• Author / Uploaded
• TopherDeWitt

Citation preview

1

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Dra. Jania Astrid Saucedo Martínez

Análisis de sensibilidad GRÁFICO 2

max 3x + 2y s. a: 5x + 8y ≤ 40 20x + 10y ≤ 100 x, y ≥ 0 x2 F. O.

x1

3

Análisis de Sensibilidad

Análisis de sensibilidad con LINDO 4

El análisis de sensibilidad es una de las partes más importantes en la programación lineal, sobretodo para la toma de decisiones; pues permite determinar cuando una solución sigue siendo óptima, dados algunos cambios ya sea en el entorno del problema, en la empresa o en los datos del problema mismo.

Este análisis consiste en determinar que tan sensible es la respuesta óptima (ya la hallamos obtenido por Simplex, método gráfico o LINDO), al cambio de algunos datos como las ganancias o costos unitarios (coeficientes de la función objetivo) o la disponibilidad de los recursos (términos independientes de las restricciones)

5

El análisis de sensibilidad sobre la solución óptima se realiza cuando ocurren ciertos cambios en los parámetros del modelo original y no podemos o queremos resolver nuevamente el problema. Usualmente se manejan 5 tipos de análisis entre los que están: Cambios en los coeficientes de los costos. Cambios en los requerimientos (lados derechos). Cambios en los coeficientes tecnológicos (coeficientes de las restricciones). Inclusión de nuevas variables. Inclusión de nuevas restricciones.

Interpretación de resultados 6

Costo Reducido 7

Se puede interpretar el costo reducido de una variable como la cantidad por la que el coeficiente objetivo de la variable tendría que mejorar antes de que se fuera aprovechable para dar la variable en cuestión un valor positivo en la solución óptima. Por ejemplo si tenemos una variable x1 tiene un costo reducido de 16.25, el coeficiente objetivo de esta variable tiene que aumentar a través de 16.25 unidades en este problema, si estamos maximizando. Si el problema fuera de minimización la variable debería disminuir en 16.25 unidades para que esta se vuelva una alternativa atractiva para entrar en la solución. Segundo, el costo reducido de una variable puede interpretarse como la cantidad de multa que se tendría que pagar para introducir x1 en la solución. En nuestro caso no hay ninguna “multa” ya que las dos variables forman nuestra solución óptima.

Precio dual 8

El informe de solución también nos da el precio dual para cada restricción. Se puede interpretar el precio dual, como la cantidad en la que el objetivo mejoraría por el término constante de la restricción aumentado en una unidad. Por ejemplo, si en la solución del problema, el precio dual de 37.5 en la disponibilidad de recursos 2 (hs. Máquina) si agregamos una unidad más de trabajo causaríamos que el valor objetivo mejorara en 37.5 unidades. El término mejorar es relativo. En un problema de maximización, mejorar significa que el valor objetivo aumentaría. Sin embargo, en un problema del minimización, el valor objetivo disminuiría. A veces se llaman a los precios duales precios sombra. En nuestro caso significa que si aumentamos una unidad a la restricción MP) nuestra FO disminuye 0.090909.

Holguras y sobrantes 9

Esta parte del informe de solución nos dice cuan cerca estamos de satisfacer una restricción como una igualdad. Si la restricción es de menor-igual nos referimos a variables de slack y si es de mayor o igual nos referimos a variables surplus. Si la restricción está correctamente formulada se satisface como una igualdad, el valor de holgura o sobrante será cero. De lo contrario la solución será no factible, la holgura o valor sobrante será negativo.

Ejemplo 10

max 40x1 + 60x2 s. a: 2x1 + x2 ≤ 70 x1 + x2 ≤ 40 x1 + 3x2 ≤ 90 x1, x2 ≥ 0

11

max 3x1 + x2 s. a: -x1 + x2 ≤ 4 x1 + 3x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0

Ejemplo 1 La carpintería Giapetto, realiza dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Un soldado es vendido por $27 y tiene un costo de $10 para realizarlo. Cada soldado que es manufacturado incrementa el costo variable y mano de obra en $14. Mientras que cada tren es vendido en $21 y emplea $9 en material para su construcción, además de $10 del costo variable y de mano de obra por realizarlo. La fabricación de los juguetes requiere de dos tipos de talleres distintos: construcción y detallado. Un soldado requiere 2hrs para el detallado y una hora para su construcción, mientras que el tren tarda 1hr en cada uno de los talleres. Cada semana, Giapetto tiene disponibles 100 horas a destinar en el taller de detallado y 80 en el construcción. La demanda de los trenes es ilimitada, pero para los soldados es a lo más de 40 piezas. Si el dueño de la carpintería desea maximizar los beneficios, cuál sería un modelo matemático que lo describiera?

13

Iniciamos modelando el problema, para lo cual, definimos las variables de decisión: x1 = cantidad de soldados a producir por semana x2 = cantidad de trenes a producir por semana max 3x1 + 2x2 s. a: 2x1 + x2 ≤ 100 x1 + x2 ≤ 80 x1 ≤ 40 x1, x2 ≥ 0

14

a) Cuáles son los costos de beneficio de los trenes mediante los cuales la solución óptima no cambie. b) En que cambiaría la solución su el costo beneficio de los trenes es de $2.50. c) El Sindicato de la carpintería, protesta por el gran tiempo que trabajan sus empleados, cuántas horas trabajo podrían reducirle a los talleres sin ver afectada la solución óptima.

15

d) Debido a las huelgas que ha tenido la empresa Giapetto ha tenido que contratar algunos empleados extras para el taller de construcción y detallado. En que taller le convendría contratar más empleados y porqué y cuál sería el precio dispuesto a pagar por el tiempo extra?

e) El gerente de Jugueterías Julio Cepeda, tiene un excedente de 20 soldados de madera. Le recomendarías al personal de Giapetto que lo comprara?

16

Ejemplo 2 La compañía Winco vende 4 tipos de productos. Los recursos necesarios para producir una unidad de cada producto son los siguientes: Recurso Product Product Producto Producto 4 o1 o2 3 Material

2

3

4

7

Tiempo

3

4

5

6

Precio de venta

4

6

7

8

Actualmente la compañía cuenta con 4600 unidades de material y 5000 horas de tiempo disponible . La demanda de los cuatro productos debe ser estrictamente igual a 950 piezas, además de que deben respetar la demanda del producto 4 con al menos 400 unidades. Formula un modelo que describa lo anterior y maximice beneficios.

17

xi = cantidad de unidades a producir del producto i max 4x1 + 6x2 + 7x3 + 8x4 s. a:

x1 + x2+ x3 + x4 = 950 x4 ≥400 2x1 + 3x2 + 4x3 + 7x4 ≤ 4600 3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 ≤ 5000 x1, x2, x3, x4 ≥ 0

18

Suponga que aumenta el precio del producto 2 en 50¢. Cuál es la

nueva solución óptima del problema? Qué pasa si el producto 1 incrementa su costo en 60¢ por

unidad? Qué pasa si el producto 3 decrementa su costo en 60¢ por

unidad? Si se permite aumentar la capacidad de producción a 980

unidades, continua la optimalidad? El dueño de Winco se ve en la necesidad de reducir la cantidad de

material disponible a 4400 unidades, qué pasaría?

19

Llega una persona solicitándole empleo al gerente de Winco. Se le

contrataría? Porqué? La

persona encargada de la planeación de producción esta pensando reducir la cantidad de productos a producir. Cuál tipo de producto no le recomendarías disminuir? A Winco le ofrecen 300 unidades de material a 3 pesos cada una

Qué opinas que debería hacer?

Ejemplo 3 20

World Oil Company puede comprar dos tipos de petróleo crudo, petróleo crudo ligero y pesado. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y queroseno. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y queroseno producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo: Gasoli na

Turbosin a

Querose no

Costo

Crudo Ligero

0.45

0.18

0.30

25

Crudo Pesado

0.35

0.36

0.20

22

La refinería se ha comprometido a entregar 1260 mil barriles de gasolina, 900 mil barriles de turbosina y 300 mil barriles de queroseno. Formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar el coste total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada.

21

XL= número de miles de barriles de petróleo crudo de tipo ligero XP= número de miles de barriles de petróleo crudo de tipo pesado ¿Cómo se puede interpretar las columnas de holgura y los precios duales? 

¿Cómo cambiaría el precio mínimo del petróleo crudo si la refinería ahora entregue 1270 mil barriles de gasolina en lugar de los 1260 mil barriles? 

Ejemplo 4 22

Un agricultor planea la temporada. Puede sembrar dos tipos de maíz: de calidad estándar o de primera. Incluyendo todos los gastos (compra de grano, preparación de la tierra, siembra, etc.) decidirse por sembrar el maíz estándar tiene un costo de $85 por kilo, mientras que el del maíz de primera uno de $97 por kilo; en contraparte, el maíz de primera tiene una producción de 15 costales por kilo, mientras que el estándar de 12 costales por kilo. El maíz de primera está limitado a 12 kilos. Tras la cosecha, el agricultor puede decidirse por vender su producto en costales a $120 c/u o desgranarlo o venderlo por cuartillo a $145 c/u. Para obtener un cuartillo de grano se requieren en promedio 1.3 costales de maíz.

23

Disponer el producto en costales tiene un costo de $20 por costal, mientras que disponerlo en cuartillos tiene un costo total de $22. Además debe tenerse en cuenta el tiempo de empaquetamiento; el granjero y su familia empaquetan 8 costales por hora, ahora que si deciden desgranarlo, consiguen 4 cuartillos por hora. El granjero sabe por experiencia que no venderá más de 30 costales al mercado del pueblo. El granjero dispone de un presupuesto total de $11,500.00 y estima que dispone de 32 horas después de la cosecha para preparar su producto. ¿Cómo debe planear la cosecha el agricultor para maximizar sus ganancias?  

24

x1: cantidad de maíz de primera a sembrar elote a elaborar

s1: cantidad de costales de

x2: cantidad de maíz estándar a sembrar grano a elaborar

s2: cantidad de cuartillos de

El problema se modela matemáticamente como sigue, sean: max 100s1 + 123s2 – 97x1 – 85x2

Ganancia.

s. a: 0.125s1 + 0.25s2 ≤ 32

Tiempo

97x1 + 85x2 + 20s1 + 22s2 ≤ 11,500

Presupuesto

15x1 + 12x2 = s1 + 1.3 s2

Producción

x1 ≤ 12

Oferta

s1 ≤ 30

Demanda

x1, x2, s1, s2 ≥ 0  

25

a) ¿Cuál es el plan optimo para el agricultor? 26

b) Una compañía financiera le ofrece un préstamo a un interés del 4% anual para que al agricultor aumente su presupuesto. ¿Cuánto debe aceptar el agricultor? c) Un jornalero le ofrece 8 horas de trabajo empaquetando producto por $1,000.00. ¿Qué le conviene al agricultor? d) Un proveedor ofrece maíz de primera adicional a $30.00 el kilo. ¿Qué debe hacer el agricultor? e) Un mercader ofrece comprar 20 costales extras al agricultor para revenderlos en el pueblo vecino, lo cual genera ciertos gastos, por lo que le ofrece pagar al agricultor $40.00 por costal. ¿Qué respondería usted al mercader? . f) Se rumora que, para el tiempo de la cosecha, el costo de

Ejemplo 5 27

Carco manufactura automóviles y trailers. Cada automóvil contribuye con $300.00 de ganancia mientras que el tráiler con $400.00 Los recursos requeridos para manufacturar un automóvil y trailers son mostrados a continuación.  

Cada día Carco renta más de 98 maquinas tipo 1 con un costo de $50 por maquina. La compañía cuenta con 73 maquinas tipo 2 y 260 toneladas de acero disponible. Las consideraciones de marketing dedican al menos 88 carros y 26 trailers a producir. Si x1 es la cantidad de automóviles a producir, x2 la cantidad de trailers y m1 la cantidad de maquinas tipo 1 a rentar diariamente. El modelo que describe lo anterior es:

28

  Max 300x1 + 400x2 - 50m1 S. a: 0.8x1 + x2 - m1 ≤ 0 m1 ≥ 98 0.6x1 + 0.7x2 ≤ 73 2x1 + 3x2 ≤ 260 x1 ≥ 88 x2 ≥ 26

29

Si Carco contribuye con $310 de ganancia por auto, ¿cuál es la solución optima? ¿Qué pasa si Carco requiere al menos 86 automóviles?