y =0 ssí x=0, entonces tenemos el producto escalar clásico. Sobre Cn definimos < 𝑥, 𝑦 > = σ𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦ഥ𝑖 . 𝑏 Sobre C[a,b], definimos < 𝑓, 𝑔 > = ‫𝑥𝑑)𝑥(𝑔)𝑥(𝑓 𝑎׬‬, con =0, solamente si f  0. Sobre R[a,b], esta conclusión no es válida.

< 𝑥, 𝑦 > ≤< 𝑥, 𝑥

1 >2
2

Ortogonalidad Si x,yE diremos que x es ortogonal a y (o perpendicular) si =0. La ortogonalidad es una relación simétrica. Sea SE, el conjunto {xE, =0 para todo yS} lo llamaremos el ortogonal de S (S). Teorema. Sea xE, entonces x pertenece al ortogonal de E, ssí =0.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera 𝑥 ≔ < 𝑥, 𝑥 >

En tal caso, esta es una de las infinitas normas que pueden ser generadas a partir de un producto interior. < 𝑢, 𝑣 > ≤ 𝑢

𝑣

Sea xE, x≠0, yE. Entonces existe un único cC, tq y-cx  x.

En el caso de una familia x1, x2, …, xn de E, xi≠0, i=1,…,n y =0, para i≠j, yE. Entonces existen los coeficientes de Fourier de y, respecto a la familia x1, x2, …, xn definidos por < 𝑦, 𝑥𝑗 > 𝑐𝑗 = < 𝑥𝑗 , 𝑥𝑗 >

Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen: b

 a

para m  n para m  n

0 f m(t)f n(t)dt   rn 𝑓𝑘 = 1

𝑓 =< 𝑓, 𝑓

1 >2 =

𝑏

න 𝑓(𝑥) 2 𝑑𝑥 𝑎

1 2

Ejemplo: Las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo –1 < t < 1, ya que: 1

1

4 t 2 3 t t dt  t 1 1 dt  4

1

0

1

Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo – < t < , ya que π

2

sen t π sent costdt  2

π

π

0

Teorema. Sea E un espacio prehilbertiano, {fn} una familia ortogonal y ortonormal ordenada en una sucesión y fE. Supongamos que ∞

𝑓 = ෍ 𝑐𝑛 𝑓𝑛 𝑛=1

Entonces cn, nN, es el Coeficiente de Fourier de f respecto a fn. El conjunto {2/2, sen nx, cos mx} n,mN, es un conjunto ortonormal.

Determine the Euler coefficients of the Fourier series Desarrollar la función f(x)=x, en Serie de Fourier of the function f(x)=x -  x [-,]. : trigonométrica, sobre el for intervalo 1  1  a0 = f(x)dx= xdx=0     2 2 1  1  an   f(x)cos(nx)dx=  xcos(nx) dx  -  - 1 x  [ 2 cos( nx )  sin( nx )]  0 n n 1  1  bn   f(x)sin(nx)dx=  xsin(nx) dx  -  - 1 x 2 2   [ 2 sin(nx )  cos(nx )]   cos( n )  ( 1) n 1 n n n n



2 f ( x )   ( 1)n 1 sin(nx )  n 1 n 2 1 2sin( x )  sin(2 x )  sin(3x )  sin(4 x )  3 2 3.662

4

100 términos

Cinco términos 2 f3( x)

Función

f5( x) f100( x)

0

Tres términos

f ( x)

2

 3.662

4

3  3.14

2

1

0 x

1

2

3 3.14